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指數(shù)函數(shù)第1課時指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)第三章指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)北師大版

數(shù)學(xué)

必修第一冊基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.通過具體實(shí)例,理解指數(shù)函數(shù)的概念.2.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).3.能夠應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過知識點(diǎn)1

指數(shù)函數(shù)的概念

分“a>1”和“0<a<1”兩種情況當(dāng)給定正數(shù)a,且a≠1時,對于任意的實(shí)數(shù)x,都有唯一確定的正數(shù)y=ax與之對應(yīng).因此,y=ax是一個定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù),稱為指數(shù)函數(shù).(1)定義域?yàn)镽,函數(shù)值大于0;(2)圖象過定點(diǎn)(0,1).名師點(diǎn)睛1.當(dāng)x=0時,y=a0=1,即指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(0,1).2.根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義,只有形如y=ax(a>0,且a≠1)的函數(shù)才叫指數(shù)函數(shù),如思考辨析指數(shù)函數(shù)為什么要規(guī)定a>0,且a≠1?提示

如果a<0,那么ax對某些x值沒有意義,如

無意義;如果a=0,那么當(dāng)x>0時,ax=0,當(dāng)x≤0時,ax無意義;如果a=1,y=1x=1是個常數(shù)函數(shù),沒有研究的必要.所以規(guī)定a>0,且a≠1,此時x可以是任意實(shí)數(shù).自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)y=xx(x>0)是指數(shù)函數(shù).(

)(2)y=ax+2(a>0,且a≠1)是指數(shù)函數(shù).(

)(3)若f(x)=ax為指數(shù)函數(shù),則a>1.(

)×××2.[人教A版教材習(xí)題]下列圖象中,有可能表示指數(shù)函數(shù)的是(

)C解析

因?yàn)閥=ax>0(a>0,且a≠1),所以A,B,D都不正確.故選C.3.[人教A版教材習(xí)題]已知函數(shù)y=f(x),x∈R,且f(0)=3,=2,n∈N+,求函數(shù)y=f(x)的一個解析式.知識點(diǎn)2

指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象和性質(zhì)a>10<a<1圖象

性質(zhì)(1)定義域:R(2)值域:(0,+∞)(3)過定點(diǎn)(0,1),即x=0時,y=1(4)當(dāng)x<0時,0<y<1;當(dāng)x>0時,y>1(4)當(dāng)x<0時,y>1;當(dāng)x>0時,0<y<1(5)在R上是增函數(shù)當(dāng)x值趨近于正無窮大時,函數(shù)值趨近于正無窮大;當(dāng)x值趨近于負(fù)無窮大時,函數(shù)值趨近于0(5)在R上是減函數(shù)當(dāng)x值趨近于正無窮大時,函數(shù)值趨近于0;當(dāng)x值趨近于負(fù)無窮大時,函數(shù)值趨近于正無窮大2.函數(shù)y=ax和y=bx函數(shù)值的大小關(guān)系

xx<0x=0x>00<a<b<1ax>bx>1ax=bx=10<ax<bx<1a>b>10<ax<bx<1ax=bx=1ax>bx>13.一般地,指數(shù)函數(shù)y=ax和y=()x(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于y軸對稱,且它們在R上的單調(diào)性相反.注意區(qū)分函數(shù)本身圖象關(guān)于y軸對稱,與兩個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱的不同名師點(diǎn)睛1.指數(shù)函數(shù)的圖象,既不關(guān)于原點(diǎn)對稱,也不關(guān)于y軸對稱,所以指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).2.指數(shù)函數(shù)的圖象永遠(yuǎn)在x軸的上方.當(dāng)x>0時,底數(shù)越大,圖象越高,簡稱“底大圖高”.思考辨析指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象“升”“降”主要取決于什么?具體變化特征是什么?提示

指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象“升”“降”主要取決于a的值.當(dāng)a>1時,圖象具有上升趨勢,當(dāng)x>0時,底數(shù)a的值越大,函數(shù)圖象“越陡”,函數(shù)值增長得越快;當(dāng)0<a<1時,圖象具有下降趨勢,且當(dāng)x<0時,底數(shù)a的值越小,函數(shù)減少得越快.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)指數(shù)函數(shù)y=mx(m>0,且m≠1)是R上的增函數(shù).(

)(2)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).(

)(3)所有的指數(shù)函數(shù)圖象過定點(diǎn)(0,1).(

)(4)函數(shù)y=a|x|與函數(shù)y=|ax|(a>0,且a≠1)的圖象是相同的.(

)×√√×2.指數(shù)函數(shù)y=2x的定義域是

,值域是

.

R(0,+∞)3.[人教B版教材例題]利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),比較下列各題中兩個值的大小:(1)0.8-0.1與0.8-0.2;(2)2.5a與2.5a+1.解

(1)因?yàn)?.8-0.1與0.8-0.2都是以0.8為底的冪值,所以考查函數(shù)y=0.8x,由于這個函數(shù)在實(shí)數(shù)集R上是減函數(shù),又因?yàn)?0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2.(2)因?yàn)?.5a與2.5a+1都是以2.5為底的冪值,所以考查函數(shù)y=2.5x,由于這個函數(shù)在實(shí)數(shù)集R上是增函數(shù),又因?yàn)閍<a+1,所以2.5a<2.5a+1.4.[人教A版教材習(xí)題]體內(nèi)癌細(xì)胞初期增加得很緩慢,但到了晚期就急劇增加,畫一幅能反映體內(nèi)癌細(xì)胞數(shù)量隨時間變化的示意圖.解

設(shè)體內(nèi)癌細(xì)胞的初始數(shù)量為k,時間為t,體內(nèi)癌細(xì)胞數(shù)量為y,癌細(xì)胞的增殖速度是用倍增時間計(jì)算的,體內(nèi)癌細(xì)胞數(shù)量y是時間t的指數(shù)型函數(shù)y=k·at(k,a為常數(shù),且k>0,a>1),其增殖速度可以用“爆炸”來形容,如圖.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的概念【例1】

(1)若指數(shù)函數(shù)f(x)滿足f(2)-f(1)=6,則f(3)=

.

27解析

設(shè)指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1),則a2-a=6,得a=-2(舍去)或a=3,于是f(3)=33=27.(2)已知函數(shù)y=(a2-3a+3)ax是指數(shù)函數(shù),求a的值.規(guī)律方法

1.判斷一個函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)的方法(1)看形式:即看是否符合y=ax(a>0,且a≠1,x∈R)這一結(jié)構(gòu)形式.(2)明特征:指數(shù)函數(shù)的解析式具備的三個特征,只要有一個特征不具備,則不是指數(shù)函數(shù).2.已知某個函數(shù)是指數(shù)函數(shù),求參數(shù)值的步驟(1)列:依據(jù)指數(shù)函數(shù)解析式所具備的三個特征,列出方程(組)或不等式(組).(2)解:解所列的方程(組)或不等式(組),求出參數(shù)的值或范圍.變式訓(xùn)練1下列函數(shù)一定是指數(shù)函數(shù)的是

.(填序號)

①y=5x;②y=4x-1;③y=-3x;④

;⑤y=(5x)x;⑥

;⑦y=(a+3)x.①⑥解析

①y=5x符合指數(shù)函數(shù)的定義,是指數(shù)函數(shù);②y=4x-1中,指數(shù)是x-1而非x,不是指數(shù)函數(shù);③y=-3x中,系數(shù)是-1而非1,不是指數(shù)函數(shù);④

中,底數(shù)是自變量x,不是指數(shù)函數(shù);⑤y=(5x)x中,底數(shù)和指數(shù)均是自變量x,不是指數(shù)函數(shù);⑥

,符合指數(shù)函數(shù)的定義,是指數(shù)函數(shù);⑦y=(a+3)x中,底數(shù)a+3不一定滿足“大于0,且不等于1”的條件,不一定是指數(shù)函數(shù).探究點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用角度1指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題【例2-1】

已知函數(shù)f(x)=ax+1+3(a>0,且a≠1)的圖象一定過點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是

.

(-1,4)解析

∵當(dāng)x+1=0,即x=-1時,f(-1)=a0+3=4恒成立,故函數(shù)f(x)=ax+1+3的圖象恒過點(diǎn)(-1,4).變式探究本例中函數(shù)改為f(x)=5·a3x-2+4,其他條件不變,求點(diǎn)P的坐標(biāo).規(guī)律方法

指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題的解法因?yàn)楹瘮?shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象恒過點(diǎn)(0,1),所以對于函數(shù)f(x)=kag(x)+b(k,a,b均為常數(shù),且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,則f(x)的圖象過定點(diǎn)(m,k+b).即令指數(shù)等于0,解出相應(yīng)的x,y,則點(diǎn)(x,y)為所求定點(diǎn).角度2畫指數(shù)型函數(shù)的圖象【例2-2】

畫出下列函數(shù)的圖象,并說明它們是由函數(shù)f(x)=2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的.(1)y=2x-1;(2)y=2x+1;(3)y=-2x;(4)y=2|x|.解

(1)如圖①,y=2x-1的圖象是由y=2x的圖象向右平移1個單位長度得到的.(2)如圖①,y=2x+1的圖象是由y=2x的圖象向上平移1個單位長度得到的.(3)如圖①,y=-2x的圖象與y=2x的圖象關(guān)于x軸對稱.(4)函數(shù)y=2|x|為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱,且其在x≥0上的圖象與y=2x的圖象一致,可得y=2|x|的圖象如圖②所示.規(guī)律方法

變換作圖法及注意點(diǎn)(1)平移變換及對稱變換:(2)翻折變換:①將函數(shù)y=f(x)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方,替代原x軸下方部分,并保留y=f(x)的圖象在x軸上及其上方部分即可得到函數(shù)y=|f(x)|的圖象.②將函數(shù)y=f(x)的圖象在y軸右側(cè)的部分沿y軸翻折到y(tǒng)軸左側(cè),替代原y軸左側(cè)部分,并保留y=f(x)的圖象在y軸上及其右側(cè)的部分即可得到函數(shù)y=f(|x|)的圖象.(3)利用變換作圖法作圖要注意以下兩點(diǎn):①選擇哪個指數(shù)函數(shù)作為起始函數(shù);②要注意平移的方向及距離.變式訓(xùn)練2函數(shù)

的圖象有什么特征?你能根據(jù)圖象指出其值域和單調(diào)區(qū)間嗎?∴原函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.由圖象可知值域是(0,1],單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0],單調(diào)遞減區(qū)間是[0,+∞).角度3指數(shù)函數(shù)圖象的識別【例2-3】

如圖是指數(shù)函數(shù):①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的圖象,則a,b,c,d與1的大小關(guān)系是(

)A.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<cA解析

(方法一)①②中函數(shù)的底數(shù)大于0且小于1,在y軸右邊,底數(shù)越小,圖象向下越靠近x軸,故有b<a,③④中函數(shù)的底數(shù)大于1,在y軸右邊,底數(shù)越大,圖象向上越靠近y軸,故有d<c.故選B.(方法二)作直線x=1,與函數(shù)①②③④的圖象分別交于A,B,C,D四點(diǎn),將x=1代入各個函數(shù)可得函數(shù)值等于底數(shù)值,所以交點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大,則對應(yīng)函數(shù)的底數(shù)越大.由圖可知b<a<1<d<c.故選B.規(guī)律方法

指數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)指數(shù)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小的關(guān)系:在y軸右側(cè),圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小;在y軸左側(cè),圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由小變大.無論指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a如何變化,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象與直線x=1相交于點(diǎn)(1,a),因此,直線x=1與各圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即底數(shù),由此可得底數(shù)的大小.變式訓(xùn)練3若函數(shù)y=ax-(b+1)(a>0,且a≠1)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限,則必有(

)A.0<a<1,b>0 B.0<a<1,b<0C.a>1,b<0 D.a>1,b>0D解析

如圖,若函數(shù)y=ax-(b+1)的圖象過第一、三、四象限,則a>1,且b+1>1,從而a>1,且b>0.故選D.探究點(diǎn)三利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較冪值大小【例3】

比較下列各題中兩個值的大小:(1)2.53,2.55.7;(3)2.3-0.28,0.67-3.1.解

(1)(單調(diào)性法)由于2.53與2.55.7的底數(shù)都是2.5,故構(gòu)造函數(shù)y=2.5x,而函數(shù)y=2.5x在R上是增函數(shù).又3<5.7,∴2.53<2.55.7.(3)(中間量法)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,則2.3-0.28<0.67-3.1.變式訓(xùn)練4[2024江蘇無錫高一期末]已知a=2.1-0.1,b=1.2-0.1,c=2.1-0.2,則a,b,c的大小關(guān)系為(

)A.b>c>a

B.b>a>cC.a>b>c

D.a>c>bB解析

a=2.1-0.1,b=1.2-0.1,c=2.1-0.2,∵函數(shù)y=2.1x是R上的增函數(shù),∴a>c.∵y=x-0.1是(0,+∞)上的減函數(shù),∴a<b.綜上可得,b>a>c,故選B.規(guī)律方法

比較冪的大小的常用方法

本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)指數(shù)函數(shù)的概念;(2)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).2.方法歸納:待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、換元法、分類討論法.3.常見誤區(qū):易忽視底數(shù)a的限制條件;易忽視對于a是否大于1進(jìn)行討論.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)12345678910A級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一]如果函數(shù)f(x)=2a·3x和g(x)=2x-(b+3)都是指數(shù)函數(shù),則ab=(

)A. B.1 C.9 D.8D123456789102.[探究點(diǎn)二]函數(shù)y=ax-a(a>0,且a≠1)的圖象可能是(

)C解析

當(dāng)a>1時,y=ax是增函數(shù),-a<-1,則函數(shù)y=ax-a的圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方,故選項(xiàng)A不正確;y=ax-a的圖象與x軸的交點(diǎn)是(1,0),故選項(xiàng)B不正確;當(dāng)0<a<1時,y=ax是減函數(shù),y=ax-a的圖象與x軸的交點(diǎn)是(1,0),又-1<-a<0,y=ax-a的圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸上方,故選項(xiàng)D不正確,選項(xiàng)C正確.123456789103.[探究點(diǎn)三]已知a=30.2,b=0.2-3,c=3-0.2,則a,b,c的大小關(guān)系為(

)A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.b>c>aB123456789104.[探究點(diǎn)三]設(shè)函數(shù)

則滿足f(x+1)<f(2x)的x的取值范圍是(

)A.(-∞,1) B.(0,+∞)C.(1,+∞) D.(-∞,0)D解析

函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,因?yàn)閒(x+1)<f(2x),所以

解得x<0.故選D.123456789105.[探究點(diǎn)二]函數(shù)f(x)=ax-b的圖象如圖所示,其中a,b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的序號是

.

①a>1,b<0

②a>1,b>0③0<a<1,b>0

④0<a<1,b<0④解析

從曲線的變化趨勢,可以得到函數(shù)f(x)為減函數(shù),從而有0<a<1;從曲線位置看,是由函數(shù)y=ax(0<a<1)的圖象向左平移|-b|個單位長度得到,所以

-b>0,即b<0.123456789106.[探究點(diǎn)二·2024上海青浦高一期末]已知a>0且a≠1,函數(shù)y=a3-x+1的圖象恒過一個定點(diǎn),此定點(diǎn)的坐標(biāo)為

.

(3,2)解析

當(dāng)x=3時,f(3)=a0+1=2,∴y=a3-x+1的圖象一定經(jīng)過定點(diǎn)(3,2).123456789107.[探究點(diǎn)二、三·2024北京海淀高一月考]設(shè)f(x)=3x,g(x)=()x.(1)在同一平面直角坐標(biāo)系中作出f(x),g(x)的圖象;(2)計(jì)算f(1)與g(-1),f(π)與g(-π),f(m)與g(-m)的值,從中你能得到什么結(jié)論?123