PAGEPAGE11專題九平面解析幾何【真題典例】9.1直線方程與圓的方程挖命題【考情探究】考點內(nèi)容解讀5年考情預(yù)料熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點1.直線方程①在平面直角坐標系中,結(jié)合詳細圖形,確定直線的幾何要素;②理解直線的傾斜角和斜率的概念,駕馭過兩點的直線斜率的計算公式;③駕馭確定直線位置的幾何要素,駕馭直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式),了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系2024課標Ⅰ,20,12分直線方程拋物線的幾何性質(zhì)★★☆2.圓的方程①駕馭圓的幾何要素;②駕馭圓的標準方程與一般方程2024課標Ⅱ,19,12分直線方程與圓的方程拋物線的幾何性質(zhì)★☆☆2024課標Ⅲ,20,12分直線方程與圓的方程兩直線垂直與其斜率的關(guān)系2024課標Ⅱ,4,5分圓的方程點到直線距離公式2024課標Ⅰ,14,5分圓的方程橢圓的幾何性質(zhì)分析解讀從近5年高考狀況來看,對本節(jié)主要考查直線方程和圓的方程的求法,常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),難度中等,解答時應(yīng)充分利用分類探討、數(shù)形結(jié)合的思想.在解決有關(guān)圓的問題時應(yīng)充分利用圓的幾何性質(zhì)簡化運算.破考點【考點集訓】考點一直線方程1.(2024吉林梅河口校級二模,4)已知角α是其次象限角,直線2x+ytanα+1=0的斜率為83A.35B.-35C.4答案D2.(2024江西九江月考,5)經(jīng)過點A(1,2)且在兩個坐標軸上的截距的肯定值相等的直線方程為()A.y=2x或x-y+1=0B.y=2x或x+y-3=0C.x+y-3=0或x-y+1=0D.y=2x或x+y-3=0或x-y+1=0答案D考點二圓的方程1.(2024廣東珠海四校4月聯(lián)考,8)已知圓C與直線x-y=0及x-y-4=0都相切,圓心在直線x+y=0上,則圓C的標準方程為()A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2答案B2.(2024河南豫北名校4月聯(lián)考,4)與圓(x-2)2+y2=4關(guān)于直線y=33A.(x-3)2+(y-1)2=4B.(x-2)2+(y-2)2=4C.x2+(y-2)2=4D.(x-1)2+(y-3)2=4答案D3.(2024甘肅蘭州模擬,7)已知點A是直角三角形ABC的直角頂點,且A(2a,2),B(-4,a),C(2a+2,2),則△ABC的外接圓的方程是()A.x2+(y-3)2=5B.x2+(y+3)2=5C.(x-3)2+y2=5D.(x+3)2+y2=5答案D煉技法【方法集訓】方法1直線的傾斜角與斜率的求解方法1.(2024陜西延安期中,5)直線a2x-b2y=1(其中a,b∈R,且ab≠0)的傾斜角的取值范圍為()A.0,πC.π2,答案A2.(2024湖北黃岡模擬,4)直線x-ysinθ+1=0的傾斜角的取值范圍是()A.π4,3π4C.0,π4D.答案A3.(2024河南豫南九校聯(lián)考,5)若θ是直線l的傾斜角,且sinθ+cosθ=55A.-12B.-12或-2C.答案D方法2解與圓有關(guān)的最值問題的方法1.(2024湖南長沙二模,5)圓x2+y2-2x-2y+1=0上的點到直線x-y=2距離的最大值是()A.1+2B.2C.1+22D.2+2答案A2.(2024河南洛陽期末)已知正數(shù)x,y滿意x2+y2=1,則3x+y的取值范圍是()A.(1,3]B.(1,2]C.(3,2]D.(2,23)答案B3.(2024福建長汀模擬,10)阿波羅尼斯是古希臘聞名數(shù)學家,與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠,他對圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的探討,主要探討成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中,阿波羅尼斯圓是他的探討成果之一,指的是:已知動點M與兩定點A、B的距離之比為λ(λ>0,λ≠1),那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.如動點M與兩定點A95,0、B(5,0)的距離之比為35時的阿波羅尼斯圓為x2+y2=9.下面,我們來探討與此相關(guān)的一個問題:已知圓O:x2+yA.6B.7C.10D.11答案C過專題【五年高考】A組統(tǒng)一命題·課標卷題組考點一直線方程(2024課標Ⅰ,20,12分)在直角坐標系xOy中,曲線C:y=x2(1)當k=0時,分別求C在點M和N處的切線方程;(2)y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總有∠OPM=∠OPN?說明理由.解析(1)由題設(shè)可得M(2a,a),N(-2a,a)或M(-2a,a),N(2a,a).又y'=x2,故y=x24在x=2a處的導數(shù)值為a,C在點(2a,a)處的切線方程為y-a=a(x-2ay=x24在x=-2a處的導數(shù)值為-a,C在點(-2a,a)處的切線方程為y-a=-a(x+2a),即故所求切線方程為ax-y-a=0和ax+y+a=0.(5分)(2)存在符合題意的點,證明如下:設(shè)P(0,b)為符合題意的點,M(x1,y1),N(x2,y2),直線PM,PN的斜率分別為k1,k2.將y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.從而k1+k2=y1-bx1+y當b=-a時,有k1+k2=0,則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補,故∠OPM=∠OPN,所以點P(0,-a)符合題意.(12分)疑難突破要使∠OPM=∠OPN,只需直線PM與直線PN的斜率互為相反數(shù).考點二圓的方程1.(2024課標Ⅱ,4,5分)圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=()A.-43B.-34C.答案A2.(2024課標Ⅰ,14,5分)一個圓經(jīng)過橢圓x216+y2答案x-3223.(2024課標Ⅱ,19,12分)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程.解析(1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1),y2Δ=16k2+16>0,故x1+x2=2k所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k由題設(shè)知4k因此l的方程為y=x-1.(2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.設(shè)所求圓的圓心坐標為(x0,y0),則y0=-x因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.方法總結(jié)有關(guān)拋物線的焦點弦問題,常用拋物線的定義進行轉(zhuǎn)化求解,在求解過程中應(yīng)注意利用根與系數(shù)的關(guān)系進行整體運算.一般地,求直線和圓的方程時,利用待定系數(shù)法求解.4.(2024課標Ⅲ,20,12分)已知拋物線C:y2=2x,過點(2,0)的直線l交C于A,B兩點,圓M是以線段AB為直徑的圓.(1)證明:坐標原點O在圓M上;(2)設(shè)圓M過點P(4,-2),求直線l與圓M的方程.解析本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由x=my+2,y2=2x又x1=y122,x2=y222,故x因此OA的斜率與OB的斜率之積為y1x1·y故坐標原點O在圓M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圓心M的坐標為(m2+2,m),圓M的半徑r=(m由于圓M過點P(4,-2),因此AP·BP=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-12當m=1時,直線l的方程為x-y-2=0,圓心M的坐標為(3,1),圓M的半徑為10,圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10.當m=-12時,直線l的方程為2x+y-4=0,圓心M的坐標為94,-12,圓M的半徑為854,圓M的方程為解后反思直線與圓錐曲線相交問題,常聯(lián)立方程,消元得到一個一元二次方程,然后利用根與系數(shù)的關(guān)系處理.以某線段為直徑的圓的方程,也可以用該線段的兩端點坐標(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.B組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組1.(2024陜西,12,5分)若圓C的半徑為1,其圓心與點(1,0)關(guān)于直線y=x對稱,則圓C的標準方程為.

答案x2+(y-1)2=12.(2024江蘇,18,16分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A(2,4).(1)設(shè)圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標準方程;(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點,且BC=OA,求直線l的方程;(3)設(shè)點T(t,0)滿意:存在圓M上的兩點P和Q,使得TA+TP=TQ,求實數(shù)t的取值范圍.解析圓M的標準方程為(x-6)2+(y-7)2=25,所以圓心M(6,7),半徑為5.(1)由圓心N在直線x=6上,可設(shè)N(6,y0).因為圓N與x軸相切,與圓M外切,所以0<y0<7,于是圓N的半徑為y0,從而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圓N的標準方程為(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因為直線l∥OA,所以直線l的斜率為4-設(shè)直線l的方程為y=2x+m,即2x-y+m=0,則圓心M到直線l的距離d=|2×6-7+因為BC=OA=22+42=25,而MC2=d所以25=(m解得m=5或m=-15.故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2).因為A(2,4),T(t,0),TA+TP=TQ,所以x2因為點Q在圓M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②將①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是點P(x1,y1)既在圓M上,又在圓[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,從而圓(x-6)2+(y-7)2=25與圓[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共點,所以5-5≤[(t解得2-221≤t≤2+221.因此,實數(shù)t的取值范圍是[2-221,2+221].【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共40分)1.(2025屆湖南衡陽八中10月月考,3)已知直線l的傾斜角為θ且過點(3,1),其中sinθ-π2A.3x-y-2=0B.3x+y-4=0C.x-3y=0D.3x-3y-6=0答案B2.(2025屆重慶綦江中學模擬,9)已知圓C:x2+y2=1,點P為直線x+2y-4=0上一動點,過點P向圓C引兩條切線PA,PB且A,B分別為切點,則直線AB經(jīng)過定點()A.12,14B.1答案B3.(2025屆遼寧丹東模擬,3)圓心為(2,0)的圓C與圓x2+y2+4x-6y+4=0外切,則C的方程為()A.x2+y2+4x+2=0B.x2+y2-4x+2=0C.x2+y2+4x=0D.x2+y2-4x=0答案D4.(2024福建廈門4月聯(lián)考,5)若a∈-2,0,34,A.0B.1C.2D.3答案B5.(2024湖北四地七校聯(lián)考,6)已知函數(shù)f(x)=asinx-bcosx(a≠0,b≠0),若fπ4-xA.π4B.πC.2π3D.答案D6.(2024河南豫西五校聯(lián)考,7)在平面直角坐標系xOy中,以點(0,1)為圓心且與直線x-by+2b+1=0相切的全部圓中,半徑最大的圓的標準方程為()A.x2+(y-1)2=4B.x2+(y-1)2=2C.x2+(y-1)2=8D.x2+(y-1)2=16答案B7.(2024海南?？谀M,7)已知圓M與直線3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圓心在直線y=-x-4上,則圓M的方程為()A.(x+3)2+(y-1)2=1B.(x-3)2+(y+1)2=1C.(x+3)2+(y+1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1答案C8.(2024江西新余五校4月聯(lián)考,8)已知圓O:x2+y2=9,過點C(2,1)的直線l與圓O交于P,Q兩點,當△OPQ的面積最大時,直線l的方程為()A.x-y-3=0或7x-y-15=0B.x+y+3=0或7x+y-15=0C.x+y-3=0或7x-y+15=0D.x+y-3=0或7x+y-15=0答案D二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2025屆四川眉山仁壽一中一調(diào),15)已知實數(shù)m,n滿意2m-n=1,則直線mx-3y+n=0必過點.

答案-10.(2024河南新鄉(xiāng)二模,15)若圓C:x2+y+12m2=n的圓心為橢圓M:x2答案x2+(y+1)2=4三、解答題(共25分)11.(2025屆江西撫州七校聯(lián)考,21)已知圓M與直線3x-7y+4=0相切于點(1,7),圓心M在x軸上.(1)求圓M的方程;(2)過點M且不與x軸重合的直線l與圓M相交于A,B兩點,O為坐標原點,直線OA,OB分別與直線x=8相交于C,D兩點,記△OAB,△OCD的面積分