數(shù)學八年級下暑假預習專題訓練專題八二次函數(shù)的應用（解析版）【專題導航】目錄【考點一二次函數(shù)的最值】.........................................1【考點二根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式】...........................8【考點三二次函數(shù)的實際應用】.....................................13【聚焦考點1】二次函數(shù)的最值（1）當a＞0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當x＝時，y＝．（2）當a＜0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當x＝時，y＝．（3）確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．【典例剖析1】【典例1-1】已知二次函數(shù)y1＝ax2+4x+b與y2＝bx2+4x+a都有最小值，記y1、y2的最小值分別為m、n．（1）若m+n＝0，求證：對任意的實數(shù)x，都有y1+y2≥0；（2）若m，n均大于0，且mn＝2，記M為m，n中的最大者，求M的最小值．【分析】（1）根據(jù)題意可以用用含a，b的代數(shù)式表示m、n，然后根據(jù)m+n＝0，可以解答本題；（2）根據(jù)題意可以用用含a，b的代數(shù)式表示m、n，然后根據(jù)mn＝2，記M為m，n中的最大者，可以求得M的最小值．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y1＝ax2+4x+b與y2＝bx2+4x+a都有最小值，y1、y2的最小值分別為m、n，∴y1+y2≥m+n，∵m+n＝0，∴y1+y2≥0；（2））∵y1＝ax2+4x+b＝a（x+）2+，∴m＝，∵y2＝bx2+4x+a＝b（x+）2+，∴n＝，∵mn＝2，m，n均大于0，∴?＝2，解得，ab＝2（舍去）或ab＝8，∴，∴m＝，n＝，∵M為m，n中的最大者，∴當0＜a＜2時，M＝＞，當a＝2時，M＝，當a＞2時，M＝由上可得，M的最小值是．【點評】本題考查二次函數(shù)的最值，解題的關鍵是明確題意，可以將函數(shù)的一般式化為頂點式，利用分類討論的數(shù)學思想和數(shù)形結合的思想解答問題．【典例1-2】如圖，在矩形ABCD中，BC＝6cm，AB＝4cm，S是AD中點，點E以每秒2cm的速度從點B出發(fā)沿折線BS﹣SD﹣DC勻速運動，同時點F以每秒1cm的速度從點C出發(fā)沿CB運動．設點E、F出發(fā)t秒（0＜t＜6）時，△EBF的面積為ycm2．（1）求y與t的函數(shù)關系式；（2）當t為何值時，y取得最大值，并求出此最大值．【分析】（1）分點E在BS上、點E在SD上和點E在DC上討論解答即可；（2）根據(jù)（1）的結論解答即可．【解答】解：（1）點E在BS上（當0＜t≤2.5時），，點E在SD上（當2.5≤t≤4時），y＝12﹣2t；點E在DC上（當4≤t≤6時），y＝t2﹣12t+36；（2）當0＜t≤2.5時，，對稱軸t＝3，y隨x的增大而增大，∴t＝2.5，y的最大值為7；當2.5≤t≤4時，y＝12﹣2t，是減函數(shù)，∴t＝2.5時，y有最大值為7；當4≤t≤6時，y＝t2﹣12t+36，對稱軸為t＝6，y隨x的增大而減小，∴t＝4，y有最大值為4．綜上所述，t＝2.5時，y有最大值為7．【點評】本題考查二次函數(shù)綜合題、銳角三角函數(shù)、勾股定理、三角形面積、函數(shù)圖象問題等知識，讀懂圖象信息是解決問題的關鍵，學會設未知數(shù)列方程組解決問題，把問題轉化為方程去思考，是數(shù)形結合的好題目，屬于中考選擇題中的壓軸題．針對訓練1【變式1-1】當k分別取﹣1，1，2時，函數(shù)y＝（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值嗎？請寫出你的判斷，并說明理由；若有，請求出最大值．【分析】當k分別取﹣1，1，2時，函數(shù)y＝（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k表示不同類型的函數(shù)，需要分類討論，最終確定函數(shù)的最值．【解答】解：k可取值﹣1，1，2（1）當k＝1時，函數(shù)為y＝﹣4x+4，是一次函數(shù)（直線），無最值；（2）當k＝2時，函數(shù)為y＝x2﹣4x+3，為二次函數(shù)．此函數(shù)開口向上，只有最小值而無最大值；（3）當k＝﹣1時，函數(shù)為y＝﹣2x2﹣4x+6，為二次函數(shù)．此函數(shù)開口向下，有最大值．因為y＝﹣2x2﹣4x+6＝﹣2（x+1）2+8，則當x＝﹣1時，函數(shù)有最大值為8．【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值．需要根據(jù)k的不同取值進行分類討論，這是容易失分的地方．【變式1-2】如圖，已知正方形ABCD的邊長為8，點E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上的點，且CE＝CF．（1）設CF＝x，△AEF的面積為y，求y關于x的函數(shù)解析式；（2）當x為多少時△AEF面積能夠取得最大值，最大值是多少？【分析】（1）根據(jù)正方形性質得出BC＝DC，再根據(jù)△AEF的面積＝正方形面積﹣△ABE的面積﹣△ADF的面積﹣△CEF的面積，列出關系式整理即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質及一般式的頂點坐標求出△AEF面積最大值．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∵CE＝CF＝x，∴BE＝DF＝8﹣x，∴y＝64﹣（8﹣x）×2﹣x2＝﹣x2+8x（0＜x≤8）；（2）y＝﹣x2+8x（0＜x≤8），∵a＝﹣＜0，∴x＝8時，y有最大值，最大值是32，∴x為8時△AEF面積能夠取得最大值，最大值是32．【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值、全等三角形的判定與性質、正方形的性質，掌握這三個知識點的綜合應用，其中求出y關于x的函數(shù)解析式是解題關鍵．【能力提升1】【提升1-1】定義：對于給定的兩個函數(shù)，任取自變量x的一個值，當x＜0時，它們對應的函數(shù)值互為相反數(shù)；當x≥0時，它們對應的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個函數(shù)互為相關函數(shù)．例如：一次函數(shù)y＝x﹣1，它們的相關函數(shù)為y＝．（1）已知點A（﹣5，8）在一次函數(shù)y＝ax﹣3的相關函數(shù)的圖象上，求a的值；（2）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣．①當點B（m，）在這個函數(shù)的相關函數(shù)的圖象上時，求m的值；②當﹣3≤x≤3時，求函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣的相關函數(shù)的最大值和最小值．【分析】（1）寫出y＝ax﹣3的相關函數(shù)，代入計算；（2）①寫出二次函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣的相關函數(shù)，代入計算；②根據(jù)二次根式的最大值和最小值的求法解答．【解答】解：（1）y＝ax﹣3的相關函數(shù)y＝，將A（﹣5，8）代入y＝﹣ax+3得：5a+3＝8，解得a＝1；（2）二次函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣的相關函數(shù)為y＝，①當m＜0時，將B（m，）代入y＝x2﹣4x+得m2﹣4m+＝，解得：m＝2+（舍去），或m＝2﹣，當m≥0時，將B（m，）代入y＝﹣x2+4x﹣得：﹣m2+4m﹣＝，解得：m＝2+或m＝2﹣．綜上所述：m＝2﹣或m＝2+或m＝2﹣；②當﹣3≤x＜0時，y＝x2﹣4x+，拋物線的對稱軸為x＝2，此時y隨x的增大而減小，∴此時y的最大值為，當0≤x≤3時，函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣，拋物線的對稱軸為x＝2，當x＝0有最小值，最小值為﹣，當x＝2時，有最大值，最大值y＝，綜上所述，當﹣3≤x≤3時，函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣的相關函數(shù)的最大值為，最小值為﹣．【點評】本題考查的是互為相關函數(shù)的定義，掌握二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)與一元二次方程的關系是解題的關鍵．【提升1-2】如圖，正方形ABCD的邊長為1，點M、N分別在BC、CD上，且△CMN的周長為2，求△MAN的面積的最小值．【分析】設DN＝x，BM＝y(tǒng)，將△DNA繞點A順時針旋轉90°至△ABF，證明△ANM≌△AFM（SSS），△DAN≌△EAN（AAS），在Rt△CNM中，由勾股定理得：CN2+CM2＝NM2，從而得出xy+x+y﹣1＝0，再用x和y表示的S△ANM，將②③代入①并整理可得④，解不等式即可求得S的最小值．【解答】解：設DN＝x，BM＝y(tǒng)，∴NC＝1﹣x，MC＝1﹣y，C△NCM＝NC+CM+NM＝2，∴NM＝x+y．將△DNA繞點A順時針旋轉90°至△ABF，則NM＝MF，AM＝MA，AN＝AF，∴△ANM≌△AFM（SSS）．∴∠NAM＝45°，∠DNA＝∠AFB＝∠ANE．過點A作AE⊥NM，垂足為E，∵∠AEN＝∠D，∠DNA＝∠ANE，AN為公共邊，∴△DAN≌△EAN（AAS），∴AE＝AD＝1，∵在Rt△CNM中，由勾股定理得：CN2+CM2＝NM2，∴（1﹣x）2+（1﹣y）2＝（x+y）2，∴化簡得：xy+x+y﹣1＝0，①∴S△ANM＝（x+y）②．∵（x﹣y）2≥0，∴（x+y）2≥4xy，∴xy≤，③∴將②③代入①并整理可得S2+2S﹣1≥0，④∴（S+1）2≥2．∵S＞0，∴S≥﹣1，∴△MAN的面積的最小值為﹣1．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、勾股定理在計算中的應用、二次函數(shù)與不等式的運算等知識點，熟練掌握相關性質及定理并綜合運用是解題的關鍵．【提升1-3】某商場購進一批單價為16元的日用品，銷售一段時間后，為了獲得更多的利潤，商店決定提高價格，經調查發(fā)現(xiàn)，若按每件20元的價格銷售時，每月能賣360件，在此價格基礎上，若漲價5元，則每月銷售量將減少150件，若每月銷售y（件）與價格x（元/件）滿足關系y＝kx+b．（1）確定k，b的值；（2）為了使每月獲得利潤為1920元，問商品價格應是每件多少元？1920元是最大利潤嗎？【分析】（1）可根據(jù)題意用待定系數(shù)法，求出k，b的值．（2）利潤＝單件的利潤×銷售的數(shù)量．然后根據(jù)函數(shù)的性質來求出利潤最大的方案．【解答】解：（1）由題意可知：，解得：k＝﹣30，b＝960．（2）由（1）可知：y與x的函數(shù)關系應該是y＝﹣30x+960設利潤為W，由題意可得W＝（x﹣16）（﹣30x+960）＝﹣30x2+1440x﹣15360．∵﹣30＜0，∴當x＝﹣＝24時利潤最大，W最大＝1920答：當定價為24元時利潤最大，最大的利潤為1920元．【點評】考查了二次函數(shù)的最值，此類應用題常出現(xiàn)于銷售、收費、行程等實際問題當中，利用函數(shù)求最值時，主要應用函數(shù)的性質．【聚焦考點2】根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式根據(jù)實際問題確定二次函數(shù)關系式關鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．①描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是二次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關的問題．②函數(shù)與幾何知識的綜合問題，有些是以函數(shù)知識為背景考查幾何相關知識，關鍵是掌握數(shù)與形的轉化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關系，關鍵是運用幾何知識建立量與量的等式．【典例剖析2】【典例2-1】有一個拋物線形的拱形橋洞，橋洞離水面的最大高度為4m，跨度為10m．現(xiàn)將它的圖形放在如圖所示的直角坐標系中．求這條拋物線的解析式．【分析】根據(jù)圖象可以得到拋物線的頂點坐標和過x軸上的點（10，0），從而可以設出拋物線的頂點式，進而求得拋物線的解析式．【解答】解：由圖象可知，拋物線的頂點坐標為（5，4），過點（10，0），設拋物線的解析式為：y＝a（x﹣5）2+4，則0＝a（10﹣5）2+4，解得，a＝﹣，即這條拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣5）2+4．【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是明確題意，設出拋物線的解析式，利用數(shù)形結合的思想解答問題．【典例2-2】某廠生產某種零件，該廠為鼓勵銷售商訂貨，提供了如下信息：①每個零件的成本價為40元；②若訂購量不超過100個，出廠價為60元；若訂購量超過100個時，每多訂1個，訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元；③實際出廠單價不能低于51元．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）當一次訂購量為≥550個時，零件的實際出廠單價降為51元．（2）設一次訂購量為x個時，零件的實際出廠單價為P元，寫出P與x的函數(shù)表達式．（3）當銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是多少元？如果訂購1000個，利潤又是多少元？（工廠售出一個零件的利潤＝實際出廠價﹣成本）．【分析】（1）由題意設每個零件的實際出廠價恰好降為51元時，一次訂購量為x個，則x＝100+＝550進而得出答案；（2）前100件單價為P，當進貨件數(shù)大于等于550件時，P＝51，則當100＜x＜550時，P＝60﹣0.02（x﹣100）＝62﹣得到P為分段函數(shù)，寫出解析式即可；（3）設銷售商的一次訂購量為x個時，工廠獲得的利潤為L元，表示出L與x的函數(shù)關系式，然后令x＝500，1000即可得到對應的利潤．【解答】解：（1）設每個零件的實際出廠價恰好降為51元時，一次訂購量為x個，則x＝100+＝550，根據(jù)實際出廠單價不能低于51元，因此，當一次訂購量為大于等于550個時，每個零件的實際出廠價恰好降為51元．故答案為：≥550；（2）當0＜x≤100時，P＝60當100＜x＜550時，P＝60﹣0.02（x﹣100）＝62﹣當x≥550時，P＝51所以P＝；（3）設銷售商的一次訂購量為x個時，工廠獲得的利潤為L元，則L＝（P﹣40）x＝，當x＝500時，L＝22×500﹣＝6000（元）；當x＝1000時，L＝11×1000＝11000（元），因此，當銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是6000元；如果訂購1000個，利潤是11000元．【點評】本小題主要考查了二次函數(shù)的應用以及分段函數(shù)的應用，注意利用自變量取值范圍得出函數(shù)解析式是解題關鍵．針對訓練2【變式2-1】為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻（墻長25m）的空地上修建一條矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍?。ㄈ鐖D）．若設綠化帶BC邊長為xm，綠化帶的面積為ym2，求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍．【分析】根據(jù)矩形的面積公式列出關于二次函數(shù)解析式；根據(jù)墻長、x、y所表示的實際意義來確定x的取值范圍．【解答】解：由題意得：y＝x×＝﹣x2+20x，自變量x的取值范圍是0＜x≤25．【點評】此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)解析式，注意在求自變量x的取值范圍時，要根據(jù)函數(shù)中自變量所表示的實際意義來確定．【變式2-2】如圖，在一面靠墻的空地上用長為24米的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，設花圃的寬AB為x米，面積為S平方米．（1）求S與x的函數(shù)關系式及自變量x的取值范圍；（2）若墻的最大可用長度為9米，求此時自變量x的取值范圍．【分析】（1）花圃的面積＝AB×（籬笆長﹣3AB），根據(jù)邊長為正數(shù)可得自變量的取值范圍；（2）結合（1）及AD不大于9可得自變量的公共取值．【解答】解：（1）S＝BC×AB＝（24﹣3x）x＝﹣3x2+24x由題意得：0＜x＜8（2）∵24﹣3x≤9∴x≥5結合（1）得，5≤x＜8．【點評】考查一次函數(shù)的應用；得到AD邊長的關系式是解決本題的突破點；得到自變量的取值是解決本題的易錯點．【能力提升2】【提升2-1】如圖1，某灌溉設備的噴頭B高出地面1.25m，噴出的拋物線形水流在與噴頭底部A的距離為1m處達到距地面最大高度2.25m，試在恰當?shù)闹苯亲鴺讼抵星蟪雠c該拋物線水流對應的二次函數(shù)關系式．學生小龍在解答圖1所示的問題時，具體解答如下：①以水流的最高點為原點，過原點的水平線為橫軸，過原點的鉛垂線為縱軸，建立如圖2所示的平面直角坐標系；②設拋物線水流對應的二次函數(shù)關系式為y＝ax2；③根據(jù)題意可得B點與x軸的距離為1m，故B點的坐標為（﹣1，1）；④代入y＝ax2得﹣1＝a?1，所以a＝﹣1；⑤所以拋物線水流對應的二次函數(shù)關系式為y＝﹣x2．數(shù)學老師看了小龍的解題過程說：“小龍的解答是錯誤的”．（1）請指出小龍的解答從第③步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是什么？（2）請你寫出完整的正確解答過程．【分析】（1）第③步開始出現(xiàn)錯誤，B點坐標錯誤；（2）以水流的最高點為原點，過原點的水平線為橫軸，過原點的鉛垂線為縱軸，建立如圖2所示的平面直角坐標系，通過最高點和B點的坐標求得函數(shù)關系式．【解答】解：（1）第③步開始出現(xiàn)錯誤，B點坐標錯誤；（2）以水流的最高點為原點，過原點的水平線為橫軸，過原點的鉛垂線為縱軸，建立如圖2所示的平面直角坐標系；設拋物線水流對應的二次函數(shù)關系式為y＝ax2；根據(jù)題意可得B點與x軸的距離為1m，故B點的坐標為（﹣1，﹣1）；代入y＝ax2得﹣1＝a?（﹣1）2，所以a＝﹣1；所以拋物線水流對應的二次函數(shù)關系式為y＝﹣x2．【點評】本題考查了同學們根據(jù)函數(shù)圖象求函數(shù)關系式的能力．【提升2-2】在一塊長方形鏡面玻璃的四周鑲上與它的周長相等的邊框，制成一面鏡子．鏡子的長與寬的比是2：1．已知鏡面玻璃的價格是每平方米120元，邊框的價格是每米30元，另外制作這面鏡子還需加工費45元．設制作這面鏡子的總費用是y元，鏡子的寬度是x米．（1）求y與x之間的關系式．（2）如果制作這面鏡子共花了195元，求這面鏡子的長和寬．【分析】（1）依題意可得總費用＝鏡面玻璃費用+邊框的費用+加工費用，可得y＝6x×30+45+2x2×120化簡即可．（2）根據(jù)共花了195元，即玻璃的費用+邊框的費用+加工費＝195元，即可列出方程求解．【解答】解：（1）y＝（2x+2x+x+x）×30+45+2x2×120＝240x2+180x+45；（2）由題意可列方程為240x2+180x+45＝195，整理得8x2+6x﹣5＝0，即（2x﹣1）（4x+5）＝0，解得x1＝0.5，x2＝﹣1.25（舍去）∴x＝0.5，∴2x＝1，答：鏡子的長和寬分別是1m和0.5m．【點評】本題是一道一元二次方程的應用題，解這類題關鍵是理解題意，建立恰當?shù)年P系式予以求解．【聚焦考點3】二次函數(shù)的應用（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經營活動中，經常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構建二次函數(shù)模型解決實際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．【典例剖析3】【典例3-1】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)貿易公司開設了一家網店，銷售當?shù)啬撤N農產品，已知該農產品成本為每千克10元，調查發(fā)現(xiàn)，每天銷售量y（kg）與銷售單價x（元）滿足如圖所示的函數(shù)關系（其中10＜x≤30）（1）寫出y與x之間的函數(shù)關系式及自變量的取值范圍；（2）當銷售單價x為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【分析】（1）由圖象知，當10＜x≤14時，y＝640；當14＜x≤30時，設y＝kx+b，將（14，640），（30，320）解方程組即可得到結論；（2）分兩種情況求出函數(shù)最值，然后比較得出結論即可．【解答】解：（1）由圖象知，當10＜x≤14時，y＝640；當14＜x≤30時，設y＝kx+b，將（14，640），（30，320）代入得，解得，∴y與x之間的函數(shù)關系式為y＝﹣20x+920；綜上所述，y＝；（2）設每天的銷售利潤為w元，當10＜x≤14時w＝640×（x﹣10）＝640x﹣6400，∵k＝640＞0，∴w隨著x的增大而增大，∴當x＝14時，w＝4×640＝2560元；當14＜x≤30時，w＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480，∵﹣20＜0，14＜x≤30，∴當x＝28時，w有最大值，最大值為6480，∵2560＜6480，∴當銷售單價x為28元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是6480元．【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用，得到每天的銷售利潤的關系式是解決本題的關鍵；利用配方法或公式法求得二次函數(shù)的最值問題是常用的解題方法．【典例3-2】某農場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1：2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設較小矩形的寬為xm（如圖）．（1）若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36m2，求此時x的值；（2）當x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？【分析】（1）根據(jù)題意知：較大矩形的寬為2xm，長為＝（8﹣x）m，可得（x+2x）×（8﹣x）＝36，解方程取符合題意的解，即可得x的值為2；（2）設矩形養(yǎng)殖場的總面積是ym2，根據(jù)墻的長度為10，可得0＜x≤，而y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，由二次函數(shù)性質即得當x＝時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為m2．【解答】解：（1）根據(jù)題意知：較大矩形的寬為2xm，長為＝（8﹣x）m，∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，解得x＝2或x＝6，經檢驗，x＝6時，3x＝18＞10不符合題意，舍去，∴x＝2，答：此時x的值為2；（2）設矩形養(yǎng)殖場的總面積是ym2，∵墻的長度為10m，∴0＜x≤，根據(jù)題意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵﹣3＜0，∴當x＝時，y取最大值，最大值為﹣3×（﹣4）2+48＝（m2），答：當x＝時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為m2．【點評】本題考查一元二次方程和二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出方程及函數(shù)關系式．【典例3-3】如圖1的某種發(fā)石車是古代一種遠程攻擊的武器，發(fā)射出去的石塊的運動軌跡是拋物線的一部分，且距離發(fā)射點20米時達到最大高度10米．將發(fā)石車置于山坡底部O處，山坡上有一點A，點A與點O的水平距離為30米，與地面的豎直距離為3米，AB是高度為3米的防御墻．若以點O為原點，建立如圖2的平面直角坐標系．（1）求石塊運動軌跡所在拋物線的解析式；（2）試通過計算說明石塊能否飛越防御墻AB；（3）在豎直方向上，試求石塊飛行時與坡面OA的最大距離．【分析】（1）設石塊運行的函數(shù)關系式為y＝a（x﹣20）2+10，用待定系數(shù)法求得a的值即可求得答案．（2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，與6作比較即可．（3）用待定系數(shù)法求得OA的解析式為y＝x，設拋物線上一點P（t，﹣t2+t），過點P作PQ⊥x軸，交OA于點Q，延長BA交x軸于點E，則Q（t，t），用含t的式子表示出PQ關于t的表達式，再利用二次函數(shù)的性質可得答案．【解答】解：（1）設石塊的運動軌跡所在拋物線的解析式為y＝a（x﹣20）2+10，把（0，0）代入，得400a+10＝0，解得a＝﹣．∴y＝﹣（x﹣20）2+10．即y＝﹣x2+x．（2）石塊能飛越防御墻AB，理由如下：把x＝30代入y＝﹣x2+x，得y＝﹣×900+30＝7.5，∵7.5＞3+3，∴石塊能飛越防御墻AB．（3）設直線OA的解析式為y＝kx（k≠0），把（30，3）代入，得3＝30k，∴k＝．故直線OA的解析式為y＝x．如圖：設直線OA上方的拋物線上的一點P的坐標為（t，﹣t2+t），過點P作PQ⊥x軸，交OA于點Q，交x軸于點D，則Q（t，t），∴PQ＝﹣t2+t﹣t，＝﹣t2+t＝﹣（t﹣18）2+8.1．∵二次項系數(shù)為負，∴圖象開口向下，PQ有最大值∴當t＝18時，PQ取最大值，最大值為8.1．答：在豎直方向上，石塊飛行時與坡面OA的最大距離是8.1米．【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應用，理清題中的數(shù)量關系并熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．針對訓練3【變式3-1】某商場以每件20元的價格購進一種商品，規(guī)定這種商品每件售價不低于進價，又不高于38元，經市場調查發(fā)現(xiàn)：該商品每天的銷售量y（件）與每件售價x（元）之間符合一次函數(shù)關系，如圖所示．（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；（2）設商場銷售這種商品每天獲利w（元），當每件商品的售價定為多少元時，每天銷售利潤最大？最大利潤是多少？【分析】（1）設y與x之間的函數(shù)關系式為y＝kx+b（k≠0），然后用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）根據(jù)利潤＝單件利潤×銷售量列出函數(shù)解析式，然后有函數(shù)的性質以及自變量的取值范圍求出函數(shù)最值．【解答】解：（1）設y與x之間的函數(shù)關系式為y＝kx+b（k≠0），由所給函數(shù)圖象可知：，解得：，故y與x的函數(shù)關系式為y＝﹣2x+120；（2）∵y＝﹣2x+120，∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）＝﹣2x2+160x﹣2400＝﹣2（x﹣40）2+800，∵﹣2＜0，∴當x＜0時，w隨x的增大而增大，∵20≤x≤38，∴當x＝38時，w有最大值，最大值為792，∴售價定為38元/件時，每天最大利潤為792元．【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，關鍵是根據(jù)利潤＝單件利潤×銷售量列出函數(shù)解析式．【變式3-2】園林部門計劃在某公園建一個長方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墻（墻最大可用長度為14米）．另三邊用木欄圍成，中間也用垂直于墻的木欄隔開，分成兩個區(qū)域，并在如圖所示的兩處各留1米寬的門（門不用木欄），建成后所用木欄總長22米，設苗圃ABCD的一邊CD長為x米．（1）苗圃ABCD的另一邊BC長為（24﹣3x）米（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若苗圃ABCD的面積為45m2，求x的值；（3）當x為何值時，苗圃ABCD的面積最大，最大面積為多少平方米？【分析】（1）根據(jù)木欄總長22米，兩處各留1米寬的門，設苗圃ABCD的一邊CD長為x米，即得BC長為（24﹣3x）米；（2）根據(jù)題意得：x?（24﹣3x）＝45，即可解得x的值；（3）w＝x?（24﹣3x）＝﹣3（x﹣4）2+48，由二次函數(shù)性質可得答案．【解答】解：（1）∵木欄總長22米，兩處各留1米寬的門，設苗圃ABCD的一邊CD長為x米，∴BC長為22﹣3x+2＝24﹣3x，故答案為：（24﹣3x）；（2）根據(jù)題意得：x?（24﹣3x）＝45，解得x＝3或x＝5，∵x＝3時，24﹣3x＝15＞14，∴x＝3舍去，∴x的值為5；（3）設苗圃ABCD的面積為w，則w＝x?（24﹣3x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵﹣3＜0，∴x＝4時，w最大為48，答：當x為4米時，苗圃ABCD的最大面積為48平方米．【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，解題得關鍵是讀懂題意，根據(jù)已知列方程和函數(shù)關系式．【變式3-3】圖中是拋物線形拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m．水面下降1m，水面寬度增加多少？（結果保留根號）【分析】根據(jù)已知得出直角坐標系，進而求出二次函數(shù)解析式，再把y＝﹣1代入拋物線解析式得出水面寬度，即可得出答案．【解答】解：以AB中點為原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖：由一直可得拋物線頂點C坐標為（0，2），設拋物線解析式為y＝ax2+2，將A（﹣2，0）代入得：0＝4a+2，解得：a＝﹣0.5，∴拋物線解析式為y＝﹣0.5x2+2，把y＝﹣1代入拋物線解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±，∴水面寬度增加到2米，比原先的寬度當然是增加了（2﹣4）米，答：水面寬度增加（2﹣4）米．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應用，根據(jù)已知建立坐標系從而得出二次函數(shù)解析式是解決問題的關鍵．【能力提升3】【提升3-1】神韻隨州，一見鐘情．為迎接全市文旅產業(yè)發(fā)展大會，某景區(qū)研發(fā)一款紀念品，每件成本30元，投放景區(qū)內進行銷售，銷售一段時間發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足一次函數(shù)關系，部分圖象如圖．（1）直接寫出y與x的函數(shù)關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）當銷售單價為多少元時，每天的獲利最大？最大利潤是多少？（3）“文旅大會”結束后，物價部門規(guī)定該紀念品銷售單價不能超過m元，在日銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）保持（1）中函數(shù)關系不變的情況下，若要求該紀念品的日銷售最大利潤是1200元，求m的值．【分析】（1）根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法得關系式．（2）根據(jù)利潤等于每件的利潤乘以件數(shù)，再利用配方法求出最值．（3）將1200元代入新函數(shù)，先求解x的值，再根據(jù)最大利潤為1250元進行檢驗即可得到的m．【解答】解：（1）設解析式為y＝kx+b，根據(jù)圖象可知，點（30，100）、（50，60）在y＝kx+b上∴，解得，∴y與x的函數(shù)關系式為y＝﹣2x+160；（2）設每天獲利w元，根據(jù)題意得w＝（x﹣30）?（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，∴當x＝55時，w取最大值為1250，答：當銷售單價55元/件時，每天獲利最大，最大利潤為1250元．（3）由（2）知，當w最大＝1200時，﹣2（x﹣55）2+1250＝1200，解得x1＝50，x2＝60，∴m的值為50即m＝50．【點評】本題考查的是一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合問題，正確找出題目中的等量關系是解決問題的關鍵．【提