專(zhuān)題7.2解直角三角形【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1直角三角形中直接解直角三角形】 1【題型2構(gòu)造直角三角形解直角三角形】 2【題型3網(wǎng)格中解直角三角形】 3【題型4坐標(biāo)系中解直角三角形】 5【題型5四邊形中解直角三角形】 6【題型6利用解直角三角形求不規(guī)則圖形的面積】 7【題型7解直角三角形的應(yīng)用之坡度坡比問(wèn)題】 8【題型8解直角三角形的應(yīng)用之俯角仰角問(wèn)題】 10【題型9解直角三角形的應(yīng)用之方向角問(wèn)題】 12【題型10解直角三角形的應(yīng)用之實(shí)物建模問(wèn)題】 13【知識(shí)點(diǎn)解直角三角形】已知條件圖形解法對(duì)邊鄰邊斜邊對(duì)邊鄰邊斜邊ACBb已知斜邊和一個(gè)銳角已知兩直角邊已知斜邊和一條直角邊【題型1直角三角形中直接解直角三角形】【例1】（2023秋·上海青浦·九年級(jí)?？计谥校┤绻鸄D是Rt△ABC的斜邊BC上的高，BC=a，∠B=β，那么AD等于（

）A．a(chǎn)sinβcosβ B．a(chǎn)cos2【變式1-1】（2023秋·陜西西安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠B=90°，E是BC邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作ED⊥AC，垂足為D，AB=4，DE=3，∠C=30°，求BE

【變式1-2】（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°．D為線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)若D運(yùn)動(dòng)到某個(gè)位置時(shí)，∠CDB=60°，CD=10米，求BC的長(zhǎng)度．(2)若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到某個(gè)位置時(shí)，∠CDB=45°，AD=6米．求BC的長(zhǎng)度．（結(jié)果可保留根號(hào)）【變式1-3】（2023秋·廣西梧州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，sinB=45，D為線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，并且CD=2，求

【題型2構(gòu)造直角三角形解直角三角形】【例2】（2023秋·廣西梧州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知在△ABC中，AB=122，AC=13，cosB=22，則A．7 B．8 C．8或17 D．7或17【變式2-1】（2023秋·上海靜安·九年級(jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知將△ABC沿角平分線(xiàn)BE所在直線(xiàn)翻折，點(diǎn)A恰好落在邊BC的中點(diǎn)M處，且AM=BE，那么∠EBC的余弦值為.

【變式2-2】（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，3個(gè)大小完全相同的正六邊形無(wú)縫隙、不重疊的拼在一起，連接正六邊形的三個(gè)頂點(diǎn)得到△ABC，則tan∠ACB的值是

【變式2-3】（2023秋·上海靜安·九年級(jí)上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，BD⊥AC于點(diǎn)D，將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角的大小與∠CBA相等，如果點(diǎn)C、D旋轉(zhuǎn)后分別落在點(diǎn)E、F的位置，那么∠EFD的正切值是．

【題型3網(wǎng)格中解直角三角形】【例3】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）如圖是由小正方形組成的8×8網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，A，C兩個(gè)點(diǎn)是格點(diǎn)．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫(huà)圖，畫(huà)圖過(guò)程用虛線(xiàn)表示．(1)在圖中，點(diǎn)B是格點(diǎn)，先畫(huà)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)D，再在A(yíng)C上畫(huà)點(diǎn)E，使AD=DE；

(2)在圖中，點(diǎn)B在格線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線(xiàn)CF；

(3)在圖中，點(diǎn)B在格線(xiàn)上，在A(yíng)B上畫(huà)點(diǎn)G，使tan∠ACG=

【變式3-1】（2023秋·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)，線(xiàn)段AB與CD相交于點(diǎn)P，則∠APD的正切值為．【變式3-2】（2023秋·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A、B、C、D是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，AB、CD交于點(diǎn)O，則cos∠BOD的值為．【變式3-3】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖是由小正方形組成的8×6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫(huà)圖，畫(huà)圖過(guò)程用虛線(xiàn)表示．

(1)在圖（1）中，D，E分別是邊AB，AC與網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)．先將點(diǎn)C繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)F，畫(huà)出點(diǎn)F；再在邊AB上畫(huà)點(diǎn)G，使EG∥(2)在圖（2）中，在邊AB上找一點(diǎn)P，使PA=PC；再在線(xiàn)段AC上找一點(diǎn)Q，使tan【題型4坐標(biāo)系中解直角三角形】【例4】（2023·河南洛陽(yáng)·校聯(lián)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABOC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，∠BOC=60°，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,3)，y=kx的圖象與菱形對(duì)角線(xiàn)AO交于點(diǎn)D，連接BD，當(dāng)

A．?23 B．?33 C．?43【變式4-1】（2023·廣東湛江·嶺師附中校聯(lián)考一模）如圖，在△ABO中，AB⊥OB，AB=3，OB=1，把△ABO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后，得到△A1B1

【變式4-2】（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖：已知一次函數(shù)圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B．OB=3，tan∠BAO=

(1)求直線(xiàn)AB的解析式；(2)若點(diǎn)C在x軸上方的直線(xiàn)AB上，△AOC的面積為15，求tan∠BOC【變式4-3】（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)y=kx+6k交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)A，AB=2AO．

(1)如圖1，求k的值；(2)如圖2，點(diǎn)H在A(yíng)B上，點(diǎn)F在OB上，連接FH、OH，且FH=OH，過(guò)點(diǎn)F作AB的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)S，設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為t，?3<t<?1，線(xiàn)段SH的長(zhǎng)為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖3，在（2）的條件下，將線(xiàn)段OH繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段OE，連接AE并延長(zhǎng)交x軸于C，連接HC，點(diǎn)K是HC的中點(diǎn)，連接EK，當(dāng)tan∠SHF=310【題型5四邊形中解直角三角形】【例5】（2023·海南儋州·海南華僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，點(diǎn)E為對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE交BC于點(diǎn)F．連接AF交BE于點(diǎn)O，若AB=AE，則線(xiàn)段AF與BD的位置關(guān)系為；BF的長(zhǎng)為

【變式5-1】（2023秋·陜西渭南·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在A(yíng)D上，且EC平分∠BED，AB=3，∠ABE=30°，DE的長(zhǎng)為（

A．1 B．2 C．3 D．2【變式5-2】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知菱形的一個(gè)內(nèi)角為60°，一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為43，則另一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為【變式5-3】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知平行四邊形ABCD中，E為BC邊上一點(diǎn)，連接AE、DE，若AD=DE，AE=DC，BE=4，tan∠B=3，則EC的長(zhǎng)為【題型6利用解直角三角形求不規(guī)則圖形的面積】【例6】（2023春·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在△ABC中，∠B＝45°，AC＝4，則△ABC面積的最大值為（

）A．42 B．42＋4 C．8 D．82+8【變式6-1】（2023秋·上海·九年級(jí)上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬大境初級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎喝鐖D，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是邊AB上一點(diǎn)，且

(1)試求cosB(2)試求△BCD的面積．【變式6-2】（2023春·福建漳州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下列材料：如圖1.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，可以得到：S證明：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D．在Rt△ABD中，sin∴AD=c?∴S同理：SSΔABC∴S（1）通過(guò)上述材料證明：a（2）運(yùn)用（1）中的結(jié)論解決問(wèn)題：如圖2，在ΔABC中，∠B=15°，∠C=60°，AB=203，求AC（3）如圖3，為了開(kāi)發(fā)公路旁的城市荒地，測(cè)量人員選擇A、B、C三個(gè)測(cè)量點(diǎn)，在B點(diǎn)測(cè)得A在北偏東75°方向上，沿筆直公路向正東方向行駛18km到達(dá)C點(diǎn)，測(cè)得A在北偏西45°方向上，根據(jù)以上信息，求A、B、C三點(diǎn)圍成的三角形的面積．（本題參考數(shù)值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，2≈1.4，結(jié)果取整數(shù)）【變式6-3】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝8，D、E分別是邊BC、AB上的一點(diǎn)，若tan∠DEA＝2，DE＝5，S△DEB＝4，求四邊形ACDE的面積．【題型7解直角三角形的應(yīng)用之坡度坡比問(wèn)題】【例7】（2023·山西陽(yáng)泉·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）根據(jù)山西省人民政府辦公廳印發(fā)的《山西省推進(jìn)分布式可再生能源發(fā)展三年行動(dòng)計(jì)劃（2023-2025年）》，從2023年開(kāi)始，每年選擇2-3個(gè)左右鄉(xiāng)鎮(zhèn)，利用各類(lèi)村閑置集體土地開(kāi)發(fā)建設(shè)分散式風(fēng)電幫扶小鎮(zhèn)，新增發(fā)電裝機(jī)100萬(wàn)千瓦左右．如圖1，是某地山坡上新建的一臺(tái)風(fēng)力發(fā)電機(jī)，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)為測(cè)量這臺(tái)發(fā)電機(jī)AB的高度，如圖2，在C處測(cè)得發(fā)電機(jī)底端B的仰角為15°，沿水平地面前進(jìn)30m到達(dá)D處，測(cè)得發(fā)電機(jī)頂端A的仰角為53°，若AB⊥DC于點(diǎn)E，圖中點(diǎn)A，B，C，D，E均在同一平面內(nèi)，測(cè)得山坡的坡角∠BDE=30°

(1)求斜坡BD的長(zhǎng)；(2)求這臺(tái)風(fēng)力發(fā)電機(jī)AB的高度（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°【變式7-1】（2023秋·廣西柳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某地下車(chē)庫(kù)的入口處有斜坡AB，它的坡度為i=1:2，斜坡AB的長(zhǎng)為65m，斜坡的高度為AHAH⊥BC，為了讓行車(chē)更安全，現(xiàn)將斜坡的坡角改造為14°

(1)求車(chē)庫(kù)的高度AH；(2)求點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97【變式7-2】（2023·河北滄州·統(tǒng)考二模）某場(chǎng)地的跑道分為上坡、平地、下坡三種類(lèi)型．一架無(wú)人機(jī)始終以每分0.2km的速度在離水平地面500m的高度勻速向右飛行，在運(yùn)動(dòng)員的正上方進(jìn)行跟蹤拍攝．如圖為無(wú)人機(jī)飛行以及運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)路徑的圖像．已知OA=103km，AB=1km，OA的坡度

(1)求坡面OA的垂直高度?；(2)求直線(xiàn)BC的函數(shù)解析式，并求運(yùn)動(dòng)員在下坡路段的速度；(3)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明運(yùn)動(dòng)員在O?A?B?C上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，與無(wú)人機(jī)距離不超過(guò)300m【變式7-3】（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，堤壩AB長(zhǎng)為10m，坡度i為1:0.75，底端A在地面上，堤壩與對(duì)面的山之間有一深溝，山頂D處立有高20m的鐵塔CD．小明欲測(cè)量山高DE，他在A(yíng)處看到鐵塔頂端C剛好在視線(xiàn)AB上，又在壩頂B處測(cè)得塔底D的仰角α為26°35'．求堤壩高及山高DE．（sin26°35'

【題型8解直角三角形的應(yīng)用之俯角仰角問(wèn)題】【例8】（2023春·湖南永州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，建筑物AB后有一座小山，∠DCF=30°，測(cè)得小山坡腳C點(diǎn)與建筑物水平距離BC=25米，若山坡上E點(diǎn)處有一涼亭，且涼亭與坡腳距離CE=20米，某人從建筑物頂端A點(diǎn)測(cè)得E點(diǎn)處的俯角為48°．求建筑物AB的高（精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：3≈1.7，sin48°≈0.7，cos48°≈0.6，tan48°≈1.1，sin

【變式8-1】（2023·河南鄭州·校考三模）河南省登封市境內(nèi)的嵩岳寺塔是中國(guó)現(xiàn)存年代最久的佛塔，堪稱(chēng)世界上最早的筒體建筑．某校數(shù)學(xué)社閉的同學(xué)利用所學(xué)知識(shí)來(lái)測(cè)量嵩岳寺塔的高度，如圖，CD是嵩岳寺塔附近不遠(yuǎn)處的某建筑物，他們?cè)诮ㄖ顲D底端D處利用測(cè)角儀測(cè)得嵩岳寺塔頂端B的仰角為60°，在建筑物CD頂端C處利用測(cè)角儀測(cè)得嵩岳寺塔底端A的俯角為35°，已知建筑物CD的高為15米，AB⊥AD，CD⊥AD，點(diǎn)A，D在同一水平線(xiàn)上，求嵩岳寺塔AB的高度．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin

【變式8-2】（2023春·山東菏澤·九年級(jí)統(tǒng)考期中）某校數(shù)學(xué)興趣小組借助無(wú)人機(jī)測(cè)量一條河流的寬度CD，如圖所示，一架水平飛行的無(wú)人機(jī)在A(yíng)處測(cè)得正前方河流的左岸C處的俯角為α，無(wú)人機(jī)沿水平線(xiàn)AF方向繼續(xù)飛行60米至B處，測(cè)得正前方河流右岸D處的俯角為30°．線(xiàn)段AM的長(zhǎng)為無(wú)人機(jī)距地面的垂直高度，點(diǎn)M，C，D在同一條直線(xiàn)上，其中tanα=3，MC=60

(1)求無(wú)人機(jī)的飛行高度AM；（結(jié)果保留根號(hào)）(2)求河流的寬度CD．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3【變式8-3】（2023秋·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）二七紀(jì)念塔位于鄭州市二七廣場(chǎng)，是獨(dú)特的仿古聯(lián)體雙塔．學(xué)完解直角三角形的知識(shí)后，某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的王華和張亮決定用自己所學(xué)到的知識(shí)測(cè)量二七紀(jì)念塔AB的高度．如圖，CD是紀(jì)念塔附近不遠(yuǎn)處的某建筑物，他們?cè)诮ㄖ顲D底端D處測(cè)得二七紀(jì)念塔頂端B的仰角為60°，在建筑物CD頂端C處測(cè)得二七紀(jì)念塔底端A的俯角為28°，已知建筑物CD的高為19米，AB⊥AD，CD⊥AD，求二七紀(jì)念塔AB的高度．（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：【題型9解直角三角形的應(yīng)用之方向角問(wèn)題】【例9】（2023·重慶·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）五一節(jié)日到來(lái)，重慶又一次成為全國(guó)火熱城市，小明和小亮兩人相約去觀(guān)賞洪崖洞夜景，小明從A地出發(fā)，小亮從B地出發(fā)，相約到C地觀(guān)景．在A(yíng)處測(cè)得C在A(yíng)的北偏東45°方向上，在B處測(cè)得C在B的正北方向上，且B在A(yíng)的北偏東75°方向上．小明小亮同時(shí)分別從A、B兩地出發(fā)，他們約定先在A(yíng)C上的D處匯合，小明沿著AC方向慢跑，小亮沿著北偏西60°以150m/min的速度跑了2分鐘到達(dá)D（參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，

(1)求AB的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)他們?cè)贒處匯合的時(shí)間恰好為18：58，若他們匯合之后立即沿DC方向同行的速度為200m/min（匯合時(shí)間忽略不計(jì)）則他們能在19：00【變式9-1】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考三模）宿遷駱馬湖兩岸風(fēng)光如畫(huà)，大家都喜歡坐游船游覽觀(guān)光．如圖，在某兩段平行航道（不考慮其他因素），甲游船由西向東慢速航行，同時(shí)乙游船由東向西航行．喜愛(ài)數(shù)學(xué)的小華在甲游船到達(dá)點(diǎn)A處時(shí)測(cè)得C處的乙游船在甲游船的北偏東67.4°方向，向前行駛156m到點(diǎn)B處測(cè)得行駛到D處的乙游船在甲游船的北偏東37°方向，CD=240m，求第二次測(cè)量時(shí)甲、乙兩游船之間的距離．（參考數(shù)據(jù)sin22.6°≈513，cos22.6°≈1213，【變式9-2】（2023春·安徽合肥·九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，某巡邏艇在海上例行巡邏，上午10時(shí)在C處接到海上搜救中心從B處發(fā)來(lái)的救援任務(wù)，此時(shí)事故船位于B處的南偏東25°方向上的A處，巡邏艇位于B處的南偏西28°方向上1260米處，事故船位于巡邏艇的北偏東58°方向上，巡邏艇立刻前往A處救援，已知巡邏艇每分鐘行駛120米，請(qǐng)估計(jì)幾分鐘可以到達(dá)事故船A處．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，sin53°≈45，【變式9-3】（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）期中測(cè)試臨近學(xué)生都在緊張的復(fù)習(xí)中，小甘和小西相約周末去圖書(shū)館復(fù)習(xí)，如圖，小甘從家A地沿著正東方向走900m到小西家B地，經(jīng)測(cè)量圖書(shū)館C地在B地的北偏東15°，C地在A(yíng)地的東北方向．(1)求AC的距離：(2)兩人準(zhǔn)備從B地出發(fā)，實(shí)然接到疾控中心通知，一名確診的新冠陽(yáng)性患者昨天經(jīng)過(guò)了C地，并沿著C地南偏東22°走了1800m到達(dá)D地，根據(jù)相關(guān)要求，凡是確診者途徑之處800m區(qū)域以?xún)?nèi)都會(huì)劃為管控區(qū)，問(wèn)：小西家會(huì)被劃為管控區(qū)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：3≈1.73,【題型10解直角三角形的應(yīng)用之實(shí)物建模問(wèn)題】【例10】（2023·河南南陽(yáng)·校聯(lián)考三模）如圖1是某工廠(chǎng)生產(chǎn)的某種多功能兒童車(chē)，根據(jù)需要可變形為滑板車(chē)或三輪車(chē)，圖2、圖3是其示意圖，已知前后車(chē)輪半徑相同，車(chē)桿AB的長(zhǎng)為60cm，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，前支撐板DE=30cm，后支撐板EC=40cm，車(chē)桿AB與BC所成的（參考數(shù)據(jù)：sin66.4°≈0.92,【變式10-3】（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）隨著人們生活水平的日益提高，大家對(duì)運(yùn)動(dòng)健身的需求日益凸顯，小明家新買(mǎi)了一臺(tái)折疊式跑步機(jī)（如圖1），為了合理規(guī)劃收納空間，小明特地測(cè)量了該跑步機(jī)的一些數(shù)據(jù)，并且畫(huà)出了示意圖（如圖2）．已知支架AB=116?cm，跑帶BC=170?cm，控制面板AD=56?cm，∠B=75°，∠DAB=105°，護(hù)架AE與跑帶BC平行于地面．如圖3，閑置時(shí)，跑帶BC可以向上折疊，∠CBF=60°，支架BF放置于地面支撐整個(gè)跑步機(jī)．請(qǐng)你幫助小明計(jì)算這臺(tái)跑步機(jī)折疊存放時(shí)的最大高度．（結(jié)果精確到1?cm．參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，

專(zhuān)題7.2解直角三角形【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1直角三角形中直接解直角三角形】 1【題型2構(gòu)造直角三角形解直角三角形】 4【題型3網(wǎng)格中解直角三角形】 9【題型4坐標(biāo)系中解直角三角形】 15【題型5四邊形中解直角三角形】 22【題型6利用解直角三角形求不規(guī)則圖形的面積】 26【題型7解直角三角形的應(yīng)用之坡度坡比問(wèn)題】 31【題型8解直角三角形的應(yīng)用之俯角仰角問(wèn)題】 37【題型9解直角三角形的應(yīng)用之方向角問(wèn)題】 41【題型10解直角三角形的應(yīng)用之實(shí)物建模問(wèn)題】 48【知識(shí)點(diǎn)解直角三角形】已知條件圖形解法對(duì)邊鄰邊斜邊對(duì)邊鄰邊斜邊ACBb已知斜邊和一個(gè)銳角已知兩直角邊已知斜邊和一條直角邊【題型1直角三角形中直接解直角三角形】【例1】（2023秋·上海青浦·九年級(jí)?？计谥校┤绻鸄D是Rt△ABC的斜邊BC上的高，BC=a，∠B=β，那么AD等于（

A．a(chǎn)sinβcosβ B．a(chǎn)cos2【答案】A【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再由銳角三角函數(shù)的定義及三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，∵在Rt△ABC中，AD是斜邊BC上的高，BC=a，∠B=β∴AC=αcosβ，∵AD⊥BC，∴BC?AD=AC?AB，，∴AD=AC?AB故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023秋·陜西西安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠B=90°，E是BC邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作ED⊥AC，垂足為D，AB=4，DE=3，∠C=30°，求BE

【答案】4【分析】在Rt△CDE中，CE=DEsinBC=ABtan30°【詳解】解：在Rt△CDE中，sinC=DECE，∴CE=DE在Rt△ABC中，tanC=AB∴BC=AB∴BE=BC?CE=43【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值并準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°．D為線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)若D運(yùn)動(dòng)到某個(gè)位置時(shí)，∠CDB=60°，CD=10米，求BC的長(zhǎng)度．(2)若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到某個(gè)位置時(shí)，∠CDB=45°，AD=6米．求BC的長(zhǎng)度．（結(jié)果可保留根號(hào)）【答案】(1)53(2)33【分析】（1）在△ABC中，在Rt△ABC（2）設(shè)BC=x，則CB=BD=x，在Rt△ABC【詳解】（1）解：在△ABC中，∠B=90°，sin∠CDB=BCCD則BC==答：此時(shí)BC長(zhǎng)為53（2）解：設(shè)BC=x，在Rt△CBD中，則△CBD是等腰直角三角形，CB=BD=x在Rt△ABC中，∠B=90°，tantan30°=則AB=AD=AB?BD=x=3答：BC的長(zhǎng)度為33【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)在解直角三角形中的應(yīng)用，明確三角函數(shù)的定義式及其變形是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023秋·廣西梧州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，sinB=45，D為線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，并且CD=2，求

【答案】BD=4，cos【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系得出AB的長(zhǎng)，再利用勾股定理得出BC的長(zhǎng)，即可得出BD的長(zhǎng)，直接利用勾股定理得出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案．【詳解】解：在Rt△ABC中，sin∵AC=8，∴AB=10，BC=A又∵BD=BC?CD，CD=2，∴BD=6?2=4，在Rt△ACD∴AD=A∴cos∠DAC=【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形，正確利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出是解題關(guān)鍵．【題型2構(gòu)造直角三角形解直角三角形】【例2】（2023秋·廣西梧州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知在△ABC中，AB=122，AC=13，cosB=22，則A．7 B．8 C．8或17 D．7或17【答案】D【分析】①過(guò)A作AD⊥BC交BC于D，可求BD122=22，AD=BD，從而可求BD=AD=12，CD=AC2?AD2【詳解】解：①如圖，過(guò)A作AD⊥BC交BC于D，

∵cosB=∵BDAB=∴BD122=∴BD=AD=12，∴CD==13∴BC=BD+CD=17；②如圖，過(guò)A作AD⊥BC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于D，

∴BD=AD=12，CD=5，∴BC=BD?CD=7；綜上所述：BC的長(zhǎng)為7或17．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，掌握解法是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023秋·上海靜安·九年級(jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知將△ABC沿角平分線(xiàn)BE所在直線(xiàn)翻折，點(diǎn)A恰好落在邊BC的中點(diǎn)M處，且AM=BE，那么∠EBC的余弦值為.

【答案】3【分析】設(shè)AM與BE交點(diǎn)為D，過(guò)M作MF∥BE交AC于F，證出MF為△BCE的中位線(xiàn)，由三角形中位線(xiàn)定理得出MF=12BE，由翻折變換的性質(zhì)得出：AM⊥BE，AD=MD，同理由三角形中位線(xiàn)定理得出DE=12MF，設(shè)DE=a，則MF=2a，【詳解】解：設(shè)AM與BE交點(diǎn)為D，過(guò)M作MF∥BE交AC于

∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴F為CE的中點(diǎn)，∴MF為△BCE的中位線(xiàn)，∴MF=1由翻折變換的性質(zhì)得：AM⊥BE，AD=MD，同理：DE是△AMF的中位線(xiàn)，∴DE=1設(shè)DE=a，則MF=2a，AM=BE=4a，∴BD=3a，MD=1∵∠BDM=90°，∴BM=B∴cos故答案為：313【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)定理、平行線(xiàn)的性質(zhì)、三角函數(shù)；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，通過(guò)作輔助線(xiàn)由三角形中位線(xiàn)定理得出MF=12BE【變式2-2】（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，3個(gè)大小完全相同的正六邊形無(wú)縫隙、不重疊的拼在一起，連接正六邊形的三個(gè)頂點(diǎn)得到△ABC，則tan∠ACB的值是

【答案】2【分析】如圖所示，補(bǔ)充一個(gè)與已知相同的正六邊形，根據(jù)正六邊形的內(nèi)角為120°，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1，求得CD,AD，根據(jù)正切的定義，即可求解．【詳解】解：如圖所示，補(bǔ)充一個(gè)與已知相同的正六邊形，

∵正六邊形對(duì)邊互相平行，且內(nèi)角為120°，∴∠EDF=30°,∠ADB=90°

過(guò)點(diǎn)E作EG⊥FD于G，∴FD=2FG=2EF×設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1，則CD=3，AD=2FD=23∴tan故答案為：23【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023秋·上海靜安·九年級(jí)上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，BD⊥AC于點(diǎn)D，將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角的大小與∠CBA相等，如果點(diǎn)C、D旋轉(zhuǎn)后分別落在點(diǎn)E、F的位置，那么∠EFD的正切值是．

【答案】1【分析】由題意畫(huà)圖如下，過(guò)A作AQ⊥BC于Q，過(guò)D作DP⊥BC于P，DH⊥BF于H，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求得∠CBA=∠BCA，BQ=CQ=3，AQ=4，利用三角形的面積公式求得BD=245，進(jìn)而利用勾股定理和銳角三角函數(shù)求得CD=185，DP=7225，CP=5425，則BP=9625，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和矩形的判定與性質(zhì)證明四邊形BPDH是矩形得到【詳解】解：由題意畫(huà)圖如下，過(guò)A作AQ⊥BC于Q，過(guò)D作DP⊥BC于P，DH⊥BF于H，

∵AB=AC=5，BC=6，∴∠CBA=∠BCA，BQ=CQ=3，則AQ=A由S△ABC=1∴CD=B∵sin∠C=AQAC∴DP=4×1855=由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得BF=BD=245，∠BFE=∠BDC=90°，∴∠FBC=∠DBF+∠CBD=∠CBA+∠CBD=∠C+∠CBD=90°，∴∠FBC=∠BPD=∠BHD=90°，∴四邊形BPDH是矩形，∴BH=DP=7225，∴FH=BF?BH=24∵∠BFE=∠BHD=90°，∴EF∥∴∠EFD=∠FDH，在Rt△FHD中，tan∴tan∠EFD=故答案為：12【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形、矩形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，利用銳角三角函數(shù)尋求邊角關(guān)系是解答的關(guān)鍵．【題型3網(wǎng)格中解直角三角形】【例3】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）如圖是由小正方形組成的8×8網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，A，C兩個(gè)點(diǎn)是格點(diǎn)．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫(huà)圖，畫(huà)圖過(guò)程用虛線(xiàn)表示．(1)在圖中，點(diǎn)B是格點(diǎn)，先畫(huà)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)D，再在A(yíng)C上畫(huà)點(diǎn)E，使AD=DE；

(2)在圖中，點(diǎn)B在格線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線(xiàn)CF；

(3)在圖中，點(diǎn)B在格線(xiàn)上，在A(yíng)B上畫(huà)點(diǎn)G，使tan∠ACG=

【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)詳見(jiàn)解析(3)詳見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)先作線(xiàn)段AB的中點(diǎn)D，然后作AC的垂線(xiàn)，交AC于點(diǎn)E，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，即可得出AD=DE；（2）連接BC，利用正方形網(wǎng)格確定BC中點(diǎn)，然后連接點(diǎn)A與中點(diǎn)，延長(zhǎng)，利用網(wǎng)格及矩形的對(duì)角線(xiàn)即可確定點(diǎn)F；（3）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)將線(xiàn)段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，然后利用網(wǎng)格使得兩個(gè)相似三角形的比為4:3，連接點(diǎn)C與交點(diǎn)交AB于點(diǎn)G，則點(diǎn)G即為所求．【詳解】（1）解：解：如圖所示，點(diǎn)D,E即為所求；

（2）如圖所示：CF即為所求；

（3）如圖所示：點(diǎn)G即為所求；

【點(diǎn)睛】本題考查了正切的定義，無(wú)刻度直尺作圖，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023秋·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)，線(xiàn)段AB與CD相交于點(diǎn)P，則∠APD的正切值為．【答案】3【分析】作M、N兩點(diǎn)，連接CM，DN，根據(jù)題意可得CM∥AB，從而可得∠APD＝∠NCD，然后先利用勾股定理的逆定理證明△CDN是直角三角形，然后再利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：如圖所示，作M、N點(diǎn)，連接CM、DN，由題意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由題意得：CN2=12∴CN∴△CDN是直角三角形，∴tan∠DCN=∴∠APD的正切值為：3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023秋·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A、B、C、D是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，AB、CD交于點(diǎn)O，則cos∠BOD的值為．【答案】5【分析】連接AE、BE，利用正方形的性質(zhì)證明CD∥AE、∠AEB=90°，這樣把求∠BOD的余弦值轉(zhuǎn)化為求【詳解】解：如圖，連接AE、根據(jù)勾股定理，得AE=2，AB=∵AE、∴∠BCD=∠CBD=45°，∴∠CDB=90°，同理∠AEB=90°，∴CD∥∴∠BOD＝在Rt△ABE中，cos∠BAE=故答案為：55【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，平行線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【變式3-3】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖是由小正方形組成的8×6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫(huà)圖，畫(huà)圖過(guò)程用虛線(xiàn)表示．

(1)在圖（1）中，D，E分別是邊AB，AC與網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)．先將點(diǎn)C繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)F，畫(huà)出點(diǎn)F；再在邊AB上畫(huà)點(diǎn)G，使EG∥(2)在圖（2）中，在邊AB上找一點(diǎn)P，使PA=PC；再在線(xiàn)段AC上找一點(diǎn)Q，使tan【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）點(diǎn)C繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°即延長(zhǎng)CD即可找到點(diǎn)F，最后構(gòu)造平行四邊形ABCF即可解決問(wèn)題；（2）先構(gòu)造正方形，然后找到對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)和AC中點(diǎn)，連接兩點(diǎn)的直線(xiàn)與AB的交點(diǎn)即為所作點(diǎn)P；點(diǎn)Q就是△ABC邊AC高的垂足．【詳解】（1）如圖，

如圖（1），根據(jù)網(wǎng)格可知CD=DF,AD=BD，BH=CE，∴四邊形ACBF是平行四邊形，∴AC∥BF∴四邊形CEHB是平行四邊形，∴EH∥BC，即有EG∥BC，∴如圖（1）點(diǎn)F、G即為所求；（2）如圖，

如圖（2），根據(jù)網(wǎng)格可知，四邊形ABEF為正方形，AQ=CQ，∴OA=OC=OE=OF，∴點(diǎn)O在A(yíng)C垂直平分線(xiàn)上，點(diǎn)S在A(yíng)C垂直平分線(xiàn)上，∴MN垂直平分AC，∴PA=PC，根據(jù)網(wǎng)格易得：∠BAI=90°，AB=AI，H是AI的四等分點(diǎn)，連接BH交AC于點(diǎn)∴AH=在RtABH中，tan∠ABH=AH∴如圖（1）點(diǎn)P、Q即為所求；【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)刻度直尺作圖，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形，正方形的性質(zhì)和判定，垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用．【題型4坐標(biāo)系中解直角三角形】【例4】（2023·河南洛陽(yáng)·校聯(lián)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABOC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，∠BOC=60°，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,3)，y=kx的圖象與菱形對(duì)角線(xiàn)AO交于點(diǎn)D，連接BD，當(dāng)

A．?23 B．?33 C．?43【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，由∠BOC=60°，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,3)，可求得OC的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)，可求得OB的長(zhǎng)，且∠AOB=30°，繼而求得DB的長(zhǎng)，則可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，又由反比例函數(shù)y=kx的圖象與菱形對(duì)角線(xiàn)【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，

∵頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,∴OE=?a，CE=3，∴OC=CE∵菱形ABOC中，∠BOC=60°，∴OB=OC=23，∠BOD=∵DB⊥x軸，∴DB=OB?tan∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：?23∵反比例函數(shù)y=kx的圖象與菱形對(duì)角線(xiàn)AO交于點(diǎn)∴k=xy=?43故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．注意準(zhǔn)確作出輔助線(xiàn)，求出OC是解本題關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·廣東湛江·嶺師附中校聯(lián)考一模）如圖，在△ABO中，AB⊥OB，AB=3，OB=1，把△ABO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后，得到△A1B1

【答案】1,?【分析】首先根據(jù)勾股定理得到AO=OB2+AB2=2，然后求出∠A=30°，∠AOB=60°，然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠AOA1【詳解】∵AB⊥OB，AB=3，OB=1∴AO=OB2∴sinA=∴∠A=30°，∠AOB=60°，∵如圖所示，把△ABO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后，得到△A

∴∠AOA1=120°∴∠A∴點(diǎn)A和點(diǎn)A1關(guān)于x∵A1,∴A1故答案為：1,?3【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)：圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來(lái)求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖：已知一次函數(shù)圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B．OB=3，tan∠BAO=

(1)求直線(xiàn)AB的解析式；(2)若點(diǎn)C在x軸上方的直線(xiàn)AB上，△AOC的面積為15，求tan∠BOC【答案】(1)y=(2)4【分析】（1）利用tan∠BAO=12求出OA（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，根據(jù)△AOC的面積求出CH，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出OH，則tan∠BOC=【詳解】（1）解：∵OB=3，點(diǎn)B在y軸正半軸上，∴B0,3∵tan∠BAO=∴OA=OB∵點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，∴A?6,0設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b，將A?6,0，B?6k+b=0b=3解得k=1∴直線(xiàn)AB的解析式為y=1（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，則CH∥

∵S△AOC∴CH=2∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為5，∵點(diǎn)C在直線(xiàn)y=12x+3上，將y=5解得x=4∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，即OH=4，∴tan∠OCH=∵CH∥∴∠OCH=∠BOC，∴tan∠BOC=【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形．【變式4-3】（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)y=kx+6k交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)A，AB=2AO．

(1)如圖1，求k的值；(2)如圖2，點(diǎn)H在A(yíng)B上，點(diǎn)F在OB上，連接FH、OH，且FH=OH，過(guò)點(diǎn)F作AB的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)S，設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為t，?3<t<?1，線(xiàn)段SH的長(zhǎng)為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖3，在（2）的條件下，將線(xiàn)段OH繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段OE，連接AE并延長(zhǎng)交x軸于C，連接HC，點(diǎn)K是HC的中點(diǎn)，連接EK，當(dāng)tan∠SHF=310【答案】(1)k=(2)d=?(3)5【分析】（1）令y=0求得B(?6,0)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠ABO=30°，在Rt△AOB中，利用銳角三角形函數(shù)求得OA=23，即A0,23，把點(diǎn)（2）過(guò)點(diǎn)H作HK⊥x軸，由（1）可知，OB=6，∠ABO=30°，由FH=OH，HK⊥x軸，可得FK=KO=?t，從而可得BK=6+t，BF=6+2t，在Rt△BKH和Rt△BFS中，利用銳角三角形求得BH=43（3）連接HE，連接OK并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)L，過(guò)點(diǎn)H作HG⊥AO于點(diǎn)G，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△OHE是等邊三角形，則A,H,O,E四點(diǎn)共圓，證明△AOB≌△AOC，根據(jù)點(diǎn)K是HC的中點(diǎn)，進(jìn)而得出△AOL是等邊三角形，KL=12AH，證明△AHG≌△EKL得出EK=HG=?t【詳解】（1）解：令y=0可得，kx+6k=0，解得x=?6，∴B(?6,0)，∴OB=6，∵AB=2AO，∠AOB=90°，∴∠ABO=30°，在Rt△AOB中，tan∴OA=23∴A0,2將點(diǎn)A0,23代入直線(xiàn)y=kx+6k得，解得k=3（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)H作HK⊥x軸，∵點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為t，HK⊥x軸，∴KO=?t，又∵FH=OH，∴FK=KO=?t，由（1）可知，OB=6，∠ABO=30°，∴BK=6+t，BF=6+2t，在Rt△BKH中，cos∴BH=43在Rt△BFS中，cos∴BS=33∴d=HS=BH?BS=43

（3）解：連接HE，連接OK并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)L，過(guò)點(diǎn)H作HG⊥AO于點(diǎn)G，

∵線(xiàn)段OH繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段OE，∴∠HOE=60°，則△OHE是等邊三角形，∴∠HAO=∠HOE=60°，∴A,H,O,E四點(diǎn)共圓，∴∠OAC=∠OHE=60°在△AOB與△AOC中，∠BAO=∠CAO∴△AOB≌△AOC∴OB=OC，AC=AB，∵點(diǎn)K是HC的中點(diǎn)，∴OK=12BH=∴∵KL∥AB，K為則AL∴AL=LC則△AOL是等邊三角形，KL=1∵∠HAG=60°,AG⊥HG，∴∠AHG=30°∴AG=1又∠AGH=∠EKL=90°，∴△AHG≌△EKL，∴EK=HG=?t，∵BF=6+2t∴FS=1∵tan∠SHF=SFSH即3+t解得：t1∴SH=3+∴S【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與結(jié)合圖形，三角函數(shù)的定義，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，解一元二次方程，同弧所對(duì)的圓周角相等，列函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【題型5四邊形中解直角三角形】【例5】（2023·海南儋州·海南華僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，點(diǎn)E為對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE交BC于點(diǎn)F．連接AF交BE于點(diǎn)O，若AB=AE，則線(xiàn)段AF與BD的位置關(guān)系為；BF的長(zhǎng)為

【答案】AF⊥BD9【分析】先證Rt△ABF≌Rt△AEF可得∠BAF=∠EAF，再根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得AF⊥BD，再由面積法可求AO=125【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°．∵AB=3，∴BD=AB2∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°．在Rt△ABF和RtAB=AE,∴△ABF≌△AEFHL∴∠BAF=∠EAF．又∵AB=AE，∴AF⊥BD．∴12∴AO=AB?AD∴BO=A∴cos∠CBD=∴BF=5故答案為AF⊥BD，94【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)判定、性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023秋·陜西渭南·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在A(yíng)D上，且EC平分∠BED，AB=3，∠ABE=30°，DE的長(zhǎng)為（

A．1 B．2 C．3 D．2【答案】A【分析】由矩形性質(zhì)可得AB=CD=3，∠A=∠D=90°，由角平分線(xiàn)定義和直角三角形的性質(zhì)可得∠DCE=30°【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，∠A=∠D=90°∵∠ABE=30°，∴∠AEB=60°，∴∠BED=180°?60°=120°，∵EC平分∠BED，∴∠DEC=1∴∠DCE=30°，∴tan∴DE=1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推論是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知菱形的一個(gè)內(nèi)角為60°，一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為43，則另一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為【答案】4或12【分析】題中沒(méi)有指明該對(duì)角線(xiàn)是較長(zhǎng)的對(duì)角線(xiàn)還是較短的對(duì)角線(xiàn)，所以應(yīng)分兩種情況進(jìn)行分析求解．【詳解】解：如圖，菱形ABCD中，∠ABC=60°，若AC=43∵AC⊥BD，∠ABF=12∠ABC=30°∴BF=AF∴BD=2BF=12；若BD=43∵AC⊥BD，∠ABF=12∠ABC=30°∴AF=BF?tan∴AC=2AF=4；故答案為：4或12．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和解直角三角形，熟練掌握菱形的性質(zhì)、靈活應(yīng)用分類(lèi)思想是關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知平行四邊形ABCD中，E為BC邊上一點(diǎn)，連接AE、DE，若AD=DE，AE=DC，BE=4，tan∠B=3，則EC的長(zhǎng)為【答案】6【分析】作AF⊥BE,DG⊥AE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合tan∠B可求AE；根據(jù)AD∥CB可得∠B=∠AEB=∠DAE，再次利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合tan∠DAE即可求【詳解】解：作AF⊥BE,DG⊥AE，如圖所示：∵AE=DC,AB=DC∴AB=AE,∠B=∠AEB∵AD∴∠AEB=∠DAE∴∠B=∠AEB=∠DAE∵BE=4∴BF=EF=2∵tan∴AF=6,AB=AE=∵AD=DE,DG⊥AE∴AG=EG=∵tan∴DG=3∴BC=AD=10∵BE=4∴EC=BC?BE=6故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、正切的定義，綜合性較強(qiáng)．作垂線(xiàn)構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．【題型6利用解直角三角形求不規(guī)則圖形的面積】【例6】（2023春·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在△ABC中，∠B＝45°，AC＝4，則△ABC面積的最大值為（

）A．42 B．42＋4 C．8 D．82+8【答案】B【詳解】：∵∠B=45°，AC=b=4，∴由余弦定理cosB=a2+c∴2ac=a2∴ac≤162?∴△ABC面積S=12則△ABC面積的最大值為4+42故選B．【變式6-1】（2023秋·上?！ぞ拍昙?jí)上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬大境初級(jí)中學(xué)校考期中）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是邊AB上一點(diǎn)，且

(1)試求cosB(2)試求△BCD的面積．【答案】(1)cos(2)S【分析】（1）作AE⊥BC于E，得BE=CE=4，于是cosB=BE（2）作DF⊥BC于F，則tan∠DCF=DFCF=35，設(shè)DF=3x，則CF=5x，可求tanB=AEBE=3【詳解】（1）解：作AE⊥BC于E，如圖，

∵AB=AC，∴BE=CE=1在Rt△ABE中，cosB=（2）作DF⊥BC于F，如圖，在Rt△CDF中，tan設(shè)DF=3x，則CF=5x，

在Rt△ABE中，AE=5∴tanB=在Rt△BDF中t而DF=3x，∴BF=4x，∴BC=BF+CF=4x+5x=9x，即9x=8，解得x=8∴DF=3x=8∴S△BCD【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)、解直角三角形，等腰三角形性質(zhì)；靈活運(yùn)用解直角三角形求解線(xiàn)段是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·福建漳州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下列材料：如圖1.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，可以得到：S證明：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D．在Rt△ABD中，sin∴AD=c?∴S同理：SSΔABC∴S（1）通過(guò)上述材料證明：a（2）運(yùn)用（1）中的結(jié)論解決問(wèn)題：如圖2，在ΔABC中，∠B=15°，∠C=60°，AB=203，求AC（3）如圖3，為了開(kāi)發(fā)公路旁的城市荒地，測(cè)量人員選擇A、B、C三個(gè)測(cè)量點(diǎn)，在B點(diǎn)測(cè)得A在北偏東75°方向上，沿筆直公路向正東方向行駛18km到達(dá)C點(diǎn)，測(cè)得A在北偏西45°方向上，根據(jù)以上信息，求A、B、C三點(diǎn)圍成的三角形的面積．（本題參考數(shù)值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，2≈1.4，結(jié)果取整數(shù)）【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）12

（3）38【分析】（1）根據(jù)材料中的S△ABC=12absinC=12acsinB=（2）根據(jù)公式ABsinC（3）先根據(jù)公式計(jì)算AC的長(zhǎng)，由S△ABC=12AC×BC×sin∠【詳解】（1）∵12absinC=12acsinB，∴bsinC=csinB，∴bsinB=（2）由題意得：∠B=15°，∠C=60°，AB=203，∴ABsinC=ACsinB，即203sin60°=AC（3）由題意得：∠ABC=90°﹣75°=15°，∠ACB=90°﹣45°=45°，∠A=180°﹣15°﹣45°=120°，由asinA=bsinB=csinC得：18sin120°=ACsin15°，∴AC=6，∴S△ABC=12AC×BC【點(diǎn)睛】本題是閱讀材料問(wèn)題，考查了解直角三角形、三角形面積、比例的性質(zhì)，關(guān)鍵是理解并運(yùn)用公式S△ABC=12absinC=1【變式6-3】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝8，D、E分別是邊BC、AB上的一點(diǎn)，若tan∠DEA＝2，DE＝5，S△DEB＝4，求四邊形ACDE的面積．【答案】33629【分析】作DH⊥AB于H，CN⊥AB于N，BM⊥AC交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于M．由題意易知tan∠DBH＝DHHB＝CNBN＝25，可以假設(shè)CN＝2k，BN＝5k，則BC＝29k，再根據(jù)tan∠A＝BM【詳解】解：如圖，作DH⊥AB于H，CN⊥AB于N，BM⊥AC交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于M．在Rt△DHE中，∵tan∠DEH＝DHEH＝2，DE＝5∴DH＝2，EH＝1，∵S△DEB＝12∴4＝12∴EB＝4，BH＝5，∵tan∠DBH＝DHHB＝CNBN＝∴可以假設(shè)CN＝2k，BN＝5k，則BC＝29k，∵∠ACB＝135°，∴∠MCB＝45°，∴CM＝BM＝22×29＝58∵tan∠A＝BMAM＝CN∴582k8+解得：k＝65829或﹣∴AB＝AN+BN＝282∴S四邊形ACDE＝S△ABC﹣S△DEB＝1＝33629【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．【題型7解直角三角形的應(yīng)用之坡度坡比問(wèn)題】【例7】（2023·山西陽(yáng)泉·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）根據(jù)山西省人民政府辦公廳印發(fā)的《山西省推進(jìn)分布式可再生能源發(fā)展三年行動(dòng)計(jì)劃（2023-2025年）》，從2023年開(kāi)始，每年選擇2-3個(gè)左右鄉(xiāng)鎮(zhèn)，利用各類(lèi)村閑置集體土地開(kāi)發(fā)建設(shè)分散式風(fēng)電幫扶小鎮(zhèn)，新增發(fā)電裝機(jī)100萬(wàn)千瓦左右．如圖1，是某地山坡上新建的一臺(tái)風(fēng)力發(fā)電機(jī)，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)為測(cè)量這臺(tái)發(fā)電機(jī)AB的高度，如圖2，在C處測(cè)得發(fā)電機(jī)底端B的仰角為15°，沿水平地面前進(jìn)30m到達(dá)D處，測(cè)得發(fā)電機(jī)頂端A的仰角為53°，若AB⊥DC于點(diǎn)E，圖中點(diǎn)A，B，C，D，E均在同一平面內(nèi)，測(cè)得山坡的坡角∠BDE=30°

(1)求斜坡BD的長(zhǎng)；(2)求這臺(tái)風(fēng)力發(fā)電機(jī)AB的高度（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°【答案】(1)斜坡BD的長(zhǎng)為30(2)這臺(tái)風(fēng)力發(fā)電機(jī)AB的高度約為20米【分析】（1）根據(jù)等角對(duì)等邊性質(zhì)求解即可；（2）首先利用30°角直角三角形的性質(zhì)得到DE=3BE=153【詳解】（1）由題意，得∠BCE=15°，CD=30m∵∠BDE是△CDB的一個(gè)外角，∴∠CBD=∠BDE?∠BCE=15°．∴∠CBD=∠BCE=15°．∴CD=BD=30m答：斜坡BD的長(zhǎng)為30m（2）在Rt△BDE中，∠BDE=30°，DB=30∴BE=1∴DE=3在Rt△AED中，∠ADE=53°∴AE=DE?tan∴AB=AE?BE=203答：這臺(tái)風(fēng)力發(fā)電機(jī)AB的高度約為20米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題，解題關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義并正確運(yùn)用．【變式7-1】（2023秋·廣西柳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某地下車(chē)庫(kù)的入口處有斜坡AB，它的坡度為i=1:2，斜坡AB的長(zhǎng)為65m，斜坡的高度為AHAH⊥BC，為了讓行車(chē)更安全，現(xiàn)將斜坡的坡角改造為14°

(1)求車(chē)庫(kù)的高度AH；(2)求點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97【答案】(1)6(2)12【分析】（1）根據(jù)坡度，可求得sin∠ABH的值，根據(jù)AH=AB·（2）根據(jù)BH=2AH，CH=AHtan∠ACB，可分別求得BH【詳解】（1）根據(jù)題意，得AHBH所以，sin∠ABH=所以，AH=AB·sin所以，車(chē)庫(kù)的高度AH為6m（2）根據(jù)題意，得BH=2AH=12m，CH=所以，BC=CH?BH≈24?12≈12m所以，點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離為12m【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，牢記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023·河北滄州·統(tǒng)考二模）某場(chǎng)地的跑道分為上坡、平地、下坡三種類(lèi)型．一架無(wú)人機(jī)始終以每分0.2km的速度在離水平地面500m的高度勻速向右飛行，在運(yùn)動(dòng)員的正上方進(jìn)行跟蹤拍攝．如圖為無(wú)人機(jī)飛行以及運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)路徑的圖像．已知OA=103km，AB=1km，OA的坡度

(1)求坡面OA的垂直高度?；(2)求直線(xiàn)BC的函數(shù)解析式，并求運(yùn)動(dòng)員在下坡路段的速度；(3)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明運(yùn)動(dòng)員在O?A?B?C上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，與無(wú)人機(jī)距離不超過(guò)300m【答案】(1)?=(2)y=?x+73(3)23【分析】（1）根據(jù)坡度的定義直接求解即可；（2）結(jié)合題意確定B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用幾何圖形性質(zhì)確定C點(diǎn)坐標(biāo)，從而結(jié)合待定系數(shù)法求解析式即可；由于運(yùn)動(dòng)員在BC上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間和無(wú)人機(jī)在EC水平方向上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，從而求出運(yùn)動(dòng)員的時(shí)間，再結(jié)合前序步驟結(jié)論求出BC的長(zhǎng)度，即可求出速度；（3）用待定系數(shù)法求直線(xiàn)OA的解析式，然后求出運(yùn)動(dòng)員在線(xiàn)段OA上與無(wú)人機(jī)距離等于300m的時(shí)刻，再求出BC上與無(wú)人機(jī)距離等于300【詳解】（1）解：如圖所示，作AD⊥OC于D點(diǎn)，∵OA的坡度i=1:3，∴AD:OD=1:3，設(shè)AD=?，則OD=3?，根據(jù)勾股定理，OA=10∵OA=10∴103=10∴坡面OA的垂直高度?=1（2）解：如圖所示，作BE⊥OC于E點(diǎn)，則四邊形ADEB為矩形，BE=AD=1由（1）可知，OD=3?=1，∵AB=1，∴DE=AB=1，∴OE=1+1=2，即：B點(diǎn)的坐標(biāo)為B2,∵∠BCE=45°，∴BE=CE=13，即：C點(diǎn)坐標(biāo)為C7設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為：y=kx+bk≠0將B2,13，C∴直線(xiàn)BC的解析式為：y=?x+7由題意，運(yùn)動(dòng)員在BC上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間和無(wú)人機(jī)在EC水平方向上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，∵CE=13km∴無(wú)人機(jī)在EC水平方向上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：13即運(yùn)動(dòng)員在BC上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為53∵BE=CE=1∴BC=2∴運(yùn)動(dòng)員在BC上的速度為：23（3）解：由（1）可知，A點(diǎn)坐標(biāo)為A1,設(shè)直線(xiàn)OA解析式為：y=axa≠0將A1,13∴直線(xiàn)OA解析式為：y=1當(dāng)0.5?y=0.3時(shí)，即：0.5?13x=0.3∴0.6÷0.2=3min，即：運(yùn)動(dòng)員出發(fā)3min后，與無(wú)人機(jī)距離恰好為由（2）可知，直線(xiàn)BC的解析式為：y=?x+7當(dāng)0.5?y=0.3時(shí)，即：0.5??x+73∴3215÷0.2=323min∴與無(wú)人機(jī)距離不超過(guò)300m的時(shí)長(zhǎng)為：32∴與無(wú)人機(jī)距離不超過(guò)300m的時(shí)長(zhǎng)為23

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，理解函數(shù)圖像所對(duì)應(yīng)的實(shí)際信息，準(zhǔn)確求出各部分函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．【變式7-3】（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，堤壩AB長(zhǎng)為10m，坡度i為1:0.75，底端A在地面上，堤壩與對(duì)面的山之間有一深溝，山頂D處立有高20m的鐵塔CD．小明欲測(cè)量山高DE，他在A(yíng)處看到鐵塔頂端C剛好在視線(xiàn)AB上，又在壩頂B處測(cè)得塔底D的仰角α為26°35'．求堤壩高及山高DE．（sin26°35'

【答案】堤壩高為8米，山高DE為20米．【分析】過(guò)B作BH⊥AE于H，設(shè)BH=4x，AH=3x，根據(jù)勾股定理得到AB=AH2+BH2=5x=10，求得AH=6，BH=8，過(guò)B【詳解】解：過(guò)B作BH⊥AE于H，

∵坡度i為1:0.75，∴設(shè)BH=4x，AH=3x，∴AB=A∴x=2，∴AH=6，過(guò)B作BF⊥CE于F，則EF=BH=8，設(shè)DF=a，∵α=26°35∴BF=DF∴AE=6+2a，∵坡度i為1:0.75，∴CE：∴a=12，∴DF=12（米），∴DE=DF+EF=12+8=20（米），答：堤壩高為8米，山高DE為20米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-俯角仰角，解直角三角形的應(yīng)用-坡角坡度，正確地作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．【題型8解直角三角形的應(yīng)用之俯角仰角問(wèn)題】【例8】（2023春·湖南永州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，建筑物AB后有一座小山，∠DCF=30°，測(cè)得小山坡腳C點(diǎn)與建筑物水平距離BC=25米，若山坡上E點(diǎn)處有一涼亭，且涼亭與坡腳距離CE=20米，某人從建筑物頂端A點(diǎn)測(cè)得E點(diǎn)處的俯角為48°．求建筑物AB的高（精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：3≈1.7，sin48°≈0.7，cos48°≈0.6，tan48°≈1.1，sin

【答案】57.0米【分析】過(guò)E作EM⊥BF于M，根據(jù)三角函數(shù)得出EM，過(guò)E作EN⊥AB，交AB于點(diǎn)N，根據(jù)三角函數(shù)得出CM，NE，AN，進(jìn)而解答即可．【詳解】解：如圖，過(guò)E作EM⊥BF于M，

∵∠DCF=30°，CE=20米，∴EM=CE?sin過(guò)E作EN⊥AB，交AB于點(diǎn)N，BN=EM=10米，NE=BM，∠BNE=90°，在Rt△CME中，CM=CE?∴NE=BM=BC+CM=(25+103∵α=48°，∴∠EAN=90°?α=42°，在Rt△ANE中，AN=∴AB=AN+BN=57.0米，答：建筑物AB的高約為57.0米【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用?坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023·河南鄭州·?？既＃┖幽鲜〉欠馐芯硟?nèi)的嵩岳寺塔是中國(guó)現(xiàn)存年代最久的佛塔，堪稱(chēng)世界上最早的筒體建筑．某校數(shù)學(xué)社閉的同學(xué)利用所學(xué)知識(shí)來(lái)測(cè)量嵩岳寺塔的高度，如圖，CD是嵩岳寺塔附近不遠(yuǎn)處的某建筑物，他們?cè)诮ㄖ顲D底端D處利用測(cè)角儀測(cè)得嵩岳寺塔頂端B的仰角為60°，在建筑物CD頂端C處利用測(cè)角儀測(cè)得嵩岳寺塔底端A的俯角為35°，已知建筑物CD的高為15米，AB⊥AD，CD⊥AD，點(diǎn)A，D在同一水平線(xiàn)上，求嵩岳寺塔AB的高度．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin

【答案】約為37.1米【分析】由題意得CD=15米，∠BDA=60°，∠CAD=35°，在Rt△CAD中，tan∠CAD=CDAD，則AD=CDtan35°【詳解】解：由題意得CD=15米，∠BDA=60°，在Rt△CAD中，tan∴AD=CD在Rt△ABD中，tan∴AB=AD·tan∴AB=15答：嵩岳寺塔AB的高度約為37.1米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——俯、仰角．解題的關(guān)鍵在于明確線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系．【變式8-2】（2023春·山東菏澤·九年級(jí)統(tǒng)考期中）某校數(shù)學(xué)興趣小組借助無(wú)人機(jī)測(cè)量一條河流的寬度CD，如圖所示，一架水平飛行的無(wú)人機(jī)在A(yíng)處測(cè)得正前方河流的左岸C處的俯角為α，無(wú)人機(jī)沿水平線(xiàn)AF方向繼續(xù)飛行60米至B處，測(cè)得正前方河流右岸D處的俯角為30°．線(xiàn)段AM的長(zhǎng)為無(wú)人機(jī)距地面的垂直高度，點(diǎn)M，C，D在同一條直線(xiàn)上，其中tanα=3，MC=60

(1)求無(wú)人機(jī)的飛行高度AM；（結(jié)果保留根號(hào)）(2)求河流的寬度CD．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3【答案】(1)1803(2)河流的寬度CD約為496米【分析】（1）根據(jù)題意可得AF∥DM，從而可得∠ACM＝α，然后在（2）過(guò)點(diǎn)B作BN⊥DM，垂足為N，根據(jù)題意可得AB=MN=60米，AM=BN=1803米，∠BDC=30°，然后在Rt△BDN中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DN的長(zhǎng)，從而求出【詳解】（1）解：解：由題意得：AF∥∴∠ACM=∠FAC=α，在Rt△AMC中，MC=603，∴AM=MC?tan∴無(wú)人機(jī)的飛行高度AM為1803（2）解：過(guò)點(diǎn)B作BN⊥DM，垂足為N，

則AB=MN=60，AM＝∵AF∥∴∠FBD=∠BDC=30°，在Rt△BDN中，DN=∴DM=MN+DN=60+540=600，∴CD=DM?MC=600?603∴河流的寬度CD約為496米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023秋·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）二七紀(jì)念塔位于鄭州市二七廣場(chǎng)，是獨(dú)特的仿古聯(lián)體雙塔．學(xué)完解直角三角形的知識(shí)后，某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的王華和張亮決定用自己所學(xué)到的知識(shí)測(cè)量二七紀(jì)念塔AB的高度．如圖，CD是紀(jì)念塔附近不遠(yuǎn)處的某建筑物，他們?cè)诮ㄖ顲D底端D處測(cè)得二七紀(jì)念塔頂端B的仰角為60°，在建筑物CD頂端C處測(cè)得二七紀(jì)念塔底端A的俯角為28°，已知建筑物CD的高為19米，AB⊥AD，CD⊥AD，求二七紀(jì)念塔AB的高度．（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：【答案】二七紀(jì)念塔AB的高度約為62米【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，可證明四邊形ADCE是矩形，得到AD=CE，AE=CD=19m，解Rt△AEC得到AD=CE≈35.85m【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，∵AB⊥AD，CD⊥AD，∴四邊形ADCE是矩形，∴AD=CE，在Rt△AEC中，tan∴CE=AE∴AD=CE≈35.85m在Rt△ABD中，tan∴AB=AD?tan∴二七紀(jì)念塔AB的高度約為62米．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【題型9解直角三角形的應(yīng)用之方向角問(wèn)題】【例9】（2023·重慶·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）五一節(jié)日到來(lái)，重慶又一次成為全國(guó)火熱城市，小明和小亮兩人相約去觀(guān)賞洪崖洞夜景，小明從A地出發(fā)，小亮從B地出發(fā)，相約到C地觀(guān)景．在A(yíng)處測(cè)得C在A(yíng)的北偏東45°方向上，在B處測(cè)得C在B的正北方向上，且B在A(yíng)的北偏東75°方向上．小明小亮同時(shí)分別從A、B兩地出發(fā)，他們約定先在A(yíng)C上的D處匯合，小明沿著AC方向慢跑，小亮沿著北偏西60°以150m/min的速度跑了2分鐘到達(dá)D（參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，

(1)求AB的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)他們?cè)贒處匯合的時(shí)間恰好為18：58，若他們匯合之后立即沿DC方向同行的速度為200m/min（匯合時(shí)間忽略不計(jì)）則他們能在19：00【答案】(1)1502+150(2)能，理由見(jiàn)解析【分析】（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，根據(jù)題意得出∠CAE=45°,∠DAB=75°?45°=30°，∠BAE=90°?75°=15°，∠DBF=45°，得出BF=DF=22DB=1502m，在Rt△DAF（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥CE于點(diǎn)G，得出CD=2DG，Rt△BDG中，得出DG=1503，進(jìn)而求得CD的長(zhǎng)，依題意，【詳解】（1）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，

∵在A(yíng)的北偏東45°方向上，在B處測(cè)得C在B的正北方向上，且B在A(yíng)的北偏東75°方向上．∴∠CAE=45°,∠DAB=75°?45°=30°，∠BAE=90°?75°=15°，在Rt△ABE中，∠ABE=90°?∠BAE=90°?15°=75°∵小亮從B地出發(fā)，小亮沿著北偏西60°以150m/min的速度跑了∴BD=150×2=300m，∠CBD=60°，∴∠DBF=45°，∴BF=DF=22DB=150在Rt△DAF中，AF=∴AB=AF+FB=1502+150（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥CE于點(diǎn)G，

∵∠EAC=45°，∠E=90°，∴∠C=45°，∴CD=2∵Rt△BDG中，∴CD=2DG=1506∵200×2=400>367.5，∴他們能在19：00之前到達(dá)C地．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，方向角問(wèn)題，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考三模）宿遷駱馬湖兩岸風(fēng)光如畫(huà)，大家都喜歡坐游船游覽觀(guān)光．如圖，在某兩段平行航道（不考慮其他因素），甲游船由西向東慢速航行，同時(shí)乙游船由東向西航行．喜愛(ài)數(shù)學(xué)的小華在甲游船到達(dá)點(diǎn)A處時(shí)測(cè)得C處的乙游船在甲游船的北偏東67.4°方向，向前行駛156m到點(diǎn)B處測(cè)得行駛到D處的乙游船在甲游船的北偏東37°方向，CD=240m，求第二次測(cè)量時(shí)甲、乙兩游船之間的距離．（參考數(shù)據(jù)sin22.6°≈513，cos22.6°≈1213，【答案】300【分析】根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，在直角三角形利用三角函數(shù)值求出對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)關(guān)系，設(shè)參數(shù)建立方程求出參數(shù)，即可求出DM和BM長(zhǎng)度，最后利用勾股定理即可求出答案.【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AB于N，如圖所示，根據(jù)題意得：∠1=90°?67.4°=22.6°，∠2=90°?37°=53°，∵DM⊥AB，CN⊥AB，AB∥∴∠3=∠4=∠MDC=∠DCN=90°，∴四邊形CDMN為矩形.∴MN=CD=240m，DM=CN.∴在Rt△DBM中，tan設(shè)DM=4xm則BM=3xm，∴在Rt△ACN中，tan∴4x∴48x=1980+15x.∴x=60.∴DM=4×60=240m，BM=3×60=180∴在Rt△DBM中，BD=∴第二次測(cè)量時(shí)甲、乙兩游船之間的距離約是300m【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形中的實(shí)際應(yīng)用，涉及到有銳角三角函數(shù)、勾股定理、矩形的面積，解題的關(guān)鍵在于正確理解題意，合理運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí).【變式9-2】（2023春·安徽合肥·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，某巡邏艇在海上例行巡邏，上午10時(shí)在C處接到海上搜救中心從B處發(fā)來(lái)的救援任務(wù)，此時(shí)事故船位于B處的南偏東25°方向上的A處，巡邏艇位于B處的南偏西28°方向上1260米處，事故船位于巡邏艇的北偏東58°方向上，巡邏艇立刻前往A處救援，已知巡邏艇每分鐘行駛120米，請(qǐng)估計(jì)幾分鐘可以到達(dá)事故船A處．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，sin53°≈45，【答案】估計(jì)8分鐘可以到達(dá)事故船A處【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，由題意得：BC=1260m，∠ABD=53°，∠ACB=30°，然后設(shè)AD=xm，分別在Rt△ABD和Rt△ADC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BD和CD的長(zhǎng)，從而根據(jù)CD+BD=BC，列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算可求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，由題意得：BC=1260m，∠ABD=28°+25°=53°，∠ACB=58°?28°=30°設(shè)AD=xm在Rt△ABD中，BD=在Rt△ADC中，CD=∵CD+BD=BC，∴3x+解得：x≈508.1，∴AD≈508.1m在Rt△ADC中，∠ACD=30°∴AC=2AD=1016.2m∴1016.2÷120≈8（分鐘），∴估計(jì)8分鐘可以到達(dá)事故船A處．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?方位角問(wèn)題，根據(jù)已知條件并結(jié)合圖形添加