常州市聯(lián)盟學(xué)校2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期學(xué)情調(diào)研高三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷2023.12出卷老師審卷老師考試時(shí)間120分鐘滿分150分本試卷共22大題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．Ax|x20Bx|21xAB1.若集合，集合，則（）(2,)(,2)A.B.C.D.Rz2i)z1），則（2.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為）171117i55iiiA.B.C.D.555532b3,4，aba,23.已知，若ab，則=（）A20B.15C.10D.5ππ)4.如圖所示，為射線，的夾角，，點(diǎn)P(在射線上，則34cos（）2323A.C.B.D.22231231225.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在2上單調(diào)遞減的是（）第1頁(yè)/共5頁(yè)y2xB.yx3A.C.x2x2xyyD.2x2y2F,F1的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在COP3F，則126.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓C:上，1242（）1122A.B.0C.D.3337.凈水機(jī)通過(guò)分級(jí)過(guò)濾的方式使自來(lái)水逐步達(dá)到純凈水的標(biāo)準(zhǔn)，其工作原理中有多次的PP棉濾芯過(guò)濾，其中第一級(jí)過(guò)濾一般由孔徑為5微米的PPPP濾前水中大顆粒雜質(zhì)含量為80mg/L，現(xiàn)要滿足過(guò)濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過(guò)2mg/L，則PP棉濾芯的層數(shù)最少為（參考數(shù)據(jù)：20.30，lg30.48）A.9B.8C.7D.61f(x)x24xaxyf(x)8.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且不等式x,x122f(x)f(x)xxt恒成立，則t的取值范圍為（）12122eA.1682，4eD.B.C.2二、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．9.下列命題正確的是（）x,x,,x2x2x,2x1126A.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為712623P()P(B)P(A|B)0.5P(B|)B若，則．(x,y(x,y),,(x,y)n2x,x,,x12nC.在一組樣本數(shù)據(jù)，，不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有1122nn11(x,yi,n)yx1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)為樣本點(diǎn)D.以模型?4x0.3，則c,k的值分別是e和4都在直線ii22ye去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)zy，求得線性回歸方程為第2頁(yè)/共5頁(yè)π2fxAsinxA0,10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．則（）π,0A.f(x)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱125π3,2πB.f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增πC.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)fxg(x)=2sin2x的圖象6π1D.將函數(shù)f(x)的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，得到函數(shù)h(x)2sin(4x)的圖象2611.已知圓O：x2y24與圓C:x2y2x4y40相交于A，B兩點(diǎn)，直線2l:x2y50，點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓O的切線，PNM，N確的是（）45x2y40A.直線AB的方程為B.線段AB的長(zhǎng)為548,C.直線MN過(guò)定點(diǎn)D.PM的最小值是1．5512.如圖，從1開始出發(fā)，一次移動(dòng)是指：從某一格開始只能移動(dòng)到鄰近的一格，并且總是向右或右上或右下移動(dòng)，而一條移動(dòng)路線由若干次移動(dòng)構(gòu)成，如從1移動(dòng)到9，1→3→4→5→6→7→8→9就是一條移動(dòng)）A.從1移動(dòng)到9，一共有34條不同的移動(dòng)路線B.從1移動(dòng)到9過(guò)程中，恰好漏掉兩個(gè)數(shù)字的移動(dòng)路線有15條．3C.若每次移動(dòng)都是隨機(jī)的，則移動(dòng)過(guò)程中恰好跳過(guò)4的概率為8第3頁(yè)/共5頁(yè)D.若每次移動(dòng)都是隨機(jī)的，記為經(jīng)過(guò)i的概率，則PiP7P8P9三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．3x2)4展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為________．13.14.(xA7,8,B4,C4,中，S則為_________．ABC3πS甲S，體積分別為乙15.甲?乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和2甲V甲V甲和V2__________..若，則乙乙V乙S123nn16.在數(shù)列求和中，裂項(xiàng)相消法是很常用的方法．例如在計(jì)算的過(guò)程中，可以選1annn1nnn1擇將通項(xiàng)作如下處理：，從而求出21nn1Sn01121223n1nnn1，類比上述方法，計(jì)算22Sn1223nn1______________，并由此結(jié)果推導(dǎo)出自然數(shù)的平方和公式122232n___________．2四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．a(chǎn)2,n6滿足n，且0aan1nN*2917.設(shè)數(shù)列.nan,n7（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式aa；nn（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和公式aS.nnsinBsinCBA18.在中，a19，且BAsinC（1）求角A；34（2）若點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且ADAC，求的面積.-ABC為等腰直角三角形，CACBAA1,1，E，F(xiàn)分別是棱19.如圖，直三棱柱中，111上的點(diǎn)，平面平面1A，M是AB的中點(diǎn)．1第4頁(yè)/共5頁(yè)（1）證明：CM//平面BEF；2（2）若20.橢圓，求平面BEF與平面所成銳二面角的余弦值．x22y2233ab0)的離心率為)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)Cab22（1）求橢圓方程（2）點(diǎn)A為橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B(0)的直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ分別交x軸于點(diǎn)47M，N，若，求直線l的方程f(x)x,g(x)xa221.設(shè)函數(shù)（1）若函數(shù)（2）若函數(shù)yf(x)yg(x)與的圖象存在公切線，求a的取值范圍F(x)f(x)g(x)x,x(xx)xx2，求證：.12有兩個(gè)零點(diǎn)121222.甲乙兩人進(jìn)行投籃比賽，兩人各投一次為一輪比賽，約定如下規(guī)則：如果在一輪比賽中一人投進(jìn)，另一人沒(méi)投進(jìn)，則投進(jìn)者得1分，沒(méi)進(jìn)者得-1分，如果一輪比賽中兩人都投進(jìn)或都沒(méi)投進(jìn)，則都得0分，當(dāng)兩人各自累計(jì)總分相差4分時(shí)比賽結(jié)束，得分高者獲勝．在每次投球中甲投進(jìn)的概率為0.5，乙投進(jìn)的概率為0.6，每次投球都是相互獨(dú)立的．（1）若兩人起始分都為0分，求恰好經(jīng)過(guò)4輪比賽，甲獲勝的概率．Pi)（i2,3,4（2）若規(guī)定兩人起始分都為2分，記）為甲累計(jì)總分為i時(shí)，甲最終獲勝的概率，P(0)P(4)1則①求證PiPi（i2,3）為等比數(shù)列P(2)的②求值．第5頁(yè)/共5頁(yè)常州市聯(lián)盟學(xué)校2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期學(xué)情調(diào)研高三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷2023.12出卷老師審卷老師考試時(shí)間120分鐘滿分150分本試卷共22大題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．Ax|x20Bx|21xAB1.若集合，集合，則（）(2,)(,2)A.B.C.D.R【答案】B【解析】Ax|x2，Bx|x0【分析】求得集合，根據(jù)集合交集的運(yùn)算，即可求解.，x|x，Ax|x20x|x2Bx|2x【詳解】由題意，集合ABx|0x.根據(jù)集合交集的運(yùn)算，可得故選：B.z2i)z1），則（2.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為）171117i55iiiA.B.C.D.5555【答案】A【解析】z2i)3iz2i)z【分析】由已知得到【詳解】由已知復(fù)數(shù)z2i)3i，利用復(fù)數(shù)的除法求出即可.1）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，3i3i111117i17iz所以.555故選：A.32b3,4，aba,23.已知，若ab，則=（）第1頁(yè)/共23頁(yè)A20B.15C.10D.5【答案】C【解析】m【分析】根據(jù)向量平行，求出的值，再結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求模.324m230m【詳解】因?yàn)閍b，所以：.33232ab,23,48所以：23ab810.所以：2故選：Cππ)4.如圖所示，為射線，的夾角，，點(diǎn)P(在射線上，則34cos（）2323A.C.B.D.2223123122【答案】A【解析】3101010π所對(duì)的角為sincos，且104π2555cos是有，再根據(jù)兩角差的正、余弦公式可求得sin，，進(jìn)而可得45第2頁(yè)/共23頁(yè)π2515)，代入求解即可.310331010110【詳解】解：設(shè)射線所對(duì)的角為，則有sin，，101010π又因?yàn)椋?π所以，4π2255π5sinsin()(sin)，coscos()，4245π1232515所以)sincos，3210π2515)233105所以.cos25故選：A.5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在2上單調(diào)遞減的是（）y2xB.yx3A.C.x2x2xyyD.2【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義以及導(dǎo)數(shù)分別判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)f(x)2x的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，xx2xf(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且()2fx(0,2)f(x)2x當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故不符合題意；f(x)A對(duì)于B，函數(shù)f(x)x3的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(x)(x)3xf(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，3且第3頁(yè)/共23頁(yè)yx3由冪函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)x3在R上單調(diào)遞減，故B不符合題意；x對(duì)于C，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，2xxf(x)cos()f(x)且當(dāng)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，22xx(0,2)，又時(shí)，22x所以函數(shù)f(x)(上單調(diào)遞減，故C符合題意；22x2xf(x)ln2x(2)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)?x2x2x2xfx)1fx，且2x112x所以是奇函數(shù)，又f(x)，fx2x2x(2x)(2x)f(x)02x0f(x)00x2，令，令所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D不符合題意.fx(0)故選：C.x2y2F,F1的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在COP3F，則126.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓C:上，1242（）1122A.B.0C.D.333【答案】C【解析】m2n28PFm,PFnF12【分析】設(shè)，利用余弦定理可得，再由向量表示可知1221PFPF2PO，即可得m2n22mnFPF12；聯(lián)立即可求得cosFPF.1212123【詳解】如下圖所示：第4頁(yè)/共23頁(yè)P(yáng)Fm,PFnmn2a4FF2c22不妨設(shè)，根據(jù)橢圓定義可得，；1212m2n228由余弦定理可知F2；122又因?yàn)镻FPF2PO，所以PFPFOP3，2PO，又1212m2n22mncosFPF1222n10；即可得，解得m12mn22162103，即；m2n2又m2n281081所以可得F2；1263故選：C7.凈水機(jī)通過(guò)分級(jí)過(guò)濾的方式使自來(lái)水逐步達(dá)到純凈水的標(biāo)準(zhǔn)，其工作原理中有多次的PP棉濾芯過(guò)濾，其中第一級(jí)過(guò)濾一般由孔徑為5微米的PPPP濾前水中大顆粒雜質(zhì)含量為80mg/L，現(xiàn)要滿足過(guò)濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過(guò)2mg/L，則PP棉濾芯的層數(shù)最少為（參考數(shù)據(jù)：20.30，lg30.48）A.9B.8C.7D.6【答案】A【解析】ny層PP棉濾芯過(guò)濾后的大顆粒雜質(zhì)含量等式.nn132ny【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)層PP棉濾芯過(guò)濾后的大顆粒雜質(zhì)含量為，則y1，3n2n323121nn40令802，解得，兩邊取常用對(duì)數(shù)得，即3403402nlg3lg212lg220.30lg30.48，即，因?yàn)?，?頁(yè)/共23頁(yè)809nnn所以，解得，因?yàn)閚N*，所以的最小值為9．故選：A1f(x)x24xaxyf(x)8.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且不等式x,x122f(x)f(x)xxt恒成立，則t的取值范圍為（）12122eA.1682，4eB.C.D.2【答案】D【解析】xx,xxa的范圍，然后代入【分析】先求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)和極值點(diǎn)的關(guān)系求出及1212f(1)f(2)xx，構(gòu)造函數(shù)求最值即可.12axx24xa【詳解】函數(shù)f(x)定義域?yàn)?，f(x)x4,x0，xyf(x)又函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x,x，12所以方程x上有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，24xa0在Δ164a0xx40則，解得0a4，12xxa012112f(1)f(2)xxx2141a1x2242a212又122112xx21x51xaxx162a20aaaaa1212221222設(shè)haaaa0a4，則haa，當(dāng)0a1時(shí)，ha，單調(diào)遞減，ha0ha0ha當(dāng)1a4時(shí)，，單調(diào)遞增加，13hah1f(x)f(x)xxt因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，恒成立?212f(x)f(x)xxt2即121第6頁(yè)/共23頁(yè)所以t13.故選：D.二、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．9.下列命題正確的是（）x,x,,x2x2x,2x1126A.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為712623P()P(B)P(A|B)0.5P(B|)B.若，則．(x,y(x,y),,(x,y)n2x,x,,x12nC.在一組樣本數(shù)據(jù)，，不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有1122nn11(x,yi,n)yx1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)為樣本點(diǎn)D.以模型都在直線ii22ye去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)zy，求得線性回歸方程為?4x0.3，則c,k的值分別是e和4【答案】BD【解析】【分析】利用方差的概念，條件概率公式，線性回歸分析等知識(shí)分別對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可.x,x,,x2x2x,2x1126【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為12622287，故A不正確；P()P(B)P(A|B)0.5對(duì)于選項(xiàng)B：若，則P(AB)P(B)P(A|B)0.80.523P(B|)，故B正確；P()P()0.6(x,y(x,y),,(x,y)n2x,x,,x對(duì)于選項(xiàng)C：在一組樣本數(shù)據(jù)，，不全相等）的散點(diǎn)圖n1122nn12112(x,yi,n)yx1上，其中中，若所有樣本點(diǎn)都在直線是線性回歸方程的一次項(xiàng)系ii2數(shù)，不是相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)是刻畫一組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度一個(gè)量，范圍是[?1，1]，當(dāng)相關(guān)系數(shù)為正時(shí)呈正相關(guān)關(guān)系，為負(fù)時(shí)呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，故C不正確；yezy，對(duì)于選項(xiàng)D：以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)zycec，由題線性回歸方程為?4x0.3，則ck4，故c,k的值則分別是e和4，故D正確.第7頁(yè)/共23頁(yè)故選：BD.π2fxAsinxA0,10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．則（）π,0A.f(x)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱125π3,2πB.f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增πC.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)fxg(x)=2sin2x的圖象6π1D.將函數(shù)f(x)的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，得到函數(shù)h(x)2sin(4x)的圖象26【答案】ABD【解析】【分析】由題意首先求出函數(shù)的表達(dá)式，對(duì)于A，直接代入檢驗(yàn)即可；對(duì)于B，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性、fx正弦函數(shù)單調(diào)性判斷即可；對(duì)于CD，直接由三角函數(shù)的平移、伸縮變換法則進(jìn)行運(yùn)算即可.T5ππ12π，解得Tπ,2，【詳解】由圖象可知A2，41264π6π3ππππ2π,kZ，結(jié)合k0,，可知f22sin2又，所以，即，3226π6所以函數(shù)的表達(dá)式為，fxfx2sin2xπ12ππ66πf2sin0,0對(duì)于A，由于，即f(x)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，故A正確；125π3π7π25π7π9π2622x,2πt2x,,對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知f(x)在區(qū)間65π3,2π上單調(diào)遞增，故B正確；第8頁(yè)/共23頁(yè)π對(duì)于C，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)fx6ππ66π62sin2x，故C錯(cuò)誤；gx2sin2xπ1對(duì)于D，將函數(shù)f(x)的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，得到函數(shù)h(x)2sin(4x)的圖象，故26D正確.故選：ABD.11.已知圓O：x2y24與圓C:x2y2x4y40相交于A，B兩點(diǎn)，直線2l:x2y50，點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓O的切線，PNM，N確的是（）45x2y40A.直線AB的方程為B.線段AB的長(zhǎng)為548,C.直線MN過(guò)定點(diǎn)D.PM的最小值是1．55【答案】BCD【解析】【分析】利用兩圓方程相減即可得到公共弦所在直線方程來(lái)判斷選項(xiàng)A；聯(lián)立兩圓方程，求出公共點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出線段ABB方程和直線Mx,y,Nx,y2PNPM最小時(shí)，最小，利用點(diǎn)到112MN的方程，即可求出定點(diǎn)坐標(biāo)判斷選項(xiàng)C；當(dāng)PO點(diǎn)P坐標(biāo)表示出直線直線距離公式和勾股定理求解即可判斷選項(xiàng)D.22224xxy【詳解】由題知，聯(lián)立，y2x4y40x2y40兩式相減得，x2y40即直線AB的方程為，A錯(cuò)；2222xxy4聯(lián)立解得，y2x4y4085xx0y2或，65y第9頁(yè)/共23頁(yè)22856455所以AB02，B正確；5對(duì)于C，設(shè)，Mx,y,Nx,y2112因?yàn)镸，N為圓O的切點(diǎn)，4所以直線方程為，112yy24，PN直線又設(shè)的方程為Px,y，00xxyy40101所以，xxyy40202xxyy4，MN故直線又因?yàn)榈姆匠虨?0x2y50，00所以2xyy5x40，045x2xy0由得，5x408y548MN過(guò)定點(diǎn),即直線，C正確；55因?yàn)镻M2OMPO2，2PMPO最小，所以當(dāng)最小時(shí)，0055，PO且最小為1222所以此時(shí)PM541，正確.D故選：BCD12.如圖，從1開始出發(fā)，一次移動(dòng)是指：從某一格開始只能移動(dòng)到鄰近的一格，并且總是向右或右上或第10頁(yè)/共23頁(yè)右下移動(dòng)，而一條移動(dòng)路線由若干次移動(dòng)構(gòu)成，如從1移動(dòng)到9，1→3→4→5→6→7→8→9就是一條移動(dòng)）A.從1移動(dòng)到9，一共有34條不同的移動(dòng)路線B.從1移動(dòng)到9過(guò)程中，恰好漏掉兩個(gè)數(shù)字的移動(dòng)路線有15條．3C.若每次移動(dòng)都是隨機(jī)的，則移動(dòng)過(guò)程中恰好跳過(guò)4的概率為8D.若每次移動(dòng)都是隨機(jī)的，記為經(jīng)過(guò)i的概率，則P7P8P9Pi【答案】AB【解析】【分析】畫出樹狀圖，結(jié)合圖形及古典概型即可求解.【詳解】畫出樹狀圖，結(jié)合圖形則從1移動(dòng)到9，一共有34條不同的移動(dòng)路線，A正確；從1移動(dòng)到9過(guò)程中，恰好漏掉兩個(gè)數(shù)字的移動(dòng)路線，即上圖倒數(shù)第三行有9的路線，有15條，B正確；若每次移動(dòng)都是隨機(jī)的，則移動(dòng)過(guò)程中恰好跳過(guò)4的路線共有10條，5則其概率為，C錯(cuò)誤；若每次移動(dòng)都是隨機(jī)的，記為經(jīng)過(guò)i的概率，則P)1為最大值，P)1，D錯(cuò)誤.Pi故選：AB三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．(x3x2)4展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為________．13.【答案】8【解析】第11頁(yè)/共23頁(yè)(xx2)4展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)．3【分析】由題意利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得【詳解】由題意可知：x2)4展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為故答案為：8．(x2)4展開式的通項(xiàng)公式為r1Cx4r2,r2,3,4,rr44C421688.(x3C4421所以中，A7,8,B4,C4,則S14.為_________．ABC【答案】28【解析】【分析】用向量的方法，借助平面向量數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算求角A，然后用三角形的面積公式求解.AB4AC12，,【詳解】因?yàn)椋篈B5AC13AC3541233所以：所以：所以：，，，33335665AB,AB,ACsinAB,AC，所以為銳角，且.5136512156SAB·AC·sinAB,AC51328.265故答案為：2815.甲?乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為3πS甲S，體積分別為乙，側(cè)面積分別為和2甲V甲V甲和V2__________..若，則乙乙V乙8558【答案】【解析】##55rr2【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為l，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得112rr,r分別用l表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的12，再結(jié)合圓心角之和可將2體積公式即可得解.rr，2【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為l，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為1甲乙2llr1r22r2r，所以，12則又2r2r3π1r3ll122r,r，所以12，則，ll2l424第12頁(yè)/共23頁(yè)13hl12l2l，所以甲圓錐的高42115hl22l2l，乙圓錐的高164113r22hl22lV85113141215甲所以.V乙5r2ll23164855故答案為：.S123nn16.在數(shù)列求和中，裂項(xiàng)相消法是很常用的方法．例如在計(jì)算的過(guò)程中，可以選1annn1nnn1擇將通項(xiàng)作如下處理：，從而求出21nn1Sn01121223n1nnn1，類比上述方法，計(jì)算22Sn1223nn1______________，并由此結(jié)果推導(dǎo)出自然數(shù)的平方和公式122232n___________．21316nn1n2nn12n1【答案】【解析】①.②.1nn1n1nn1nn1n2【分析】根據(jù)題設(shè)的方法，，可求空①，進(jìn)而32nnnn求空②.然后利用S1223nn1，【詳解】對(duì)于n1annn1n1nn1nn1n2其中求和項(xiàng)，31nn1n2∴Sn012123123234n1nn1nn1n233又∵，n2nn1n121232nn1n∴122232n2nn1n2nn11223nn112n32第13頁(yè)/共23頁(yè)nn12n1.6116nn1n2nn12n1.故答案為：；3四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．a(chǎn)2,n6滿足n，且0aan1nN*2917.設(shè)數(shù)列.nan,n7（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式aa；nn（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和公式aS.nn132n,n7an【答案】（1）n7,n7212n,n7nS（2）73n6n,n72【解析】1）根據(jù)遞推公式判斷數(shù)列是否等差、等比，再根據(jù)等差、等比求通項(xiàng)；n（2）分段求數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】由題意：數(shù)列的前7項(xiàng)成等差數(shù)列，公差d2，從第7項(xiàng)起成等比數(shù)列，公比q3.anaa0a5daq2071.2n132977anan7dn7當(dāng)時(shí)，時(shí)，7n7an7qn73n7當(dāng)2n13,n7an所以：.n7,n7【小問(wèn)2詳解】naan7n7S1nn12n2當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，，n2313n7733n6SS78aa35，n9n132第14頁(yè)/共23頁(yè)212n,n7nS所以：73n6.n,n72sinBsinCBA18.在中，a19，且（1）求角A；BAsinC34（2）若點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且ADAC，求的面積.2π【答案】（1）333（2）2【解析】b2c2a2121A進(jìn)bc而得到答案；2cb（2）根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，通過(guò)向量數(shù)量積運(yùn)算得到，結(jié)合余弦定理得到3bcb319b2c2bc，兩式聯(lián)立得到，結(jié)合三角形面積公式即可得到答案.2【小問(wèn)1詳解】sinBsinCBA因?yàn)椋珺AsinC所以sinBsinCsin2C2B2A，B1sin即sinBsinCsin2C1sin22Asin2Asin2B，bccab在在中，由正弦定理得，222，即b2c2a2，b2c2a21中，由余弦定理得，A2π，bc2又因?yàn)?Aπ，所以A.3【小問(wèn)2詳解】如圖所示，第15頁(yè)/共23頁(yè)34因?yàn)樗裕?7334ADABBCABACABABAC777因?yàn)锳DAC，所以ADAC0，473ABACAC0，所以73747ABACACAC0所以，41327bcb20，即2b，2即7又因?yàn)閎0，所以2cb，b22cbcA，在中，由余弦定理得，a2即19b2c2bc，3cb，解得b2代入所以23bcb3，2113332所以S△bcsinA23.222-ABC中，11為等腰直角三角形，CACBAA1,1，E，F(xiàn)分別是棱19.如圖，直三棱柱1上的點(diǎn)，平面平面1A，M是AB的中點(diǎn)．1（1）證明：CM//平面BEF；2與平面所成銳二面角的余弦值．（2）若，求平面BEF【答案】（1）證明見解析第16頁(yè)/共23頁(yè)6（2）3【解析】1）過(guò)F作FDEB交于D，應(yīng)用垂直于同一個(gè)平面的兩直線平行可證CM//即可；（2）以,CB,CC為x，y，z軸建系，應(yīng)用空間向量求二面角的余弦值.1【小問(wèn)1詳解】過(guò)F作FDEB交于D，因?yàn)槠矫?A平面，1IABE，11平面平面FD平面BEF，則FDBE，1A平面，1M為中點(diǎn)，且CACBCMAB，AA1，AB,AA1，又，又平面平面平面AA1CM1A，1ABAAACM1A，1，平面1CM//FD，CM平面BEF，F(xiàn)D平面BEF，CM//平面．BEF【小問(wèn)2詳解】CM//，可確定一平面CMDF，CF//AA1AAA11A平面1，CF平面，11CF//平面A，CF平面CMDF，1平面CMDF平面CF//，1ABBA，11四邊形CMDF為平行四邊形，CF12以,CB,CC為x，y，z軸建系，1第17頁(yè)/共23頁(yè)B(0,0),E(2,2),F(0,則，mx,y,z為平面BEF的法向量，設(shè)EF(,,BF,,)，mEF02xz02yz0，即，令x1，則yz2，則mBF011m,,是平面BEF的一個(gè)法向量，n0,1為平面的一個(gè)法向量，,n|261636平面BEF與平面所成銳二面角的余弦值為.3x22y2233ab0)的離心率為)20.橢圓，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)Cab22（1）求橢圓方程（2）點(diǎn)A為橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B(0)的直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ分別交x軸于點(diǎn)47M，N，若，求直線l的方程x2y12【答案】（1）4x2y10或3xy30（2）第18頁(yè)/共23頁(yè)【解析】2a,b2，即可得結(jié)果；1）根據(jù)題意列式求（2）分類討論直線l是否為x軸，設(shè)l方程為x1，P(x,yQ(x,y)，根據(jù)題意整理得2112(myy)12，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理分析求解.1(yy)yy1212【小問(wèn)1詳解】c22ba2234e21，可得a2b2，因?yàn)閍313C1，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則2a2b2聯(lián)立解得a2b1，2x2y1.2所以橢圓方程為4【小問(wèn)2詳解】4若直線l為x軸時(shí)，不符合條件；若直線不與x軸平行時(shí)，設(shè)l方程為x1，P(x,yQ(x,y)，2112110110xM0111xM由A，P，M三點(diǎn)共線可得，則，2y2xN同理可得，1121112m1yyy1y212y12所以，111y2111y12xmy12x(m24)y230，2聯(lián)立方程x，消去得y124第19頁(yè)/共23頁(yè)4m24(m24)(4816m320，則2myy,yy可得，12m212m244232m124m2yy則，12m24m2m2444m3m122413m2m7m20，解得m2或m可得47，整理得m2，341m24m2x2y13xy30所以所求直線方程為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡(jiǎn)化運(yùn)算；涉及過(guò)焦點(diǎn)的弦的問(wèn)題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．f(x)x,g(x)xa221.設(shè)函數(shù)yf(x)yg(x)的圖象存在公切線，求a的取值范圍（1）若函數(shù)（2）若函數(shù)與F(x)f(x)g(x)x,x(xx)xx2有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.12121212a,【答案】（1）；2（2）證明見解析.【解析】yf(xyg(x)22a)(x,lnx(x,x1）設(shè)公切線與分別相切于，寫出對(duì)應(yīng)切線方程，根據(jù)1121a11在(0,)上有解，構(gòu)造中間函數(shù)研究參數(shù)范圍；公切線列方程得到412x1112x1212)2，應(yīng)用換元法及導(dǎo)數(shù)證明不等式即可.（2）分析法，將問(wèn)題化為證【小問(wèn)1詳解】yf(xyg(x)22a)，(x,l