專題5.1投影【八大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷是平行投影或中心投影】 2【題型2判斷投影的形狀】 3【題型3正投影】 4【題型4根據(jù)投影求線段長(zhǎng)度】 5【題型5根據(jù)投影求面積】 6【題型6坐標(biāo)系中利用投影求值】 7【題型7由投影長(zhǎng)度確定時(shí)間順序】 9【題型8視點(diǎn)、視角和盲區(qū)】 9【知識(shí)點(diǎn)投影】1.投影一般地，用光線照射物體，在某個(gè)平面(地面或墻壁等)上得到的影子，叫做物體的投影.2.中心投影若一束光線是從一點(diǎn)發(fā)出的，像這樣的光線照射在物體上所形成的投影，叫做中心投影.這個(gè)“點(diǎn)”就是中心，相當(dāng)于物理上學(xué)習(xí)的“點(diǎn)光源”.生活中能形成中心投影的點(diǎn)光源主要有手電筒、路燈、臺(tái)燈、投影儀的燈光、放映機(jī)的燈光等.相應(yīng)地，我們會(huì)得到兩個(gè)結(jié)論：等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng).

(2)等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示.一般情況下，離點(diǎn)光源越近，影子越長(zhǎng)；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體本身的長(zhǎng)度還短.

在中心投影的情況下，還有這樣一個(gè)重要結(jié)論：點(diǎn)光源、物體邊緣上的點(diǎn)以及它在影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一條直線上，根據(jù)其中兩個(gè)點(diǎn)，就可以求出第三個(gè)點(diǎn)的位置.

注意：

光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子的方向也發(fā)生變化，但光源、物體的影子始終分離在物體的兩側(cè).3.平行投影1.只要有光線，有被光線照到的物體，就存在影子.太陽(yáng)光線可看做平行的，象這樣的光線照射在物體上，所形成的投影叫做平行投影.由此我們可得出這樣兩個(gè)結(jié)論：

(1)等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在太陽(yáng)光下，它們的影子一樣長(zhǎng).

(2)等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示，它們?cè)谔?yáng)光下的影子一樣長(zhǎng)，且影長(zhǎng)等于物體本身的長(zhǎng)度.

2.物高與影長(zhǎng)的關(guān)系（1）在不同時(shí)刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時(shí)刻，物體在太陽(yáng)光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影長(zhǎng)也是由長(zhǎng)變短再變長(zhǎng).

（2）在同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長(zhǎng)成正比例.

即：.

利用上面的關(guān)系式可以計(jì)算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.

注意：利用影長(zhǎng)計(jì)算物高時(shí)，要注意的是測(cè)量?jī)晌矬w在同一時(shí)刻的影長(zhǎng).

注意：1．平行投影是物體投影的一種，是在平行光線的照射下產(chǎn)生的.利用平行投影知識(shí)解題要分清不同時(shí)刻和同一時(shí)刻.2．物體與影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是平行的就說明是平行光線.【題型1判斷是平行投影或中心投影】【例1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）下列說法正確的是（）A．皮影可看成平行投影B．無影燈（手術(shù)用的）是平行投影C．日食不是太陽(yáng)光所形成的投影現(xiàn)象D．月食是太陽(yáng)光所形成的投影現(xiàn)象【變式1-1】（2023秋·貴州貴陽(yáng)·九年級(jí)期末）日晷是我國(guó)古代利用日影測(cè)定時(shí)刻的一種計(jì)時(shí)儀器，它由“晷面”和“晷針”組成．當(dāng)太陽(yáng)光照在日晷上時(shí)，晷針的影子就會(huì)投向晷面．隨著時(shí)間的推移，晷針的影子在晷面上慢慢地移動(dòng)，以此來顯示時(shí)刻．則晷針在晷面上形成的投影是（

）A．中心投影 B．平行投影C．既是平行投影又是中心投影 D．不能確定【變式1-2】（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）把下列物體與它們的投影連接起來．【變式1-3】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）下列光源形成的投影不同于其他三種的是（

）A．太陽(yáng)光 B．燈光 C．探照燈光 D．臺(tái)燈【題型2判斷投影的形狀】【例2】（2023秋·陜西西安·九年級(jí)高新一中校考階段練習(xí)）正方形紙板在太陽(yáng)光下的投影不可能是（

）A．平行四邊形 B．一條線段 C．矩形 D．梯形【變式2-1】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）將一個(gè)圓形紙板放在太陽(yáng)光下，它在地面上所形成的影子的形狀不可能是()A．圓 B．三角形 C．線段 D．橢圓【變式2-2】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形紙板的一條對(duì)角線垂直于地面，紙板上方的燈（看作一個(gè)點(diǎn)）與這條對(duì)角線所確定的平面垂直于紙板，在燈光照射下，正方形紙板在地面上形成的影子的形狀可以是（

）A． B． C． D．【變式2-3】（2023秋·陜西咸陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）小明拿一個(gè)三角形木板在陽(yáng)光下玩，三角形木板在水平地面上形成的投影的形狀可能是．（只填一種形狀即可）【題型3正投影】【例3】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，若投影線的方向如箭頭所示，則圖中物體的正投影是（） B．C． D．【變式3-1】（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示的圓臺(tái)的上下底面與投影線平行，圓臺(tái)的正投影是（

）

A．矩形 B．兩條線段 C．等腰梯形 D．圓環(huán)【變式3-2】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）某幾何體在投影面P前的擺放方式確定以后，改變它與投影面P之間的距離，其正投影的形狀（）A．不發(fā)生變化 B．變大 C．變小 D．無法確定【變式3-3】（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）下列投影是正投影的是()A．① B．② C．③ D．都不是【題型4根據(jù)投影求線段長(zhǎng)度】【例4】（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)校考期中）小紅想利用陽(yáng)光下的影長(zhǎng)測(cè)量學(xué)校旗桿AB的高度．如圖，他在某一時(shí)刻在地面上豎直立一個(gè)3米長(zhǎng)的標(biāo)桿CD，測(cè)得其影長(zhǎng)DE=0.5米．(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出此時(shí)旗桿AB在陽(yáng)光下的投影BF．(2)如果BF=1.5，求旗桿AB的高．【變式4-1】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為3:5，且三角板的一邊長(zhǎng)為6cm，則投影三角板的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為(

A．15cm B．10cm C．8cm【變式4-2】（2023秋·山西晉中·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在路燈下，小明的身高如圖中線段AB所示，他在地面上的影子如圖中線段AC所示，小亮的身高如圖中線段FG所示，路燈燈泡在線段DE上．（1）請(qǐng)你確定燈泡所在的位置，并畫出表示小亮在燈光下形成的影子線段．（2）如果燈桿高12m，小亮的身高1.6m，小亮與燈桿的距離13m，請(qǐng)求出小亮影子的長(zhǎng)度．【變式4-3】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，一路燈距地面5.6米，身高1.6米的小方從距離燈的底部（點(diǎn)O）5米的A處，沿OA所在的直線行走到點(diǎn)C時(shí)，人影長(zhǎng)度增長(zhǎng)3米，小方行走的路程AC＝（）A．7.2 B．6.6 C．5.7 D．7.5【題型5根據(jù)投影求面積】【例5】（2023秋·山西晉中·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，三角板在手電筒光源的照射下形成了投影，三角板與其投影是位似圖形，其相似比是2:5，若三角板的面積是6cm2，則其投影的面積是（A．15cm2 B．30cm2 C．【變式5-1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形紙板ABCD在投影面α上的正投影為A1B1C1D1，其中邊AB、CD【變式5-2】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）圓桌面（桌面中間有一個(gè)直徑為1m的圓洞）正上方的燈泡（看作一個(gè)點(diǎn)）發(fā)出的光線照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如圖所示的圓環(huán)形陰影．已知桌面直徑為2m，桌面離地面1m，若燈泡離地面2m，則地面圓環(huán)形陰影的面積是（）A．2πm2 B．3πm2 C．6πm2 D．12πm2【變式5-3】（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在一間黑屋里用一白熾燈照射一個(gè)球，（1）球在地面上的陰影是什么形狀？（2）當(dāng)把白熾燈向上移時(shí)，陰影的大小會(huì)怎樣變化？（3）若白熾燈到球心距離為1米，到地面的距離是3米，球的半徑是0.2米，求球在地面上陰影的面積是多少？【題型6坐標(biāo)系中利用投影求值】【例6】（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P2,2是一個(gè)光源．木桿AB兩端的坐標(biāo)分別為0,1、3,1．則木桿AB在xA．3 B．5 C．6 D．7【變式6-1】（2023春·天津和平·九年級(jí)專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，一點(diǎn)光源位于A(0，5)處，線段CD垂直于x軸，D為垂足，C(3，1)，則DE的長(zhǎng)為．【變式6-2】（2023·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直角坐標(biāo)平面內(nèi)，小明站在點(diǎn)A（﹣10，0）處觀察y軸，眼睛距地面1.5米，他的前方5米處有一堵墻DC，若墻高DC＝2米，則小明在y軸上的盲區(qū)（即OE的長(zhǎng)度）為米．【變式6-3】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，圖形W在坐標(biāo)軸上的投影長(zhǎng)度定義如下：設(shè)點(diǎn)Px1,y1，Qx2,y2是圖形W上的任意兩點(diǎn)，若x1?x2的最大值為m，則圖形W在x軸上的投影長(zhǎng)度為lx=m；若y1?y(1)已知點(diǎn)A1，2，B2，3，(2)已知點(diǎn)C（32，0），點(diǎn)D在直線y=12x?1x<0上，若圖形W為△OCD(3)若圖形W為函數(shù)y=x2（a≤x≤b）的圖象，其中（0≤a<b【題型7由投影長(zhǎng)度確定時(shí)間順序】【例7】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）有陽(yáng)光的某天下午，小明在不同時(shí)刻拍了相同的三張風(fēng)景照A，B，C，沖選后不知道拍照的時(shí)間順序了，已知投影長(zhǎng)度lA>lC>lBA．A、B、C B．A、C、B C．B、A、C D．B、C、A【變式7-1】（2023·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，從小區(qū)的某棟樓的A，B，C，D四個(gè)位置向?qū)γ鏄欠较蚩?，所看到的范圍的大小順序是（）A．A＞B＞C＞D B．D＞C＞B＞A C．C＞D＞B＞A D．B＞A＞D＞C【變式7-2】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）小亮在上午8時(shí)、9時(shí)、12時(shí)、17時(shí)四次到室外的陽(yáng)光下觀察一棵樹的影子隨太陽(yáng)變化的情況，他發(fā)現(xiàn)這四個(gè)時(shí)刻這棵樹影子的長(zhǎng)度各不相同，那么影子最長(zhǎng)的時(shí)刻為；影子最短的時(shí)刻是．【變式7-3】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）某天小穎在室外的陽(yáng)光下觀察大樹的影子隨太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)的情況如下圖所示，這五張圖所對(duì)應(yīng)的時(shí)間順序是．【題型8視點(diǎn)、視角和盲區(qū)】【例8】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在房子屋檐E處安有一臺(tái)監(jiān)視器，房子前有一面落地的廣告牌，那么監(jiān)視器的盲區(qū)是（）

A．△ACE B．△ADF C．△ABD D．四邊形BCED【變式8-1】（2023秋·寧夏中衛(wèi)·九年級(jí)?？计谀鞍兹找郎奖M，黃河入海流．欲窮千里目，更上一層樓．”這里主要是（

）A．增大盲區(qū) B．減少盲區(qū) C．改變光點(diǎn) D．增加亮度【變式8-2】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，凱凱和樂樂捉迷藏，樂樂站在圖中的P處，凱凱藏在圖中哪些位置，才不易被樂樂發(fā)現(xiàn)()A．M，R，S，F(xiàn) B．N，S，E，F(xiàn) C．M，F(xiàn)，S，R D．E，S，F(xiàn)，M【變式8-3】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖是某校校史榮譽(yù)室的正方形網(wǎng)格平面圖，實(shí)線表示墻體或門．在點(diǎn)A處安裝了360度旋轉(zhuǎn)攝像頭，由于墻體的的遮擋，陰影部分無法監(jiān)控，這部分無法監(jiān)控到的區(qū)域通常稱為監(jiān)控盲區(qū)．專題5.1投影【八大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷是平行投影或中心投影】 2【題型2判斷投影的形狀】 4【題型3正投影】 6【題型4根據(jù)投影求線段長(zhǎng)度】 8【題型5根據(jù)投影求面積】 12【題型6坐標(biāo)系中利用投影求值】 15【題型7由投影長(zhǎng)度確定時(shí)間順序】 20【題型8視點(diǎn)、視角和盲區(qū)】 22【知識(shí)點(diǎn)投影】1.投影一般地，用光線照射物體，在某個(gè)平面(地面或墻壁等)上得到的影子，叫做物體的投影.2.中心投影若一束光線是從一點(diǎn)發(fā)出的，像這樣的光線照射在物體上所形成的投影，叫做中心投影.這個(gè)“點(diǎn)”就是中心，相當(dāng)于物理上學(xué)習(xí)的“點(diǎn)光源”.生活中能形成中心投影的點(diǎn)光源主要有手電筒、路燈、臺(tái)燈、投影儀的燈光、放映機(jī)的燈光等.相應(yīng)地，我們會(huì)得到兩個(gè)結(jié)論：等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng).

(2)等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示.一般情況下，離點(diǎn)光源越近，影子越長(zhǎng)；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體本身的長(zhǎng)度還短.

在中心投影的情況下，還有這樣一個(gè)重要結(jié)論：點(diǎn)光源、物體邊緣上的點(diǎn)以及它在影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一條直線上，根據(jù)其中兩個(gè)點(diǎn)，就可以求出第三個(gè)點(diǎn)的位置.

注意：

光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子的方向也發(fā)生變化，但光源、物體的影子始終分離在物體的兩側(cè).3.平行投影1.只要有光線，有被光線照到的物體，就存在影子.太陽(yáng)光線可看做平行的，象這樣的光線照射在物體上，所形成的投影叫做平行投影.由此我們可得出這樣兩個(gè)結(jié)論：

(1)等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在太陽(yáng)光下，它們的影子一樣長(zhǎng).

(2)等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示，它們?cè)谔?yáng)光下的影子一樣長(zhǎng)，且影長(zhǎng)等于物體本身的長(zhǎng)度.

2.物高與影長(zhǎng)的關(guān)系（1）在不同時(shí)刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時(shí)刻，物體在太陽(yáng)光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影長(zhǎng)也是由長(zhǎng)變短再變長(zhǎng).

（2）在同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長(zhǎng)成正比例.

即：.

利用上面的關(guān)系式可以計(jì)算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.

注意：利用影長(zhǎng)計(jì)算物高時(shí)，要注意的是測(cè)量?jī)晌矬w在同一時(shí)刻的影長(zhǎng).

注意：1．平行投影是物體投影的一種，是在平行光線的照射下產(chǎn)生的.利用平行投影知識(shí)解題要分清不同時(shí)刻和同一時(shí)刻.2．物體與影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是平行的就說明是平行光線.【題型1判斷是平行投影或中心投影】【例1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）下列說法正確的是（）A．皮影可看成平行投影B．無影燈（手術(shù)用的）是平行投影C．日食不是太陽(yáng)光所形成的投影現(xiàn)象D．月食是太陽(yáng)光所形成的投影現(xiàn)象【答案】D【分析】分析各選項(xiàng)可知，皮影和無影燈都是點(diǎn)光源形成的投影，而日食都是太陽(yáng)光形成的投影；接下來，根據(jù)中心投影與平行投影的知識(shí)進(jìn)行分析判斷，問題即可得解．【詳解】解：根據(jù)平行投影和中心投影的區(qū)別可知：皮影和無影燈都是中心投影，而日食是太陽(yáng)光形成的投影故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是中心投影和平行投影的定義，掌握其概念是解決此題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023秋·貴州貴陽(yáng)·九年級(jí)期末）日晷是我國(guó)古代利用日影測(cè)定時(shí)刻的一種計(jì)時(shí)儀器，它由“晷面”和“晷針”組成．當(dāng)太陽(yáng)光照在日晷上時(shí)，晷針的影子就會(huì)投向晷面．隨著時(shí)間的推移，晷針的影子在晷面上慢慢地移動(dòng)，以此來顯示時(shí)刻．則晷針在晷面上形成的投影是（

）A．中心投影 B．平行投影C．既是平行投影又是中心投影 D．不能確定【答案】B【分析】根據(jù)中心投影的定義：把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定義：光源是以平行的方式照射到物體上的投影，據(jù)此解答即可．【詳解】解：晷針在晷面上形成的投影是平行投影，【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影和平行投影的定義，熟記相關(guān)定義是解本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）把下列物體與它們的投影連接起來．【答案】見解析【分析】根據(jù)投影的定義解答即可．【詳解】解：如圖：【點(diǎn)睛】本題主要考查了投影，理解投影的定義成為解答本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）下列光源形成的投影不同于其他三種的是（

）A．太陽(yáng)光 B．燈光 C．探照燈光 D．臺(tái)燈【答案】D【分析】判斷投影是平行投影的方法是看光線是否是平行的，如果光線是平行的，所得到的投影就是平行投影．【詳解】解：四個(gè)選項(xiàng)中只有太陽(yáng)光可認(rèn)為是平行光線；故太陽(yáng)光線下形成的投影是平行投影．【點(diǎn)睛】本題考查平行投影的概念，屬于基礎(chǔ)題，注意基本概念的掌握是關(guān)鍵．【題型2判斷投影的形狀】【例2】（2023秋·陜西西安·九年級(jí)高新一中?？茧A段練習(xí)）正方形紙板在太陽(yáng)光下的投影不可能是（

）A．平行四邊形 B．一條線段 C．矩形 D．梯形【答案】D【分析】根據(jù)平行投影的性質(zhì)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：一張正方形紙板在太陽(yáng)光線的照射下，形成影子不可能是梯形，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行投影．熟練掌握平行投影的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）將一個(gè)圓形紙板放在太陽(yáng)光下，它在地面上所形成的影子的形狀不可能是()A．圓 B．三角形 C．線段 D．橢圓【答案】B【分析】在不同時(shí)刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同，不同時(shí)刻物體在太陽(yáng)光下的影子的大小在變，方向也在改變，依此進(jìn)行分析【詳解】當(dāng)紙片和光線方向一致是為線段，與光線垂直為圓，不垂直不平行為橢圓，所以不可能是三角形.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵能想象出實(shí)物與投影的關(guān)系.【變式2-2】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形紙板的一條對(duì)角線垂直于地面，紙板上方的燈（看作一個(gè)點(diǎn)）與這條對(duì)角線所確定的平面垂直于紙板，在燈光照射下，正方形紙板在地面上形成的影子的形狀可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】因?yàn)橹行耐队拔矬w的高和影長(zhǎng)成比例，正確的區(qū)分中心投影和平行投影，依次分析選項(xiàng)即可找到符合題意的選項(xiàng)【詳解】因?yàn)檎叫蔚膶?duì)角線互相垂直，且一條對(duì)角線垂直地面，光源與對(duì)角線組成的平面垂直于地面，則有影子的對(duì)角線仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，則上方的邊長(zhǎng)影子會(huì)更長(zhǎng)一些，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影的概念，應(yīng)用，利用中心投影的特點(diǎn)，理解中心投影物體的高和影長(zhǎng)成比例是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023秋·陜西咸陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）小明拿一個(gè)三角形木板在陽(yáng)光下玩，三角形木板在水平地面上形成的投影的形狀可能是．（只填一種形狀即可）【答案】三角形（答案不唯一）【分析】在不同時(shí)刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同，不同時(shí)刻物體在太陽(yáng)光下的影子的大小在變，方向也在改變，據(jù)此即可解答．【詳解】當(dāng)三角形木板與陽(yáng)光垂直時(shí)，投影是三角形；故答案為：三角形（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了平行投影特點(diǎn)，不同位置，不同時(shí)間，影子的大小、形狀可能不同，解題的關(guān)鍵是熟練理解平行投影特點(diǎn)．【題型3正投影】【例3】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，若投影線的方向如箭頭所示，則圖中物體的正投影是（） B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正投影的定義，得出圓柱的正投影為長(zhǎng)方形，正方體的正投影為正方形，即可求解．【詳解】解：觀察圖中的兩個(gè)立體圖形，圓柱的正投影為長(zhǎng)方形，正方體的正投影為正方形，【點(diǎn)睛】本題考查了正投影，掌握正投影的定義是解題的關(guān)鍵．正投影是指平行投射線垂直于投影面．【變式3-1】（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示的圓臺(tái)的上下底面與投影線平行，圓臺(tái)的正投影是（

）

A．矩形 B．兩條線段 C．等腰梯形 D．圓環(huán)【答案】A【分析】根據(jù)正投影的定義“是指平行投射線垂直于投影面”分析即可．【詳解】根據(jù)題意，圓臺(tái)的上下底面與投影線平行，則圓臺(tái)的正投影是該圓臺(tái)的軸截面，即等腰梯形，【點(diǎn)睛】本題考查了正投影的定義，正確理解正投影的定義是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）某幾何體在投影面P前的擺放方式確定以后，改變它與投影面P之間的距離，其正投影的形狀（）A．不發(fā)生變化 B．變大 C．變小 D．無法確定【答案】D【分析】幾何體的正投影只與幾何體相對(duì)于投影面的傾斜程度有關(guān)，與兩者間距離無關(guān)可知答案．【詳解】解：某一幾何體在投影面P前的擺放位置確定以后，改變它與投影面P的距離，其正投影的形狀不發(fā)生變化，【點(diǎn)睛】本題主要考查平行投影的性質(zhì)，熟練掌握線段、平面圖形、幾何體的平行投影性質(zhì)是根本．【變式3-3】（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）下列投影是正投影的是()A．① B．② C．③ D．都不是【答案】A【分析】平行投影法分為正投影和斜投影，正投影是平行光垂直于屏幕的投影．【詳解】根據(jù)題意：①是點(diǎn)光源的投影，是錯(cuò)誤的；②是斜投影，故錯(cuò)誤；③是正投影，故正確.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查的是正投影的基本知識(shí)，本題屬于基礎(chǔ)題．【題型4根據(jù)投影求線段長(zhǎng)度】【例4】（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)?？计谥校┬〖t想利用陽(yáng)光下的影長(zhǎng)測(cè)量學(xué)校旗桿AB的高度．如圖，他在某一時(shí)刻在地面上豎直立一個(gè)3米長(zhǎng)的標(biāo)桿CD，測(cè)得其影長(zhǎng)DE=0.5米．(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出此時(shí)旗桿AB在陽(yáng)光下的投影BF．(2)如果BF=1.5，求旗桿AB的高．【答案】(1)見解析(2)9【分析】（1）利用太陽(yáng)光線為平行光線作圖：連接CE，過A點(diǎn)作AF∥CE交BD于F，則（2）證明△ABF∽△CDE，然后利用相似比計(jì)算【詳解】（1）解：連接CE，過A點(diǎn)作AF∥CE交BD于F，則（2）解：∵AF∥∴∠AFB=∠CED，而∠ABF=∠CDE=90°，∴△ABF∽∴ABCD=∴AB=9，即旗桿AB的高為9m【點(diǎn)睛】本題考查平行投影、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明△ABF∽【變式4-1】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為3:5，且三角板的一邊長(zhǎng)為6cm，則投影三角板的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為(

A．15cm B．10cm C．8cm【答案】B【分析】中心投影下的三角板與投影三角板一定是相似的，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比，列式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：三角板的一邊長(zhǎng)為6cm，則設(shè)投影三角板的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為x∵三角板與其投影的相似比為3:5，∴3∴x=10cm∴投影三角板的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為10cm【點(diǎn)睛】此題主要考查了中心投影與相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握中心投影的概念與相似三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023秋·山西晉中·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在路燈下，小明的身高如圖中線段AB所示，他在地面上的影子如圖中線段AC所示，小亮的身高如圖中線段FG所示，路燈燈泡在線段DE上．（1）請(qǐng)你確定燈泡所在的位置，并畫出表示小亮在燈光下形成的影子線段．（2）如果燈桿高12m，小亮的身高1.6m，小亮與燈桿的距離13m，請(qǐng)求出小亮影子的長(zhǎng)度．【答案】（1）詳見解析；（2）小亮影子的長(zhǎng)度為2m．【分析】（1）連接EG進(jìn)而延長(zhǎng)交DF于點(diǎn)N，得出FN進(jìn)而得出答案；（2）直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案．【詳解】解：（1）如圖所示：FN即為所求；（2）∵FG∥DE，∴△GFN∽△NDE，∴FNND＝FG∵燈桿高12m，小亮的身高1.6m，小亮與燈桿的距離13m，∴FNFN+13＝1.6解得：FN＝2，答：小亮影子的長(zhǎng)度為2m．【點(diǎn)睛】本題考查中心投影、解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，記住物長(zhǎng)與影長(zhǎng)的比的定值，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型．【變式4-3】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，一路燈距地面5.6米，身高1.6米的小方從距離燈的底部（點(diǎn)O）5米的A處，沿OA所在的直線行走到點(diǎn)C時(shí)，人影長(zhǎng)度增長(zhǎng)3米，小方行走的路程AC＝（）A．7.2 B．6.6 C．5.7 D．7.5【答案】D【分析】設(shè)出影長(zhǎng)AB的長(zhǎng)，利用相似三角形可以求得AB的長(zhǎng)，然后在利用相似三角形求得AC的長(zhǎng)即可．【詳解】解：∵AE⊥OD，OG⊥OD，∴AE//OG，∴∠AEB=∠OGB，∠EAB=∠GOB，∴△AEB∽△OGB，∴AEOG=AB解得：AB＝2m；∵OA所在的直線行走到點(diǎn)C時(shí)，人影長(zhǎng)度增長(zhǎng)3米，∴DC＝AB+3=5m，OD=OA+AC+CD=AC+10，∵FC∥GO，∴∠CFD=∠OGD，∠FCD=∠GOD，△DFC∽△DGO，∴FCGO即1.65.6解得：AC＝7.5m．所以小方行走的路程為7.5m．故選擇：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是相似三角形在實(shí)際中的中心投影的應(yīng)用，掌握相似三角形判斷與性質(zhì)，利用對(duì)應(yīng)邊成比例是解答本題的關(guān)鍵．【題型5根據(jù)投影求面積】【例5】（2023秋·山西晉中·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，三角板在手電筒光源的照射下形成了投影，三角板與其投影是位似圖形，其相似比是2:5，若三角板的面積是6cm2，則其投影的面積是（A．15cm2 B．30cm2 C．【答案】D【分析】利用位似圖形的面積比等于相似比的平方進(jìn)行計(jì)算即可；【詳解】解：設(shè)投影的面積為Scm2，6S=252故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查位似圖形的面積關(guān)系，解題關(guān)鍵掌握位似圖形的面積比等于相似比的平方．【變式5-1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形紙板ABCD在投影面α上的正投影為A1B1C1D1，其中邊AB、CD【答案】25【分析】先根據(jù)45°求出投影的各個(gè)邊長(zhǎng)，再求面積【詳解】解：過B點(diǎn)作BH⊥CC1于∵∠BCC∴BH=22∵正方形紙板ABCD在投影面α上的正投影為A1∴B1C1∴四邊形A1B1【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形在投影中的應(yīng)用，掌握計(jì)算方法是關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）圓桌面（桌面中間有一個(gè)直徑為1m的圓洞）正上方的燈泡（看作一個(gè)點(diǎn)）發(fā)出的光線照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如圖所示的圓環(huán)形陰影．已知桌面直徑為2m，桌面離地面1m，若燈泡離地面2m，則地面圓環(huán)形陰影的面積是（）A．2πm2 B．3πm2 C．6πm2 D．12πm2【答案】B【分析】先根據(jù)AC⊥OB，BD⊥OB可得出△AOC∽△BOD，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出BD′＝1m，再由圓環(huán)的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示：∵AC⊥OB，BD⊥OB，∴△AOC∽△BOD，∴OAOB=AC解得：BD＝2m，同理可得：AC′＝0.5m，則BD′＝1m，∴S圓環(huán)形陰影＝22π﹣12π＝3π（m2）．故選B．【點(diǎn)睛】考查的是相似三角形的應(yīng)用以及中心投影，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出陰影部分的半徑是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在一間黑屋里用一白熾燈照射一個(gè)球，（1）球在地面上的陰影是什么形狀？（2）當(dāng)把白熾燈向上移時(shí)，陰影的大小會(huì)怎樣變化？（3）若白熾燈到球心距離為1米，到地面的距離是3米，球的半徑是0.2米，求球在地面上陰影的面積是多少？【答案】(1)圓形；(2)陰影會(huì)逐漸變??；(3)925【詳解】考點(diǎn)：中心投影．專題：綜合題．分析：（1）球在燈光的正下方，所以陰影是圓形；（2）根據(jù)中心投影的特點(diǎn)可知：在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng)，所以白熾燈向上移時(shí)，陰影會(huì)逐漸變??；（3）先根據(jù)相似求出陰影的半徑，再求面積．解答：解：（1）因?yàn)榍蛟跓艄獾恼路?，所以陰影是圓形；（2）白熾燈向上移時(shí)，陰影會(huì)逐漸變??；（3）設(shè)球在地面上陰影的半徑為x米，則12?0．2解得：x2=38則S陰影=38【題型6坐標(biāo)系中利用投影求值】【例6】（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P2,2是一個(gè)光源．木桿AB兩端的坐標(biāo)分別為0,1、3,1．則木桿AB在xA．3 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】利用中心投影，延長(zhǎng)PA、PB分別交x軸于A'、B'，作PE⊥x軸于E，交AB于D，如圖，證明【詳解】解：延長(zhǎng)PA、PB分別交x軸于A'、B'，作PE⊥x軸于E，交∵P2,2，∴PD=1∵AB∥A∴△PAB∽∴ABA'∴A'【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、中心投影：中心投影的光線特點(diǎn)是從一點(diǎn)出發(fā)的投射線．物體與投影面平行時(shí)的投影是放大（即位似變換）的關(guān)系．【變式6-1】（2023春·天津和平·九年級(jí)專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，一點(diǎn)光源位于A(0，5)處，線段CD垂直于x軸，D為垂足，C(3，1)，則DE的長(zhǎng)為．【答案】3【分析】畫出相應(yīng)圖形，可得相似三角形，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等可得DE的長(zhǎng)．【詳解】解：∵OA⊥x軸，CD⊥x軸，∴CD∥OA，∴△CDE∽△AOE，∴DE：EO=CD：OA，設(shè)DE=x，∴x3+x解得：x=34∴DE=34故答案為：34【點(diǎn)睛】此題考查了中心投影和平面直角坐標(biāo)系的知識(shí)，還考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．【變式6-2】（2023·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直角坐標(biāo)平面內(nèi)，小明站在點(diǎn)A（﹣10，0）處觀察y軸，眼睛距地面1.5米，他的前方5米處有一堵墻DC，若墻高DC＝2米，則小明在y軸上的盲區(qū)（即OE的長(zhǎng)度）為米．【答案】2.5【詳解】首先作出BM⊥EO，得出△BND∽△BME，即可得出BNBM解：過點(diǎn)B作BM⊥EO，交CD于點(diǎn)N，∵CD∥EO，∴△BND∽△BME，∴BNBM∵點(diǎn)A（﹣10，0），∴BM=10米，∵眼睛距地面1.5米，∴AB=CN=MO=1.5米，∵DC=2米，∴DN=2﹣1.5=0.5米，∵他的前方5米處有一堵墻DC，∴BN=5米，∴510∴EM=1米，∴EO=1+1.5=2.5米．故答案為2.5．【變式6-3】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，圖形W在坐標(biāo)軸上的投影長(zhǎng)度定義如下：設(shè)點(diǎn)Px1,y1，Qx2,y2是圖形W上的任意兩點(diǎn)，若x1?x2的最大值為m，則圖形W在x軸上的投影長(zhǎng)度為lx=m；若y1?y(1)已知點(diǎn)A1，2，B2，3，(2)已知點(diǎn)C（32，0），點(diǎn)D在直線y=12x?1x<0上，若圖形W為△OCD(3)若圖形W為函數(shù)y=x2（a≤x≤b）的圖象，其中（0≤a<b【答案】(1)3，3(2)?1,?32(3)0≤a<【分析】（1）確定出點(diǎn)B在y軸的投影的坐標(biāo)、點(diǎn)C在x軸上投影的坐標(biāo)，于是可求得問題的答案；（2）分兩種情況討論即可：①當(dāng)?32≤x<0（3）設(shè)Aa，a2、Bb，b2．分別求得圖形在y軸和【詳解】（1）解：∵B2,3∴點(diǎn)B在y軸上的正投影的坐標(biāo)為0,3．∴四邊形OABC在y軸上的投影長(zhǎng)度ly∵C3,1∴點(diǎn)C在x軸上的正投影的坐標(biāo)為3,0．∴四邊形OABC在x軸上的投影長(zhǎng)度lx故答案為3；3．（2）∵點(diǎn)D在直線y=1∴設(shè)Dx,①當(dāng)?32≤x<0∴x=?1，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為?1,?3②當(dāng)x<?32時(shí)，∴x=?2，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為?2,?2綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為?1,?32或（3）如圖3所示：設(shè)Aa，a∵lx∴b+ab?a=b?a，即∵b≠a，∴b+a=1．又∵0≤a<b，∴a+a<1，∴0≤a<1【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、解答本題主要應(yīng)用了圖形W在坐標(biāo)軸上的投影長(zhǎng)度定義、一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，依據(jù)lx=ly列出關(guān)于x的方程和不等式是解題的關(guān)鍵．【題型7由投影長(zhǎng)度確定時(shí)間順序】【例7】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）有陽(yáng)光的某天下午，小明在不同時(shí)刻拍了相同的三張風(fēng)景照A，B，C，沖選后不知道拍照的時(shí)間順序了，已知投影長(zhǎng)度lA>lC>lBA．A、B、C B．A、C、B C．B、A、C D．B、C、A【答案】D【分析】直接利用平行投影的性質(zhì)，結(jié)合影子與物體長(zhǎng)度關(guān)系分析得出答案．【詳解】解：由題意可得：都是下午拍攝，影子越長(zhǎng)說明太陽(yáng)傾斜越大，∵投影長(zhǎng)度lA∴A，B，C的先后順序是B、C、A．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行投影，正確掌握平行投影的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式7-1】（2023·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，從小區(qū)的某棟樓的A，B，C，D四個(gè)位置向?qū)γ鏄欠较蚩矗吹降姆秶拇笮№樞蚴牵ǎ〢．A＞B＞C＞D B．D＞C＞B＞A C．C＞D＞B＞A D．B＞A＞D＞C【答案】D【詳解】由圖可知:從小區(qū)的某棟樓的A，B，C，D四個(gè)位置向?qū)γ鏄欠较蚩?，所看到的范圍的大小順序?A＞B＞C＞D.【變式7-2】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）小亮在上午8時(shí)、9時(shí)、12時(shí)、17時(shí)四次到室外的陽(yáng)光下觀察一棵樹的影子隨太陽(yáng)變化的情況，他發(fā)現(xiàn)這四個(gè)時(shí)刻這棵樹影子的長(zhǎng)度各不相同，那么影子最長(zhǎng)的時(shí)刻為；影子最短的時(shí)刻是．【答案】17時(shí)12時(shí)【分析】根據(jù)利用光線與地面的夾角的變換進(jìn)行判斷．【詳解】解：上午8時(shí)、9時(shí)、12時(shí)、17時(shí)，太陽(yáng)光線與地面的夾角不同，其中17時(shí)太陽(yáng)光線與地面的夾角最小，所以此時(shí)樹的影子最長(zhǎng)；12時(shí)太陽(yáng)光線與地面的夾角最大，所以此時(shí)樹的影子最短，故答案為：17時(shí)；12時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了平行投影，由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽(yáng)光的照射下形成的影子就是平行投影，