專題5-1等差等比性質(zhì)綜合目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01等差數(shù)列單調(diào)性 1題型02等比數(shù)列單調(diào)性 4題型03等差數(shù)列不等式正負分界 6題型04等比數(shù)列“1”比較型不等式 7題型05等差數(shù)列“高斯”性質(zhì) 10題型06等比數(shù)列“高斯”性質(zhì) 11題型07等差中項比值型 13題型08等比中項比值型 15題型09整數(shù)型比值 16題型10等差等比函數(shù)性質(zhì)：恒成立求參 18題型11等差等比函數(shù)性質(zhì)：奇偶型討論 20題型12等差等比函數(shù)性質(zhì)：三角函數(shù)型 21題型13等差等比插入數(shù)型 24題型14等差等比分段型數(shù)列 27高考練場 29題型01等差數(shù)列單調(diào)性【解題攻略】判斷數(shù)列的單調(diào)性，常用的方法有作差比較法、作商比較法和函數(shù)圖象法：（1）作差比較法：當(dāng)時，遞增；當(dāng)時，遞減.（2）作商比較法：若，則當(dāng)時，遞增；當(dāng)時，遞減.（3）函數(shù)圖象法：設(shè)，則可用函數(shù)的圖象來研究數(shù)列的單調(diào)性【典例1-1】（2023春·廣東佛山·高二佛山市三水區(qū)三水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，且，則下列選項中正確的是（

）A． B．和均為的最大值C．存在正整數(shù)，使得 D．存在正整數(shù)，使得【答案】ACD【分析】設(shè)數(shù)列公差為d，根據(jù)已知條件和判斷公差正負，求出和d關(guān)系，逐項驗證即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，由得，化簡得；∵，∴，即，∴，∴，，∴d＜0，故數(shù)列為減數(shù)列，故A正確；，，，故為的最大值，故B錯誤；，故，故C正確；時，，即，又由得，∴，解得，故D正確.故選：ACD.【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，函數(shù)是定義在上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，數(shù)列的前項和為，對于命題：①若數(shù)列為遞增數(shù)列，則對一切，；②若對一切，，則數(shù)列為遞增數(shù)列；③若存在，使得，則存在，使得；④若存在，使得，則存在，使得；其中正確命題的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】逐一分析選項，得到正確答案.【詳解】①令，，故①錯；②對一切，，則，又因為是上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，所以，若遞減，設(shè)，且，且，所以，則，則，與題設(shè)矛盾，所以遞增，故②正確；③設(shè)，，，則，，，存在，但是，故③錯誤；④因為，所以，所以，則，則，則存在，使得，故④正確.故選B.【變式1-1】（2019秋·河南洛陽·高三統(tǒng)考）已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，若（且），有以下結(jié)論：①；②；③為遞增數(shù)列；④．則正確的結(jié)論的個數(shù)為A． B． C． D．【答案】B【分析】可設(shè)，根據(jù)可得出、之間的關(guān)系，并求出數(shù)列的通項公式，結(jié)合和的表達式對各命題的正誤進行判斷.【詳解】設(shè)，則，，所以，解得，，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，.也適合上式，，則，數(shù)列可能是增數(shù)列，也可能是減數(shù)列，，因此，正確的結(jié)論序號為①②.故選B.【變式1-2】（2019春·上海楊浦·高三復(fù)旦附中?？迹┮阎獢?shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，函數(shù)是定義在上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，數(shù)列的前項和為，對于命題：①若數(shù)列為遞增數(shù)列，則對一切，②若對一切，，則數(shù)列為遞增數(shù)列③若存在，使得，則存在，使得④若存在，使得，則存在，使得其中正確命題的個數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，通過舉例和證明逐項分析.【詳解】①取，，則，故①錯；②對一切，，則，又因為是上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以，若遞減，設(shè)，且，且，所以，則，則，與題設(shè)矛盾，所以遞增，故②正確；③取，則，，令，所以，但是，故③錯誤；④因為，所以，所以，則，則，則存在，使得，故④正確.故選C.【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足若對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意，對任意的，都有成立，即，利用數(shù)列的單調(diào)性可得，即可求解.【詳解】由已知，對任意的，都有成立，即，即，又數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，，且是單調(diào)遞增數(shù)列，當(dāng)時，，，即，解得.故選：B.題型02等比數(shù)列單調(diào)性【解題攻略】函數(shù)圖象法：求出數(shù)列的前n項和，利用函數(shù)的圖象性質(zhì)來研究的最大最小值問題.【典例1-1】無窮數(shù)列的前項和為，滿足，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．為等比數(shù)列 B．為遞增數(shù)列C．中存在三項成等差數(shù)列 D．中偶數(shù)項成等比數(shù)列【答案】D【分析】利用與的關(guān)系，求通項公式，從而判斷各選項正誤.【詳解】解：無窮數(shù)列的前項和為，滿足，當(dāng)時，，不符合上式，所以不是等比數(shù)列，故A錯誤；又，所以不是遞增數(shù)列，故B錯誤；假設(shè)數(shù)列中存在三項成等差數(shù)列，由于，則，所以得：，則，又且恒成立，故式子無解，中找不到三項成等差數(shù)列，故C錯誤；，是等比數(shù)列，即中偶數(shù)項成等比數(shù)列，故D正確.故選：D．【典例1-2】等比數(shù)列的公比為，則“”是“對于任意正整數(shù)n，都有”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】D【分析】結(jié)合等比數(shù)列的單調(diào)性，根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】若，，則，，充分性不成立；反過來，若，，則時，必要性不成立；因此“”是“對于任意正整數(shù)n，都有”的既不充分也不必要條件.故選：D【變式1-1】已知數(shù)列滿足，，設(shè)，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意求得，則可得，根據(jù)其單調(diào)性可得，化簡可得恒成立，即可求得答案.【詳解】由題意數(shù)列滿足，可知，是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以,因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，對于任意的恒成立，即,即恒成立,因為時,取得最小值3，故，即實數(shù)的取值范圍是，故選：A,【變式1-2】.數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為q，則是“數(shù)列遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由，解得或，根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合充分、必要條件的判定方法，即可求解得到答案.【詳解】由已知，解得或，，此時數(shù)列不一定是遞減數(shù)列，所以是“數(shù)列遞減”的非充分條件；若數(shù)列為遞減數(shù)列，可得或，所以，所以是“數(shù)列遞減”的必要條件.所以“”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B.【變式1-3】數(shù)列{an}滿足an+1＝2an+1，a1＝1，若bn＝an﹣n2+4n為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件求出數(shù)列{an}通項，再由數(shù)列{bn}為單調(diào)遞增數(shù)列列出不等式并分離參數(shù)即可推理計算作答．【詳解】數(shù)列{an}中，an+1＝2an+1，a1＝1，則有an+1+1＝2（an+1），而a1+1＝2，因此，數(shù)列{an+1}是公比為2的等比數(shù)列，，即，則，因數(shù)列{bn}為單調(diào)遞增數(shù)列，即?n∈N*，bn+1﹣bn＞0，則（2n+1﹣1）﹣（n+1）2+4（n+1）﹣[（2n﹣1）﹣n2+4n]＝?2n﹣2n+3＞0，，令，則，n∈N*，當(dāng)n≤2時，cn+1＞cn，當(dāng)n≥3時，cn+1＜cn，于是得是數(shù)列{cn}的最大項，即當(dāng)n＝3時，取得最大值，從而得，所以的取值范圍為．故選：C．題型03等差數(shù)列不等式正負分界【解題攻略】鄰項變號法：若當(dāng)時，，當(dāng)時，，則數(shù)列中，最大；若當(dāng)時，，當(dāng)時，，則數(shù)列中，最小.【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】C【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，進而根據(jù)的關(guān)系即可確定答案.【詳解】設(shè)函數(shù)，則為奇函數(shù)，且，所以在R上遞減，由已知可得，，有，，所以，且，所以，且，所以，.故選：C.【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，公差為．已知，，，則選項不正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的最小項為第項 B．C． D．時，的最大值為【答案】D【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)及前項和公式依次分析選項，綜合即可得出答案．【詳解】解：由題意，又，所以，故選項正確；由，且，，，得，解得，選項正確；由題意當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，，故時，的最大值為10，故選項錯誤；由于，數(shù)列是遞減數(shù)列，當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故數(shù)列中最小的項為第6項，選項正確．故選：．【變式1-1】（2021·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項和，若，，，則的最大值為A．3 B．4 C． D．【答案】B【詳解】∵S4≥10，S5≤15∴a1+a2+a3+a4≥10，a1+a2+a3+a4+a5≤15。∴a5≤5，a3≤3即：a1+4d≤5，a1+2d≤3兩式相加得：2（a1+3d）≤8?！郺4≤4。故答案是4【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知公差非零的等差數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，推理可得，再結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)逐項分析各個選項，判斷作答.【詳解】因公差非零的等差數(shù)列{an}滿足，則有，有，異號且均不為0，對于A，，A不正確；對于B，，而，此時，，B不正確；對于C，由選項A知，，即，則，于是得，數(shù)列是遞增數(shù)列，即，，C正確；對于D，由得，則，于是得，數(shù)列是遞減數(shù)列，即，，D不正確.故選：C【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，為其前n項和.若，，則下列判斷錯誤的是（

）A．?dāng)?shù)列遞增 B． C．?dāng)?shù)列前2020項和最小 D．【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的前n項和公式，等差數(shù)列下角標(biāo)性和公差判斷數(shù)列單調(diào)性即可求解.【詳解】因為，，即，，所以，.因為，，所以，，所以公差，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，其前1010項和最小，所以C錯誤.故選：C.題型04等比數(shù)列“1”比較型不等式【解題攻略】等比數(shù)列“平衡點”型不等式，主要從以下幾個性質(zhì)思考：1.若p＋q＝m＋n，則ap·aq＝am·an，特別地，若p＋q＝2k，則ap·aq＝ak22.如果等比數(shù)列是正項遞增數(shù)列，則若p＋q>m＋n，則ap·aq>am·an.【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項之積為，并且滿足條件：，，，給出下列結(jié)論：①；②；③是數(shù)列中的最大項；④使成立的最大自然數(shù)等于4039；其中正確結(jié)論的序號為（

）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】由題意可得，，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)逐一核對四個命題得答案．【詳解】，，，，．，故①正確；，，故②不正確；，是數(shù)列中的最大項，故③正確；，，使成立的最大自然數(shù)等于4038，故④不正確．正確結(jié)論的序號是①③．故選：B．【典例1-2】（2022秋·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項和為，前項積為，且，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．?dāng)?shù)列無最大值【答案】B【分析】由題分析出，可得出數(shù)列為正項遞減數(shù)列，結(jié)合題意分析出正項數(shù)列前項都大于，而從第項起都小于，進而可判斷出各選項的正誤.【詳解】當(dāng)時，則，不合乎題意；當(dāng)時，對任意的，，且有，可得，可得，此時，與題干不符，不合乎題意；故，故A錯誤；對任意的，，且有，可得，此時，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，結(jié)合可得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可得故，，∴，故B正確；是數(shù)列中的最大值,故CD錯誤故選：B.【變式1-1】（2023秋·高三課時練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足條件，，，則下列選項錯誤的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大項 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，分析可得，，從而有，，則等比數(shù)列為正項的遞減數(shù)列．再結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】等比數(shù)列的公比為，若，則，由，可得，則數(shù)列各項均為正值，若，當(dāng)時，由則恒成立，顯然不適合，故，且，，故正確；因為，所以，故正確；根據(jù)，可知是數(shù)列中的最大項，故正確；由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，故錯誤．故選：．【變式1-2】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校校考期末）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項積為，并且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．沒有最大值【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等比數(shù)列通項分析求出公比的范圍，再逐項分析判斷作答.【詳解】在等比數(shù)列中，由，，得，即有，，若，則，，此時，與已知條件矛盾，因此，B正確，C錯誤；顯然數(shù)列是遞減數(shù)列，由，得，則，A錯誤；由于，當(dāng)，，而，則，當(dāng)時，，則，因此當(dāng)時，逐漸增大，當(dāng)時，逐漸減小，所以的最大值為，D錯誤.故選：B【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項和為，并且滿足條件，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．的最大值為【答案】B【分析】根據(jù)已知條件分情況討論判斷得，進而可判斷其它選項．【詳解】解：若，，，則與矛盾，若，，，則與矛盾，，故B正確；，則，，故A錯誤；，單調(diào)遞增，故D錯誤；，，故C錯誤．故選：B．題型05等差數(shù)列“高斯”性質(zhì)【解題攻略】.一般地，如果為等差數(shù)列，為其前項和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）且；（3）且為等差數(shù)列；（4）為等差數(shù)列.【典例1-1】（2021·江蘇·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足，則的最大值為（

）A． B．20 C．25 D．100【答案】C【解析】根據(jù)的形式，可以利用三角代換的方法，令，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差，用等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)化簡，最后利用輔助角求出最大值即可.【詳解】因為，所以令，因此公差，，因此有，其中，因為，所以的最大值為25.故選：C【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是公差不為零且各項均為正數(shù)的無窮等差數(shù)列，其前項和為.若且，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】利用等差數(shù)列的求和公式可判斷A選項的正誤；利用作差法結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可判斷B選項的正誤；利用結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可判斷C選項的正誤；利用等差數(shù)列的求和公式結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，由于，故選項A錯誤；對于B選項，由于，則，故選項B錯誤；對于C選項，由于，故選項C錯誤；對于D選項，設(shè)，則，從而，由于，故.，故.，由此，故選項D正確.故選：D.【變式1-1】（2022秋·山東臨沂·高三?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的前項和為，若，則（

）A．22 B．33 C．44 D．55【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及等差數(shù)列性質(zhì)求解即可.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及等差數(shù)列性質(zhì)可得，，又，.故選：B.【變式1-2】（2023秋·高三課時練習(xí)）在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前19項之和為（

）A．98 B．95 C．93 D．90【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)分析運算.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，由題意可得：，可得，所以.故選：B.【變式1-3】（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)校考）在等差數(shù)列中，若，則（

）A．30 B．40 C．45 D．60【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)可求出結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，且，所以，即，所以.故選：C..題型06等比數(shù)列“高斯”性質(zhì)【解題攻略】等比數(shù)列“高斯技巧”（1)“高斯”技巧：若p＋q＝m＋n，則ap·aq＝am·an，特別地，若p＋q＝2k，則ap·aq＝ak2；(2)“跳項”等比：數(shù)列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.(3)“和項”等比：數(shù)列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為__qn__.【典例1-1】（2023秋·山西太原·高三統(tǒng)考）已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．7 B．14 C． D．【答案】B【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出，再利用等差數(shù)列性質(zhì)及前n項和求解作答.【詳解】等比數(shù)列中，，而，解得，即，等差數(shù)列中，.故選：B【典例1-2】（2023春·內(nèi)蒙古通遼·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知等比數(shù)列滿足：，則的值為（

）A．20 B．10 C．5 D．【答案】D【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，對進行化簡后求值即可.【詳解】在等比數(shù)列中，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：.所以．故選：D【變式1-1】（2023春·河南鄭州·高三河南省實驗中學(xué)?？迹┮阎缺葦?shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，再根據(jù)對數(shù)知識可求出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，又，所以，所以.故選：D【變式1-2】（2022秋·湖南常德·高三臨澧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知方程的四個根組成以1為首項的等比數(shù)列，則（

）A． B．或 C． D．【答案】D【分析】設(shè)方程的四個根由小到大依次為、、、，并設(shè)的一根為1，可求出的值以及另外一根，再由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，可求得的值，進而利用等比數(shù)列的性質(zhì)可求得、的值，利用韋達定理可求得的值，由此可求得的值.【詳解】設(shè)方程的四個根由小到大依次為、、、，設(shè)的一根為1，則，解得，解方程，得，，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，且方程的兩根之積為8，方程的兩根之積也為8，，則等比數(shù)列、、、的公比為，，，由韋達定理得，因此，，所以.故選：D.【變式1-3】（2023秋·甘肅·高三?？茧A段練習(xí)）若等比數(shù)列中的，是方程的兩個根，則等于（

）A． B．1011C． D．1012【答案】C【分析】利用韋達定理、等比數(shù)列的性質(zhì)以及對數(shù)的運算性質(zhì)進行求解.【詳解】因為等比數(shù)列中的，是方程的兩個根，所以，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)知，，因為，于是，則==.故A，B，D錯誤.故選：C.題型07等差中項比值型【解題攻略】雙數(shù)列等差中項比值轉(zhuǎn)化型、均為等差數(shù)列且其前項和為、則【典例1-1】（2023春·新疆伊犁·高三校考）設(shè)等差數(shù)列、的前n項和分別是，，若，則=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法1，利用等差數(shù)列前n項和公式將，和比較確定n的值，即得答案；方法2，利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合前n項和公式將化為，即得答案.【詳解】方法1：因為等差數(shù)列，的前項和分別是，,因為，所以，故選：C方法2：因為等差數(shù)列，的前項和分別是，．所以，故選：C．【典例1-2】（2023春·江西吉安·高三永豐縣永豐中學(xué)?？迹┑炔顢?shù)列和的前項和分別記為與，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)可得，進而代值計算即可得解.【詳解】因為，所以.故選：D.【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和分別為，若對于任意的自然數(shù)，都有，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)將所求化為，再結(jié)合即可得解．【詳解】數(shù)列{an}，{bn}均為等差數(shù)列，由等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)得.故選：B【變式1-2】（2023春·新疆·高三八一中學(xué)校考）若兩個等差數(shù)列，的前n項和滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列得性質(zhì)和前項和公式計算即可.【詳解】由，得.故選：B.【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列和的前項和分別為，，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，得，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列前項和公式即可得解.【詳解】由，得，.故選：B.題型08等比中項比值型【典例1-1】已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則（

）A．27 B．3 C．1或3 D．1或27【答案】A【分析】根據(jù)，，成等差數(shù)列，由，求得公比即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因為，，成等差數(shù)列，所以，所以，化簡得，所以（不合題意，舍去），所以.故選：A.【典例1-2】已知等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列．則=（

）A．4或 B．4 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差中項的應(yīng)用求解出公比，然后將化簡為關(guān)于的形式，由此求解出結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，因為，，成等差數(shù)列，所以，所以，且，所以解得或，為保證有意義，則，所以，所以，故選：B【變式1-1】設(shè)等比數(shù)列的前項和為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件求出等比數(shù)列公比q的關(guān)系，再利用前n項和公式計算得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的的公比為q，由得：，解得，所以【變式1-2】已知等比數(shù)列的前項和為，且，，成等差數(shù)列，則（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】先利用，，成等差數(shù)列解出，再利用求和公式化簡求值即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，由，，成等差數(shù)列可得，，化簡得，解得，.故選：B.【變式1-3】已知等比數(shù)列中，各項都是正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，，成等差數(shù)列，可得，從而可求出公比，進而可求得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），因為，，成等差數(shù)列，所以，所以，所以，解得或（舍去），所以，故選：C題型09整數(shù)型比值【解題攻略】整數(shù)型比值，可以通過分離常數(shù)，因式分解，整除等知識點來構(gòu)造求解【典例1-1】已知等差數(shù)列的公差不為0，等比數(shù)列的公比，若，且是正整數(shù)，則實數(shù)（

）A．4 B．2 C． D．【答案】C【分析】令是正整數(shù)，可得，結(jié)合，即可求的值，進而求.【詳解】解：由，，令，其中m為正整數(shù)，有，又，∴，，得，故，∴，解得或(舍去).故選：C.【典例1-2】（2023春·江西撫州·高三江西省樂安縣第二中學(xué)?？迹┮阎獌蓚€等差數(shù)列和的前n項和分別為Sn和Tn，且=，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)及前n項和公式，將用n表示出即可作答.【詳解】依題意，，又=，于是得，因此，要為整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)是正整數(shù)，而，則是32的大于1的約數(shù)，又32的非1的正約數(shù)有2，4，8，16，32五個，則n的值有1，3，7，15，31五個，所以使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)為5.故選：B【變式1-1】（2022春·安徽安慶·高三安慶市第七中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列和等差數(shù)列的前n項和分別為，且，則使為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是（

）A．2 B．6 C．4 D．5【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列前項和公式化簡，進而求得符合題意的正整數(shù)的個數(shù).【詳解】依題意，，，所以為整數(shù)的正整數(shù)為，共個.故選：C【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，均為等差數(shù)列，其前項和分別為，，且，則使恒成立的實數(shù)的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式，結(jié)合已知可得，然后求出的最小值可得答案.【詳解】由題意得，，因為，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以使恒成立的實數(shù)的最大值是.故選：A.題型10等差等比函數(shù)性質(zhì)：恒成立求參【典例1-1】（2020·江蘇·高三專題練習(xí)）已知是公比不為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足：，，成等比數(shù)列，，若數(shù)列的前項和對任意的恒成立，則的最大值為A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知條件得數(shù)列的通項公式，然后利用裂項相消法求數(shù)列的前n項和，利用數(shù)列的單調(diào)性得到前n項和的最小值，從而得到答案.【詳解】由，，成等比數(shù)列得，又是公比不為1的等比數(shù)列，設(shè)公比為q,則，整理得，，數(shù)列的前項和，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則當(dāng)n=1時取到最小值為，可得，即的最大值為，故選C【典例1-2】（2020·全國·高三專題練習(xí)）已知為遞增的等差數(shù)列，且構(gòu)成等比數(shù)列.若，數(shù)列的前項和恒成立，則的最小值為A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：求出等差數(shù)列的公差和首項，得通項公式，由裂項相消法求得后可求得的最小值.詳解：設(shè)數(shù)列的公差為，由題意，則，（舍去），∴，，∴，易知是遞增數(shù)列，且，∴，即的最小值為.故選D.【變式1-1】（2021秋·山西朔州·高三校考階段練習(xí)）等比數(shù)列的前項和（為常數(shù)），若恒成立，則實數(shù)的最大值是A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，，所以，得，所以，得，所以時，．故選C．點睛：本題考查數(shù)列與對勾函數(shù)的綜合應(yīng)用．首先由題目已知的等比數(shù)列的條件可以求出通項公式和求和公式，得不等式，分離參數(shù)，，由對勾函數(shù)的性質(zhì)，得．【變式1-2】（2023秋·遼寧·高三校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，.設(shè)，若對于任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為【答案】【分析】由，可得，進而得到，結(jié)合，分和分類討論，確定數(shù)列的單調(diào)性，求出最大值，進而得解.【詳解】由數(shù)列滿足、得：是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴，∴，∴，當(dāng)時，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減，則當(dāng)或時，，而任意的，恒成立，則，∴實數(shù)的取值范圍為.故答案為：【變式1-3】（2023秋·甘肅定西·高三甘肅省臨洮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，，，若對于任意的，恒成立，則實數(shù)的最小值為．【答案】【分析】分析可得數(shù)列是等比數(shù)列，求得，由已知可得出，令，分析數(shù)列的單調(diào)性，求出數(shù)列最大項的值，即可得出實數(shù)的最小值.【詳解】由有，且，故數(shù)列為首項為，公比為的等比數(shù)列，可得，不等式可化為，令，當(dāng)時；當(dāng)時，．故有當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，即，此時，數(shù)列單調(diào)遞減，綜上所述，，可得實數(shù)的最小值為．故答案為：.題型11等差等比函數(shù)性質(zhì)：奇偶型討論【解題攻略】奇偶型討論：1.奇偶項正負相間型求和，可以兩項結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”。2.如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇。求奇時候，直接代入偶數(shù)項公式，再加上最后的奇數(shù)項通項?！镜淅?-1】數(shù)列滿足，則的80項和為________.【答案】【詳解】試題分析：因為當(dāng)為奇數(shù)時，所以，因此，此數(shù)列每四項構(gòu)成首項為，公差為的等差數(shù)列，的項和為，故答案為.【典例1-2】數(shù)列{}中，，前和為，則為（

）A．-12 B．16 C．-10 D．12【答案】A【分析】根據(jù)，利用并項求和法求解.【詳解】解：因為，所以，故選：A【變式1-1】已知數(shù)列滿足，令，設(shè)的前項和為，則（

）.A．5049 B．5050 C．5051 D．5052【答案】B【分析】先計算出，得到為等差數(shù)列，按照等差數(shù)列的前項和公式求解即可.【詳解】，，，所以是以3為首項，4為公差的等差數(shù)列，.故選：B.【變式1-2】數(shù)列滿足，則數(shù)列的前48項和為（

）A．1006 B．1176 C．1228 D．2368【答案】B【分析】根據(jù)題意，可知，分別列出各項，再整理得出，，，，，，，可知，相鄰的奇數(shù)項之和為2，相鄰的偶數(shù)項之和為等差數(shù)列，首項為8，公差為16，利用分組求和法，即可求出的前48項和.【詳解】解：由題可知，，即：，則有：，，，，，，，，，，.所以，，，，，，，，可知，相鄰的奇數(shù)項之和為2，相鄰的偶數(shù)項之和為等差數(shù)列，首項為8，公差為16，設(shè)數(shù)列的前48項和為，則，，所以數(shù)列的前48項和為：1176.故選：B..題型12等差等比函數(shù)性質(zhì)：三角函數(shù)型【典例1-1】（2021上·河南商丘·高三睢縣高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的通項公式為，其前項和為，則（

）A． B． C．180 D．240【答案】D【分析】分別取，，和，，可驗證出，利用周期性可驗算得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)，時，，；當(dāng)，時，，；當(dāng)，時，，；當(dāng)，時，，.，.故選：D【典例1-2】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列滿足，.若對恒成立，則正實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，則問題轉(zhuǎn)化為，，且，再分別在，，，進行分類討論即可.【詳解】令，則問題轉(zhuǎn)化為，，且.當(dāng)時，則，不符合題意；當(dāng)時，首先，解得.當(dāng)時，用數(shù)學(xué)歸納法可得，其中滿足，所以.令，，則，令，得，所以存在使得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以先增后減.所以.所以.當(dāng)時，設(shè)滿足，則存在，此時，不符合題意.綜上，正實數(shù)的取值范圍是.故選：B.【變式1-1】（2021上·河南南陽·高三南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列的通項，其前項和為，則S18為（

）A．173 B．174 C．175 D．176【答案】B【分析】化簡可得，討論取不同值時的通項公式，并項求和.【詳解】當(dāng)時，；時，；時，所以故選：B【變式1-2】（2020下·四川成都·高三樹德中學(xué)?？迹┰O(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意n∈N*總有2Sn＝an2+n，且an＜an+1.若對任意n∈N*，θ∈R，不等式λ（n+2）恒成立，求實數(shù)λ的最小值A(chǔ)．1 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】由得數(shù)列的遞推關(guān)系，確定數(shù)列是等差數(shù)列，從而得其通項公式，不等式化為λ，不等式右邊分子平方展開后應(yīng)用基本不等式可求得其最大值，從而得的最小值．【詳解】由2Sn＝an2+n，①可知，當(dāng)n≥2時，2Sn﹣1＝an﹣12+(n﹣1)，②①﹣②，得2an＝an2﹣an﹣12+1，故(an﹣1)2＝an﹣12，于是an﹣1＝an﹣1或an﹣1＝﹣an﹣1，若an﹣1＝﹣an﹣1，則an+an﹣1＝1，不合題意；于是an﹣1＝an﹣1，即an﹣an﹣1＝1，即數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，又a1＝1，∴an＝1+(n﹣1)×1＝n.故an＝n.依題意知?n∈N*，λ都成立，然后通過基本不等式得，2，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取“＝”，所以的最大值為2，所以λ≥2，所以λ的最小值為2，故選：B.【變式1-3】（2022·浙江·浙江省江山中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知依次組成嚴格遞增的等差數(shù)列，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．依次可組成等差數(shù)列 B．依次可組成等差數(shù)列C．依次可組成等差數(shù)列 D．依次可組成等差數(shù)列【答案】B【分析】取，即可判斷A；利用反證法，假設(shè)依次可組成等差數(shù)列，則有，，兩式相加，整理即可判斷B；取，從而可判斷CD.【詳解】解：對于A，當(dāng)時，此時依次組成嚴格遞增的等差數(shù)列，則依次組成等差數(shù)列，故A正確；對于B，假設(shè)依次可組成等差數(shù)列，則有，又因，兩式平方相加得，則，故，所以，所以，與題意矛盾，所以依次不可能組成等差數(shù)列，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，若，則為等差數(shù)列，故C正確；對于D，當(dāng)時，若，則為等差數(shù)列，故D正確.故選：B.題型13等差等比插入數(shù)型【解題攻略】插入數(shù)型1.插入數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，可通過構(gòu)造新數(shù)列來求解個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，公差記為，所以：插入數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，可通過構(gòu)造新數(shù)列來求解個數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，公差記為，所以：插入數(shù)混合型混合型插入數(shù)列，其突破口在于：在插入這些數(shù)中，數(shù)列提供了多少項，其余都是插入進來的。【典例1-1】（2023·江西南昌·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的通項公式為，保持數(shù)列中各項順序不變，對任意的，在數(shù)列的與項之間，都插入個相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前n項的和為，則（

）A．4056 B．4096 C．8152 D．8192【答案】C【分析】插入組共個，可知前面插入12組數(shù)，最后面插入9個，從而可得插入的數(shù)之和為，又數(shù)列的前13項和，可得【詳解】插入組共個，∵，∴前面插入12組數(shù)，最后面插入9個．，∵，∴，又數(shù)列的前13項和為，故選：C．【典例1-2】（2022上·浙江·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）通過以下操作得到一系列數(shù)列：第1次，在2，3之間插入2與3的積6，得到數(shù)列2，6，3；第2次，在2，6，3每兩個相鄰數(shù)之間插入它們的積，得到數(shù)列2，12，6，18，3；類似地，第3次操作后，得到數(shù)列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述這樣操作11次后，得到的數(shù)列記為，則的值是（

）A．6 B．12 C．18 D．108【答案】A【分析】設(shè)數(shù)列經(jīng)過第次拓展后的項數(shù)為，因為數(shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項中增加一項，則經(jīng)過第次拓展后增加的項數(shù)為，從而可得，從而可求出，從而可知經(jīng)過11次拓展后在與6之間增加的數(shù)為，由此可得出經(jīng)過11次拓展后6所在的位置，即可得出答案.【詳解】解：設(shè)數(shù)列經(jīng)過第次拓展后的項數(shù)為，因為數(shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項中增加一項，則經(jīng)過第次拓展后增加的項數(shù)為，所以，即，即，所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，是以，所以，則經(jīng)過11次拓展后在與6之間增加的數(shù)為，所以經(jīng)過11次拓展后6所在的位置為第，所以.故選：A.【變式1-1】（2019下·貴州遵義·高三統(tǒng)考）在1和19之間插入個數(shù)，使這個數(shù)成等差數(shù)列，若這個數(shù)中第一個為，第個為，當(dāng)取最小值時，的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為,可得,再利用基本不等式求最值,從而求出答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為,則,從而,此時,故,所以,即,當(dāng)且僅當(dāng),即時取“=”,又,解得,所以,所以,故選:B.【變式1-2】（2018·全國·高三競賽）已知、是不相等的正數(shù)，在、之間插入兩組數(shù)，，…，，，，…，，使，，，…，，成等差數(shù)列，，，，…，，成等比數(shù)列．則下列不等式（1），（2），（3），（4）中，為真命題的是（

）．A．（1）、（3） B．（1）、（4）C．（2）、（3） D．（2）、（4）【答案】B【詳解】解法1：由等差數(shù)列知，有．可見（1）真，（2）假．又由等比數(shù)列知，有．可見（3）假，（4）真．綜上得（1）、（4）真．解法2：取，，，可驗算（2）、（3）不成立，否定A、C、D，從而B真．【變式1-3】（2021下·高三課時練習(xí)）在數(shù)列、、、、的每相鄰兩項中插入個數(shù)，使它們與原數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，則新數(shù)列的第項（

）A．不是原數(shù)列的項 B．是原數(shù)列的第項C．是原數(shù)列的第項 D．是原數(shù)列的第項【答案】C【分析】設(shè)，分析可知數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，可求得數(shù)列的通項公式，令，解之即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)數(shù)列為，則，，，，設(shè)，則，，，，由題意可知，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，故，令，解得，因此，新數(shù)列的第項為原數(shù)列的第項，故選：C.題型14等差等比分段型數(shù)列【典例1-1】已知數(shù)列，，數(shù)列滿足.若，且對任意，恒成立，則可能為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將對任意，恒成立，轉(zhuǎn)化為，對任意，恒成立，逐項驗證.【詳解】因為對任意，恒成立，所以，對任意，恒成立，A.若，則，成立，故正確；B.若，則，當(dāng)時，不成立，故錯誤；C.若，則，時，不成立，故錯誤；D.若，則，時，不成立，故錯誤；故選：A【典例1-2】數(shù)列滿足，，若為等比數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別討論兩種條件下數(shù)列的通項公式，在根據(jù)確定的數(shù)列通項公式建立不等式求解參數(shù)的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意，時，，即，此時，，，，從而有，此時，與為等比數(shù)列矛盾由，得，所以，當(dāng)時，恒成立，即時，恒成立即對恒成立，所以，設(shè)，則而，當(dāng)時，解得，，所以時有即，當(dāng)時，即所以當(dāng)時所以，選項D正確，選項ABC錯誤故選：D.【變式1-1】數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列中，（m是正整數(shù)），若，則m所有可能的取值集合是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先分析前6項均為偶數(shù)的情況求，排除B、C，再從A中選判斷是否成立，即可確定正確答案.【詳解】由題設(shè)，若前6項均為偶數(shù)，則是公比為，首項為的等比數(shù)列，故，即為一個可能值，排除B、C；A：當(dāng)，則，，，，，，即不可能為3，排除；故選：D.【變式1-2】已知數(shù)列的通項公式為，是數(shù)列的前n項和，若，使，則（

）A．1 B．2 C．1或3 D．2或3【答案】D【分析】由，可得為中的一項，結(jié)合只能為，，之一，分類令等于，，，即可求解.【詳解】由，可得為中的一項，因為，于是，因為的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別遞增，且，，，，所以要使為中的某一項，只能為，，之一，若，則，無解；若，則，可得，所以；若，則，可得，所以，綜上，或.故選：D.【變式1-3】已知數(shù)列滿足，且，則中整數(shù)項的個數(shù)為（

）A．20 B．21 C．22 D．23【答案】C【分析】由題設(shè)得，即是等比數(shù)列，進而寫出通項公式，根據(jù)所得通項公式討論確定中整數(shù)項的個數(shù).【詳解】由題意得：，，∴，若顯然與矛盾，故是公比為的等比數(shù)列，∴，可得，∴，綜上，且.當(dāng)為奇數(shù)且時，為整數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)且時，為整數(shù)，∴中整數(shù)項的個數(shù)為22.故選：C.高考練場1.（2022·全國·高三專題練習(xí)）在各項均為正數(shù)的等差數(shù)列中，為其前項和，，則的最小值為（

）A．9 B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前項和公式求得，然后由“1”的代換應(yīng)用基本不等式求得最小值．【詳解】由題意，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．故選：B．2.設(shè)是等比數(shù)列，則“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴格遞增數(shù)列”（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)嚴格遞增數(shù)列定義可判斷必要性，分類討論可判斷充分性.【詳解】若是嚴格遞增數(shù)列，顯然，所以“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴格遞增數(shù)列”必要條件；對任意的正整數(shù)n都成立，所以中不可能同時含正項和負項，，即，或，即，當(dāng)時，有，即，是嚴格遞增數(shù)列，當(dāng)時，有，即，是嚴格遞增數(shù)列，所以“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴格遞增數(shù)列”充分條件故選：C3.（2018春·江西撫州·高三臨川一中?？迹┰O(shè)等差數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項和記為，則A．， B．，C．， D．，【答案】C【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則是奇函數(shù)，且在上遞增，，，所以，由，得，故選C.4.（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是數(shù)列中的最大值C． D．?dāng)?shù)列無最大值【答案】C【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)分析公比的范圍，由此分析選項可得答案．【詳解】解：等比數(shù)列的公比為，則，由，則有，必有，又由，即，又，則有或，又當(dāng)時，可得，由，則與矛盾所以，則有，由此分析選項：對于A，，故，故A錯誤；對于B，等比數(shù)列中，，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，又因為，所以前項積為中，是數(shù)列中的最大項，故B錯誤；對于C，等比數(shù)列中，則，則，故C正確；對于D，由B的結(jié)論知是數(shù)列中的最大項，故D錯誤.故選：C.5.（2023春·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，則（

）A．120