專題05圓中的重要模型之圓中的外接圓和內(nèi)切圓模型模型1、內(nèi)切圓模型【模型解讀】內(nèi)切圓：平面上的多邊形的每條邊都能與其內(nèi)部的一個(gè)圓形相切，該圓就是該多邊形的內(nèi)切圓，這時(shí)稱這個(gè)多邊形為圓外切多邊形。它亦是該多邊形內(nèi)部最大的圓形。內(nèi)切圓的圓心被稱為該多邊形的內(nèi)心。三角形內(nèi)切圓圓心：在三角形中，三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)是內(nèi)切圓的圓心，圓心到三角形各個(gè)邊的垂線段相等。正多邊形必然有內(nèi)切圓，而且其內(nèi)切圓的圓心和外接圓的圓心重合，都在正多邊形的中心?！境Ｒ娔Ｐ图敖Y(jié)論】1）三角形的內(nèi)切圓模型條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的內(nèi)切圓（即O為三角形ABC的內(nèi)心），⊙O的半徑為r。結(jié)論：①點(diǎn)O到三角形ABC的三邊距離相等；②；③r=。圖1圖2圖32）直角三角形的內(nèi)切圓模型條件：如圖2，⊙O為Rt的內(nèi)切圓（即O為三角形ABC的內(nèi)心），⊙O的半徑為r。結(jié)論：①點(diǎn)O到三角形ABC的三邊距離相等；②；③r=；3）四邊形的內(nèi)切圓模型條件：如圖3，⊙O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓。結(jié)論：。例1．（2022秋·天津河西·九年級?？计谀┤鐖D，是的內(nèi)切圓，若，則．【答案】【分析】根據(jù)是的內(nèi)切圓，得出，，進(jìn)而得出，即可得出答案．【詳解】解：∵是的內(nèi)切圓，∴，，∵，∴，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理，此題難度不大．例2．（2023·浙江金華·九年級統(tǒng)考期中）如圖，截三邊所得的弦長相等，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用截的三條邊所得的弦長相等，得出即是的內(nèi)心，由三角形內(nèi)角和定理可得出答案．【詳解】解：截的三條邊所得的弦長相等，到三角形三條邊的距離相等，即是的內(nèi)心，，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是內(nèi)心的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)》卷九中記載：“今有勾三步，股四步，問勾中容圓徑幾何？”其大意是：“今有直角三角形勾（短直角邊）長為3步，股（長直角邊）長為4步，問該直角三角形能容納的圓（內(nèi)切圓）的半徑是多少步？”如圖是示意圖，根據(jù)題意，該內(nèi)切圓的半徑為．【答案】【分析】連接，可知四邊形為正方形，設(shè)半徑為，根據(jù)切線長定理列方程求解即可．【詳解】解：連接，如下圖：由題意可得：，∵，∴四邊形為矩形，又∵∴矩形為正方形；設(shè)半徑為，則∴，∴解得故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，切線長定理，正方形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)．例4．（2023秋·浙江九年級課時(shí)練習(xí)）已知三角形的周長為12，面積為6，則該三角形內(nèi)切圓的半徑為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，根據(jù)公式：，列出方程即可求出該三角形內(nèi)切圓的半徑．【詳解】解：設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r解得：r=1故選D．【點(diǎn)睛】此題考查的是根據(jù)三角形的周長和面積，求內(nèi)切圓的半徑，掌握公式：是解決此題的關(guān)鍵．例5．（2023·江蘇南京·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切線，已知AD＝2，BC＝5，則AB＋CD的值是A．14 B．12 C．9 D．7【答案】D【分析】根據(jù)切線長定理，可以證明圓的外切四邊形的對邊和相等，由此即可解決問題．【詳解】∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切線，∴可以假設(shè)切點(diǎn)分別為E、H、G、F，∴AF＝AE，BE＝BH，CH＝CG，DG＝DF，∴AD＋BC＝AF＋DF＋BH＋CH＝AE＋BE＋DG＋CG＝AB＋CD，∵AD＝2，BC＝5，∴AB＋CD＝AD＋BC＝7，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)、切線長定理等知識，解題的關(guān)鍵是證明圓的外切四邊形的對邊和相等，屬于中考?？碱}型．例6．（2023·福建福州·九年級?？计谀┤鐖D，的內(nèi)切圓與兩直角邊、分別相切于點(diǎn)D、E，過劣?。ú话ǘ它c(diǎn)D、E）上任一點(diǎn)P作的切線，與、分別交于點(diǎn)M、N，，，則的周長為．【答案】4【分析】首先利用勾股定理求出斜邊的長度，再判斷四邊形為正方形，然后利用切線長定理求出內(nèi)切圓半徑，進(jìn)而求出周長．【詳解】如圖，連接、，在中，，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，、為的切線，∴，，∵，，∴四邊形為正方形，∴，由切線長定理得，，，，，∴，解得，則的周長為．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓，切線的性質(zhì)定理，切線長定理，解題關(guān)鍵是判斷四邊形為正方形，再依據(jù)切線長定理把三角形的周長化為兩條切線長，再轉(zhuǎn)化為半徑進(jìn)行求解．例7．（2023·湖南常德·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，是邊長為的正三角形的內(nèi)切圓，與邊、均相切，且與外切，則的半徑為．

【答案】【分析】由切線的性質(zhì)得到，，又，得到平分，因此得到，同理得到，故，推出，由銳角的正切即可求出的長．【詳解】解：設(shè)與切于，與相切于，連接，連接，，，

，，，平分，，是等邊三角形，，，同理：，，，，∵，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由以上知識點(diǎn)推出，得到是中點(diǎn)，應(yīng)用銳角的正切即可求解．例8．（2023·江蘇宿遷·九年級校考階段練習(xí)）如圖，的內(nèi)切圓與，，相切于點(diǎn)，，，已知，，，，則的長是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，，，，，．根據(jù)題意可知，且，，，再根據(jù)求出，接下來設(shè)，根據(jù)切線長定理得出，，，求出，再根據(jù)勾股定理求出，結(jié)合，可知是的垂直平分線，然后根據(jù)求出，進(jìn)而得出答案．【詳解】連接，，，，，．根據(jù)題意可知，且，，，∵，即，解得．設(shè)，則，，，得，解得，∴．在中，，∵，∴是的垂直平分線，∴．∵，即，解得，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)切三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的判定，切線長定理等，根據(jù)面積相等求出半徑是解題的關(guān)鍵．模型2、多邊形的外接圓模型【模型解讀】外接圓：與多邊形各頂點(diǎn)都相交的圓叫做多邊形的外接圓，通常是針對一個(gè)凸多邊形來說的，如三角形，若一個(gè)圓恰好過三個(gè)頂點(diǎn)，這個(gè)圓就叫作三角形的外接圓，此時(shí)圓正好把三角形包圍。三角形外接圓圓心：即做三角形三條邊的垂直平分線（兩條也可，兩線相交確定一點(diǎn)）?！境Ｒ娔Ｐ图敖Y(jié)論】1）三角形的外接圓模型條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的外接圓（即O為三角形ABC的外心）。結(jié)論：①OA=OB=OC；②。圖1圖2圖32）等邊三角形的外接圓模型條件：如圖2，點(diǎn)P為等邊三角形ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn)。結(jié)論：①，PM平分；②PA=PB+PC；③；3）四邊形的外接圓模型條件：如圖3，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形。結(jié)論：①；；②。例1．（2022春·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，也是△DBC的外心．若∠A＝80°，則∠D的度數(shù)是（

）A．60° B．65 C．70° D．75°【答案】B【分析】利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)得OB，OC分別是角平分線，進(jìn)而求出的大小，再利用三角形外心的性質(zhì)得出等于的一半，即可得出答案．【詳解】解：連接OB，OC，如圖，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，，，，，點(diǎn)O是△DBC的外心，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)心和三角形外心的性質(zhì)，牢記以上知識點(diǎn)得出各角之間的關(guān)系是做出本題的關(guān)鍵．例2．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)O是外接圓的圓心，點(diǎn)I是的內(nèi)心，連接，．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)心的定義可得的度數(shù)，然后由圓周角定理求出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：連接，∵點(diǎn)I是的內(nèi)心，，∴，∴，∵，∴，故選：C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)心的定義和圓周角定理，熟知三角形的內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·湖北武漢·九年級階段練習(xí)）如圖，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC=4，BC=8，則⊙O的半徑為.【答案】5cm【分析】作AD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD=BC=4，再利用三角形外心的定義得到△ABC的外接圓的圓心在AD上，連結(jié)OB，設(shè)⊙O的半徑為r，利用勾股定理，在Rt△ABD中計(jì)算出AD=8，然后在Rt△OBD中得到42+（8-r）2=r2，再解關(guān)于r的方程即可；【詳解】解：如圖1，作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD=BC=4，∴△ABC的外接圓的圓心在AD上，連結(jié)OB，設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△ABD中，∵AB=4，BD=4，∴AD==8，在Rt△OBD中，OD=AD-OA=8-r，OB=r，BD=4，∴42+（8-r）2=r2，解得r=5，即△ABC的外接圓的半徑為5；【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓和外心，解題關(guān)鍵證明等腰三角形底邊上的高經(jīng)過三角形外接圓的圓心.例4．（2023·廣東廣州·九年級?？计谀┤鐖D，在中，，．，I是的內(nèi)心，則線段的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】如圖，連接，延長交于H，連接．在中，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)面積相等，求出即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，延長交于H，連接，作出的內(nèi)接圓，確定圓心I，連接，∵，∴，∴，∵，∴，設(shè)，在中，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)心和外心、勾股定理等知識，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．例5．（2022秋·浙江衢州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，以為直徑的半圓分別交，于點(diǎn)，，連結(jié)，，．(1)求證：．(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)8【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而得出，可證明，由圓周角定理得出，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得；（2）由，是的中點(diǎn)，得出是的中點(diǎn)，由圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)結(jié)合，得出，繼而證明，由相似三角形性質(zhì)得出，進(jìn)而得出的長度．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵為直徑，∴，∴，∴，∴；（2）如圖，∵，是的中點(diǎn)，∴，即，∴是的中點(diǎn)，∵為直徑，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例6．（2023安徽中考數(shù)學(xué)一模卷）如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APB=∠CPB=60°．(1)判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論．(2)證明：PA+PC=PB．【答案】(1)等邊三角形，證明見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠ABC=∠CPB=60°，∠BAC=∠CPB=60°，根據(jù)等邊三角形的判定定理證明；（2）在PB上截取PH=PA，得到△APH為等邊三角形，證明△AHB≌△APC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形證明即可．（1）解：△ABC是等邊三角形，理由如下：由圓周角定理得，∠BCA=∠APB=60°，∠BAC=∠CPB=60°，∴∠ABC=60°，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形；（2）證明：在PB上截取PH=PA，∵∠APB=60°，∴△APH為等邊三角形，∴AP=AH，∠PAH=60°，∴∠BAH+∠CAH=∠PAC+∠CAH，即∠BAH=∠PAC，在△AHB和△APC中，，∴△AHB≌△APC（AAS）,∴BH=PC，∴PB=PH+BH=PA+PC．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．例7．（2023廣東中考模擬）如圖，點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn)．（1）求∠BPC的度數(shù)；（2）求證：PA=PB+PC；（3）設(shè)PA，BC交于點(diǎn)M，若AB=4，PC=2，求CM的長度．【答案】（1）∠BPC=120°，（2）證明見解析；（3）CM=．【分析】（1）由圓周角定理得∠BPC與∠BAC互補(bǔ)；（2）在PA上截取PD=PC，可證明△ACD≌△BCP，則AD=PB，從而得出PA=PB+PC；（3）容易得到△CDM∽△ACM，所以CM：AM=DM：MC=DC：AC=2：4=1：2，設(shè)DM=x，則CM=2x，BM=4-2x，PM=2-x，AM=4x，AD=AM-DM=4x-x=3x，△BPM∽△ACM，所以BP：AC=PM：CM，即3x：4=（2-x）：2x，解此分式方程求出x．【詳解】解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，∵點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn)，∴四邊形ABPC是圓的內(nèi)接四邊形∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，（2）證明：連結(jié)CD．在PA上截取PD=PC，∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD為等邊三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP，在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB，∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；（3）∵△PCD和△ABC都為等邊三角形，∴∠MDC=∠ACM=60°，CD=PC，又∵∠DMC=∠CMA，∴△CDM∽△ACM，AB=4，PC=2，∴CM：AM=DM：MC=DC：AC=PC：AC=2：4=1：2，設(shè)DM=x，則CM=2x，BM=4-2x，PM=2-x，AM=4x，AD=AM-DM=4x-x=3x∵∠BMP=∠CMA，∠PBM=∠CAM，∴△BPM∽△ACM，∴BP：AC=PM：CM，即3x：4=（2-x）：2x，解得x=（舍去負(fù)值），∴CM=．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理以及等邊三角形的性質(zhì)，是一個(gè)綜合題，難度較大．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∠AIC=124°，點(diǎn)E在AD的延長線上，則∠CDE的度數(shù)為（）A．56° B．62° C．68° D．78°【答案】C【分析】由點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心知∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，從而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角可得答案．【詳解】解：∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，∵∠AIC=124°，∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）=180°﹣2（180°﹣∠AIC）=68°，又四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠CDE=∠B=68°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)心的性質(zhì)及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．2．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，AC是矩形ABCD的對角線，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，連結(jié)CE，將△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CD落到對角線AC上時(shí)，點(diǎn)E恰與圓心O重合，已知AE＝6，則下列結(jié)論不正確的是（）A．BC+DE＝ACB．⊙O的半徑是2C．∠ACB＝2∠DCED．AE＝CE【答案】D【分析】⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，設(shè)半徑為r，切點(diǎn)分別為F、G、H，連接OG、OH，則四邊形BGOH是正方形，得出OG＝OG＝BG＝BH＝r，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：OF＝DE＝r，CF＝CD，∠FCO＝∠DCE，得出∠ACB＝2∠DCE，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程得出r＝2，BC＝8，AC＝10，選項(xiàng)A、B、C正確；由勾股定理得：CE＝，選項(xiàng)D不正確．【詳解】解：⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，設(shè)半徑為r，切點(diǎn)分別為F、G、H，連接OG、OH，如圖：則四邊形BGOH是正方形，∴OG＝OG＝BG＝BH＝r，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：OF＝DE＝r，CF＝CD，∠FCO＝∠DCE，∴∠ACB＝2∠DCE，∵BC＝AD，∴AB＝CD＝CF＝AE＝6，由切線長定理得：CH＝CF＝CD＝6，∠ACO＝∠BCO，AF＝AG＝6﹣r，∴AC＝AF+CF＝12﹣r，在Rt△ABC中，由勾股定理得：62+（6+r）2＝（12﹣r）2，解得：r＝2，∴BC＝8，AC＝10，∴BC+DE＝AC，⊙O的半徑是2，所以選項(xiàng)A、B、C正確；由勾股定理得：，選項(xiàng)D不正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、切線長定理、勾股定理等知識；熟練掌握切線長定理和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，正六邊形ABCDEF中，P、Q兩點(diǎn)分別為△ACF、△CEF的內(nèi)心．若AF=2，則PQ的長度為何？（）A．1 B．2 C．2﹣2 D．4﹣2【答案】C【分析】先判斷出PQ⊥CF，再求出AC=2，AF=2，CF=2AF=4，利用△ACF的面積的兩種算法即可求出PG，然后計(jì)算出PQ即可.【詳解】解：如圖，連接PF，QF，PC，QC∵P、Q兩點(diǎn)分別為△ACF、△CEF的內(nèi)心，∴PF是∠AFC的角平分線，F(xiàn)Q是∠CFE的角平分線，∴∠PFC=∠AFC=30°，∠QFC=∠CFE=30°，∴∠PFC=∠QFC=30°，同理，∠PCF=∠QCF∴PQ⊥CF，∴△PQF是等邊三角形，∴PQ=2PG；易得△ACF≌△ECF，且內(nèi)角是30o，60o，90o的三角形，∴AC=2，AF=2，CF=2AF=4，∴S△ACF=AF×AC=×2×2=2，過點(diǎn)P作PM⊥AF，PN⊥AC，PQ交CF于G，∵點(diǎn)P是△ACF的內(nèi)心，∴PM=PN=PG，∴S△ACF=S△PAF+S△PAC+S△PCF=AF×PM+AC×PN+CF×PG=×2×PG+×2×PG+×4×PG=（1++2）PG=（3+）PG=2，∴PG==，∴PQ=2PG=2()=2-2.故選C.【點(diǎn)睛】本題是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，主要考查了三角形的內(nèi)心的特點(diǎn)，三角形的全等，解本題的關(guān)鍵是知道三角形的內(nèi)心的意義.4．（2023·河北張家口·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)點(diǎn)為的內(nèi)心，且于點(diǎn)，若，，則的度數(shù)為（

）A．163 B．164 C．165 D．166【答案】C【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠C=86°，過點(diǎn)E作ED⊥AC于D，得到∠CDE=∠CFE=90°，由此求出∠AED=90°-19°=71°，∠DEF=180°-∠C=94°，即可求出答案.【詳解】∵，，∴∠C=180°-∠BAC-∠B=86°，過點(diǎn)E作ED⊥AC于D，∵，∴∠CDE=∠CFE=90°，∵點(diǎn)點(diǎn)為的內(nèi)心，∴∠CAE=∠BAC=19°，∴∠AED=90°-19°=71°，∠DEF=180°-∠C=94°，∴∠AEF=∠AED+∠DEF=165°，故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形內(nèi)心定義，熟記三角形的內(nèi)心定義是解題的關(guān)鍵.5．（2023秋·天津河北·九年級校考期末）若直角三角形的兩直角邊分別為6和8，則這個(gè)直角三角形內(nèi)切圓的半徑是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先根據(jù)勾股定理求得該直角三角形的斜邊是，等面積法即可求解．【詳解】解：直角三角形的兩直角邊分別為6和8，根據(jù)勾股定理，得該直角三角形的斜邊是，設(shè)直角三角形內(nèi)切圓半徑為r，則，解得．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是勾股定理以及三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心，牢記直角三角形內(nèi)切圓的半徑等于兩條直角邊的和與斜邊的差的一半是解此題的關(guān)鍵．6．（2023春·浙江九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是內(nèi)心，O是外心，則∠BIC＝（

）度A．70 B．135 C．55 D．125【答案】D【分析】根據(jù)圓周角定理求出，求出度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)三角形的內(nèi)心得出，，求出的度數(shù)，再求出答案即可．【詳解】解：在中，，是外心，，，，為的內(nèi)心，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和三角形的外接圓，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．7．（2034·浙江杭州·三模）如圖，△ABC的內(nèi)切圓與三邊分別切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，下列結(jié)論正確的是（）A．∠EDF＝∠B B．2∠EDF＝∠A+∠CC．2∠A＝∠FED+∠EDF D．∠AED+∠BFE+∠CDF＞180°【答案】B【分析】不妨設(shè)∠B=80°，∠A=40°，∠C=60°．求出各個(gè)角，首先判定出A、C錯誤，再證明B、D兩項(xiàng)的正誤．【詳解】解：不妨設(shè)∠B＝80°，∠A＝40°，∠C＝60°．∵△ABC的內(nèi)切圓與三邊分別相切于點(diǎn)D、E、F，∴BE＝BF，AE＝AD，CF＝CD，∴∠BEF＝∠BFE＝∠EDF＝50°，∠CFD＝∠CDF＝∠FED＝60°，∠AED＝∠ADE＝∠EFD＝70°，∴∠EDF≠∠B，2∠A≠∠FED+∠EDF，故A、C不正確，∵∠B+∠BEF+∠EFB＝180°，∠B+∠A+∠C＝180°，∴∠BEF+∠BFE＝∠A+∠C，∴2∠EDF＝∠A+∠C，故B正確，∵∠AED＝∠EFD，∠BFE＝∠EDF，∠CDF＝∠FED，∴∠AED+∠BFE+∠CDF＝∠EFD+∠EDF+∠FED＝180°，故D不正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)接圓與內(nèi)心，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用特殊值法解決問題，屬于中考?？碱}型．8．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，為直徑，C為圓上一點(diǎn)，I為內(nèi)心，交于D，于I，若，則為（

）

A． B． C． D．5【答案】A【分析】如圖，連接，，由題意知，平分，平分，則，，，，由，可得，由垂徑定理得，則，由勾股定理得，，如圖，連接交于，則，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，解得，進(jìn)而可得，，由勾股定理得，，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，連接，，

由題意知，平分，平分，∴，，∴，，∵，∴，∵，∴，由勾股定理得，，如圖，連接交于，則，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，解得，∴，，由勾股定理得，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了內(nèi)心，勾股定理，垂徑定理，同弧或等弧所對的圓周角相等，等腰三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．9．（2023春·廣東深圳·九年級?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長線和的外接圓相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②若，則；③若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則；④．其中一定正確的個(gè)數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)得到，則可對①進(jìn)行判斷；直接利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)對②進(jìn)行判斷；根據(jù)圓周角定理，等弧和等弦的關(guān)系及等腰三角形的性質(zhì)可對③進(jìn)行判斷；通過證明得到，則可對④進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴平分，∴，故①正確；如圖，連接，，∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴，，∵，∴，∴，∴，故②不正確；

∵，∴，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，故③正確；如圖，連接，∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴平分，∴，∵，∴，∴，∴，故④正確，∴一定正確的是①③④，共3個(gè)，故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)心，圓周角定理，等弧與等弦的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理與三角形外角的性質(zhì)．掌握三角形的內(nèi)心是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，AC相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，則DE的長是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接、、，交于，作交BC于點(diǎn)G，利用，求出，進(jìn)一步可得，求出，設(shè)⊙的半徑為，利用，求出，求出，進(jìn)一求出，再證明OB垂直平分，利用面積法可得，求得HE長即可求得答案．【詳解】解：連接、、，交于，作交BC于點(diǎn)G，如圖，∵AB＝6，AC＝5，BC＝7，∴，即，解得：，∴，∴，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則，解得：，的內(nèi)切圓⊙與，，分別相切于點(diǎn)，，，∴∠ODB=∠OEB=90°，又∵OD=OE，OB=OB，∴，∴BD=BE，同理，CE=CF，AD=AF，∵BE+CE=BC=7，∴BD+BE+CE+CF=14，∴2AD=(6+5+7)-14=4，即AD=2，∴，∴，，，垂直平分，，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，面積法等，正確添加輔助線，靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．11．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)E是的內(nèi)心，的延長線和的外接圓相交于點(diǎn)D，與相交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論：①；②若，則；③若點(diǎn)G為的中點(diǎn)，則；④．其中，一定正確的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)是的內(nèi)心，可得，可判斷①正確；連接，，可得，從而得到，進(jìn)而得到，可判斷②錯誤；，得出，再由點(diǎn)為的中點(diǎn)，則成立，可判定③正確；根據(jù)點(diǎn)是的內(nèi)心和三角形的外角的性質(zhì)，可得，再由圓周角定理可得，從而得到，得出，但可判斷④錯誤．【詳解】解：∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴，故①正確；如圖，連接，，∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故②錯誤；∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴，∴,∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴線段經(jīng)過圓心O，∴，∴成立，故③正確；∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)E不一定是的中點(diǎn)，∴，∴，故④錯誤；綜上分析可知，①③正確，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)心問題，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的內(nèi)心問題，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和等知識是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·江蘇·九年級?？贾軠y）如圖，內(nèi)接于，若為的內(nèi)心，連結(jié)并延長交于點(diǎn)，為、交點(diǎn)，連結(jié)、，以下結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）若，則．以上結(jié)論正確的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，利用圓周角定理和外角的性質(zhì)，得到，從而推出即可說明（1）的正誤；再證明，得到即可證得（2）的正誤；再證明，得到即可說明（3）；如圖，過點(diǎn)作的平行線與的延長線交于點(diǎn)，利用平行線分線段成比例定理即可證得（4）；如圖所示，在線段截取，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，利用三角形全等、圓周角定理以及余弦函數(shù)即可求證（5）的正誤．【詳解】解：∵點(diǎn)是的內(nèi)心∴，∵，∴，∴∵，∴，∴，故（1）錯誤；∵∴，∵，∴，∴，∴，∴；故（2）正確；∵，∴，∴，∴；故（3）錯誤；如圖，過點(diǎn)作的平行線與的延長線交于點(diǎn)，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故（4）正確；如圖所示，在線段截取，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴在中，，∴，∴，故（5）錯誤，∴（2）（4）說法正確，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)心，圓周角定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理．熟練掌握三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點(diǎn)，以及等弧所對的圓周角相等，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·四川南充·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長線和的外接圓相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②若，則；③；④若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，其中一定正確的序號是．【答案】①②③④【分析】根據(jù)點(diǎn)是的內(nèi)心，可得，故①正確；連接，可得，從而得到，進(jìn)而得到∠BEC=120°，故②正確；根據(jù)點(diǎn)是的內(nèi)心和三角形的外角的性質(zhì)，可得，再由圓周角定理可得，從而得到，故③正確；，得出，再由點(diǎn)為的中點(diǎn)，則成立，故④正確．【詳解】解：∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴，故①正確；如圖，連接，∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確；∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴，∵，∴，

∵，∴，∴，∴，∴，故③正確；∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴，

∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴線段經(jīng)過圓心O，∴成立，故④正確；∴正確的有①②③④．故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)心問題，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和等知識，熟練掌握三角形的內(nèi)心的定義，圓周角定理，垂徑定理及其推論是解題的關(guān)鍵．14．（2023·湖南岳陽·?？寄M預(yù)測）如圖，為外接圓的直徑，點(diǎn)M為的內(nèi)心，連接并延長交于點(diǎn)D，①若，的直徑為4，則扇形的面積為；②若，，則．【答案】//【分析】①首先根據(jù)圓周角定理得到，然后利用扇形面積公式求解即可；②作交于點(diǎn)E，作交于點(diǎn)F，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)求出，進(jìn)而得到，然后利用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而求解即可．【詳解】①∵，，∴∵的直徑為4，∴的半徑為2，∴扇形的面積為；②如圖所示，作交于點(diǎn)E，作交于點(diǎn)F，∵，，∴∴∵點(diǎn)M為的內(nèi)心，∴是內(nèi)切圓的半徑，∴，∵點(diǎn)M為的內(nèi)心，∴是的角平分線，∴，，∵∴∴是等腰直角三角形∵∴∵∴∴∴∴∴∴．故答案為：，．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理，三角形內(nèi)心的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．15．（2023秋·山東泰安·九年級統(tǒng)考期末）如圖，中，點(diǎn)是內(nèi)心，若，則的度數(shù)為．【答案】/115度【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得的度數(shù)，再根據(jù)內(nèi)心的定義即可求得，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴，∴，故．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)心以及三角形內(nèi)角和定理的知識，理解三角形內(nèi)心的定義是解題關(guān)鍵．16．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠A＝62°，⊙O截△ABC三邊所得的弦長相等，則∠BOC的度數(shù)是．【答案】121°【分析】先利用⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長相等，得出即O是△ABC的內(nèi)心，從而，∠1=∠2，∠3=∠4，進(jìn)一步求出∠BOC的度數(shù)．【詳解】∵△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長相等，∴O到三角形三條邊的距離相等，即O是△ABC的內(nèi)心，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=（180°-∠A）=（180°-62°）=59°，∴∠BOC=180°-（∠1+∠3）=180°-59°=121°．故答案是：121°．【點(diǎn)睛】此題考查三角形的內(nèi)心，三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵在于掌握其性質(zhì)定義．17．（2023·四川德陽·統(tǒng)考二模）如圖，是一個(gè)小型花園，陰影部分為一個(gè)圓形水池，且與的三邊相切，已知，，．若從天空飄落下一片樹葉恰好落入花園里，則落入水池的概率為（取3）【答案】/0.5【分析】利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，再根據(jù)切線長定理求出圓的半徑，分別求出三角形和圓的面積即可．【詳解】解：∵，，，∴，，，∴，∴，如圖設(shè)三角形內(nèi)切圓為⊙O，與三邊分別相切于點(diǎn)E、F、G，連接，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，，圓的面積為，從天空飄落下一片樹葉恰好落入花園里，則落入水池的概率為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理逆定理和三角形內(nèi)切圓，簡單的概率公式，解題關(guān)鍵是利用切線長定理求出三角形內(nèi)切圓半徑．18．（2023廣東九年級上期中）已知中，，則它的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為．【答案】52【分析】由勾股定理的逆定理可得，為直角三角形，即可求得外接圓的半徑；設(shè)內(nèi)切圓半徑為，利用切線長定理求得內(nèi)切圓半徑．【詳解】解：∵，∴∴為直角三角形，，∴外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，半徑為設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，如下圖，

由題意可得：∴四邊形為矩形，又∵∴矩形為正方形，∴∴，由切線長定理可得：，則：，解得故答案為：5，2【點(diǎn)睛】此題考查了圓的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，切線長定理等性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識．19．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，中，是邊E上的高，分別是的內(nèi)切圓，則與的面積比為．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)三角形面積公式求出，由三角形內(nèi)切圓圓心到三條邊的距離相等以及三角形的面積公式求出兩個(gè)圓的半徑，再求出面積比即可．【詳解】解：在中，，，，，，，在中，由勾股定理得，，，設(shè)的半徑為，的半徑為，則，即，，同理，與的面積比為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓，掌握勾股定理以及三角形內(nèi)切圓的圓心到三角形三邊距離相等是正確解答的前提．20．（2023·山西·九年級專題練習(xí)）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)地任務(wù)：萊昂哈德·歐拉(LeonhardEuler)是瑞士數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)，公式和定理，下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理：在△ABC中，R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外心和內(nèi)心，則.如圖1，⊙O和⊙I分別是△ABC的外接圓和內(nèi)切圓，⊙I與AB相切分于點(diǎn)F，設(shè)⊙O的半徑為R，⊙I的半徑為r，外心O（三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）與內(nèi)心I（三角形三條角平分線的交點(diǎn)）之間的距離OI＝d，則有d2＝R2﹣2Rr．下面是該定理的證明過程（部分）：延長AI交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)I作⊙O的直徑MN，連接DM，AN.∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所對的圓周角相等)，∴△MDI∽△ANI，∴，∴①，如圖2，在圖1(隱去MD，AN)的基礎(chǔ)上作⊙O的直徑DE，連接BE，BD，BI，IF，∵DE是⊙O的直徑，∴∠DBE=90°，∵⊙I與AB相切于點(diǎn)F，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA，∵∠BAD=∠E(同弧所對圓周角相等)，∴△AIF∽△EDB，∴，∴②，任務(wù)：(1)觀察發(fā)現(xiàn)：，(用含R，d的代數(shù)式表示)；(2)請判斷BD和ID的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)請觀察式子①和式子②，并利用任務(wù)(1)，(2)的結(jié)論，按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分；(4)應(yīng)用：若△ABC的外接圓的半徑為5cm，內(nèi)切圓的半徑為2cm，則△ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為cm.

【答案】(1)R-d；(2)BD=ID，理由見解析；(3)見解析；(4).【分析】(1)直接觀察可得；(2)由三角形內(nèi)心的性質(zhì)可得∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，由圓周角定理可得∠DBC=∠CAD，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求得∠BID=∠DBI，繼而可證得BD=ID；(3)應(yīng)用(1)(2)結(jié)論即可；(4)直接代入結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】(1)∵O、I、N三點(diǎn)共線，∴OI+IN＝ON，∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d，故答案為R﹣d；(2)BD=ID，理由如下：∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI，∴∠BID=∠DBI，∴BD=ID；(3)由(2)知：BD=ID，又，，∴DE·IF=IM·IN，∴，∴∴；(4)由(3)知：，把R=5，r=2代入得：，∵d>0，∴，故答案為.【點(diǎn)睛】本題是圓綜合題，主要考查了三角形外接圓、外心和內(nèi)切圓、內(nèi)心，圓周角性質(zhì)，角平分線定義，三角形外角性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.21．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知，如圖，為⊙O的直徑，內(nèi)接于⊙O，，點(diǎn)P是的內(nèi)心，延長交⊙O于點(diǎn)D，連接．(1)求證：；(2)已知⊙O的半徑是3，，求的長．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）由圓周角定理得出，由內(nèi)心得出，，，由三角形的外角性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論；（2）連接，由圓周角定理得出，證出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理可求的長，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵為直徑，∴，∵點(diǎn)P是的內(nèi)心，∴，，∴，∵，，∴，∴；（2）解：連接，過點(diǎn)B作于H，如圖所示：∵是直徑，，∴，是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，等腰直角三形，勾股定理，內(nèi)心的定義；添加輔助線構(gòu)造特殊角直角三角形是解題的關(guān)鍵．22．（2023山東德州九年級期中）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于圓O，點(diǎn)P是劣弧BC上任意一點(diǎn)（不與C重合），連接，求證：．【初步探索】小明同學(xué)思考如下：如圖1，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，可得P、B、Q三點(diǎn)在同一直線上，進(jìn)而可以證明為等邊三角形，根據(jù)提示，解答下列問題：(1)根據(jù)小明的思路，請你完成證明；(2)若圓的半徑為4，則的最大值為__________；(3)【類比遷移】如圖2，等腰內(nèi)接于圓O，，點(diǎn)P是弧BC上任一點(diǎn)（不與B、C重合），連接，若圓的半徑為4，試求周長的最大值．【答案】(1)見解析(2)8(3)【分析】（1）可證得P、B、Q三點(diǎn)在同一條直線上，進(jìn)而證得是等邊三角形，進(jìn)一步得出結(jié)論；（2）當(dāng)是的直徑時(shí)，的值最大，即最大，進(jìn)而求得結(jié)果；（3）將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到，使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，P、B、Q三點(diǎn)在同一條直線上，進(jìn)而證明是等腰直角三角形，類比（2）可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)得，，，，，，、、三點(diǎn)在同一條直線上，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，；（2）解：是的弦，且的半徑為4，當(dāng)經(jīng)過圓心，即是的直徑時(shí)，，此時(shí)的值最大，的最大值是8；（3）解：如圖2，，，∵BC是的直徑，且圓心在BC上，∴，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則，，，，，、、三點(diǎn)在同一條直線上，，，當(dāng)經(jīng)過圓心，即是的直徑時(shí)，，此時(shí)的值最大，，的最大值是，，周長的最大值是．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是類比證明和計(jì)算．23．（2023年廣東省深圳市寶安區(qū)中考三模數(shù)學(xué)試題）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖，已知三只螞蟻A、、在半徑為的上靜止不動，第四只螞蟻在上的移動，并始終保持．(1)請判斷的形狀；“數(shù)學(xué)希望小組”很快得出結(jié)論，請你回答這個(gè)結(jié)論：是______三角形；(2)“數(shù)學(xué)智慧小組”繼續(xù)研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)谒闹晃浵佋谏系囊苿訒r(shí)，線段、、三者之間存在一種數(shù)量關(guān)系：請你寫出這種數(shù)量關(guān)系：______，并加以證明；(3)“數(shù)學(xué)攀峰小組”突發(fā)奇想，深入探究發(fā)現(xiàn)：若第五只螞蟻同時(shí)隨著螞蟻的移動而移動，且始終位于線段的中點(diǎn)，在這個(gè)運(yùn)動過程中，線段的長度一定存在最小值，請你求出線段的最小值是______（不寫解答過程，直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)等邊(2)；證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得對應(yīng)的圓周角為，即、，說明為等邊三角形即可；（2）如圖，在上截取，連接，先說明為等邊三角形可得，，，進(jìn)而證明可得，最后根據(jù)等量代換即可解答；（3）如圖：的軌跡是以為直徑的圓，設(shè)圓心為，連接，過作于，過作，，根據(jù)題意可得，然后說明是三角形的中位線，進(jìn)而得到；再根據(jù)中點(diǎn)的定義可得，利用勾股定理可得，最后根據(jù)線段的和差即可解答．【詳解】（1）解：，對應(yīng)的圓周角為，，，，為等邊三角形．故答案為：等邊．（2）解：如圖，在上截取，連接，，為等邊三角形，，，，，，在和中，，，，，．故答案為：．（3）解：根據(jù)題意可知，如圖：的軌跡是以為直徑的圓，設(shè)圓心為，連接，過作于，過作，，，，，，是的中點(diǎn)，是三角形的中位線，為的中點(diǎn)，，又是的中點(diǎn)，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．24．（2023·天津北辰·九年級?？茧A段練習(xí)）（1）尺規(guī)作圖，如圖作出△ABC的外接圓⊙O；（2）若AB=AC=10,BC=12,則△ABC的外接圓半徑R=,△ABC的內(nèi)切圓半徑r=．【答案】（1）見詳解；（2）；3．【分析】（1）分別作BC和AC的垂直平分線，兩垂直平分線相交于點(diǎn)O，然后以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作圓即可；（2）過A作AD⊥BC于D，連接OB，可知O在直線AD上，然后在Rt△OBD中，利用勾股定理即可求出外接圓半徑R；過A作AM⊥BC于M，由條件可知內(nèi)心P在直線AM上，過P作PN⊥AB于N，利用△ANP∽△AMB，對應(yīng)邊成比例即可求出△ABC的內(nèi)切圓半徑．【詳解】解：（1）如圖所示，⊙O為所作，（2）如圖，過A作AD⊥BC于D，由AB=AC=10可知，AD垂直平分BC，BD=CD=BC=6，又∵圓心O在BC的垂直平分線上，∴O在直線AD上，在Rt△ABD中，，連接OB，設(shè)OA=OB=R，則OD=8-R，在Rt△OBD中，∵OD2+BD2=OB2，∴（8-R）2+62=R2，解得，即△ABC外接圓的半徑為；如下圖，過A作AM⊥BC于M，由于AB=AC=10，BC=12，∴BM=CM=6，AM為∠BAC的角平分線上，∴△ABC的內(nèi)心在直線AM上，取點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心，過P作PN⊥AB于N，可知，PN=PM，在Rt△ABM中，，設(shè)PN=PM=r，則AP=8-r，∵∠AMB=∠ANP=90°，∠NAP=∠MAB，∴△ANP∽△AMB，∴，即，∴即△ABC內(nèi)切圓的半徑為3；答案為：；3．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．也考查了三角形的外心和內(nèi)心，題目比較綜合．25．（2023秋·成都市九年級上期中）如圖，⊙O是GDP的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為A、B、H，切線EF與⊙O相切于點(diǎn)C，分別交PA、PB于點(diǎn)E、F．（1）若△PEF的周長為12，求線段PA的長；（2）若∠G＝90°，GD=3，GP=4，求⊙O半徑．【答案】（1）6；（2）1【分析】（1）由切線長定理可得，，，再由△PEF的周長為12，即可得到，由此即可得到答案；（2）連接OA、OB、OH、OP、OD、OG，設(shè)圓的半徑為r，由，可以得到，再利