第08講兩條直線的位置關(guān)系模塊一思維導圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．能根據(jù)直線的斜率或直線的法向量判定兩條直線相交、平行、重合或垂直.2．能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.3．能利用兩條直線的平行、垂直關(guān)系，求直線方程.知識點1兩條直線的相交、平行與重合1.斜截式方程下的結(jié)論：2.一般式方程下的結(jié)論：對于兩條直線，法向量分別為v1=(A1,B1)，v2=(A2,B2)（1）相交的充要條件是兩法向量不共線，即：；（2）平行或重合的充要條件是兩法向量共線，即：A1,B2=A2B1（3）l1∥l2?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.))知識點2兩條直線的垂直1.斜截式方程下的結(jié)論：2.一般式方程下的結(jié)論：對于兩條直線，法向量分別為v1=(A1,B1)，v2=(A2,B2)v1·v2=0?.考點一：兩條直線平行的判斷例1.（2024高二·全國·專題練習）已知經(jīng)過，經(jīng)過，，求證：．【答案】證明見解析【分析】求出直線的斜率，說明兩直線不重合，根據(jù)斜率相等，即可證明結(jié)論.【詳解】證明：由題意得直線的斜率為，直線的斜率為，又，,即不共線，即不重合，因為，∴.【變式11】（2324高二·全國·課堂例題）已知直線的傾斜角為135°，直線經(jīng)過點（1，0）且斜率為－1，則兩直線一定平行嗎？【答案】答案見解析【詳解】不一定．直線的斜率，與直線的斜率相等．故當直線經(jīng)過點（1，0）時，直線與重合；當直線不經(jīng)過點（1，0）時，直線與平行．【變式12】（2023高二上·江蘇·專題練習）判斷下列各組中的直線與是否平行或垂直：(1)，；(2)，；(3)，.【答案】(1)不平行也不垂直(2)平行(3)不平行也不垂直【分析】先判斷直線是否存在斜率，若不存在，則易判斷兩直線位置關(guān)系；若不存在，則求出斜率，并判斷斜率是否相等，或乘積是否為1，斜率相等時注意是否重合即可.【詳解】（1）由題意得：，故即不平行也不垂直；（2）由題意得：且，故平行；（3）因為，所以重合，即即不平行也不垂直.【變式13】（2223高二·全國·課堂例題）判斷下列各組直線是否平行，并說明理由：(1)，；(2)，．【答案】(1)平行，理由見解析(2)不平行，理由見解析【分析】分別寫出直線，的斜率，即可判斷出其位置關(guān)系.【詳解】（1）由直線，的方程可知兩直線的斜率分別為，又直線，在y軸上的截距分別為1和，所以與不重合，從而；（2）由直線，的方程可知兩直線的斜率分別為，所以與不平行．考點二：兩條直線垂直的判斷例2.（2324高二上·江蘇·課前預習）（1）若直線，直線，則的充要條件為；（2）若直線，直線，則的充要條件為.【答案】【分析】根據(jù)直線垂直的性質(zhì)進行填空.【詳解】（1）若直線，直線，則的充要條件；（2）若直線，直線，則的充要條件為.故答案為：，【變式21】（多選）（2324高二上·山西朔州·階段練習）下列方程表示的直線中，與直線垂直的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由兩條直線斜率相乘為1，判斷兩直線的垂直.【詳解】直線的斜率為4，則與直線垂直的直線的斜率為，符合條件的為B、C項.故選：BC【變式22】（多選）（2324高二上·湖南長沙·階段練習）關(guān)于直線：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．傾斜角為 B．為直線的一個方向向量C．在軸上的截距為 D．與直線垂直【答案】BD【分析】由直線方程確定斜率，即得傾斜角，根據(jù)其斜截式確定截距、方向向量判斷A、B、C；由兩直線斜率關(guān)系判斷D.【詳解】直線可寫為，故斜率為，易知其傾斜角為，A錯；在軸上的截距為，且為直線的一個方向向量，B對，C錯；由的斜率為，顯然，故兩線垂直，D對.故選：BD【變式23】（2223高二·全國·課堂例題）解答下列各題：(1)已知四點，，，，求證：；(2)已知直線，，求證：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【分析】（1）由斜率公式求出直線的斜率，證明垂直；（2）根據(jù)直線方程求出的斜率，證明垂直.【詳解】（1）由斜率公式，得，，則，所以．（2）由，的方程可知，它們的斜率，，從而，所以．考點三：根據(jù)兩條直線平行求參數(shù)例3.（2324高二下·上海黃浦·期中）已知直線，，，若它們不能圍成三角形，則實數(shù)的取值所構(gòu)成的集合為．【答案】【分析】通過三條直線兩兩平行或重合，以及三條線經(jīng)過同一點計算的取值即可.【詳解】當與平行或重合時，，當與平行或重合時，，解得，當與平行或重合時，，此時無解；當三條直線經(jīng)過同一點時，聯(lián)立，解得，故的取值所構(gòu)成的集合為.故答案為：【變式31】（2324高二上·陜西西安·期末）已知直線與直線平行，則實數(shù)的所有取值之和為（

）A．2 B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)直線平行求出即可得解.【詳解】因為直線與直線平行，所以，解得或1，經(jīng)檢驗均滿足題意，所以實數(shù)的所有取值之和為.故選：B【變式32】（2324高二下·江蘇南京·期末）“”是“兩條直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)直線平行的等價條件求出，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】因為兩條直線平行，所以直線斜率相等或斜率不存在，當兩直線斜率不存在時，即，兩直線為，成立；當兩直線斜率存在時，即，解得，兩直線為成立，綜上或.所以“”是“兩條直線平行”的充分不必要條件.故選：A.【變式33】（2024·陜西西安·二模）已知直線過點和點，直線：，若，則.【答案】【分析】由斜率公式得到，再利用點斜式得到直線的方程，最后利用兩直線平行的充要條件解出即可.【詳解】直線的斜率，所以直線方程為，即，因為，所以，故答案為：.考點四：根據(jù)兩條直線垂直求參數(shù)例4.（2324高二上·北京·期中）已知直線與互相垂直，垂足為，則的值是（

）A．24 B．0 C．20 D．【答案】C【分析】利用垂直可求，根據(jù)垂足坐標可求，進而可得答案.【詳解】因為直線與互相垂直，所以，解得；垂足在直線上，所以，垂足在直線上，所以，所以.故選：C【變式41】（2324高三下·安徽蕪湖·階段練習）已知直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【分析】當時可得，即；當時可得，結(jié)合充分、必要條件的定義即可求解.【詳解】當時，，即，則，即；當時，，解得.所以“”是“”的充要條件.故選：C【變式42】（2324高二下·上?！て谥校┤糁本€和直線垂直，則．【答案】【分析】利用兩直線垂直斜率乘積為計算可得.【詳解】易知直線的斜率為，直線的斜率為,由兩直線垂直可得，解得.故答案為：【變式43】（2324高二上·安徽馬鞍山·階段練習）直線與直線相互垂直，．【答案】【分析】由已知結(jié)合直線垂直條件可建立關(guān)于a的方程，從而可求得結(jié)果.【詳解】因為直線與直線垂直，所以.故答案為：考點五：求兩條直線的交點例5.（2223高二上·云南臨滄·階段練習）已知直線，設直線的交點為.(1)求點的坐標；(2)若直線過點且在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）將兩直線方程聯(lián)立求解，即得交點坐標；（2）結(jié)合圖形理解，直線在兩坐標軸上的截距相等包括直線斜率為或經(jīng)過原點，分別求直線方程即得.【詳解】（1）聯(lián)立方程解得.（2）直線在兩坐標軸上的截距相等，直線的斜率為或經(jīng)過原點.①當直線過原點時，直線過點，的方程為；②當直線斜率為時，直線過點，的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.【變式51】（2324高二上·山東濰坊·階段練習）已知直線：，直線：，則直線與的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．相交 C．重合 D．相交或重合【答案】D【分析】分和兩種情況討論直線的位置關(guān)系.【詳解】直線可化為，所以當時，兩直線重合；當時，兩直線相交.故選：D【變式52】（2324高二上·河北石家莊·階段練習）經(jīng)過直線和的交點，且傾斜角是直線的傾斜角的兩倍的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出兩直線的交點坐標，再利用二倍角的正切公式求出直線的斜率即可求解.【詳解】由，解得，即所求方程的直線過點，令直線的傾斜角為，則，顯然是銳角，因此所求方程的直線斜率，所以所求的直線方程為，即.故選：C【變式53】（2324高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線和，則直線和的交點為.【答案】【分析】通過聯(lián)立方程組的方法來求得兩直線的交點坐標.【詳解】聯(lián)立，解得.直線和的交點為.故答案為：考點六：平行、垂直條件下求直線方程例6（2324高二下·山東煙臺·階段練習）求經(jīng)過直線與直線的交點M，且分別滿足下列條件的直線方程：(1)與直線平行；(2)與直線垂直.【答案】(1)；(2).【分析】（1）（2）解方程組求出點的坐標，設出直線方程，利用待定系數(shù)法求解即提.【詳解】（1）由，解得，即點，設所求直線方程為，則，解得，所以所求直線方程為.（2）由（1）知，點，設所求直線方程為，則，解得，所以所求方程為.【變式61】（多選）（2324高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線與，則下列說法正確的是（

）A．與的交點坐標是B．過與的交點且與垂直的直線的方程為C．，與x軸圍成的三角形的面積是D．的傾斜角是銳角【答案】BC【分析】由已知聯(lián)立方程即可求解直線的交點坐標可判斷A；由直線垂直確定垂直的直線的斜率則可求得直線方程，即可判斷B；根據(jù)直線與直線的位置確定，與x軸圍成的三角形的對應坐標即可得面積，從而可判斷C；由直線斜率與傾斜角的關(guān)系即可判斷D.【詳解】與可得，，解得交點坐標為，所以A錯誤；由所求直線與直線垂直得所求直線的斜率為，由點斜式得，即，所以B正確；如圖，與軸相交于，與軸相交于，與相交于

所以，與x軸圍成的三角形的面積，所以C正確；的斜率，所以的傾斜角是鈍角，所以D錯誤.故選：BC.【變式62】（2324高二上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習）在中，，AB邊上的高CD所在直線方程為，則直線AB的方程為．【答案】【分析】根據(jù)直線垂直可得直線AB的斜率，進而根據(jù)點斜式寫出方程即可.【詳解】由題意，CD所在直線方程為，即，斜率為，所以直線AB的斜率為，所以直線AB的方程為，即.故答案為：.【變式63】（2324高二上·海南海口·階段練習）已知直線過點，且與直線垂直，則直線在軸上的截距為.【答案】【分析】由垂直關(guān)系求得直線的斜率，再由點斜式寫出方程，化為斜截式即可求.【詳解】由直線，得，設直線的斜率為，則由直線與直線垂直，則，則直線為，即，即直線在軸上的截距為.故答案為：考點七：根據(jù)兩直線的交點、交點個數(shù)求參數(shù)例7.（多選）（2223高二上·全國·期中）若直線與直線的交點在第四象限，則實數(shù)的取值可以是（

）A．0 B． C． D．【答案】AC【分析】聯(lián)立直線方程，求出交點坐標，根據(jù)交點所在象限列出不等式組即可求解.【詳解】聯(lián)立方程，解得，因為交點在第四象限，可得，解得故選：AC.【變式71】（2021高二·全國·課后作業(yè)）（多選）若三條直線，與共有兩個交點，則實數(shù)a的值為（

）．A．1 B．2 C．－2 D．－1【答案】AC【分析】由交點個數(shù)分析可得三條直線中，有兩條直線互相平行，結(jié)合斜率分析即得解【詳解】由題意可得三條直線中，有兩條直線互相平行．∵直線和直線不平行，∴直線和直線平行或直線和直線平行．∵的斜率為1，的斜率為－2，的斜率為a，∴或時，兩直線分別平行且不重合，符合題意故選：AC【變式72】（2324高二上·江蘇揚州·階段練習）已知直線經(jīng)過兩直線和的交點，則的值等于.【答案】【分析】聯(lián)立方程組，求得兩直線的交點坐標，代入直線，即可求解.【詳解】聯(lián)立方程組，解得，即兩直線的交點為，將點代入直線，可得，解得，即實數(shù)的值為.故答案為：.【變式73】（2022·上海奉賢·二模）若關(guān)于，的方程組有唯一解，則實數(shù)a滿足的條件是.【答案】/【分析】由題給方程組有唯一解，可得方程有唯一解，進而得到實數(shù)a滿足的條件【詳解】由，可得，由關(guān)于，的方程組有唯一解，可得方程有唯一解，則故答案為：考點八：平行、垂直在幾何圖形中的應用例8.（2324高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且，，AD，BE相交于點P．求證：.

【答案】證明見解析【分析】建立平面直角坐標系，由已知條件得出點A、E的坐標，求得直線AD、BE的方程，然后求交點P坐標，由得到AP和CP垂直．【詳解】以BC所在直線為x軸，BC的中點O為原點，建立平面直角坐標系，

設等邊三角形ABC的邊長為6，則，∵，∴直線AD的方程為，即，①∵，∴直線BE的方程為，即，②聯(lián)立①②解得，則，∵，∴，∴AP⊥CP．【變式81】（2022高二·全國·專題練習）已知，試判斷四邊形的形狀．【答案】矩形【分析】根據(jù)直線平行、垂直求得正確答案.【詳解】由題意，可得，∴．∴，．∴四邊形為平行四邊形．又，∴直線與垂直，即．∴四邊形為矩形．

【變式82】（2324高二上·全國·課前預習）如圖所示，已知四邊形的四個頂點分別為，，，，試判斷四邊形的形狀，并給出證明.

【答案】平行四邊形，證明見解析.【分析】通過計算得到，，從而判斷出四邊形的形狀.【詳解】由已知可得邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率.因為，，所以，.因此四邊形是平行四邊形.【變式83】（2024高三·全國·專題練習）已知四邊形的四個頂點坐標分別為，，，．試判斷四邊形的形狀，并給出證明.【答案】直角梯形；證明見解析．【分析】由各點坐標可求得四邊的斜率，再由平行和垂直的斜率表示即可得出結(jié)論.【詳解】由已知可判斷四邊形是直角梯形，證明如下：因為，，，．由斜率公式得，，，，所以，，即且不平行，所以四邊形是梯形，又因為，所以，綜上，四邊形是直角梯形；1．（2324高二下·山西長治·階段練習）已知直線與直線平行，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用兩直線平行列式計算即可.【詳解】由題意可知，，所以，且.故選：B.2．（2324高二上·安徽蚌埠·期末）直線的方向向量是，則下列選項中的直線與直線垂直的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由直線的方向向量可得其斜率為，進而得到與直線垂直的直線的斜率為，分別計算各選項的斜率即可判斷.【詳解】因為直線的方向向量是，所以直線斜率，所以與直線垂直的直線的斜率為.對于選項A:由，可得斜率為，故選項A正確；對于選項B:由，可得斜率為，故選項B錯誤；對于選項C:由，可得斜率為，故選項C錯誤；對于選項D:由，可得斜率為，故選項D錯誤.故選：A.3．（多選）（2324高二下·浙江·期中）已知直線和直線，則下列說法正確的是（

）A．若，則表示與軸平行或重合的直線B．直線可以表示任意一條直線C．若，則D．若，則【答案】ABD【分析】利用線線平行、線線垂直的性質(zhì)可直接判斷.【詳解】對于A，當時，斜率為0，與軸平行或重合，故A正確；對于B，當時，斜率不存在，當時，斜率存在，能表示任意直線，故B正確；對于C，若，且或，則，故C錯誤；對于D，若，則由可得斜率之積為1，故，若，可得，此時滿足，此時兩條直線一條斜率為0，一條斜率不存在，故，故D正確.故選：ABD.4．（多選）（2324高二上·寧夏·階段練習）下列直線中，與垂直的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)垂直滿足的斜率關(guān)系即可求解.【詳解】直線的斜率為，故與其垂直的直線斜率為，對于ACD,斜率為,符合，對于B，斜率為，不符合，故選：ACD5.（2324高二上·青海西寧·期中）已知直線和互相垂直，則．【答案】【分析】利用兩直線垂直充要條件列出關(guān)于m的方程，解之即可求得m的值.【詳解】直線和互相垂直，則，解之得.故答案為：.6．（2324高二下·四川瀘州·期末）直線與直線平行，