向量概念

1.向量與數(shù)量的概念

(1)既有大小又有方向的量叫作向量.

(2)只有大小沒(méi)有方囪的量叫作數(shù)量.

2.有向線段

(1)定義：具有方向的線段叫作有向線段.

(2)表示方法：以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作誦.

(3)長(zhǎng)度：線段AB的長(zhǎng)度也叫作有向線段而的長(zhǎng)度，記作|醺j].

(4)三個(gè)要素：起直、方向、長(zhǎng)度.

3.向量的表示方法

(1)用有向線段表示：用有向線段晶表示的向量記作AEi.有向線段的長(zhǎng)度

ABI表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的包包.

(2)字母表示法：在印刷時(shí)，用黑體小寫(xiě)字母a,b,c,…表示向量，手寫(xiě)時(shí)，可寫(xiě)成帶箭

頭的小寫(xiě)字母a,b,c….

4.向量的模及兩個(gè)特殊向量

(1)向量的模：向量靠的大小稱為向量而的長(zhǎng)度(或稱模)，記作|Am|.

(2)零向量：長(zhǎng)度為重的向量叫作零向量，記作。.

(3)單位向量：長(zhǎng)度等于L個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫作單位向量.

5.相等向量

(D定義：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫作相等向量.

(2)表示方法：向量a與b相等，記作a=b.

6.平行向量(或共線向量)

(D定義和表示方法

方向相同或相反的非零向量叫作平行向量.規(guī)定：零向量與任一向量平行.任一組平行向

定義

量都可以平移到同一條直線上，因此，平行向量也叫作共線向量.

向量a與b平行，記作a〃b

表示方法

對(duì)于任意向量a,都有0〃a.

(2)本質(zhì)：平行向量反映的是兩個(gè)向量的方向關(guān)系，表示兩個(gè)共線向量的有向線段所在直線

可以平行，也可以重合.

7.向量的夾角

（1）定義：已知兩個(gè)非零向量a,b,0是平面上的任意一點(diǎn)，作6X=a,OB=b,則/AOB

=0（OW0<n）叫作向量a與b的夾角（如圖所示）.

（2）三種特殊情況：

a與b的夾角ea與b的關(guān)系

0a與b同向

na與b反向

JI

Ta與b垂直,記作a_Lb

8.相反向量

定義與向量a長(zhǎng)度相等,方向相反的向量,叫作a的相反向量，記作二2

規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量

a和一a互為相反向量，于是一（一a）=@

結(jié)論a+(—a)=(—a)+a=。

如果a,b互為相反向量，那么a=-b,b=-a,a+b=0

1.在。0中，以0點(diǎn)為始點(diǎn)，圓周上任一點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，則該向量可以確定的要素是（）

A.方向B.大小

C.大小和方向D.以上均不對(duì)

【解析】選B.由于。。半徑的確定性，因此該向量的長(zhǎng)度（大?。┦谴_定的.

2.下列各命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）

①若a=|b|,則a=b；

②若磕=DC,則A,B,C,D是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；

③若a=b,b=c,則a=c；

④若0〃a,0〃b,則2〃1）.

A.4B.3C.2D.1

【解析】選D.①|(zhì)a|=|b］只說(shuō)明兩向量大小相等，不能得出兩向量同向，故此命題不正確;

②由磕-DC可得牖|=|應(yīng)|且磕//DC,由于謙//DC,A,B,C,D可能在同一條直

線上，故此命題不正確；③正確；④0與任意向量平行，命題不正確.

3.如圖所示，在AABC中，點(diǎn)D,E分別是AB和AC邊的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.CB和和共線B.CB和疝共線

C.BA和仄共線D.CB和公共線

【解析】選A.因?yàn)辄c(diǎn)D,E分別是AB和AC邊的中點(diǎn)，

所以DE〃BC,所以通和書(shū)共線；選項(xiàng)B,C,D中的向量不共線.

4.給出下列幾種說(shuō)法：

①若A,B,C三點(diǎn)共線，則誦〃說(shuō)；

②任一非零向量都可以平行移動(dòng)；

③長(zhǎng)度不等且方向相反的兩個(gè)向量不一定是共線向量.其中說(shuō)法正確的是.（填序

號(hào)）

【解析】①正確.由A,B,C三點(diǎn)共線可知，AB與立方向相同或相反，所以而〃立；

②正確.方向相同且長(zhǎng)度相等的兩個(gè)向量是相等向量，這說(shuō)明任一非零向量都可以平行移動(dòng);

③錯(cuò)誤.方向相反的兩個(gè)向量是共線向量.

答案：①②

5.在如圖所示的坐標(biāo)紙（每個(gè)方格的邊長(zhǎng)均為1）中，用直尺和圓規(guī)畫(huà)出下列向量.

（1）0A|=3,點(diǎn)A在點(diǎn)。正西方向；

（2）0B1=372，點(diǎn)B在點(diǎn)0北偏西45°方向；

（3）0C|=2,點(diǎn)C在點(diǎn)0南偏東60°方向.

【解析】如圖所示：

一、單選題

1.給出下列命題：

①物理學(xué)中的作用力與反作用力是一對(duì)共線向量；

②溫度有零上溫度和零下溫度，因此溫度也是向量；

③方向?yàn)槟掀?0°的向量與北偏東60°的向量是共線向量；

④坐標(biāo)平面上的x軸和y軸都是向量.

其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解析】選B.①根據(jù)作用力與反作用力的概念可知作用力與反作用力是一對(duì)共線向量；②

溫度只有大小沒(méi)有方向，所以不是向量；③如圖可知，是共線向量；④x軸和y軸只有方向,

沒(méi)有大小，所以不是向量.所以只有①③正確.

2.如圖，在圓0中，向量而，詼，而是（）

A.有相同起點(diǎn)的向量B.單位向量

C.模相等的向量D.相等的向量

【解析】選C.由圖可知三向量方向不同，但長(zhǎng)度相等.

3.如圖，四邊形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形，則下列結(jié)論中一定不成立的是（）

A.AB|=|EFB.AB與西共線

C.BD與麗共線D.CD=FG

【解析】選C.對(duì)于A,因?yàn)樗倪呅蜛BCD,CEFG,CGHD是全等的菱形，因此1醯|=|前|-

定成立，故A不符合題意；對(duì)于B,根據(jù)菱形的性質(zhì)，AB與前共線一定成立，故B不符合

題意；對(duì)于D,根據(jù)菱形的性質(zhì)，CD與俞方向相同且模相等，因此而-FG一定成立，

故D不符合題意；選C.

二、填空題

4.設(shè)在平面上給定了一個(gè)四邊形ABCD,點(diǎn)K,L,M,N分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，在

以已知各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與向量正相等的向量是.

【解析】因?yàn)镵,L分別是AB,BC的中點(diǎn)，連接AC,所以KL〃AC,KL=|AC,

同理MN〃AC,MN=；AC,

所以KL〃MN,KL=MN,所以Rt=NM.

答案：NM

5.給出下列說(shuō)法：

①零向量是沒(méi)有方向的；

②零向量的長(zhǎng)度為0;

③零向量的方向是任意的；

④單位向量的模都相等.

其中正確的是（填序號(hào)）.

【解析】由零向量的方向是任意的，知①錯(cuò)誤，③正確；由零向量的定義知②正確；由單位

向量的模是1,知④正確.

答案：②③④

三、解答題

6.如圖，在AABC中，D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn)，F(xiàn),G分別是DB,EC的中點(diǎn)，求證：

向量和與詼共線.

【證明】因?yàn)镈,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn)，

所以DE是AABC的中位線，

所以DE〃BC,

所以四邊形DBCE是梯形.

又因?yàn)镕,G分別是DB,EC的中點(diǎn)，

所以FG是梯形DBCE的中位線，

所以FG〃DE.

所以向量施與詼共線.

畿【加固訓(xùn)練】

如圖是中國(guó)象棋的半個(gè)棋盤(pán)，“馬走日”是象棋中馬的走法.此圖中，馬可以從A處跳到

Ai處，用向量入%"表示馬走了“一步”，也可以跳到A2處，用向量瓦C表示.請(qǐng)?jiān)趫D中

畫(huà)出馬在B,C處走了“一步”的所有情況.

【解析】如圖，馬在B處只有3步可走，馬在C處有8步可走，人們常說(shuō)的馬有“八面威風(fēng)”

就是指馬在中心處威力最大.

一、選擇題

1.下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)有（）

①單位向量都共線；②長(zhǎng)度相等的向量都相等；

③共線的單位向量必相等；④與非零向量a共線的單位向量是5.

7|a|T

A.3B.2C.1D.0

【解析】選D.根據(jù)單位向量的定義，可知①②③明顯是錯(cuò)誤的；對(duì)于④，與非零向量a共

線的單位向量是多或一」一，故④也是錯(cuò)誤的.

aa

2.（2021?東莞高一檢測(cè)）兩列火車從同一站臺(tái)沿相反方向開(kāi)去，走了相同的路程，設(shè)兩列

火車的位移向量分別為a和b（假定兩列火車始終沿同一直線行駛），則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是

（）

A.a與b為平行向量

B.a與b為模相等的向量

C.a與b為共線向量

D.a與b為相等的向量

【解析】選D.根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)可知A,B,C均成立，對(duì)于D,a與b為反向的共線

向量，則a和b不相等，D錯(cuò)誤.

3.已知D為平行四邊形ABPC兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，則皿的值為（）

|AD|

11

A.5B.-C.1D.2

【解析】選c.因?yàn)樗倪呅蜛BPC是平行四邊形，D為對(duì)角線BC與AP的交點(diǎn),

所以D為PA的中點(diǎn)，

所以用的值為1.如圖.

AD|

4.(多選)在下列結(jié)論中，正確的結(jié)論為()

A.a〃b且a1=b是a=b的必要不充分條件

B.a〃b且|a|=b是a=b的既不充分也不必要條件

C.a與b方向相同且a=|b|是a=b的充要條件

D.a與b方向相反或a#|b|是arb的充分不必要條件

【解析】選人。).若2=1),則a與b方向相同，模相等，所以A對(duì)，B錯(cuò)，C對(duì)，D對(duì).

二、填空題

5.下列說(shuō)法正確的有.

①終點(diǎn)相同的兩個(gè)向量不共線

②若|a|>|b|,則a>b

③單位向量的長(zhǎng)度為1

【解析】①中，兩向量終點(diǎn)相同，若夾角是0°或180°,則共線.②中，向量是既有大小,

又有方向的量，不可以比較大小.③正確.

答案：③

6.如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,在其中標(biāo)出了6個(gè)向量，在這6個(gè)向量中：

(1)有兩個(gè)向量的模相等，這兩個(gè)向量是.，它們的模都等于—.

(2)存在著共線向量，這些共線的向量是,它們的模的和等于.

【解析】⑴模相