江西省上饒市橫峰中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)考前模擬考試試題文（含解

析）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.每小題只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）

1.已知集合/={Mog2（x+l）<2},N={—1,0,1,2,3},則9R"）CN=（）

A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,3}

【答案】D

【解析】

【分析】

依據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算，求得集合A/={x|—1<%<3},得到為"={x|x<-1或xN3},再依據(jù)

集合的交集運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由題意，集合M={Hlog2（x+D<2}={x［—l<x<3},則6R"={X|X<—1或

x>3}

又由N={—1,0,1,2,3},所以（6RM）CN={—1,3},故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及集合的運(yùn)算，其中解答中正確求解集合M,再

依據(jù)集合的運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知復(fù)數(shù)Z］、Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，4=1+6i,則2=（）

Z2

A.2B.73C.72D.1

【答案】D

【解析】

【分析】

由復(fù)數(shù)Z］、Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱且Z1=1+百"得Z2=—1+有"即可求解

A的值，得到答案.

【詳解】由題意，復(fù)數(shù)Z］、Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，Z1=l+y/3i,

則Z2=T+"'所以&卜卜+網(wǎng)2

—=1,故選D.

-1+2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的表示，以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算與求模，其中解答熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算公

式和復(fù)數(shù)的表示是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

3.等差數(shù)列｛%,｝的前〃項(xiàng)和為S“，若。8=2,邑=98,則4+火=（）

A.16B.14C.12D.10

【答案】A

【解析】

【分析】

先由57=7%=98,求出火，再由。3+。9=%+/，即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為s“，且邑=98,

所以57=7（4；%）=7%=98,解得知=14；

又。8=2,所以％+。9=“4+。8=14+2=16.

故選A

【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本量的計(jì)算，熟記等差數(shù)列的求和公式與通項(xiàng)公式，以

及等差數(shù)列的性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題型.

x-y<3

4.已知x，y滿意的約束條件<x+yV1,則Z=2x—y的最大值為（）

x+2y>l

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形，確定出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解，得

到答案.

【詳解】由題意，畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，

目標(biāo)函數(shù)z=2x-y,可化為直線y=2x—z,

當(dāng)直線y=2x-z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)在y軸上的截距最小，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值,

x+y=l

又由〈:解得A(1,O),

x+2y=l

所以目標(biāo)函數(shù)z=2x—y的最大值為=2x1—0=2,故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查簡潔線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題.其中解答中正確畫出不等式

組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重

考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

5.依據(jù)新高考改革方案，某地高考由文理分科考試變?yōu)椤?+3”模式考試.某學(xué)校為了解高一

年425名學(xué)生選課狀況，在高一年下學(xué)期進(jìn)行模擬選課，統(tǒng)計(jì)得到選課組合排名前4種如下

表所示，其中物理、化學(xué)、生物為理科，政治、歷史、地理為文科，“J”表示選擇該科，

“X”表示未選擇該科，依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，下列推斷第七的是

學(xué)科

物理化學(xué)生物政治歷史地理

人數(shù)

124VVXXXV

101XXVXVV

86XVVXXV

74VXVXVX

A.前4種組合中，選擇生物學(xué)科的學(xué)生更傾向選擇兩理一文組合

B.前4種組合中，選擇兩理一文的人數(shù)多于選擇兩文一理的人數(shù)

C.整個(gè)高一年段，選擇地理學(xué)科的人數(shù)多于選擇其他任一學(xué)科的人數(shù)

D.整個(gè)高一年段，選擇物理學(xué)科的人數(shù)多于選擇生物學(xué)科的人數(shù)

【答案】D

【解析】

【分析】

依據(jù)圖表依次分析即得.

【詳解】解析：前4種組合中，選擇生物學(xué)科的學(xué)生有三類：“生物+歷史+地理”共計(jì)101

人，“生物+化學(xué)+地理”共計(jì)86人，“生物+物理+歷史”共計(jì)74人，故選擇生物學(xué)科

的學(xué)生中，更傾向選擇兩理一文組合，故A正確.

前4種組合中，選擇兩理一文的學(xué)生有三類：“物理+化學(xué)+地理”共計(jì)124人，“生物+

化學(xué)+地理”共計(jì)86人,“生物+物理+歷史”共計(jì)74人；選擇兩文一理的學(xué)生有一類：

“生物+歷史+地理”共計(jì)101人，故B正確.

整個(gè)高一年段，選擇地理學(xué)科的學(xué)生總?cè)藬?shù)有124+101+86=311人，故C正確.

整個(gè)高一年段，選擇物理學(xué)科的人數(shù)為198人，選擇生物學(xué)科的人數(shù)為261人，故D錯(cuò)誤.綜

上所述，故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)圖表作出統(tǒng)計(jì)分析，考查學(xué)生的視察實(shí)力，屬于中檔題.

22

6.已知雙曲線C:=-當(dāng)人＞0）的右焦點(diǎn)到漸近線的距離等于實(shí)軸長，則此雙曲線

ab

的離心率為（）

A.0B.73C.小D.與

【答案】C

【解析】

【分析】

b

可設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)F（c,0）,漸近線的方程為y=土一x,由右焦點(diǎn)到漸近線的距離等于實(shí)

a

軸長，可得。=氐，可得答案.

b

【詳解】解：由題意可設(shè)雙曲線。的右焦點(diǎn)F(c,O),漸進(jìn)線的方程為y=±—%，

a

可得d=-r===b=2a,可得。="|三=氐，

ylcr+b

可得離心率e=￡=近，

a

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線離心率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要嫻熟駕馭雙曲線的簡潔性

質(zhì).

7.已知函數(shù)/(x)=xlnx+a在點(diǎn)(1,7(1))處的切線經(jīng)過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a()

A.1B.0C.-D.-1

e

【答案】A

【解析】

【分析】

先求導(dǎo)，再求切線斜率，利用點(diǎn)斜式寫出方程，即可求解

【詳解1/'(X)=加+1,⑴=1,.??切線方程為y=x-1+a,故O=O-l+a,解a=l

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查切線方程，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查計(jì)算實(shí)力，是基礎(chǔ)題

8.函數(shù)尸2Msin2x的圖象可能是

【解析】

TT

分析:先探討函數(shù)的奇偶性，再探討函數(shù)在《，兀）上的符號(hào)，即可推斷選擇.

詳角和令/（%）=2兇sin2x，

因?yàn)榫拧晔?（-%）=2Tsin2（-九）=一2.sin2x=-f（x），所以/（%）=2Hsin2x為奇函數(shù),

解除選項(xiàng)A,B;

jr

因?yàn)閤e（5,7i）時(shí)，/（x）＜0,所以解除選項(xiàng)C,選D.

點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識(shí)別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，推斷圖象的

左、右位置，由函數(shù)的值域，推斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，推斷圖象的改

變趨勢(shì)；（3）由函數(shù)的奇偶性，推斷圖象的對(duì)稱性；（4）由函數(shù)的周期性，推斷圖象的循環(huán)

往復(fù).

9.下圖虛線網(wǎng)格的最小正方形邊長為1，實(shí)線是某幾何體的三視圖，這個(gè)幾何體的體積為（）

4%

B.271C.—D.n

3

【答案】B

【解析】

【分析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求解幾何體的體積即可.

【詳解】解：應(yīng)用可知幾何體的直觀圖如圖：是圓柱的一半，

1

可得幾何體的體積為：一xF9萬義4=27.

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積的求法，推斷幾何體的形態(tài)是解題的關(guān)鍵.

10.將函數(shù)/(x)=2sin(2x+?)的圖像先向右平移展個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度,

得到g(x)的圖像，若g(xjg(42)=9且和％2e[-2肛2萬],貝|]2%的最大值為()

49352517

A.—兀B.—71C.-----71D.—冗

12664

【答案】c

【解析：]

【分析】

由三角函數(shù)的圖象變換，得至Ug(x)=2sin(2x+為+1,依據(jù)若g(%)g(羽)=9,得到

6

>TT11-rr,qr-rr/qr

g(%)=g(%2)=3，解得x=7+左肛左eZ，得到%,,X2日--—,--即可求解.

66666

TTTT

【詳解】由題意，函數(shù)/(x)=2sin(2x+K)的圖象向右平移;個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)

312

1L']L')L

單位長度，得至Ug(x)=2sin[2(x----)H—]+1=2sin(2x-\—)+1的圖象，

1236

若g(%)g(%2)=9且再,%2￡—2肛2?],

則g(%)=g(%2)=3,則2x+—=—+Ikrc,k^Z,解得x=2+左肛左GZ,

626

._,「ccfllt?,11〃57rTC7兀、

因?yàn)閠玉，九2￡1一2肛2?],所以x,馬￡{—二,——,—,

6666

.7TC1\TC.-L...?,.7TC1\TC257r

當(dāng)％,%=—丁時(shí)，2王一々取得取大值，取大值為2x—7—(——)=——,

66666

故選c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換的應(yīng)用，其中解

答中熟記三角函數(shù)的圖象變換，合理應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了

推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

n.過拋物線/=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A、B兩點(diǎn)，若|AF|=3,則|BF|=()

31

A.2B.-C.1D.-

22

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)NA/%=，,0e(0/),及忸同=加，利用拋物線的定義干脆求出cos。得值，進(jìn)而得到加

的值，即可求解.

【詳解】如圖所示，設(shè)NA&=，,ee(O/),及忸耳=形,

則點(diǎn)A到準(zhǔn)線/:%=—1的距離為3,得到3=2+3cos。，即cos9=L

3

23

又由m=2+mcos(?-e),整理得加=--------二一,

1+cos02

【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中嫻熟

利用拋物線的定義，合理轉(zhuǎn)化是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

―，x<0

x

12.已知函數(shù)/(%)=<，若尸(力=/(力—近有3個(gè)零點(diǎn)，則左的取值范圍為

"x>0

【答案】C

【解析】

【分析】

由函數(shù)尸(x)=/(x)-質(zhì)在R上有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x>0時(shí)，令尸(%)=0,可得y=左和

g(x)=有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x<0時(shí)，y=左和g(x)=,有一?個(gè)交點(diǎn)，求得左>0,即可求

XX

解，得到答案.

—,%<0

【詳解】由題意，函數(shù)/(x)=<；x,要使得函數(shù)/(x)=/(x)—質(zhì)在R上有3個(gè)零

點(diǎn)，

當(dāng)x>0時(shí)，令/⑴=/⑴一收=0,可得左=更/，

X

1TlY

要使得/(%)=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即曠=左和g(x)=F有兩個(gè)交點(diǎn),

又由g'(.=一空,令1—21nx=0,可得x=JL

當(dāng)xe(0,M)時(shí)，g'(x)>0,則g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(J7,+oo)時(shí)，g'(x)<0,則g(x)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)x=&'時(shí)，g(x)=—,

v°\/max,夕

若直線y=左和g(x)=要有兩個(gè)交點(diǎn)，則上e(0,；),

xze

當(dāng)xvO時(shí)，y=左和g(%)=,有一個(gè)交點(diǎn)，則左>0,

X

綜上可得，實(shí)數(shù)上的取值范圍是(0,工)，故選C.

2e

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性與最值的

綜合應(yīng)用，其中解答中把函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題，構(gòu)造新函數(shù)求

解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上〉

13.在平面直角坐標(biāo)系中，角々的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)

7T

P(l,2),則sin(—+2?)=o

3

【答案】--；

【解析】

【分析】

由題意角a的終邊過點(diǎn)P(l,2),求得|OP|=石，利用三角函數(shù)的定義，求得cosa的值，

再利用倍角公式，即可求解.

【詳解】由題意，角戊的終邊過點(diǎn)尸(L2),求得|0升=近，

利用三角函數(shù)的定義，求得cos。=.=倉，

755

又由sin(^+2?)=cos2?=2cos2a-l=2x(^-)2-1=-g.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了隨意角的三角函數(shù)的定義，以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，其中

解答中熟記三角函數(shù)的定義，精確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基

礎(chǔ)題.

14.已知平面對(duì)量M=(2加一1,1),Z?=(-l,3m-2),且則,—同=

【答案】2

【解析】

【分析】

依據(jù)a,匕即可得出a?=0，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出m=l,從而可求出

A-Z?=(2,0),從而得出卜―W=2.

【詳解】解：:〃_L。；

：.a?b=-(2m-l)+3m-2=0；

解得/n=1；

=(1,1)-(-1,1)=(2,0)；

/.\a-b^=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】考查向量垂直的充要條件，向量減法及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.

15.已知在等比數(shù)列｛4｝中，??>0,?2+°4=900-2a[%,%=9%，則%o2o的個(gè)位數(shù)字

是O

【答案】7；

【解析】

【分析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得=。2。4，依據(jù)婚=900-26生，求得。2+。4=30,

又由%=9%,解得q=1,4=3,即可求解.

【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得4%=4%，

因?yàn)閍；+aj=900-2。]%=900-2a2a4,所以a；+a：+24%=(4+%)?=900,

又因?yàn)?>0，所以。2+%=30,

又由。5=9%，所以q(q+q3)=30,%/=9%，且4〉。，

解得6=1,4=3,

所以。2020==32019=(34)504X33,

所以生020的個(gè)位數(shù)字是7.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，其中解答中熟

記等比數(shù)列的性質(zhì)，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，精確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與

運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

16.已知三棱錐A-SBC的體積為友，各頂點(diǎn)均在以SC為直徑球面上，

3

AB=AC=y/2,BC=2,則這個(gè)球的表面積為。

【答案】16萬

【解析】

【分析】

由A3=AC=拒,3c=2,所以A45C為直角三角形，設(shè)三棱錐S-A3C的高為/z,解得

人=2指，取的中點(diǎn)M,連接,依據(jù)球的性質(zhì)，可得，平面ABC,得出OM=石,

再在在直角AOMC中，利用勾股定理，求得球的半徑，即可求解.

【詳解】由題意，設(shè)球的直徑SC=2氏是該球面上的兩點(diǎn)，如圖所示，

因?yàn)锳B=AC=啦,BC=2,所以AA6C為直角三角形，

設(shè)三棱錐S—ABC的高為人，則:x；xjix同=半，解得〃=2君，

取的中點(diǎn)“，連接OM,依據(jù)球的性質(zhì)，可得平面ABC,

所以=石，

在直角AOMC中，0C=doM。+MC?=小用y+F=2,

即球的半徑為尺=2,

所以球的表面積為S=4兀4—4/rx22=16萬.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了球內(nèi)接三棱錐的組合體的應(yīng)用，其中解答中嫻熟球的截面的性質(zhì)，

求得球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象實(shí)力，以及推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.橫峰中學(xué)的平面示意圖如圖所示的五邊形區(qū)域ABCDE,其中三角形區(qū)域ABE為生活區(qū)，四

邊形區(qū)域BCDE為教學(xué)區(qū)，AB、BC、CD、DE、EA、BE為學(xué)校主要道路(不考慮寬度),

27r7i

/BCD=ZCDE=——，NBAE=-DE=3BC=3CD=9km。

33

(1)求道路BE的長度；

(2)求生活區(qū)ABE面積的最大值。

【答案】⑴6g;(2)27石。

【解析】

【分析】

(1)連接5。，在AHCD中，由余弦定理求得5。=36，再在直角ABDE中，利用勾股

定理，即可求解.

27r

(2)設(shè)NA3E=e,在△/：￡；中，由正弦定理可得AB=12sin(3--tz),AE=12sin。，

利用面積公式和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.

【詳解】(1)如圖所示，連接6。，在ABCD中，

由余弦定理可得BD2=BC2+CD--2BC-CDcos/BCD=27，

解得5。=36，

7T

因?yàn)?C=CD=3,所以NCD3=NC5O==—

6

2萬71

又由NCD石二——,所以/BDE=—,

32

在直角:口后中，BE=，。爐+BD?=技+(3后=6G，

JT27r

(2)設(shè)NABE=a,因?yàn)镹BAE=—,所以NAEB=——?,

33

AB_AE_BE_6G_已

在AASE中，由正弦定理可得sinNAEB-sinNABE—sinNBAE—.萬一，

sin—

3

所以AB=12sin(^--a\AE=12sina,

I仃仃qr

所以=51ABHAE^sin§=72x[sin(--a)sina]sin—

=3673x[|sin(2?-1)+^-]<3673x(1+1)=2773

當(dāng)且僅當(dāng)2a—f=f時(shí)，即1=工時(shí)，S.BE取得最大面積276，

623

即生活區(qū)AABE面積的最大值為276人〃/.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三

角形的題目時(shí)，要抓住題設(shè)條件和題設(shè)條件，合理應(yīng)用正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)

鍵，著重考查了運(yùn)算與求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

18.探討機(jī)構(gòu)對(duì)某校學(xué)生來回校時(shí)間的統(tǒng)計(jì)資料表明：該校學(xué)生居住地到學(xué)校的距離x（單位:

千米）和學(xué)生花費(fèi)在上學(xué)路上的時(shí)間V（單位：分鐘）有如下的統(tǒng)計(jì)資料:

到學(xué)校的距離X（千

1.8263.14.35.56.1

米）

花費(fèi)的時(shí)間y（分

17.819.627531.336.043.2

鐘）

假如統(tǒng)計(jì)資料表明V與％有線性相關(guān)關(guān)系，試求：

（1）推斷y與％是否有很強(qiáng)的線性相關(guān)性？

（相關(guān)系數(shù)廠肯定值大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性，精確到0.01）

（2）求線性回來方程（=/x+a（精確到0.01）；

（3）將，＜27分鐘的時(shí)間數(shù)據(jù)y,稱為漂亮數(shù)據(jù)，現(xiàn)從這6個(gè)時(shí)間數(shù)據(jù)y,中任取2個(gè)，求抽

取的2個(gè)數(shù)據(jù)全部為漂亮數(shù)據(jù)的概率.

666

參考數(shù)據(jù)：Zx=175.4,764.36,元)(y,-9)=80.30,

Z=1Z=1Z=1

￡（七一元）2=14.30,

i=l

6l~6

222

E（X-y）=471.65,^（x.-x）（y.-y）=82.13

i=lVz=l

66

￡（X,一元）（％-力AZ（%—君（/一歹）

參考公式：「=------------

岳（%一元穴%-y）2'（%-無產(chǎn)

Vi=li=l

【答案】（1）y與x有很強(qiáng)的線性相關(guān)性；（2）；=5.62X+7.31；（3）P=g

【解析】

【分析】

（1）通過計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)可得答案；（2）依據(jù)題意寫出統(tǒng)計(jì)表，用統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)求出橫

標(biāo)和縱標(biāo)的平均數(shù)，利用最小二乘法做出線性回來方程的系數(shù)4、B，寫出線性回來方程；（3）

依據(jù)（2）中求出的線性回來方程，求出符合要求的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，再列出全部狀況，由古典概型

的公式，求出所求概率.

（七一元）（y—9）8030

【詳解】⑴r=/;7=^777X0-98y與X有很強(qiáng)的線性相關(guān)性

區(qū)GFF82』3

（2）依題意得元=3.9

]666

歹=NZy=29.23,Z4-可(％-歹)=80.30,￡(%—可=14.30

6?=1?=1z=i

所以務(wù)工G-)="2

”5.62

'XTi了14.30

又因?yàn)?=了5元=29.23—5.62x3.9a7.31

故線性回來方程為$=5.62X+7.31

⑶由⑵可知，當(dāng)x=3.1時(shí)，4=24.732<27，當(dāng)x=4.3時(shí)，或=31476〉27，所

以滿意（＜27分鐘的漂亮數(shù)據(jù)共有3個(gè)，設(shè)3個(gè)漂亮數(shù)據(jù)為。、b.c,另3個(gè)不是漂亮數(shù)

據(jù)為A、B、C,則從6個(gè)數(shù)據(jù)中任取2個(gè)共有15種狀況，即aB,aC,bA,bB,

bC,cA,cB,cC,AB,AC,BC,ab,ac，be,其中，抽取到的數(shù)據(jù)全部為漂亮

數(shù)據(jù)的有3種狀況，即。匕，吟be.所以從這6個(gè)數(shù)據(jù)3.中任取2個(gè)，抽取的2個(gè)數(shù)據(jù)全

部為漂亮數(shù)據(jù)的概率為尸=:

【點(diǎn)睛】線性回來方程的簡潔求解，與古典概型相結(jié)合，題目難度不大，對(duì)計(jì)算實(shí)力要求較

高，屬于中檔題目.

19.如圖，直三棱柱A5C-4月G中，?！?5,43=5。=2,4。=2后，點(diǎn)〃是棱A41上

不同于AA的動(dòng)點(diǎn)，

（1）證明：Be±BXM-

（2）當(dāng)NCA/B=90時(shí)，求平面”4。把此棱柱分成的兩部分幾何體的體積之比。

【答案】（1）詳見解析；（2）

3

【解析】

【分析】

⑴在AABC中，利用勾股定，得A3,再在直三棱柱ABC-A4G中，3。，8與，證

得BC±平面ABB^,利用線面垂直的性質(zhì)，即可得到BC±B.M；

（2）求得四棱錐用-MCGA和直三棱柱ABC-ABC的體積，即可求解.

【詳解】（1）在AABC中，因?yàn)?32+3。2=8=人。2,所以NA3C=90,所以

又在直三棱柱ABC-446中，AB=B,

所以平面A5AA，

又因?yàn)锽}MU平面ABBXAX，所以BC，31M.

(2)設(shè)AA/=/z,則A"=5—〃，

所以MC=^AM2+AC2=78+A2,B[M=+="+(5-4,

B?=JBC+CC；=揚(yáng)，

因?yàn)镹CMB=90，所以“。2+片〃2=4。2,即8+/+4+(5一丸)2=29,

解得。=1，

在四棱錐用—MCGA中，取AG中點(diǎn)N,

連接用N,則與N,平面ACGA，且4N=

所以體積為X=1X1(?11M+CC1)X?11C1XJB1N=|X|(4+5)X2A/2XV2=6,

又由直三棱柱ABC-ABC的體積為丫=5[2；0><441=1x2x2x5=10,

V-K10-62

所以分成兩部分的體積比為一L==丁，

匕OJ

2

所以平面M3。把此棱柱分成的兩部分幾何體的體積之比].

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，以及幾何體體積的計(jì)算，

其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，精確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了

推理與論證實(shí)力，屬于中檔試題.

222

20.已知橢圓+4=1(?！?〉0)的焦點(diǎn)與雙曲線土一y2=1的焦點(diǎn)重合，并且經(jīng)過點(diǎn)

a2b22-

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)設(shè)橢圓C短軸的上頂點(diǎn)為P,直線/不經(jīng)過P點(diǎn)且與C相交于4、3兩點(diǎn)，若直線PA

與直線PB的斜率的和為-1，推斷直線/是否過定點(diǎn)，若是，求出這個(gè)定點(diǎn)，否則說明理由.

r2

【答案】(I)—+/=1；(II)/過定點(diǎn)(2,-l)o

4'

【解析】

【分析】

(I)推導(dǎo)出c=也，從而焦點(diǎn)￡(Y,0),月(幣，0),由橢圓定義得a=2,6=1,

由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(II)先考慮斜率不存在時(shí)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，舍去，斜率存在時(shí)設(shè)直線，方程為：y=kx+m,

-y—_|_-^1

/(Xi,yi),8(如K),由1,,2得X]+%及X1%2，代入

x+4y=4

(%—1)%，+(V%2-I)%,

kPA+kPB=—―--=—1中，得至ij必=-24-1,代入直線方程即可得到定點(diǎn).

玉龍2

【詳解】(I)雙曲線焦點(diǎn)為卜、后,0),(百,0),亦即橢圓C的焦點(diǎn)，

解得a?=4,b2=1

橢圓。的方程為：—+/=1.

4

(II)①當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)/:x=t,4(/,%)，5(7,-%)，

k+k_力—11-2_i

KpA十KPB~j十(一,一工，

得t=2,止匕時(shí)/過橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿意題意.

②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)/：y=Ax+m(根wl),

人(再，%),B(X29%)，

聯(lián)立V,整理得(1+4左2)%2+8初2%+4m2—4=0,

x+4y-4=0、7

-8km4m2-4

X+X=

l2~―IT，%?%22=--------------丁

1+4k2勺1+4公

8kmi-8左-8kmi+8km

2

x2(Axj+m)-x2+XJ(Ax2+m)-XJl+4k]

2

xxx24m-44(m+l)(m-l)

1+4〃

m——2k—止匕時(shí)A=—64左，存在人使得△>()成立.

直線/的方程為y=Ax—2左一1,即左(x—2)+(y+l)=0,

當(dāng)x=2,y=-1時(shí)，上式恒成立，所以/過定點(diǎn)(2,—1).

【點(diǎn)睛】本考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，直線過定點(diǎn)問題，屬于中檔題.

尤2

21.設(shè)函數(shù)/(X)=萬+(1—左)x-左Inx.

(1)探討/(%)的單調(diào)性；

3

(2)若左為正數(shù)，且存在M使得F(Xo)<]-左2,求左的取值范圍.

【答案】(1)見解析(2)0<左<1

【解析】

【分析】

⑴求出函數(shù)的定義域，求導(dǎo)，探討k的取值，分別解出/''(x)>0,/'(尤)<0即可得出；

32k3

(2)由(1)可求得函數(shù)的最小值，f(x0)<--k,將其轉(zhuǎn)化成勺+1—In左—二<0,構(gòu)

造函數(shù)，推斷其單調(diào)性，即可求得上的取值范圍.

【詳解】⑴-⑺=/+]_左_(=?+(14卜—r=(x+l)(x：),(%〉。)，

XXX

①當(dāng)上W0時(shí)，r(x)>0，〃尤)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)人＞0時(shí)，xe（0,左），/,（%）＜0；xe（左,+co）,/'（x）〉0,

所以/（%）在（0,k）上單調(diào)遞減，在（左,+8）上單調(diào)遞增.

34"2q

（2）因?yàn)樽螅?,由⑴知/（x）+42—萬的最小值為〃左）+42—；=]+上—他比一,

由題意得里+左一Hn左一』＜0,即8+l—In左一巨＜0.

2222k

A/\左1173nil”7、113A?—2左+3

令g⑶7=5+12無，則g㈤=5/+元=^^〉°，

所以g（左）在（0,+8）上單調(diào)遞增，又g（l）=0,

所以左e（0,l）時(shí),g（@＜0,

〃23

于是---卜k-kink——＜0；

2