專題06函數(shù)的概念【命題方向目錄】命題方向一：函數(shù)的概念命題方向二：同一函數(shù)的判斷命題方向三：給出函數(shù)解析式求解定義域命題方向四：抽象函數(shù)定義域命題方向五：函數(shù)定義域的應(yīng)用命題方向六：函數(shù)解析式的求法方向1．待定系數(shù)法（函數(shù)類型確定）方向2．換元法或配湊法（適用于了型）方向3．方程組法方向4．求分段函數(shù)的解析式方向5．抽象函數(shù)解析式命題方向七：函數(shù)值域的求解方向1．觀察法方向2．配方法方向3．圖像法（數(shù)形結(jié)合）方向4．基本不等式法方向5．換元法（代數(shù)換元與三角換元）方向6．分離常數(shù)法方向7．判別式法方向8．單調(diào)性法方向9．有界性法方向10．導(dǎo)數(shù)法命題方向八：分段函數(shù)的應(yīng)用方向1．求值問題方向2．求參數(shù)問題方向3．解不等式問題【2024年高考預(yù)測】2024年高考仍重點考查分段函數(shù)求值、不等式、方程問題，注意函數(shù)定義域、值域與最值方法的復(fù)習(xí)．【知識點總結(jié)】1、函數(shù)的概念（1）一般地，給定非空數(shù)集，，按照某個對應(yīng)關(guān)系，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對應(yīng)，那么從集合到集合的這個對應(yīng)，叫做從集合到集合的一個函數(shù)．記作：，．集合叫做函數(shù)的定義域，記為，集合，叫做值域，記為．（2）函數(shù)的實質(zhì)是從一個非空數(shù)集到另一個非空數(shù)集的映射．（3）函數(shù)表示法：函數(shù)書寫方式為，．（4）函數(shù)三要素：定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系．（5）相等函數(shù)：兩個函數(shù)只有在定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同時，兩個函數(shù)才相等．2、函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．3、分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．【方法技巧與總結(jié)】1、直線與函數(shù)的圖象至多有1個交點．2、在函數(shù)的定義中，非空數(shù)集A，B，A即為函數(shù)的定義域，值域為B的子集．3、分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集．4、函數(shù)值域的求法主要有以下幾種（1）觀察法：根據(jù)最基本函數(shù)值域（如≥0，及函數(shù)的圖像、性質(zhì)、簡單的計算、推理，憑觀察能直接得到些簡單的復(fù)合函數(shù)的值域．（2）配方法：對于形如的值域問題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點，結(jié)合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域．（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何模型．（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等．（5）換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對于形的值城，可通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù)．（6）分離常數(shù)法：對某些齊次分式型的函數(shù)進行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡化內(nèi)便于分析．（7）判別式法：把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，形如，或的函數(shù)值域問題可運用判別式法（注意x的取值范圍必須為實數(shù)集R）．（8）單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域．對于形如或的函數(shù)，當ac>0時可利用單調(diào)性法．（9）有界性法：充分利用三角函數(shù)或一些代數(shù)表達式的有界性，求出值域．因為常出現(xiàn)反解出y的表達式的過程，故又常稱此為反解有界性法．（10）導(dǎo)數(shù)法：先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，再確定最大（?。┲?，從而求出函數(shù)的值域．【典例例題】命題方向一：函數(shù)的概念例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列對應(yīng)是從集合A到集合B的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．例2．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）任給，對應(yīng)關(guān)系使方程的解與對應(yīng)，則是函數(shù)的一個充分條件是（

）A． B． C． D．例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，下列圖形能表示以A為定義域，B為值域的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）將函數(shù)的圖像繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)角得到曲線，當時都能使成為某個函數(shù)的圖像，則的最大值是（

）A． B． C． D．變式2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）存在函數(shù)滿足：對任意都有（

）A． B． C． D．【通性通解總結(jié)】利用函數(shù)概念判斷命題方向二：同一函數(shù)的判斷例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列每組中的函數(shù)是同一個函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，例6．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）下列四組函數(shù)中，同組的兩個函數(shù)是相同函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與變式3．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)中，與是同一個函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【通性通解總結(jié)】當且僅當給定兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則完全相同時，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù)．命題方向三：給出函數(shù)解析式求解定義域例7．（2023·北京東城·高三北京市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的定義域為__________．例8．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考三模）函數(shù)的定義域為__________.例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域為______．變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則_________.變式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的定義域為______.變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等腰三角形的周長為，底邊長是腰長的函數(shù)，則函數(shù)的定義域為()A． B． C． D．【通性通解總結(jié)】對求函數(shù)定義域問題的思路是：（1）先列出使式子有意義的不等式或不等式組；（2）解不等式組；（3）將解集寫成集合或區(qū)間的形式．命題方向四：抽象函數(shù)定義域例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)定義域為，則函數(shù)的定義域為______.例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為[－2,2]，則函數(shù)的定義域為______.例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為______.變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域為，則的定義域為________.變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為____________.【通性通解總結(jié)】1、抽象函數(shù)的定義域求法：此類型題目最關(guān)鍵的就是法則下的定義域不變，若的定義域為，求中的解的范圍，即為的定義域，口訣：定義域指的是的范圍，括號范圍相同．已知的定義域，求四則運算型函數(shù)的定義域2、若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的，其定義域為各基本函數(shù)定義域的交集，即先求出各個函數(shù)的定義域，再求交集．命題方向五：函數(shù)定義域的應(yīng)用例13．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，且，則的取值范圍是_______．例14．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的值為______．例15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是，則實數(shù)a的取值范圍為________．變式9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)定義域為R，則實數(shù)k的取值范圍為______.變式10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為R，則a的范圍是________．變式11．（2023·高三課時練習(xí)）若函數(shù)f(x)=的定義域為R，則的取值范圍為_______.變式12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域為，則實數(shù)a的取值范圍是___________.【通性通解總結(jié)】對函數(shù)定義域的應(yīng)用，是逆向思維問題，常常轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解，必要時對參數(shù)進行分類討論．命題方向六：函數(shù)解析式的求法方向1．待定系數(shù)法（函數(shù)類型確定）例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若是上單調(diào)遞減的一次函數(shù)，且，則______.例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(1)＝____．例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)，其圖象過點，且滿足，則的解析式為______.變式13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某種動物繁殖數(shù)量y(只)與時間x(年)的關(guān)系為y＝alog2(x＋1)，設(shè)這種動物第一年有100只，到第7年它們發(fā)展到__________．方向2．換元法或配湊法（適用于了型）變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則f(x)＝________.變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的解析式為______．變式16．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，則______．變式17．（2023·全國·高三專題練習(xí)），則_______．變式18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則__________.變式19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的解析式為_______變式20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)單調(diào)遞增，且對，有，則___________.變式21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的值等于___.變式22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)若，則_________.變式23．（2023·安徽安慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是定義域為的單調(diào)函數(shù)，且對任意實數(shù)，都有，則的值為（）A．0 B． C． D．1方向3．方程組法變式24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知對任意的實數(shù)a均有成立，則函數(shù)的解析式為________．變式25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，則___________.變式26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)滿足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，則f(x)的解析式為___________.變式27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，則___________.變式28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則函數(shù)f(x)的解析式為___________.變式29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)與的定義域是，函數(shù)是一個偶函數(shù)，是一個奇函數(shù)，且，則等于（

）A． B． C． D．變式30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，其中且，則函數(shù)的解析式為__________變式31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在上的單調(diào)函數(shù)，若對任意都有，則方程的解集為_______．變式32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的連續(xù)單調(diào)函數(shù)，若，則不等式的解集為___________.方向4．求分段函數(shù)的解析式變式33．（2023·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，正方形的邊長為，其中．用直線l：（）截這個正方形，將正方形分為兩個部分，其中包含了頂點D部分的面積記為S，將S表示為t的函數(shù)，則其解析式為________________．變式34．（2023·黑龍江七臺河·高三校考期中）設(shè)函數(shù)，且，，求的解析式．變式35．（2023·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期中）已知和是定義域為的二次函數(shù)，函數(shù)圖象過點，，且，，(1)求的解析式(2)，用表示中較大者，記為，①求②寫出的函數(shù)解析式，并指出的最小值（不用寫理由）變式36．（2023·新疆烏魯木齊·高一?？计谀┙o定函數(shù)(1)判斷的單調(diào)性并證明(2)在同一坐標系中畫出的圖像(3)任意的，用表示的較小者，記為，請寫出的解析式.方向5．抽象函數(shù)解析式變式37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足以下條件：①在區(qū)間上單調(diào)遞增；②對任意，，均有，則的一個解析式為______．變式38．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，，且，，，…，，，則滿足條件的函數(shù)的一個解析式為________.變式39．（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)滿足，寫出一個符合要求的解析式_________．變式40．（2023·高一課時練習(xí)）是R上的函數(shù)，且滿足，并且對任意的實數(shù)都有，則的解析式_______變式41．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）寫出一個同時滿足下列三個性質(zhì)的函數(shù)：______．①定義域為；②；③的導(dǎo)函數(shù)．【通性通解總結(jié)】求函數(shù)解析式的常用方法如下：（1）當已知函數(shù)的類型時，可用待定系數(shù)法求解．（2）當已知表達式為時，可考慮配湊法或換元法，若易將含的式子配成，用配湊法．若易換元后求出，用換元法．（3）若求抽象函數(shù)的解析式，通常采用方程組法．（4）求分段函數(shù)的解析式時，要注意符合變量的要求．（5）當出現(xiàn)大基團換元轉(zhuǎn)換繁瑣時，可考慮配湊法求解．（6）若已知成對出現(xiàn)，或，，類型的抽象函數(shù)表達式，則常用解方程組法構(gòu)造另一個方程，消元的方法求出．命題方向七：函數(shù)值域的求解【通性通解總結(jié)】方向1．觀察法例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)的值域為______________例20．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考二模）下列函數(shù)中，定義域和值域不相同的是（

）A． B． C． D．例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為__________變式42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．變式43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，值域為的是（

）A． B． C． D．方向2．配方法變式44．（2023·遼寧遼陽·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的值域是，則_________．變式45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為______.變式46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．方向3．圖像法（數(shù)形結(jié)合）變式47．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為______.變式48．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為_____變式49．（2023·陜西銅川·?？家荒＃┤?，則函數(shù)的值域是__________．變式50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則的最小值為___________.變式51．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為_____.變式52．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是_______________.方向4．基本不等式法變式53．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是______.變式54．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為___________．變式55．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為______變式56．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的值域為___________．方向5．換元法（代數(shù)換元與三角換元）變式57．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是______．變式58．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的，則其值域為_____________.變式59．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域為_________.變式60．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為____________變式61．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域______．變式62．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為________．方向6．分離常數(shù)法變式63．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為______．變式64．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)y的值域是（）A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）變式65．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為________．變式66．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為__________方向7．判別式法變式67．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值與最小值的和是（

）A． B． C． D．變式68．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是___________.變式69．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域______________．變式70．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為_________.方向8．單調(diào)性法變式71．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．變式72．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最大值為______.變式73．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．方向9．有界性法變式74．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是_________變式75．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．變式76．（2023·全國·高三專題練習(xí)）實數(shù)，滿足，則的最大值為___________．變式77．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是________________.方向10．導(dǎo)數(shù)法變式78．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上最大值為M，最小值為m，則的值是_______.變式79．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)，定義域為，則該函數(shù)的最小值為__________．變式80．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上的最小值是________.變式81．（2023·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學(xué)統(tǒng)考期末）函數(shù)，的值域是______.命題方向八：分段函數(shù)的應(yīng)用方向1．求值問題例22．（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知，則______.例23．（2023·四川德陽·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)，則______．例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則___________.變式82．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)滿足，且在區(qū)間上，則的值為____．方向2．求參數(shù)問題變式83．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則使的可以是（

）A． B． C． D．變式84．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的值可能為（

）A． B． C． D．變式85．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)若，則實數(shù)（

）A．0 B．1 C．2 D．3變式86．（2023·吉林·通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則方程的解集為（

）A． B． C． D．變式87．（2023·河北石家莊·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是偶函數(shù)，當時，，若，則（

）A． B． C．或3 D．或變式88．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若的值域是，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式89．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則解的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5方向3．解不等式問題變式90．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則不等式的解集是（）A．B．C．D．變式91．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．變式92．（2023·黑龍江大慶·鐵人中學(xué)?？级＃┮阎瘮?shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式93．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知,則使成立的的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式94．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式95．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，對于實數(shù)a，使成立的一個必要不充分條件是（

）A． B．C． D．或【通性通解總結(jié)】1、分段函數(shù)的求值問題，必須注意自變量的值位于哪一個區(qū)間，選定該區(qū)間對應(yīng)的解析式代入求值2、函數(shù)區(qū)間分類討論問題，則需注意在計算之后進行檢驗所求是否在相應(yīng)的分段區(qū)間內(nèi)．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？级＃┮阎瘮?shù)，則（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（2023·河北·校聯(lián)考一模）若函數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．4．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)當時，取得最小值，則m的取值范圍為（

）．A． B． C． D．6．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）一般地，設(shè)、分別為函數(shù)的定義域和值域，如果由函數(shù)可解得唯一的也是一個函數(shù)（即對任意一個，都有唯一的與之對應(yīng)），那么就稱是函數(shù)的反函數(shù)，記作.在中，是自變量，是的函數(shù)，習(xí)慣上改寫成的形式.例如函數(shù)的反函數(shù)為.設(shè)，則函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．7．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的圖象過點與，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（

）A． B． C． D．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中a，b，c為常數(shù)，若，則c＝（

）A．－1 B．0 C．1 D．2二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列命題中，正確的有（

）A．函數(shù)與函數(shù)表示同一函數(shù)B．已知函數(shù)，若，則C．若函數(shù)，則D．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）將函數(shù)的圖像繞坐標原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，得到曲線，若曲線仍然是一個函數(shù)的圖像，則的可能取值為（

）A． B． C． D．11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，定義域為，值域為，則下列說法中一定正確的是（

）A． B．C． D．12．（2023·吉林白山·統(tǒng)考三模）存在函數(shù)，對任意都有，則函數(shù)不可能為（

）A． B．C． D．三、填空題13．（2023·高三課時練習(xí)）已知，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為______．14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，其中，為實數(shù)，，，若，則______．15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則值域是_______16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為____（2）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為______．四、解答題17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)

(1)將函數(shù)寫成分段函數(shù)；(2)畫出函數(shù)的圖像；(3)寫出函數(shù)的定義域和值域.18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式．(1)已知滿足.(2)已知，對任意的實數(shù)x，y都有.19．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)若對任意恒成立，求k的取值范圍.20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的值域；(2)證明：；21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)（）是奇函數(shù)．又已知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時函數(shù)取得最小值．(1)證明：；(2)求的解析式；(3)求在[4，9]上的解析式．22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，且(1)證明：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；(2)若滿足，但，則稱為函數(shù)的二階周期點，如果有兩個二階周期點，試確定實數(shù)的取值范圍．專題06函數(shù)的概念【命題方向目錄】命題方向一：函數(shù)的概念命題方向二：同一函數(shù)的判斷命題方向三：給出函數(shù)解析式求解定義域命題方向四：抽象函數(shù)定義域命題方向五：函數(shù)定義域的應(yīng)用命題方向六：函數(shù)解析式的求法方向1．待定系數(shù)法（函數(shù)類型確定）方向2．換元法或配湊法（適用于了型）方向3．方程組法方向4．求分段函數(shù)的解析式方向5．抽象函數(shù)解析式命題方向七：函數(shù)值域的求解方向1．觀察法方向2．配方法方向3．圖像法（數(shù)形結(jié)合）方向4．基本不等式法方向5．換元法（代數(shù)換元與三角換元）方向6．分離常數(shù)法方向7．判別式法方向8．單調(diào)性法方向9．有界性法方向10．導(dǎo)數(shù)法命題方向八：分段函數(shù)的應(yīng)用方向1．求值問題方向2．求參數(shù)問題方向3．解不等式問題【2024年高考預(yù)測】2024年高考仍重點考查分段函數(shù)求值、不等式、方程問題，注意函數(shù)定義域、值域與最值方法的復(fù)習(xí)．【知識點總結(jié)】1、函數(shù)的概念（1）一般地，給定非空數(shù)集，，按照某個對應(yīng)關(guān)系，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對應(yīng)，那么從集合到集合的這個對應(yīng)，叫做從集合到集合的一個函數(shù)．記作：，．集合叫做函數(shù)的定義域，記為，集合，叫做值域，記為．（2）函數(shù)的實質(zhì)是從一個非空數(shù)集到另一個非空數(shù)集的映射．（3）函數(shù)表示法：函數(shù)書寫方式為，．（4）函數(shù)三要素：定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系．（5）相等函數(shù)：兩個函數(shù)只有在定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同時，兩個函數(shù)才相等．2、函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．3、分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．【方法技巧與總結(jié)】1、直線與函數(shù)的圖象至多有1個交點．2、在函數(shù)的定義中，非空數(shù)集A，B，A即為函數(shù)的定義域，值域為B的子集．3、分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集．4、函數(shù)值域的求法主要有以下幾種（1）觀察法：根據(jù)最基本函數(shù)值域（如≥0，及函數(shù)的圖像、性質(zhì)、簡單的計算、推理，憑觀察能直接得到些簡單的復(fù)合函數(shù)的值域．（2）配方法：對于形如的值域問題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點，結(jié)合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域．（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何模型．（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等．（5）換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對于形的值城，可通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù)．（6）分離常數(shù)法：對某些齊次分式型的函數(shù)進行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡化內(nèi)便于分析．（7）判別式法：把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，形如，或的函數(shù)值域問題可運用判別式法（注意x的取值范圍必須為實數(shù)集R）．（8）單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域．對于形如或的函數(shù)，當ac>0時可利用單調(diào)性法．（9）有界性法：充分利用三角函數(shù)或一些代數(shù)表達式的有界性，求出值域．因為常出現(xiàn)反解出y的表達式的過程，故又常稱此為反解有界性法．（10）導(dǎo)數(shù)法：先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，再確定最大（?。┲?，從而求出函數(shù)的值域．【典例例題】命題方向一：函數(shù)的概念例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列對應(yīng)是從集合A到集合B的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對于A選項，對集合A中的任意一個數(shù)x，集合B中都有唯一的數(shù)y與之對應(yīng)，是函數(shù)；對于B選項，時，，有兩個y與之對應(yīng)，不是函數(shù)；對于C選項，當時，不存在，不是函數(shù)；對于D選項，集合A中的元素0在集合B中沒有對應(yīng)元素，不是函數(shù).故選：A例2．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）任給，對應(yīng)關(guān)系使方程的解與對應(yīng)，則是函數(shù)的一個充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)函數(shù)的定義，對任意，按，在的范圍中必有唯一的值與之對應(yīng)，，則，則的范圍要包含，故選：A．例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，下列圖形能表示以A為定義域，B為值域的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A是函數(shù)圖象，其值域為，與已知函數(shù)的值域為不符，故不符合題意；B是函數(shù)的圖象，定義域為，值域為，故符合題意；C是函數(shù)圖象，值域為，與已知函數(shù)的值域為不符，故不符合題意；D是函數(shù)圖象，值域為，故不符合題意.故選：B變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）將函數(shù)的圖像繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)角得到曲線，當時都能使成為某個函數(shù)的圖像，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在原點處的切線斜率為，切線方程為當繞著原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，若旋轉(zhuǎn)角大于，則旋轉(zhuǎn)所成的圖像與軸就會有兩個交點，則曲線不再是函數(shù)的圖像.所以的最大值為.

故選：B.變式2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）存在函數(shù)滿足：對任意都有（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A，當時，；當時，，不符合函數(shù)定義，A錯誤；對于B,令，則，令，則，不符合函數(shù)定義，B錯誤；對于C,令，則，令，則，不符合函數(shù)定義，C錯誤；對于D,,,則，則存在時，，符合函數(shù)定義，即存在函數(shù)滿足：對任意都有，D正確，故選：D【通性通解總結(jié)】利用函數(shù)概念判斷命題方向二：同一函數(shù)的判斷例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】C【解析】對于選項A，因為而一個x對多個y，不是函數(shù)，所以它們不是同一函數(shù)．對于選項B，因為的定義域為，而的定義域為，所以它們不是同一函數(shù)．對于選項C，因為，所以，所以兩個函數(shù)的定義域均為，又，所以它們是同一函數(shù)．對于選項D，因為的定義域為，而的定義域為，所以它們不是同一函數(shù)．故選：C．例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列每組中的函數(shù)是同一個函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】對于A，函數(shù)的定義域為R，函數(shù)的定義域為[0，+∞），所以這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)；對于B，因為，且，的定義域均為R，所以這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)；對于C，，和的對應(yīng)關(guān)系不同，所以這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)；對于D，函數(shù)的定義域為{，且}，函數(shù)的定義域為R，所以這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù).故選：B.例6．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）下列四組函數(shù)中，同組的兩個函數(shù)是相同函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【解析】A選項，函數(shù)的定義域為；函數(shù)的定義域為，不是相同函數(shù).B選項，函數(shù)的定義域為；函數(shù)的定義域為，不是相同函數(shù).C選項，函數(shù)的定義域為；函數(shù)的定義域為，不是相同函數(shù).D選項，由于，所以與的定義域、值域都為，對應(yīng)關(guān)系也相同，所以與是相同函數(shù).故選：D變式3．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)中，與是同一個函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A，函數(shù)，與函數(shù)的定義域不同，不是同一個函數(shù)；對于B，函數(shù)，與函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是同一個函數(shù)；對于C，函數(shù)，與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一個函數(shù)；對于D，函數(shù)，與函數(shù)的定義域不同，不是同一個函數(shù).故選：B.【通性通解總結(jié)】當且僅當給定兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則完全相同時，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù)．命題方向三：給出函數(shù)解析式求解定義域例7．（2023·北京東城·高三北京市第十一中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為__________．【答案】【解析】對于函數(shù)，有，解得.故函數(shù)的定義域為.故答案為：.例8．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考三模）函數(shù)的定義域為__________.【答案】【解析】函數(shù)中，，即，解得，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域為______．【答案】【解析】由，得，故函數(shù)的定義域為：．故答案為：變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則_________.【答案】或【解析】由有意義可得，所以或，當時，，，當時，，，故答案為：或.變式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的定義域為______.【答案】【解析】解法1：由函數(shù)，則滿足，可得，即函數(shù)的定義域為，對于函數(shù)，令，即，解得，即函數(shù)的定義域為.解法2：由，，可得，令，解得，所以的定義域為.故答案為：.變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等腰三角形的周長為，底邊長是腰長的函數(shù)，則函數(shù)的定義域為()A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)有，由得，故選A.【通性通解總結(jié)】對求函數(shù)定義域問題的思路是：（1）先列出使式子有意義的不等式或不等式組；（2）解不等式組；（3）將解集寫成集合或區(qū)間的形式．命題方向四：抽象函數(shù)定義域例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)定義域為，則函數(shù)的定義域為______.【答案】【解析】因為函數(shù)定義域為，由得定義域為則函數(shù)的定義域滿足，解得定義域為.故答案為：.例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為[－2,2]，則函數(shù)的定義域為______.【答案】【解析】令，得，從而，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為______.【答案】【解析】因為的定義域為，要使有意義，則，解得，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域為，則的定義域為________.【答案】【解析】由于函數(shù)的定義域為，則，所以函數(shù)的定義域為，則函數(shù)中，所以，即的定義域為.故答案為：.變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為____________.【答案】【解析】對于，因為，所以由的單調(diào)性得，即，所以對于，有，即，由的單調(diào)性得，解得，所以的定義域為.故答案為：.【通性通解總結(jié)】1、抽象函數(shù)的定義域求法：此類型題目最關(guān)鍵的就是法則下的定義域不變，若的定義域為，求中的解的范圍，即為的定義域，口訣：定義域指的是的范圍，括號范圍相同．已知的定義域，求四則運算型函數(shù)的定義域2、若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的，其定義域為各基本函數(shù)定義域的交集，即先求出各個函數(shù)的定義域，再求交集．命題方向五：函數(shù)定義域的應(yīng)用例13．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，且，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】由，可知，解得，故答案為：.例14．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的值為______．【答案】【解析】的定義域滿足：，解集為，故且，解得.故答案為：例15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是，則實數(shù)a的取值范圍為________．【答案】【解析】因為函數(shù)的定義域是.所以不等式恒成立．所以，當時，不等式等價于，顯然恒成立；當時，則有，即，解得.綜上，實數(shù)a的取值范圍為.故答案為:變式9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)定義域為R，則實數(shù)k的取值范圍為______.【答案】【解析】因為函數(shù)定義域為R，所以在R上恒成立，所以，解得.故答案為：.變式10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為R，則a的范圍是________．【答案】【解析】有函數(shù)解析式知要使定義域為R，則恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求參數(shù)a的范圍.當時，，即定義域為R；當，要使的定義域為R，則在上恒成立，∴，解得，綜上，有，故答案為：變式11．（2023·高三課時練習(xí)）若函數(shù)f(x)=的定義域為R，則的取值范圍為_______.【答案】【解析】恒成立，恒成立，變式12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域為，則實數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【解析】因為函數(shù)的定義域為R，所以的解為R，即函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，（1）當時，函數(shù)與x軸沒有交點，故成立；（2）當時，要使函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，則，解得.綜上：實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【通性通解總結(jié)】對函數(shù)定義域的應(yīng)用，是逆向思維問題，常常轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解，必要時對參數(shù)進行分類討論．命題方向六：函數(shù)解析式的求法方向1．待定系數(shù)法（函數(shù)類型確定）例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若是上單調(diào)遞減的一次函數(shù)，且，則______.【答案】【解析】因為是上單調(diào)遞減的一次函數(shù)，所以可設(shè)，所以，又因為，所以恒成立，所以，因為，所以，.所以.故答案為：例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(1)＝____．【答案】9【解析】設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17不論x為何值都成立．∴，解得∴f(x)＝2x＋7，從而得f(1)＝9.故答案為：9例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)，其圖象過點，且滿足，則的解析式為______.【答案】【解析】根據(jù)題意可知，又恒相等，化簡得到恒相等，所以，故，，，所以的解析式為.故答案為：.變式13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某種動物繁殖數(shù)量y(只)與時間x(年)的關(guān)系為y＝alog2(x＋1)，設(shè)這種動物第一年有100只，到第7年它們發(fā)展到__________．【答案】300【解析】由已知第一年有100只，得a＝100.將a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，得y＝300.答案：300.方向2．換元法或配湊法（適用于了型）變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則f(x)＝________.【答案】且【解析】令，則，因為，所以，又且，所以且，所以且，故答案為：且變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的解析式為______．【答案】【解析】設(shè)，則，，∵，∴，，即，．故答案為：變式16．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，則______．【答案】/2.5【解析】由題意得，，令，由，得，∴．故答案為：.變式17．（2023·全國·高三專題練習(xí)），則_______．【答案】【解析】令，于是有，故答案為：變式18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則__________.【答案】，【解析】又當且僅當，即時等號成立.設(shè)，則，所以所以故答案為：，變式19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的解析式為_______【答案】【解析】令，則，且，所以，所以，故答案為：.變式20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)單調(diào)遞增，且對，有，則___________.【答案】【解析】根據(jù)題意，對，有又是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)R上存在常數(shù)a使得，，解得故答案為：.變式21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的值等于___.【答案】7【解析】，令，當時，，當且僅當時取等號，當時，，當且僅當時取等號，，，，則故答案為：7變式22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)若，則_________.【答案】【解析】令，，，變式23．（2023·安徽安慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是定義域為的單調(diào)函數(shù)，且對任意實數(shù)，都有，則的值為（）A．0 B． C． D．1【答案】B【解析】令，可以求得，即可求出解析式，進而求出函數(shù)值.根據(jù)題意，令，為常數(shù)，可得，且，所以時有，將代入，等式成立，所以是的一個解，因為隨的增大而增大，所以可以判斷為增函數(shù)，所以可知函數(shù)有唯一解，又因為，所以，即，所以.故選：B.方向3．方程組法變式24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知對任意的實數(shù)a均有成立，則函數(shù)的解析式為________．【答案】【解析】由，①得，即，②得：，所以，令，則，所以.故答案為：.變式25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，則___________.【答案】【解析】因為定義在上的函數(shù)滿足，將換成可得：，將其代入上式可得：，所以，故答案為：.變式26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)滿足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，則f(x)的解析式為___________.【答案】f(x)=2x【解析】根據(jù)題意3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，用x+2代替x可得3f(x+1)+2f(﹣1﹣x)=2x+4，…①用﹣x代替x可得3f(﹣x﹣1)+2f(1+x)=﹣2x…②①②消去f(﹣1﹣x)可得：5f(1+x)=10x+12，∴f(x+1)=2x2(x+1)，f(x)=2x，故答案為：f(x)=2x.變式27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，則___________.【答案】/【解析】因為①，所以②，②①得，．故答案為：．變式28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則函數(shù)f(x)的解析式為___________.【答案】【解析】以代替得出，與已知等式聯(lián)立，解出函數(shù)f(x)的解析式．∵，①∴，②①×3﹣②×5，得：﹣16f(x)=﹣10x﹣2，∴故答案為：變式29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)與的定義域是，函數(shù)是一個偶函數(shù)，是一個奇函數(shù)，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由函數(shù)是一個偶函數(shù)，是一個奇函數(shù)，所以，，因為①，則②，所以①+②得，所以．故選：A．變式30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，其中且，則函數(shù)的解析式為__________【答案】【解析】由題意，用代換解析式中的，可得，…….（1）與已知方程，……（2）聯(lián)立（1）（2）的方程組，可得，令，則，所以，所以.故答案為：.變式31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在上的單調(diào)函數(shù)，若對任意都有，則方程的解集為_______．【答案】．【解析】∵定義在上的單調(diào)函數(shù)，對任意都有，令，則，在上式中令，則，解得，故，由得，即，在同一坐標系中作出函數(shù)和的圖像，

可知這兩個圖像有2個交點，即和，則方程的解集為．故答案為：.變式32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的連續(xù)單調(diào)函數(shù)，若，則不等式的解集為___________.【答案】【解析】是定義在上的連續(xù)單調(diào)函數(shù)，存在唯一，使得，故令，，，在上單調(diào)遞增，且，，故的解集為.故答案為：方向4．求分段函數(shù)的解析式變式33．（2023·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，正方形的邊長為，其中．用直線l：（）截這個正方形，將正方形分為兩個部分，其中包含了頂點D部分的面積記為S，將S表示為t的函數(shù)，則其解析式為________________．【答案】【解析】由題意可知為等腰直角三角形，,當直線在的左側(cè)時，即直線與正方形的交點在上時，即當時，直線的左側(cè)為等腰直角為三角形，此時，當直線與正方形的交點在上時，即，直線的左側(cè)為五邊形，則，所以S表示為t的函數(shù)解析式為，故答案為：.變式34．（2023·黑龍江七臺河·高三?？计谥校┰O(shè)函數(shù)，且，，求的解析式．【解析】因為函數(shù)解析式為，則，則，由可得，，解得，所以.變式35．（2023·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期中）已知和是定義域為的二次函數(shù)，函數(shù)圖象過點，，且，，(1)求的解析式(2)，用表示中較大者，記為，①求②寫出的函數(shù)解析式，并指出的最小值（不用寫理由）【解析】（1）設(shè)，因為函數(shù)圖象過點，，，，可知對稱軸為，則，解得，所以.（2）①由（1）可知，當時，即，解得或；當時，即，解得；所以，所以.②由①可得，當時，，此時；當時，，此時；當時，，此時；綜上所述：的最小值是.變式36．（2023·新疆烏魯木齊·高一?？计谀┙o定函數(shù)(1)判斷的單調(diào)性并證明(2)在同一坐標系中畫出的圖像(3)任意的，用表示的較小者，記為，請寫出的解析式.【解析】（1）判斷:在定義域上單調(diào)遞增，證明如下，，，即，所以在定義域上單調(diào)遞增.（2）作圖如下，（3）當時，，所以當時，，所以，當時，，所以所以.方向5．抽象函數(shù)解析式變式37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足以下條件：①在區(qū)間上單調(diào)遞增；②對任意，，均有，則的一個解析式為______．【答案】（答案不唯一）【解析】如：，則，，又，則，此時在區(qū)間上單調(diào)遞增，滿足題設(shè).故答案為：（答案不唯一）變式38．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，，且，，，…，，，則滿足條件的函數(shù)的一個解析式為________.【答案】【解析】由已知得，，，，又，故答案為：變式39．（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)滿足，寫出一個符合要求的解析式_________．【答案】x(答案不唯一)【解析】因為函數(shù)滿足，所以x，故答案為：x,答案不唯一變式40．（2023·高一課時練習(xí)）是R上的函數(shù)，且滿足，并且對任意的實數(shù)都有，則的解析式_______【答案】【解析】令，代入得，又，則，∴，故答案為：．變式41．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）寫出一個同時滿足下列三個性質(zhì)的函數(shù)：______．①定義域為；②；③的導(dǎo)函數(shù)．【答案】（答案不唯一）【解析】若，其定義域為，滿足①；，，所以，滿足②；，滿足③.故答案為：.【通性通解總結(jié)】求函數(shù)解析式的常用方法如下：（1）當已知函數(shù)的類型時，可用待定系數(shù)法求解．（2）當已知表達式為時，可考慮配湊法或換元法，若易將含的式子配成，用配湊法．若易換元后求出，用換元法．（3）若求抽象函數(shù)的解析式，通常采用方程組法．（4）求分段函數(shù)的解析式時，要注意符合變量的要求．（5）當出現(xiàn)大基團換元轉(zhuǎn)換繁瑣時，可考慮配湊法求解．（6）若已知成對出現(xiàn)，或，，類型的抽象函數(shù)表達式，則常用解方程組法構(gòu)造另一個方程，消元的方法求出．命題方向七：函數(shù)值域的求解【通性通解總結(jié)】方向1．觀察法例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)的值域為______________【答案】【解析】因為，所以，又，所以當時，單調(diào)遞減，，所以函數(shù)的值域為.故答案為：例20．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┫铝泻瘮?shù)中，定義域和值域不相同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A：函數(shù)的定義域為，值域也為，不符合題意；對于B：函數(shù)的定義域和值域都為，不符合題意；對于C：的定義域和值域都為，不符合題意；對于D：的定義域為；當時，；當時，；所以值域為，定義域和值域不相同，符合題意；故選：D．例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為__________【答案】【解析】為開口方向向上，對稱軸為的拋物線，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，；當時，，的值域為.故答案為：.變式42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，故函數(shù)的值域.故選：C.變式43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，值域為的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的值域為，，故排除；函數(shù)的值域為，故排除；函數(shù)的值域為，故滿足條件；函數(shù)的值域為，，故排除，故選：．方向2．配方法變式44．（2023·遼寧遼陽·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的值域是，則_________．【答案】【解析】，故，解得．故答案為：變式45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為______.【答案】【解析】令，則，所以.故答案為：.變式46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，則且又因為，所以，所以，即函數(shù)的值域為，故選：B.方向3．圖像法（數(shù)形結(jié)合）變式47．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為______.【答案】【解析】由題設(shè)，所以所求值域化為求軸上點到與距離差的范圍，如下圖示，由圖知：，即，當三點共線且在之間時，左側(cè)等號成立；當三點共線且在之間時，右側(cè)等號成立，顯然不存在此情況；所以，即，所以函數(shù)值域為.故答案為：變式48．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為_____【答案】【解析】表示點與點連線的斜率，的軌跡為圓，表示圓上的點與點連線的斜率，由圖象可知：過作圓的切線，斜率必然存在，則設(shè)過的圓的切線方程為，即，圓心到切線的距離，解得：，結(jié)合圖象可知：圓上的點與點連線的斜率的取值范圍為，即的值域為.故答案為：.變式49．（2023·陜西銅川·校考一模）若，則函數(shù)的值域是__________．【答案】【解析】，設(shè)，，則.由于，則，且.設(shè)，由該式的幾何意義得下面圖形，，其中直線為圓的切線，由圖知.由圖知，在中，有，，所以，所以，所以.所以，，故所求值域為．故答案為：．變式50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則的最小值為___________.【答案】/【解析】分別作，的圖象，分別取點，，原式視為兩圖象上各取一點的距離的平方，設(shè)為與的交點，，即.當且僅當時，取等號.故得的最小值為.故答案為：.變式51．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為_____.【答案】[，]【解析】∵﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≥0?1≤x≤3.令x﹣2=cosθ

且θ∈[0，π]∴=，表示兩點（﹣3，﹣3）和（cosθ，sinθ）的斜率，，故點在單位圓的上半部分.如圖，斜率最小為，斜率最大值為直線與半圓相切時的斜率，，化簡得，由，解得，故切線的斜率為.所以斜率的取值范圍，也即函數(shù)的值域為.故答案為：變式52．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是_______________.【答案】【解析】，其中，則，又，因此，值域為.故答案為：方向4．基本不等式法變式53．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是______.【答案】【解析】因為，因為，所以，則有，當且僅當，即時取等號，所以，因為，所以，則函數(shù)的值域為，故答案為：.變式54．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為___________．【答案】【解析】函數(shù)的定義域為，當時，，當且僅當即時等號成立，所以，當時，，當且僅當即時等號成立，所以，所以函數(shù)的值域為，故答案為：．變式55．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為______【答案】【解析】，令，因為在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，當時，，當時，所以，即值域為：.故答案為：變式56．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的值域為___________．【答案】．【解析】，即；，；當且僅當，即時，取最小值2；又最大值應(yīng)在兩個區(qū)間端點的某一處取到，；；．所以．所以值域為．故答案為:方向5．換元法（代數(shù)換元與三角換元）變式57．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是______．【答案】【解析】令，則，令，則，所以，所以，所以，所以函數(shù)的值域是.故答案為：變式58．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的，則其值域為_____________.【答案】【解析】設(shè)，即，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以.故答案為：變式59．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域為_________.【答案】【解析】令，則，容易看出，該函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個開口向下的二次函數(shù)，對稱軸為，，所以該函數(shù)在時取到最大值，當時，函數(shù)取得最小值，所以函數(shù)值域為.故答案為：變式60．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為____________【答案】【解析】設(shè),則,所以原函數(shù)可化為:,由二次函數(shù)性質(zhì),當時,函數(shù)取最大值,由性質(zhì)可知函數(shù)無最小值.所以值域為:.故答案為:.變式61．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域______．【答案】/【解析】令，則，所以．又，所以，即函數(shù)的值域是．故答案為：.變式62．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為________．【答案】【解析】由可得，即函數(shù)的定義域為所以設(shè)，，則，因為，所以，所以，所以，所以函數(shù)的值域為，故答案為：.方向6．分離常數(shù)法變式63．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為______．【答案】【解析】由，又，則，則，所以，故函數(shù)的值域為．故答案為：．變式64．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)y的值域是（）A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）【答案】D【解析】，∴y，∴該函數(shù)的值域為．故選：D．變式65．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為________．【答案】【解析】由，可得且，函數(shù)的定義域為且，，所以且，所以函數(shù)的值域為．故答案為：．變式66．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為__________【答案】【解析】，，，，即的值域為.故答案為：.方向7．判別式法變式67．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值與最小值的和是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則有，當時，代入原式，解得．當時，，由，解得，于是的最大值為，最小值為，所以函數(shù)的最大值與最小值的和為．故選：B.變式68．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是___________.【答案】【解析】，因為所以函數(shù)的定義域為令，整理得方程：當時，方程無解；當時，不等式整理得：解得：所以函數(shù)的值域為.故答案為：變式69．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域______________．【答案】【解析】由解析式知：函數(shù)的定義域為，且，∴整理可得：，即該方程在上有解，∴當時，，顯然成立；當時，有，整理得，即，∴綜上，有函數(shù)值域為.故答案為：.變式70．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為_________.【答案】【解析】將函數(shù)變形為關(guān)于的方程，分析二次項的系數(shù)并結(jié)合與的關(guān)系求解出的取值范圍，從而值域可求.因為，所以，所以，當，即時，此時；當，即時，此時，所以，綜上可知：，所以的值域為，故答案為：.方向8．單調(diào)性法變式71．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，即函數(shù)的定義域為，又函數(shù)在上遞減，所以函數(shù)在上遞減，所以函數(shù)的最大值為，最小值為，即函數(shù)的值域為，故選：C.變式72．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的最大值為______.【答案】/【解析】因為，令，則，令，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，則，即函數(shù)的最大值為，當且僅當時取等號.故答案為：變式73．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：令，解得：，即函數(shù)在為增函數(shù)，所以，即函數(shù)的值域為，故選：D.方向9．有界性法變式74．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是_________【答案】【解析】化簡函數(shù)的解析式為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.由題意，函數(shù)，因為，所以，則，可得，故函數(shù)的值域是.變式75．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】故選：C．變式76．（2023·全國·高三專題練習(xí)）實數(shù)，滿足，則的最大值為___________．【答案】【解析】令，，則，，所以其中所以當時，故答案為：變式77．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是________________.【答案】【解析】由題意，因為，所以，所以，所以函數(shù)的值域為，故答案為：.方向10．導(dǎo)數(shù)法變式78．（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上最大值為M，最小值為m，則的值是_______.【答案】【解析】由題意，，，在上，故函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，，故的值是.故答案為：變式79．（2023·上海·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，定義域為，則該函數(shù)的最小值為__________．【答案】1【解析】因為，，所以，令，得所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增所以.故答案為：.變式80．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上的最小值是________.【答案】【解析】由，令得，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上的最小值是.故答案為：.變式81．（2023·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學(xué)統(tǒng)考期末）函數(shù)，的值域是______.【答案】【解析】由題意在中，，∴函數(shù)在單調(diào)遞增∵，∴函數(shù)，的值域是故答案為：.命題方向八：分段函數(shù)的應(yīng)用方向1．求值問題例22．（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知，則______.【答案】【解析】，．故答案為：．例23．（2023·四川德陽·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)，則______．【答案】2【解析】由題，因為，所以，故答案為：2.例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則___________.【答案】【解析】根據(jù)題意，當時，，所以，當時，，所以.故答案為：.變式82．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)滿足，且在區(qū)間上，則的值為____．【答案】【解析】分析：先根據(jù)函數(shù)周期將自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間，代入對應(yīng)函數(shù)解析式求值，再代入對應(yīng)函數(shù)解析式求結(jié)果.由得函數(shù)的周期為4，所以因此方向2．求參數(shù)問題變式83．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則使的可以是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】①當時，由，可得，若時，則，此時無解，若時，由，解得；②當時，由，可得或.若時，則，由可得，方程無解，若時，由可得或，由可得或.綜上所述，滿足的的取值集合為.故選：BCD.變式84．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，當時，，其中當時，，此時，解可得，符合題意；當時，，此時，解可得或，符合題意；當時，必有，此時，變形可得或，若，解可得，若，無解；綜合可得：或或或，分析可得選項可得：ACD符合；故選：ACD．變式85．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)若，則實數(shù)（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】根據(jù)題意，當時，，不符合題意；當時，，解得；當時，，不符合題意；當時，，不符合題意．故選:B．變式86．（2023·吉林·通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則方程的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當時，，解得或（舍去），當x<0時，，解得（舍去），故解集為．故選：A．變式87．（2023·河北石家莊·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是偶函數(shù)，當時，，若，則（

）A． B． C．或3 D．或【答案】B【解析】當時，由，得，解得（舍去）或；根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，可知當時，由，得(舍)或，綜上，故選:B.變式88．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若的值域是，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意可得，在同一坐標系下分別畫出函數(shù)和的圖象如下圖所示：由圖可知，當或時，兩圖象相交，若的值域是，以實數(shù)為分界點，可進行如下分類討論：當時，顯然兩圖象之間不連續(xù)，即值域不為；同理當,值域也不是；當時，兩圖象相接或者有重合的部分，此時值域是；綜上可知，實數(shù)的取值范圍是.故選：B變式89．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則解的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】時，，解得時，，，，無解.由，則有，時，，通過函數(shù)圖像可知，方程有兩個根，如圖所示，時，，無解.故選：.方向3．解不等式問題變式90．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】當時，由得：，解得：或，；當時，由得：，解得：，；不等式的解集是.故選：A.變式91．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，則即為，當時，，故無解，當時，即為，在同一平面直角坐標系下畫出和的大致圖像如圖，由圖可得當且僅當時，，綜上所述，的解為，又，所以，當時，，故，解得：，所以，當時，，故，解得：，所以，綜上所述，不等式的解集是.故選：D.變式92．（2023·黑龍江大慶·鐵人中學(xué)?？级＃┮阎瘮?shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為.①當時，.②當時，.③當時，.綜上所述：.故選：D.變式93．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知,則使成立的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】（方法1）當時，不等式可化為，解得，又，所以；當時，，不等式可化為，解得，又，所以.綜上，使不等式成立的的取值范圍是.故選:A.（方法2）函數(shù)的圖象如圖所示，虛線表示，函數(shù)圖象在虛線及以上的部分中的取值范圍即不等式的解集.由圖可知，的取值范圍就是點的橫坐標與點的橫坐標之間的范圍.在中，令，得，所以點的橫坐標為.在中，令，得（舍去）或，所以點的橫坐標為，所以使不等式成立的的取值范圍是.故選：A.變式94．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當時，，所以，即，解得，當時，，所以，即，解得，所以，的取值范圍是故選：D變式95．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，對于實數(shù)a，使成立的一個必要不充分條件是（

）A． B．C． D．或【答案】C【解析】當時，，則，則是增函數(shù)，當時，，則是增函數(shù)，又，∴函數(shù)在R上是增函數(shù)，∵，∴，則，即，解得，則成立的充要條件是∴使成立的一個必要不充分條件的a的范圍對應(yīng)的集合應(yīng)真包含，故排除ABD，選C.故選：C．【通性通解總結(jié)】1、分段函數(shù)的求值問題，必須注意自變量的值位于哪一個區(qū)間，選定該區(qū)間對應(yīng)的解析式代入求值2、函數(shù)區(qū)間分類討論問題，則需注意在計算之后進行檢驗所求是否在相應(yīng)的分段區(qū)間內(nèi)．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？级＃┮阎瘮?shù)，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【解析】由題意可得，故選：D.2．（2023·河北·校聯(lián)考一模）若函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于，所以，故，故選C.