PAGE22-四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2025屆高三數(shù)學(xué)其次次聯(lián)考試題文（含解析）一、選擇題1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】集合，是數(shù)集，集合是一元二次不等式解的集合，求出解集，與集合的交集運(yùn)算求出公共部分.【詳解】解：集合，集合，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查一元二不等式的解法和集合交集運(yùn)算，交集運(yùn)算口訣：“越交越少，公共部分”.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，再利用復(fù)數(shù)模長公式求出結(jié)果.【詳解】解：，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模長運(yùn)算.復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算關(guān)鍵是分母“實(shí)數(shù)化”，其一般步驟如下：(1)分子、分母同時(shí)乘分母的共軛復(fù)數(shù)；(2)對分子、分母分別進(jìn)行乘法運(yùn)算；(3)整理、化簡成實(shí)部、虛部分開的標(biāo)準(zhǔn)形式．復(fù)數(shù)的模等于復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也等于復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模．3.為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力狀況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、中學(xué)三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力狀況有較大差異，而男女生視力狀況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()A.簡潔隨機(jī)抽樣 B.按性別分層抽樣C.按學(xué)段分層抽樣 D.系統(tǒng)抽樣【答案】C【解析】試題分析：符合分層抽樣法的定義，故選C.考點(diǎn)：分層抽樣．4.已知實(shí)數(shù)，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用不等式性質(zhì)可推斷，利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性推斷.【詳解】解：對于實(shí)數(shù)，，不成立對于不成立．對于．利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增性質(zhì)，即可得出．對于指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減性質(zhì)，因此不成立．故選：．【點(diǎn)睛】利用不等式性質(zhì)比較大?。粢獠坏仁叫再|(zhì)成立的前提條件．解決此類問題除依據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還常常采納特殊值驗(yàn)證的方法．5.已知命題，且是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出命題不等式的解為，是的必要不充分條件，得是的子集，建立不等式求解.【詳解】解：命題，即:，是的必要不充分條件，，，解得．實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍，其思路方法：(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后依據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解．(2)求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，肯定要留意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)．6.若數(shù)列為等差數(shù)列，且滿意，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列性質(zhì)，若，則求出，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得【詳解】解：因?yàn)?，由等差?shù)列性質(zhì)，若，則得，．為數(shù)列的前項(xiàng)和，則．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列前項(xiàng)和.(1)假如為等差數(shù)列，若，則．(2)要留意等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的敏捷應(yīng)用，如.7.已知是空間中兩個(gè)不同的平面，是空間中兩條不同的直線，則下列說法正確的是（）A.若，且，則B.若，且，則C.若，且，則D.若，且，則【答案】D【解析】【分析】利用線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理,對選項(xiàng)做出推斷，舉出反例解除.【詳解】解：對于，當(dāng)，且，則與的位置關(guān)系不定，故錯(cuò)；對于，當(dāng)時(shí)，不能判定，故錯(cuò)；對于，若，且，則與的位置關(guān)系不定，故錯(cuò)；對于，由可得，又，則故正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查空間線面位置關(guān)系.推斷線面位置位置關(guān)系利用好線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理.一般可借助正方體模型，以正方體為主線直觀感知并精確推斷．8.已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長為，那么該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由拋物線的焦點(diǎn)得雙曲線的焦點(diǎn)，求出，由拋物線準(zhǔn)線方程被曲線截得的線段長為，由焦半徑公式，聯(lián)立求解.【詳解】解：由拋物線，可得，則，故其準(zhǔn)線方程為，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，．拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長為，，又，，則雙曲線的離心率為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及利用過雙曲線的焦點(diǎn)的弦長求離心率.弦過焦點(diǎn)時(shí)，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長．9.如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】變形為，由得，轉(zhuǎn)化在中，利用三點(diǎn)共線可得.【詳解】解：依題：，又三點(diǎn)共線，，解得．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查平面對量基本定理及用向量共線定理求參數(shù).思路是(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.(2)直線的向量式參數(shù)方程：三點(diǎn)共線?(為平面內(nèi)任一點(diǎn),)10.已知實(shí)數(shù)滿意，則的最小值為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】所求的分母特征，利用變形構(gòu)造，再等價(jià)變形，利用基本不等式求最值.【詳解】解：因?yàn)闈M意，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的敏捷變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，留意利用系數(shù)的改變以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)留意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提.11.關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過很多很有創(chuàng)意的求法，如聞名的浦豐試驗(yàn)和查理斯試驗(yàn)．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的試驗(yàn)來估計(jì)的值：先請全校名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個(gè)都小于的正實(shí)數(shù)對；再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個(gè)數(shù)；最終再依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)估計(jì)的值，那么可以估計(jì)的值約為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由試驗(yàn)結(jié)果知對0～1之間的勻稱隨機(jī)數(shù)，滿意，面積為1，再計(jì)算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對，滿意條件的面積，由幾何概型概率計(jì)算公式，得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估計(jì)的值．【詳解】解：依據(jù)題意知，名同學(xué)取對都小于的正實(shí)數(shù)對，即，對應(yīng)區(qū)域?yàn)檫呴L為的正方形，其面積為，若兩個(gè)正實(shí)數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊，則有，其面積；則有，解得故選：．【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機(jī)模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問題.線性規(guī)劃可行域是一個(gè)封閉的圖形，可以干脆解出可行域的面積；求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事務(wù)對應(yīng)的面積，必要時(shí)可依據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.12.已知，函數(shù)在區(qū)間上恰有個(gè)極值點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用向量數(shù)量積和三角恒等變換求出，函數(shù)在區(qū)間上恰有個(gè)極值點(diǎn)即為三個(gè)最值點(diǎn)，解出，，再建立不等式求出的范圍，進(jìn)而求得的范圍.【詳解】解：令，解得對稱軸，，又函數(shù)在區(qū)間恰有個(gè)極值點(diǎn)，只需解得．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.(1)利用三角恒等變換及協(xié)助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成或的形式;(2)依據(jù)自變量的范圍確定的范圍，依據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值或參數(shù)范圍.二、填空題13.實(shí)數(shù)滿意，則最大值為_____．【答案】．【解析】【分析】畫出可行域，解出可行域的頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，比較大小得到目標(biāo)函數(shù)最值.【詳解】解：作出可行域，如圖所示，則當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)直線的截距最大，z取最大值．由同理，，取最大值．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問題.線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處取得，所以對于一般的線性規(guī)劃問題，若可行域是一個(gè)封閉的圖形，我們可以干脆解出可行域的頂點(diǎn)，然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值；若可行域不是封閉圖形還是須要借助截距的幾何意義來求最值.14.在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，則其最大內(nèi)角的余弦值為________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以在中最大的?nèi)角為角，則由余弦定理，得，故答案為.15.已知直三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為_____．【答案】【解析】【分析】以為原點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出，利用空間向量夾角公式可得.【詳解】直三棱柱中，以為原點(diǎn)，在平面中，過點(diǎn)作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)異面直線與所成角為，則異面直線與所成角的余弦值為：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量求異面直線所成角空間角.兩條異面直線所成角的求法:(1)選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系;(2)設(shè)兩條異面直線的方向向量為，其夾角為，(3)代入公式求解(其中為異面直線所成的角)．16.已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，則的取值范圍為_____．【答案】【解析】【分析】兩函數(shù)圖象上存在關(guān)于軸對稱點(diǎn)的等價(jià)命題是方程在區(qū)間上有解，化簡方程在區(qū)間上有解，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)性質(zhì)得解.【詳解】解：依據(jù)題意，若函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，則方程在區(qū)間上有解，即方程在區(qū)間上有解，設(shè)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)，又由，可得：當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，增函數(shù)，故函數(shù)有最小值，又由；比較可得：，故函數(shù)有最大值，故函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?；若方程在區(qū)間上有解，必有，則有，即的取值范圍是；故答案為：；【點(diǎn)睛】本題利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在某區(qū)間上最值求參數(shù)的問題,函數(shù)零點(diǎn)問題的拓展.由于函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根，在探討方程的有關(guān)問題時(shí)，可以將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決.此類問題的切入點(diǎn)是借助函數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，采納數(shù)形結(jié)合思想加以解決.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫岀文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.(一)必考題：共60分.17.某企業(yè)為了解該企業(yè)工人組裝某產(chǎn)品所用時(shí)間，對每個(gè)工人組裝一個(gè)該產(chǎn)品的用時(shí)作了記錄，得到大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．從這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取了個(gè)數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖（單位：分鐘）．若用時(shí)不超過（分鐘），則稱這個(gè)工人為優(yōu)秀員工．（1）求這個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)；（2）從樣本數(shù)據(jù)用時(shí)不超過分鐘的工人中隨機(jī)抽取個(gè)，求至少有一個(gè)工人是優(yōu)秀員工的概率．【答案】（1）中位數(shù)為，眾數(shù)為47．（2）【解析】【分析】（1）莖葉圖完全反映全部的原始數(shù)據(jù)，由莖葉圖干脆得中位數(shù)43，眾數(shù)47（2）用列舉法得到用時(shí)不超過分鐘的工人中隨機(jī)抽取個(gè)的基本領(lǐng)件總數(shù)為21種，和所求至少有一個(gè)工人是優(yōu)秀員工的基本領(lǐng)件數(shù)為15種，利用古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】解：由莖葉圖得：中位數(shù)為，眾數(shù)為．設(shè)不超過的工人為，其中為優(yōu)秀員工，從這名工人中隨機(jī)抽取人基本領(lǐng)件有個(gè)，分別為：其中至少有一名工人是優(yōu)秀員工的基本領(lǐng)件有個(gè)，至少有一個(gè)工人是優(yōu)秀員工的概率．【點(diǎn)睛】本題考查利用莖葉圖中位數(shù)和眾數(shù)問題及古典概型的概率.解決古典概型實(shí)際問題的步驟:（1）推斷是否是古典概型，（2）列舉或計(jì)算基本領(lǐng)件總數(shù)和所求基本領(lǐng)件數(shù)（3）用古典概型的概率公式計(jì)算18.如圖，四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，，求三棱錐的體積．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】取的中點(diǎn),證明四邊形為平行四邊形，利用線面平行的判定定理可得.由問平面，利用等積法轉(zhuǎn)換，利用余弦定理求出，用勾股逆定理證明，，證明平面，得高，再計(jì)算從而得【詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，是的中點(diǎn)，，又，且，四邊形為平行四邊形，則，又平面平面，平面；解：，，則，，同理，又，平面，又平面，，又，．．【點(diǎn)睛】本題考查線面平行判定定理及利用等積法求三棱錐的體積.判定線面平行的方法：(1)利用線面平行的判定定理(2)利用面面平行的性質(zhì)定理(3)利用面面平行的性質(zhì)；求空間幾何體體積的思路：若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規(guī)則幾何體，則可干脆利用公式進(jìn)行求解．其中，求三棱錐的體積常用等體積轉(zhuǎn)換法；若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解.19.已知數(shù)列滿意對隨意都有，其前項(xiàng)和為，且是與的等比中項(xiàng)，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿意，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求大于的最小的正整數(shù)的值．【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）利用推斷是等差數(shù)列，利用求出，利用等比中項(xiàng)建立方程，求出公差可得.（2）利用的通項(xiàng)公式,求出，用錯(cuò)位相減法求出，最終建立不等式求出最小的正整數(shù).【詳解】解：隨意都有，數(shù)列是等差數(shù)列，，又是與的等比中項(xiàng)，，設(shè)數(shù)列的公差為，且，則，解得，，；由題意可知，①，②，①﹣②得：，，，由得，，，，滿意條件的最小的正整數(shù)的值為．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式及錯(cuò)位相減法求和.(1)解決等差數(shù)列通項(xiàng)的思路(1)在等差數(shù)列中，是最基本的兩個(gè)量，一般可設(shè)出和，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列方程(組)求解即可.(2)錯(cuò)位相減法求和的方法：假如數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可采納錯(cuò)位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解;在寫“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特殊留意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”以便下一步精確寫出“”的表達(dá)式20.已知點(diǎn)，且，滿意條件的點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）是否存在過點(diǎn)的直線，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，直線與軸分別交于兩點(diǎn)，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，或．【解析】【分析】（1）由得看成到兩定點(diǎn)的和為定值，滿意橢圓定義，用定義可解曲線的方程.（2）先探討斜率不存在狀況是否符合題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線點(diǎn)斜式方程，由，可得，再直線與橢圓聯(lián)解，利用根的判別式得到關(guān)于的一元二次方程求解.【詳解】解：設(shè)，由，，可得，即為，由，可得的軌跡是以為焦點(diǎn)，且的橢圓，由，可得，可得曲線的方程為；假設(shè)存在過點(diǎn)的直線l符合題意．當(dāng)直線的斜率不存在，設(shè)方程為，可得為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，不成立；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，由，可得，即，可得，化為，由可得，由在橢圓內(nèi)，可得直線與橢圓相交，，則化為，即為，解得，所以存在直線符合題意，且方程為或．【點(diǎn)睛】本題考查求軌跡方程及直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題.（1）定義法求軌跡方程的思路:應(yīng)用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵在于由已知條件推出關(guān)于動點(diǎn)的等量關(guān)系式，由等量關(guān)系結(jié)合曲線定義推斷是何種曲線，再設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求解；（2）解決是否存在直線的問題時(shí)，可依據(jù)條件找尋適合條件的直線方程，聯(lián)立方程消元得出一元二次方程，利用判別式得出是否有解.21.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對隨意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）函數(shù)求導(dǎo)，探討參數(shù)范圍，解求單增區(qū)間，解求單減區(qū)間；（2）不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，，對隨意等價(jià)于，探討單調(diào)性求解.【詳解】解：的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故函數(shù)在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增；令，則，對隨意等價(jià)于，，當(dāng)時(shí)，，則存在，使使，，在上是減函數(shù)，時(shí)，，與條件不符，當(dāng)時(shí)，由，可知，故，在上是增函數(shù)，時(shí)，，即；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.導(dǎo)數(shù)法探討函數(shù)在內(nèi)單調(diào)性的步驟:(1)求；(2)確定在內(nèi)的符號；(3)作出結(jié)論：時(shí)為增函數(shù)；時(shí)為減函數(shù)．探討含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，需留意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進(jìn)行分類探討．不等式恒成立問題的求解方法：(1)已知不等式(為實(shí)參數(shù))對隨意的恒成立，求參數(shù)的取值范圍．利用導(dǎo)數(shù)解決此類問題可以運(yùn)用分別參數(shù)法，(2)假如無法分別參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進(jìn)行分類探討求解.(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.假如多做,則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，取相同長度單位建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的一般方程；（2）設(shè)射