教學(xué)設(shè)計

課程基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)年級高二學(xué)期秋季課題雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程教科書書名：數(shù)學(xué)選擇性必修一教材B版出版社：人民教育出版社教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課選自《2019人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第二章《平面解析幾何》的2.6雙曲線及其方程的第一課時，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程.學(xué)生初步認(rèn)識圓錐曲線是從橢圓開始的，雙曲線的學(xué)習(xí)是對其研究內(nèi)容的進(jìn)一步深化和提高.如果雙曲線研究的透徹、清楚，那么后面拋物線的學(xué)習(xí)就會順理成章.所以說本節(jié)課的作用就是縱向承接橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的研究，橫向加深對雙曲線的定義的理解與應(yīng)用.從高考大綱要求和課程標(biāo)準(zhǔn)角度來講，雙曲線的定義作為了解內(nèi)容，在高考的考查當(dāng)中以選擇、填空為主.標(biāo)準(zhǔn)方程的考查在解答題第一問經(jīng)?？疾?教學(xué)內(nèi)容教學(xué)重點：1.理解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程．2.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法．

教學(xué)難點：會利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡單的問題．學(xué)生學(xué)情分析學(xué)生在學(xué)習(xí)過程當(dāng)中對雙曲線缺少應(yīng)有的重視，成為了學(xué)生的一個失分點.而且由于學(xué)生對橢圓與雙曲線的區(qū)別與聯(lián)系認(rèn)識不夠，無法做到知識與方法的遷移，在學(xué)習(xí)雙曲線時極易與橢圓混淆.在教學(xué)中要時刻注意運(yùn)用類比的方法，讓學(xué)生充分的類比體會橢圓與雙曲線的異同點，使得橢圓與雙曲線的學(xué)習(xí)能相互促進(jìn).教學(xué)目標(biāo)[課標(biāo)解讀]1.理解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程.2.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.會利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡單的應(yīng)用問題．[素養(yǎng)目標(biāo)]水平一：雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的掌握.(直觀想象)（數(shù)學(xué)抽象）(數(shù)學(xué)建模)水平二：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)(邏輯推理)(數(shù)據(jù)分析)水平三：利用定義過程中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合等思想方法.教學(xué)支持條件分析本節(jié)課由生活實例體現(xiàn)貼近生活性、幾何畫板的信息技術(shù)融入提高直觀性、PPT多媒體放映.教學(xué)過程立足現(xiàn)實,提出問題.引導(dǎo)語：大家看下現(xiàn)實生活中的這幾幅圖的邊緣線條是那么的優(yōu)美對稱，你能否感知是什么曲線嗎？我們應(yīng)該怎樣畫出這類曲線并且像以前學(xué)過的橢圓一樣給出這種曲線嚴(yán)格定義呢？我們帶著這些問題共同探索新曲線.師生活動：教師通過ppt播放現(xiàn)實中的有雙曲線線條的圖片，引導(dǎo)學(xué)生直觀感知本節(jié)的課題《雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程》，學(xué)生根據(jù)教師的引導(dǎo)積極思考，并回答.設(shè)計意圖：通過現(xiàn)實中的雙曲線實例，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)，說出本節(jié)課的課題，即讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界.也是通過情境教學(xué)引入本節(jié)課的內(nèi)容.問題1:請同學(xué)們先回顧下橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)過程是什么？師生活動：學(xué)生積極回顧回答，教師用流程圖的形式回顧橢圓的研究思路.設(shè)計意圖：先回顧橢圓的定義，讓學(xué)生自已回答，以此來了解學(xué)生對橢圓定義的掌握情況。從已知的橢圓的定義入手探究，引起學(xué)生的思考，符合學(xué)生的認(rèn)知過程，學(xué)生更加容易接受。問題2：我們知道，平面內(nèi)與兩個定點的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡是橢圓，一個自然的問題是：平面內(nèi)與兩個定點的距離的差等于常數(shù)的點的軌跡是什么？2.探究新知，構(gòu)建雙曲線的概念探究：在直線上取兩個定點，點P是直線上的動點，在平面內(nèi)，取定點,以點為圓心、線段PA為半徑作圓，再以點為圓心、線段PB為半徑作圓，那么點P與線段AB的位置關(guān)系的變化與兩圓交點M的軌跡的形狀有怎樣的關(guān)系呢？問題3：當(dāng)點P在線段AB上運(yùn)動時，若,則兩圓是相交的，那么交點的軌跡是是什么呢？問題4：當(dāng)點P在線段AB外運(yùn)動時，若,則兩圓的交點的軌跡又是什么呢？追問1：在演示的過程中哪些量是定量?哪些量是不定的量?追問2：動點M在運(yùn)動過程中滿足什么條件?追問3：動點M運(yùn)動的軌跡是什么曲線？師生活動：教師通過幾何畫板邊操作邊提問如上一些問題.學(xué)生在觀察教師的演示時，根據(jù)教師的引導(dǎo)設(shè)問積極思考回答.設(shè)計意圖：利用幾何畫板追蹤點的軌跡，讓學(xué)生觀察雙曲線生成的整個動態(tài)的過程，學(xué)生就可以明顯地看到哪些量是不變的，而哪些量是改變的，相互之間又有什么樣的聯(lián)系.這個過程非常能激發(fā)學(xué)生的興趣.而且，學(xué)生可以通過演示發(fā)現(xiàn)雙曲線的本質(zhì)，自己得出雙曲線的概念，自己觀察習(xí)得而不是教師直接給出，體現(xiàn)了過程性變式.在這個過程中，降低了學(xué)生的認(rèn)知難度，促進(jìn)了理解，更重要的是，培養(yǎng)了學(xué)生的觀察和思考能力，這種能力對后期的學(xué)習(xí)依然有很大的促進(jìn)作用.問題5：你能否類比橢圓定義，給出雙曲線的嚴(yán)格定義嗎？追問1：若定義中去掉“絕對值”,則動點M的軌跡是什么呢？追問2：若,則動點M的軌跡又是什么呢？追問3：若定義中的“非零常數(shù)”改為0,則動點M的軌跡又是什么呢？問題6：你能用精確的數(shù)學(xué)符號語言刻畫雙曲線嗎？雙曲線定義數(shù)學(xué)表達(dá)式：.師生活動：學(xué)生嘗試用精確的數(shù)學(xué)語言給出雙曲線的定義.在此基礎(chǔ)上，教師關(guān)注學(xué)生對定義中相關(guān)用語及符號表示：“平面內(nèi)”“定點”“距離之差的絕對值”“非零常數(shù)”“常數(shù)小于兩定點間的距離”“點的軌跡”的使用是否準(zhǔn)確.如果學(xué)生不能準(zhǔn)確表述教師可給出以下幾個追問進(jìn)行深刻理解掌握概念，在給出雙曲線的概念的基礎(chǔ)上，教師在引導(dǎo)學(xué)生了解焦點、焦距、半焦距等概念.設(shè)計意圖：通過對問題5及3個追問、問題6強(qiáng)化雙曲線概念的抽象與構(gòu)建過程，提高學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性與語言表達(dá)能力；同時讓學(xué)生獲得焦點、焦距等概念.3.探究新知，推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程問題7：類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，我們又如何用坐標(biāo)法建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，推導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？追問1:如何合理建系？追問2：如何處理兩個根式、絕對值呢？師生活動：學(xué)生獨立思考、討論，教師教室巡查，并引導(dǎo)學(xué)生回顧橢圓的方程推導(dǎo)思想.并在此找學(xué)生代表推導(dǎo)，并在此引導(dǎo)提問學(xué)生如何建系、如何去絕對值，等推導(dǎo)難點,學(xué)生積極參與.設(shè)計意圖：讓學(xué)生運(yùn)用類比思想完成方程的推導(dǎo)，提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).問題8：我們該怎樣理解“雙曲線的方程”與“雙曲線的方程”的關(guān)系呢？師生活動：學(xué)生在老師提問下，回顧曲線與方程的等價關(guān)系積極思考討論老師的問題，教師引導(dǎo)規(guī)范。設(shè)計意圖：意在讓學(xué)生再次體會坐標(biāo)法的嚴(yán)謹(jǐn)性，再次體會了曲線與方程關(guān)系的必要性，從而提升了學(xué)生的邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).問題9：那么焦點在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程又是什么呢？師生活動：學(xué)生獨立思考、討論，教師引導(dǎo)學(xué)生類比橢圓得出答案，對學(xué)生的回答及時回饋鼓勵.設(shè)計意圖：讓學(xué)生運(yùn)用類比思想完成兩種方程的推導(dǎo).問題10：你是如何從雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，來判斷焦點位置的？師生活動：教師引導(dǎo)，學(xué)生積極回顧橢圓回答.最后教師總結(jié)“化標(biāo)準(zhǔn)、找正項、焦點跟正者?！睂W(xué)生做好理解和記憶.設(shè)計意圖：讓學(xué)生能夠很好的區(qū)分方程的兩種形式，為后面求方程做好鋪墊.問題11：你能否對比橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，他們的區(qū)別及聯(lián)系是什么呢？師生活動：學(xué)生回顧思考、討論，積極回答老師的問題，教師完善，作總結(jié)，以表格的形式說明他們的區(qū)別及聯(lián)系.設(shè)計意圖：讓學(xué)生有梳理的好習(xí)慣，更有利于區(qū)分兩類圓錐曲線，為后面的應(yīng)用打好基礎(chǔ).4、及時鞏固，熟練運(yùn)用.例1已知雙曲線的兩個焦點為，雙曲線上一點到的距離的差的絕對值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.師生活動：學(xué)生獨立思考、討論，教師教室巡查,教師給出規(guī)范解答.設(shè)計意圖：讓學(xué)生能夠很好的區(qū)分方程的兩種形式，并且能夠會用待定系數(shù)法求解方程.變式1：若||=10，求||的值？變式2：若||||=6，則點的軌跡是什么？變式3：若到距離的差的絕對值等于10呢，點的軌跡是什么？變式4：若到距離的差的絕對值等于0呢，點的軌跡是什么？變式5：已知雙曲線的兩個焦點為，且過點，求其標(biāo)準(zhǔn)方程；變式6:中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，兩焦點的距離為8，實軸長為6，求其標(biāo)準(zhǔn)方程.師生活動：教師提問，學(xué)生積極思考，口答.設(shè)計意圖：通過變式探究，讓學(xué)生對定義辨析練習(xí)，加深定義理解，另外這幾個變式的設(shè)置，從易到難，這樣有“梯度”的設(shè)置才更符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，有利于知識的接受，這是我們在進(jìn)行變式教學(xué)需要注意的.在這個地方利用變式，既拓寬了學(xué)生的思路，又對方程的應(yīng)用加以鞏固.最后總結(jié)一下求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟:定焦點設(shè)方程求方程.例2已知兩地相距，在地聽到炮彈爆炸聲比在地晚，且聲速為則爆炸點M的位置形成的軌跡是什么？軌跡方程是什么？師生活動：學(xué)生獨立思考、討論，教師教室巡查，對于個別有困難學(xué)生給予合適引導(dǎo)指點，選派學(xué)生代表呈現(xiàn)結(jié)果.如果時間允許的話，教師可適當(dāng)追問：如何改條件使得爆炸點的位置形成的軌跡是雙曲線呢？能否求出軌跡方程呢？問題12：請大家思考，如何將例題中的條件修改，使得爆炸點M的位置形成的軌跡是雙曲線呢？設(shè)計意圖：設(shè)計意在考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想，把所學(xué)運(yùn)用到實際生活中，就是所謂的“用數(shù)學(xué)思維思考世界并用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.”另外例的追問為后面學(xué)習(xí)雙曲線的方程推導(dǎo)埋下伏筆.5.梳理課堂，形成小結(jié).問題13：請回顧梳理雙曲線的構(gòu)建探究過程，你從本節(jié)課獲得哪些知識？獲得哪些基本活動經(jīng)驗？獲得哪些思想方法？哪方面的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)獲得提升？師生活動：學(xué)生積極思考、回答，教師給予補(bǔ)充完善，進(jìn)一步深化理解雙曲線定義以及構(gòu)建過程及思想.教師從三個層面與同學(xué)共同總結(jié)梳理：1、研究思路；2、知識層面；3、思想方法層面；4、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面.設(shè)計意圖：通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括梳理能力.6.目標(biāo)檢測，布置作業(yè)請同學(xué)們認(rèn)真完成：基礎(chǔ)作業(yè)：1、教科書P141課后練習(xí)A的第1、2、3、4題；P141練習(xí)B的第2、4兩題。探究作業(yè)：1、完成P138拉鏈實驗，探究其與幾何畫板畫出的雙曲線的內(nèi)在聯(lián)系及區(qū)別；2、與同學(xué)合作歸納橢圓與雙曲線的探究過程，談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn)。實踐作業(yè)（自愿完成）：1、采用探究式合作式學(xué)習(xí)方式，折紙法得雙曲線步驟1：準(zhǔn)備一張A4紙，并且畫一個圓心為O半徑為4的圓，圓外取一點A;步驟2：開始折紙，將點A折起落于圓上，用筆劃出折痕;步驟3：重復(fù)步驟1、2至少20次;步驟4：觀察折痕勾勒出的曲線.2、用類比思想總結(jié)梳理雙曲線與橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)別與聯(lián)系。設(shè)計意圖：設(shè)計不同層次的作業(yè)是根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)不同分層布置的，這樣就會滿足每個層次的學(xué)生.教學(xué)反思在本節(jié)教學(xué)中，從實際生活中的情境提出問題，引入課題，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，通過類比橢圓定義學(xué)習(xí)雙曲線，更符合學(xué)生的認(rèn)知特點和心理發(fā)展規(guī)律．雙曲線第一定義的學(xué)習(xí)，對于高中生目前的認(rèn)知規(guī)律是適合的．通過幾何畫板中的拉鏈模型直觀感知雙曲線的特性及畫的過程，學(xué)生可以更加形象地理解雙曲線的定義．其次設(shè)置一連串的問題鏈層層探究，共同問題驅(qū)動學(xué)生高質(zhì)量的思維活動，然后得出雙曲線的定義，并用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想展開對定義的深刻辨析，最后通過實際生