2.2.1直線的點(diǎn)斜式方程（分層作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·全國·高二）如果，，那么直線不經(jīng)過的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）直線可能是（

）A． B．C． D．3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）方程表示（

）A．通過點(diǎn)的所有直線 B．通過點(diǎn)且不垂直于y軸的所有直線C．通過點(diǎn)且不垂直于x軸的所有直線 D．通過點(diǎn)且除去x軸的所有直線4．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）下列不可以表示與軸垂直的直線的方程是（

）A． B． C． D．5．（2021·黑龍江·齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校高二期中）直線的傾斜角為(

)A． B． C． D．6．（2022·福建福州·高二期中）直線的傾斜角是（

）A．30° B．45° C．60° D．75°7．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）直線l1：y＝ax＋b與直線l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象只可能是（

）A． B．C． D．8．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）若表示兩條直線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．3 B．2 C．1 D．09．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）下列命題，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（

）①任意一條直線一定是某個(gè)一次函數(shù)的圖像；②關(guān)于x的一次函數(shù)的圖像是一條直線；③以一個(gè)二元方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在某條直線上，則這個(gè)方程叫做這條直線的方程；④若一條直線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)方程的解，則這條直線叫做這個(gè)方程的直線．A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題10．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）已知等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)，，則BC邊所在直線的方程可能是（

）A． B．C． D．11．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l過點(diǎn)，且與直線以及x軸圍成一個(gè)底邊在x軸上的等腰三角形，則（

）A．直線l的方程為 B．直線l與直線的傾斜角互補(bǔ)C．直線l在y軸上的截距為1 D．這樣的直線l有兩條三、填空題12．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知直線的傾斜角，且過點(diǎn)，則該直線的方程為__．13．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為，則實(shí)數(shù)______.14．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與重合，則______.15．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線過點(diǎn)，且其傾斜角是直線的傾斜角的，則直線的方程為______．16．（2021·浙江·高二期中）傾斜角為90°且與點(diǎn)距離為2的直線方程為______．四、解答題17．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件，分別畫出經(jīng)過點(diǎn)P，且斜率為k的直線：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，斜率不存在18．（2021·黑龍江·大慶中學(xué)高二開學(xué)考試）已知中，、、，寫出滿足下列條件的直線方程．(1)BC邊上的高線的方程；(2)BC邊的垂直平分線的方程．19．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）寫出下列直線的方程，并在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出這些直線，通過觀察，指出方程表示的直線具有的與k取值無關(guān)的特征：(1)經(jīng)過點(diǎn)，斜率為1；(2)經(jīng)過點(diǎn)，斜率為；(3)經(jīng)過點(diǎn)，斜率為0．20．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸正半軸交于點(diǎn)B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若________，求直線l的方程．試從下列所給的條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在橫線處，并解答．①；②的面積是6．21．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若直線l沿x軸向左平移3個(gè)單位長度，再沿y軸向上平移1個(gè)單位長度后，回到原來的位置．試求直線l的斜率．22．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)確定的直線方程是，求a，b的值．【能力提升】一、單選題1．（2022·全國·高二單元測(cè)試）已知直線：，直線是直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的直線，則直線的方程是（

）A． B．C． D．2．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，則下列直線的方程不可能是的是（

）A． B．C． D．3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）直線不過第二象限，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l過點(diǎn)，且與軸和軸圍成一個(gè)內(nèi)角為的直角三角形，則滿足條件的直線l的方程可以是（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2021·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）當(dāng)變化時(shí)方程表示一系列的直線，現(xiàn)從中選取四條圍成一個(gè)正方形，則該正方形的面積為________．6．（2021·上海市奉賢中學(xué)高二階段練習(xí)）經(jīng)過的直線與兩直線和分別交于兩點(diǎn),且滿足則直線的方程為__________.7．（2021·浙江·蘭溪市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為_______________.8．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若直線不過第一象限，則實(shí)數(shù)取值范圍是__________．四、解答題9．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)A，B．(1)求面積的最小值及此時(shí)直線l的方程；(2)求當(dāng)取得最小值時(shí)直線l的方程．10．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(diǎn)為整點(diǎn)，有下列5個(gè)命題：①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)；②如果k與b都是無理數(shù)，則直線不經(jīng)過任何整點(diǎn)；③直線l經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn)；④直線經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)；⑤存在恰經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線.寫出2個(gè)你認(rèn)為正確命題的編號(hào)，并說明理由.11．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)作直線l分別與x，y軸正半軸交于點(diǎn)A，B.(1)若是等腰直角三角形，求直線l的方程；(2)對(duì)于①最小，②面積最小，若選擇___________作為條件，求直線l的方程.12．（2022·江蘇·高二階段練習(xí)）若兩條相交直線，的傾斜角分別為，，斜率均存在，分別為，，且，若，滿足______（從①；②兩個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答），求：(1)，滿足的關(guān)系式；(2)若，交點(diǎn)坐標(biāo)為，同時(shí)過，過，在（1）的條件下，求出，滿足的關(guān)系；(3)在（2）的條件下，若直線上的一點(diǎn)向右平移4個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度，仍在該直線上，求實(shí)數(shù)，的值．13．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過、、三點(diǎn)，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，是過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線，其中交軸于點(diǎn)，交圓于、兩點(diǎn)．（1）若，求直線的方程；（2）若是使恒成立的最小正整數(shù)，求三角形的面積的最小值．14．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.2.2.1直線的點(diǎn)斜式方程（分層作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·全國·高二）如果，，那么直線不經(jīng)過的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】將直線化為，結(jié)合已知條件即可判斷不經(jīng)過的象限.【詳解】由題設(shè)，直線可寫成，又，，∴，，故直線過二、三、四象限，不過第一象限.故選：A.2．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）直線可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線斜率的正負(fù)值與定點(diǎn)即可判斷結(jié)果．【詳解】因?yàn)?，所以AC錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，故B對(duì)；故選：B3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）方程表示（

）A．通過點(diǎn)的所有直線 B．通過點(diǎn)且不垂直于y軸的所有直線C．通過點(diǎn)且不垂直于x軸的所有直線 D．通過點(diǎn)且除去x軸的所有直線【答案】C【分析】根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程的知識(shí)確定正確答案.【詳解】為直線的點(diǎn)斜式方程，只能表示斜率存在的直線，且直線過點(diǎn)．故選：C4．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）下列不可以表示與軸垂直的直線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)表示與軸垂直的直線方程的特征和點(diǎn)斜式方程的適用范圍進(jìn)行求解即可.【詳解】對(duì)于A，即表示與軸垂直的直線，故A不符合題意；對(duì)于B，表示軸，與軸垂直，故B不符合題意；對(duì)于C，即表示與軸垂直的直線，故C不符合題意；對(duì)于D，對(duì)于斜率不存在的直線，其方程不能用點(diǎn)斜式表示，故D符合題意.故選：D5．（2021·黑龍江·齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校高二期中）直線的傾斜角為(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線方程的形式即可判斷直線的傾斜角.【詳解】∵直線垂直于x軸，故其傾斜角為.故選：D.6．（2022·福建福州·高二期中）直線的傾斜角是（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【分析】由直線方程得斜率，由斜率得傾斜角．【詳解】直線的斜率為1，傾斜角為45°，故選：B．7．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）直線l1：y＝ax＋b與直線l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象只可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線的斜率和縱截距的正負(fù)進(jìn)行判斷．【詳解】對(duì)B，斜率為正，在軸上的截距也為正，故不可能有斜率為負(fù)的情況.故B錯(cuò).當(dāng)時(shí)，和斜率均為正，且截距均為正.僅D選項(xiàng)滿足.故選：D8．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）若表示兩條直線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】由題可得方程左邊一定可以表示為兩個(gè)一次式的乘積，設(shè)比較系數(shù)可求出.【詳解】若表示兩條直線，則其左邊一定可以表示為兩個(gè)一次式的乘積，又因缺少項(xiàng)，則可設(shè)，即，則，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是判斷出方程左邊一定可以表示為兩個(gè)一次式的乘積，可設(shè)為.9．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）下列命題，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（

）①任意一條直線一定是某個(gè)一次函數(shù)的圖像；②關(guān)于x的一次函數(shù)的圖像是一條直線；③以一個(gè)二元方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在某條直線上，則這個(gè)方程叫做這條直線的方程；④若一條直線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)方程的解，則這條直線叫做這個(gè)方程的直線．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)曲線與方程一一對(duì)應(yīng)的充要條件，對(duì)命題一一判斷即可．【詳解】①直線不是一次函數(shù)，故錯(cuò)；②一次函數(shù)的圖像是一條射線，故錯(cuò)；③方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上，但這個(gè)方程不是這條直線的方程，故錯(cuò)；④曲線與方程一一對(duì)應(yīng)用的充要條件是曲線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，同時(shí)方程的所有解也是曲線上的點(diǎn)坐標(biāo)，故錯(cuò)．故選：D二、多選題10．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）已知等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)，，則BC邊所在直線的方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由題得直線BC的傾斜角為60°或120°，由點(diǎn)斜式直線方程得解.【詳解】解：由題得直線BC的傾斜角為60°或120°，故直線BC斜率為或，由點(diǎn)斜式得所求直線的方程為或．故選：BC11．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l過點(diǎn)，且與直線以及x軸圍成一個(gè)底邊在x軸上的等腰三角形，則（

）A．直線l的方程為 B．直線l與直線的傾斜角互補(bǔ)C．直線l在y軸上的截距為1 D．這樣的直線l有兩條【答案】ABC【分析】由題意可得l與的傾斜角互補(bǔ)，所以可求出直線的方程，然后逐個(gè)分析判斷【詳解】因?yàn)橹本€l與及x軸圍成一個(gè)底邊在x軸上的等腰三角形，所以l與的傾斜角互補(bǔ)，故B正確；由直線的斜率為，知直線l的斜率為，可得直線l的方程為，即l的方程為，故A正確；令，得，所以l在y軸上的截距為1，故C正確；過點(diǎn)且斜率為的直線只有一條，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．三、填空題12．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知直線的傾斜角，且過點(diǎn)，則該直線的方程為__．【答案】【分析】根據(jù)直線的傾斜角求出斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線方程，化為一般式方程．【詳解】解：直線的傾斜角，所以直線的斜率為又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的方程為，．故答案為：．13．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為，則實(shí)數(shù)______.【答案】12【分析】求出橫截距和縱截距，根據(jù)題設(shè)條件得到關(guān)于的方程，解方程后可得實(shí)數(shù)的值.【詳解】令，則；令，則，故，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線的截距，注意截距不是距離，橫截距是直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱截距是直線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，本題屬于基礎(chǔ)題.14．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與重合，則______.【答案】-2【分析】將直線方程整理為，利用重合關(guān)系可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由得：與重合

，解得：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線位置關(guān)系求解參數(shù)值的問題，屬于基礎(chǔ)題.15．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線過點(diǎn)，且其傾斜角是直線的傾斜角的，則直線的方程為______．【答案】【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系得所求直線的傾斜角，進(jìn)而得斜率，即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為120°，所以直線的傾斜角為60°，斜率,又直線過點(diǎn)，所以直線的方程為，即．故答案為：16．（2021·浙江·高二期中）傾斜角為90°且與點(diǎn)距離為2的直線方程為______．【答案】或【分析】結(jié)合傾斜角以及直線的位置關(guān)系求出滿足條件的直線方程即可．【詳解】所求直線的傾斜角是，所求直線和直線平行，與直線距離為2的直線方程為：或，故答案為：或．四、解答題17．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件，分別畫出經(jīng)過點(diǎn)P，且斜率為k的直線：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，斜率不存在【分析】小問1：根據(jù)點(diǎn)斜式求直線方程，從而畫圖；小問2：根據(jù)點(diǎn)斜式求直線方程，從而畫圖；小問3：根據(jù)點(diǎn)斜式求直線方程，從而畫圖；小問4：直線方程為，即可作圖．(1)經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為的直線方程為，圖象如下：(2)經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為的直線方程為，圖象如下：(3)經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為的直線方程為，圖象如下：(4)經(jīng)過點(diǎn)，且斜率不存在的直線方程為，圖象如下：18．（2021·黑龍江·大慶中學(xué)高二開學(xué)考試）已知中，、、，寫出滿足下列條件的直線方程．(1)BC邊上的高線的方程；(2)BC邊的垂直平分線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）BC邊上的高線過點(diǎn)A且垂直于BC，由點(diǎn)斜式即可得解；（2）BC邊的垂直平分線過BC中點(diǎn)且垂直于BC，由點(diǎn)斜式即可得解.（1）因?yàn)?，所以BC邊上的高線的斜率，故BC邊上的高線的方程為：,即所求直線方程為：.（2）因?yàn)?，所以BC邊上的垂直平分線的斜率，又BC的中點(diǎn)為，故BC邊的垂直平分線的方程為：，即所求直線方程為：.19．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）寫出下列直線的方程，并在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出這些直線，通過觀察，指出方程表示的直線具有的與k取值無關(guān)的特征：(1)經(jīng)過點(diǎn)，斜率為1；(2)經(jīng)過點(diǎn)，斜率為；(3)經(jīng)過點(diǎn)，斜率為0．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用直線的點(diǎn)斜式方程求解；（2）利用直線的點(diǎn)斜式方程求解；（3）利用直線的點(diǎn)斜式方程求解；(1)經(jīng)過點(diǎn)，斜率為1，利用直線的點(diǎn)斜式方程得，即(2)經(jīng)過點(diǎn)，斜率為，利用直線的點(diǎn)斜式方程得，即(3)經(jīng)過點(diǎn)，斜率為0，利用直線的點(diǎn)斜式方程得，即觀察得，方程表示的直線過定點(diǎn)20．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸正半軸交于點(diǎn)B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若________，求直線l的方程．試從下列所給的條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在橫線處，并解答．①；②的面積是6．【答案】．【分析】任選條件①②，解法都是設(shè)直線l的方程為，代入已知條件解方程組得，從而得直線方程．【詳解】選條件①：設(shè)直線l的方程為，由題意可知，得，所以直線l的方程為，即；選條件②：設(shè)直線l的方程為．由題意可得，解得，所以直線l的方程為，即．21．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若直線l沿x軸向左平移3個(gè)單位長度，再沿y軸向上平移1個(gè)單位長度后，回到原來的位置．試求直線l的斜率．【答案】【分析】設(shè)直線l的方程為，平移后的方程為，根據(jù)截距相同，求得k.【詳解】由題知直線斜率存在，故設(shè)直線l的方程為，則根據(jù)平移過程知，平移后的方程為，該直線與原直線相同，則.則.22．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)確定的直線方程是，求a，b的值．【答案】，【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程得到方程，解得即可；【詳解】解：依題意點(diǎn)都在直線上，所以，，解得、；【能力提升】一、單選題1．（2022·全國·高二單元測(cè)試）已知直線：，直線是直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的直線，則直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由正切的和角公式與直線方程的點(diǎn)斜式求解即可【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，又直線是直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的直線，所以直線的傾斜角為，故直線的斜率為，故直線的方程是，即，故選：D．2．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，則下列直線的方程不可能是的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線斜率與軸上的截距的關(guān)系判斷選項(xiàng)即可得解.【詳解】，直線的方程在軸上的截距不小于2，且當(dāng)時(shí)，軸上的截距為2，故D正確，當(dāng)時(shí)，,故B不正確，當(dāng)時(shí)，或，由圖象知AC正確.故選：B3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）直線不過第二象限，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】分、兩種情況討論，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】若，可得，直線的方程為，該直線不過第二象限，合乎題意；若，可得，直線的斜截式方程為，若直線不過第二象限，則，解得.綜上所述，.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在斜率存在的前題下，一般從直線的斜率與縱截距或直線在兩坐標(biāo)軸上的截距來進(jìn)行分析，結(jié)合已知條件列不等式（組）求解.二、多選題4．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l過點(diǎn)，且與軸和軸圍成一個(gè)內(nèi)角為的直角三角形，則滿足條件的直線l的方程可以是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由題意，求出直線的傾斜角可以是或或或，從而可得直線斜率，利用點(diǎn)斜式可寫出直線方程，最后檢驗(yàn)即可得答案.【詳解】解：由題意，直線的傾斜角可以是或或或，所以直線的斜率或或或，所以直線的方程可以為或或或，由，整理得，此時(shí)直線過原點(diǎn)，無法與軸和軸圍成直角三角形.故選：ABC.三、填空題5．（2021·上海·高二專題練習(xí)）當(dāng)變化時(shí)方程表示一系列的直線，現(xiàn)從中選取四條圍成一個(gè)正方形，則該正方形的面積為________．【答案】4【分析】設(shè)圓，圓心，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，則表示單位圓的切線方程，從而得到單位圓內(nèi)切于該正方形求解.【詳解】設(shè)圓，圓心，圓心到直線的距離為：，所以表示單位圓的切線方程，從中選取四條圍成一個(gè)正方形，從而得到單位圓內(nèi)切于該正方形如圖所示：所以正方形的邊長為2，面積為4．故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程以及直線與圓的位置關(guān)系，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.6．（2021·上海市奉賢中學(xué)高二階段練習(xí)）經(jīng)過的直線與兩直線和分別交于兩點(diǎn),且滿足則直線的方程為__________.【答案】【分析】先討論可得當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不滿足條件，設(shè)出直線的斜截式方程，結(jié)合，求出直線的斜率，可得直線的方程．【詳解】解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線與兩直線和的交點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，則，不滿足，故直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為：，則直線與兩直線和的交點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為，，，，解得：，故直線的方程為：；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線的方程，直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，分類討論思想，難度中檔．7．（2021·浙江·蘭溪市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為_______________.【答案】或【分析】分類討論直線是否過原點(diǎn)確定直線方程即可.【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，則，直線方程為，即，當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為，直線方程為，整理可得：.故答案為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的求解，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.8．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若直線不過第一象限，則實(shí)數(shù)取值范圍是__________．【答案】【分析】整理直線為,由題可得,進(jìn)而求解即可【詳解】由題,整理直線為,因?yàn)橹本€不過第一象限,則,解得,故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查直線方程的圖象性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想四、解答題9．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)A，B．(1)求面積的最小值及此時(shí)直線l的方程；(2)求當(dāng)取得最小值時(shí)直線l的方程．【答案】(1)6，(2)【分析】（1）設(shè)直線方程為，，求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得面積，由基本不等式得最小值，從而得此時(shí)直線方程；（2）設(shè)，，由A，P，B三點(diǎn)共線得，計(jì)算，用基本不等式求得最小值，并求得值得直線方程．（1）∵點(diǎn)在第一象限，且直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸相交，∴直線l的斜率，則設(shè)直線l的方程為，，令，得；令，得．∴．∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．∴面積的最小值為6．此時(shí)直線l的方程為，即．（2）設(shè)，，，．∵A，P，B三點(diǎn)共線，∴，整理得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴當(dāng)取得最小值時(shí)，直線l的方程為，即．10．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(diǎn)為整點(diǎn)，有下列5個(gè)命題：①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)；②如果k與b都是無理數(shù)，則直線不經(jīng)過任何整點(diǎn)；③直線l經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn)；④直線經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)；⑤存在恰經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線.寫出2個(gè)你認(rèn)為正確命題的編號(hào)，并說明理由.【答案】①③⑤正確，可以任選2個(gè)，理由詳見解析【分析】給直線分別取不同的方程，可得到②和④的反例，同時(shí)找到符合條件①和⑤的直線；通過過原點(diǎn)的直線經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn)可證得其經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，③正確.【詳解】①令直線為：，則其不與坐標(biāo)軸平行且不經(jīng)過任何整點(diǎn)，①正確；②令直線為：，則直線經(jīng)過整點(diǎn)，②錯(cuò)誤；③令直線為：，過兩個(gè)不同的整點(diǎn)，則，兩式作差得：即直線經(jīng)過整點(diǎn)直線經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，③正確；④令直線為：，則不過整點(diǎn)，④錯(cuò)誤；⑤令直線為：，則其只經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)，⑤正確.本題正確結(jié)果：①③⑤可以任選2個(gè).11．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)作直線l分別與x，y軸正半軸交于點(diǎn)A，B.(1)若是等腰直角三角形，求直線l的方程；(2)對(duì)于①最小，②面積最小，若選擇___________作為條件，求直線l的方程.【答案】(1)(2)選①：；選②：.【分析】（1）由題意，求出直線l的傾斜角為，進(jìn)而可得直線l的斜率，最后利用點(diǎn)斜式即可寫出直線l的方程；（2）設(shè)，，直線的方程為，把點(diǎn)代入可得，若選①：，由基本不等式等號(hào)成立的條件，即可求得直線l的方程；若選②：，由基本不等式等號(hào)成立的條件，即可求得直線l的方程．（1）解：因?yàn)檫^點(diǎn)作直線l分別與x，y軸正半軸交于點(diǎn)A、B，且是等腰直角三角形，所以直線l的傾斜角為，所以直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即；（2）解：設(shè)，，直線l的方程為，代入點(diǎn)可得，若選①：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)直線l的斜率，所以直線l的方程為，即；若選②：由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即面積最小為4，此時(shí)直線l的斜率，所以直線l的方程為，即.12．（2022·江蘇·高二階段練習(xí)）若兩條相交直線，的傾斜角分別為，，斜率均存在，分別為，，且，若，滿足______（從①；②兩個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答），求：(1)，滿足的關(guān)系式；(2)若，交點(diǎn)坐標(biāo)為，同時(shí)過，過，在（1）的條件下，求出，滿足的關(guān)系；(3)在（2）的條件下，若直線上的一點(diǎn)向右平移4個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度，仍在該直線上，求實(shí)數(shù)，的值．【分析】（1）依題意，，若選①利用誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；若選②根據(jù)兩直線垂直的充要條件得解；（2）首先表示出直線、，再將點(diǎn)代入方程，再結(jié)合（1）的結(jié)論計(jì)算可得；（3）按照函數(shù)的平移變換規(guī)則將直線進(jìn)行平移變換，即可求出，從而求出直線的方程，即可求出，再根據(jù)（1）求出直線的方程，即可求出的值；（1）解：依題意，，且，均不為或，若選①，則，則，即；若選②，則（2）解：依題意直線：，直線：，又過，所以且，即且，又過，所以且，即且；若選①，則，所以，即且、；若選②，則，所以，即且、；（3）解：直線：，將直線向右平移4個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度得到