·現(xiàn)代控制理論(ModernControlTheory)·控制理論發(fā)展趨勢(TrendofDevelopmentofControlTheory)·經(jīng)典控制理論在20世紀30-40年代，初步形成。在20世紀40年代形成體系?，F(xiàn)代控制理論的形成和發(fā)展Formationand在20世紀50年代形成上世紀60年代末至80年代迅速發(fā)展。1970——1980大系統(tǒng)理論控制管理綜合1980——1990智能控制理論智能自動化1990——21c集成控制理論網(wǎng)絡(luò)控制自動化企業(yè)：資源共享、因特網(wǎng)、信息集成、信息技術(shù)+控制技術(shù)(集成控制技術(shù))計算機集成制造CIMS:(工廠自動化)現(xiàn)代控制理論研究的對象非線性系統(tǒng)(Nonlinearsystems)多變量系統(tǒng)(Multivariablesystems)連續(xù)與離散系統(tǒng)(Continuous/discretetimesy線性系統(tǒng)理論(TheoryofLinearSystems)非線性系統(tǒng)理論(TheoryofNonlinearSystems)最優(yōu)控制(OptimalControl)系統(tǒng)辨識(SystemIdentification)自適應(yīng)控制(AdaptiveControl)現(xiàn)代控制理論研究的方法研究系統(tǒng)輸入/輸出特性和內(nèi)部性能(Input/outputpropertiesofsystem5現(xiàn)代控制理論與經(jīng)典控制理論的對比共同分析：研究系統(tǒng)的原理和性能設(shè)計：改變系統(tǒng)的可靠性(綜合性能)研究對象：單入單出(SIS0)系統(tǒng)，線性定常工具：傳遞函數(shù)(結(jié)構(gòu)圖),已有初始條件為零時才適用試探法解決問題：PID串聯(lián)、超前、滯后、反饋研究對象：多入多出(MIMO)系統(tǒng)、線性定常、非線性、時變工具：狀態(tài)空間法、研究系統(tǒng)內(nèi)部、輸入一狀態(tài)(內(nèi)部)一輸出改善系統(tǒng)的方法：狀態(tài)反饋、輸出反饋第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式本章內(nèi)容·狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式·狀態(tài)空間表達式的模擬結(jié)構(gòu)圖·狀態(tài)空間表達式的建立(1)狀態(tài)矢量的線性變換狀態(tài)矢量的線性變換時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式系統(tǒng)的動態(tài)特性由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來描述，能同時給出系統(tǒng)全部獨立變量的響應(yīng)，因而能同時確定系統(tǒng)的全部內(nèi)部運動狀態(tài)。y?y?u?—u1.1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式狀態(tài)變量(Statevariables)狀態(tài)：表征系統(tǒng)運動的信息和行為狀態(tài)變量：能完全表示系統(tǒng)運動狀態(tài)的最小個數(shù)的一組變量x?(),x?(1),…,xn(0)x(0)2=[x(1),x?(1),x,(1)·狀態(tài)軌跡：在特定時刻t,狀態(tài)向量可用狀態(tài)空間的一個點來表示，隨著時間的推移，x(t)將在狀態(tài)空間描繪出一條軌跡線?！び上到y(tǒng)的狀態(tài)變量與輸入變量之間的關(guān)系構(gòu)成的一階微分方程組。例1.1設(shè)有一質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)。試確定其狀態(tài)變量和狀態(tài)方程。解：系統(tǒng)動態(tài)方程狀態(tài)方程的標準形式：x(t)=Ax(t)+Bu(t)(A:系統(tǒng)矩陣B:輸入矩陣)輸出方程(Outputequation)系統(tǒng)的輸出量與狀態(tài)變量之間的關(guān)系狀態(tài)方程和輸出方程的總和即稱為狀態(tài)空間表達式。它構(gòu)成對一個系統(tǒng)動態(tài)行為的完整描述。x(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)y(t)一輸出向量u(t)一輸入向量狀態(tài)方程和輸出方程的總和即稱為狀態(tài)空間表達式。它構(gòu)成對一個系統(tǒng)動態(tài)行為的完整描述。狀態(tài)空間表達式的系統(tǒng)框圖x(t)=Ax(t)+Bu(t)cTAMByx(t)=Ax(t)+Bu(t)DDCAB1.2狀態(tài)空間表達式的模擬結(jié)構(gòu)圖用來反映系統(tǒng)各狀態(tài)變量之間的信息傳遞關(guān)系，對建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式很有幫助。用模擬結(jié)構(gòu)圖代替模擬計算機的詳細模擬圖。根據(jù)所給的輸出方程，畫出相應(yīng)的加法器、比例器和狀態(tài)變量；積分器的數(shù)目應(yīng)等于狀態(tài)變量個數(shù)，將他們畫在適當?shù)奈恢茫總€積分器的輸出表示相應(yīng)的某個狀態(tài)變量；根據(jù)所給的狀態(tài)方程，畫出相應(yīng)的加法器和比例器，最后用箭頭將這些元件連接起來。微分方程模擬結(jié)構(gòu)圖Ub十x十Ja微分方程x+a?x+a?x+a?x=bux=-a?x-a?x-a?x-bu模擬結(jié)構(gòu)圖義義SbJJxxu1.3狀態(tài)空間表達式的建立(1)用狀態(tài)空間分析系統(tǒng)時，首先要建立給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。建立表達式三個途徑：由系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖來建立；從系統(tǒng)的物理或化學的機理出發(fā)進行推導；由描述系統(tǒng)運動過程的高階微分方程或傳遞函數(shù)予以演化而得。從系統(tǒng)框圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達式●將系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖的各個環(huán)節(jié)變換成相應(yīng)的模擬圖；●把每個積分器的輸出選作為一個狀態(tài)變量x,,其輸入便是相應(yīng)的x,;例1-4系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖如圖所示，輸入為u,輸出為y。試求其狀態(tài)空間表達式。22十K4y從圖可知狀態(tài)方程輸出方程寫成向量矩陣形式，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為各環(huán)節(jié)的模擬結(jié)構(gòu)圖如圖所示S上JT1TS十+u從系統(tǒng)的機理法出發(fā)建立狀態(tài)空間表達式對不同控制系統(tǒng)，根據(jù)其機理，即相應(yīng)的物理或化學定律，可建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式，步驟如下：1)確定系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)變量；2)列出方程；3)消去中間變量；4)整理成標準的狀態(tài)和輸出方程。解：根據(jù)基爾霍夫定律寫出回路、節(jié)點電壓和電流方程狀態(tài)變量選為將狀態(tài)變量代入，并整理寫成矩陣形式y(tǒng)=[0R?0]x+[01]ux=Ax+Bu1.4.1n階常系數(shù)微分方程(單入單出)相應(yīng)的傳遞函數(shù)為問題：將上式轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間表達式1.4.2傳遞函數(shù)中沒有零點的實現(xiàn)n階常系數(shù)微分方程(單入單出)y(m)+a-1·y"-1)+..+a?·y+a?u一輸入y一輸出相應(yīng)的傳遞函數(shù)為建立x方程ym)=-a?y-a?y-.…-an-1y?-1x=Ax+BuB具有這種形式，則稱為能控標準型。系統(tǒng)輸出方程結(jié)構(gòu)圖+十+十Xn能控標準型，能控性：是控制作用u(t)支配系統(tǒng)x(t)的能力狀態(tài)方程和輸出方程(模擬結(jié)構(gòu)圖)十十6S6狀態(tài)變量的選擇不唯一，選擇的不同狀態(tài)空間表達式也不同。例：求系統(tǒng)y+6y+1ly+16y=6u的狀態(tài)空間表達式。x?=y+6y+1ly=6u-16y=6模擬結(jié)構(gòu)圖uux?X?y一般輸入量中導數(shù)項的次數(shù)小于或等于系統(tǒng)的次數(shù)n。為了避免在狀態(tài)方程中出現(xiàn)u的導數(shù)x?=y-β?u→y=x?+β?ux?=y-β?u-βu→y=x?+β?u+βux?=y-βoü-βu-β?u業(yè)y=x?+βoü+β?u+β?uxn=y(n-1)-βu(2-1)-β?u(n-2)_…-βn-1u業(yè)y(m)=-an-1x,-an-2xn-1-…-a?x?-a?(β?u+β?u)-a?β?u+b,u(”+b?_1u(0-β?=bβ?=b?-1-an-1β?β?=bn-2-an-2β?-an-1β?βn-1=b?-an-1βn-2-an-2βn-3-…-a?β?βn=b?-a-1βn-1-an-2βn-2-…-a?β?-a?β?最后可得系統(tǒng)的狀態(tài)方程：可寫成矩陣的形式：x=Ax+Buy=Cx+Du解：由于n=3,b?=0,b?=1,b=1,b?=3a?=1,a?β?=b?-a?β?=1β?=b?-a?β?-a?β?=-3β?=b?-a?β?-a?β?-a?β?=13狀態(tài)空間表達式為1.5狀態(tài)矢量的線性變換1.5.1系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的非唯一性T為線性變換(矩陣T非奇異),帶入上式，得：z=T-1ATz+T-1Bu=Az+Buy=CTz+Du=Cz+Du則有A=T-1ATB=T-1BC=CTD=D(顯然，由于T為任意非奇異矩陣，所以，狀態(tài)空間表達式為非唯一。T稱為變換矩陣)例設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為z=T-'ATz+T-1Bux=Ax+Buy=Cx+Du的特征值就是系統(tǒng)矩陣A的特征值，即特征方程：z=T-1ATz+T-1Buy=CTz+Du|AI-T-1Ar|=|aT-T-T-1Ar=T-1λT-T-1AT1.5.3狀態(tài)變量表達式變化為約旦標準型問題：將系統(tǒng)x=Ax+Buy=Cx+Du轉(zhuǎn)換成y=CTx+DTu根據(jù)系統(tǒng)矩陣A,求其特征值，可以直接寫出系統(tǒng)的約旦標準矩陣J。當特征值無重根時，有當特征值有q(1<q<n)個λ重根時，有幾種求T得方法：1)A矩陣為任意形式(1)A矩陣的特征根無重根時對線性定常系統(tǒng)，若系統(tǒng)的特征值兩兩互異，則必存在非奇異變換，將狀態(tài)方程化為對角線標準型。實際上，AT=[APAP?…AP]=[z?PA?P?…λ,P]例：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為解：由上例中已求出(2)A矩陣的特征根有重根時如果系統(tǒng)矩陣A有重根，且A的線性獨立的特征向量數(shù)等于系統(tǒng)的階數(shù)n,則可將其化為對當A有重根時，經(jīng)線性變換一般可將A化為約當標準型J,矩陣J是主對角線上均為約當塊T-1AT=J=diag(J?,J?,…,J將A標準定T-1AT=J→AT=TJ=AP=PJ?→AP,=P,J令A(yù)P,=P,J;?例設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為第3個方程不獨立，令P=1,得又由(第3個方程不獨立)第3個方程不獨立，令Pi=1,得2)A矩陣為標準型A的特征值兩兩相異，則化A為對角線標準型的變換陣T為范德蒙德(Vandermonde)矩陣，即P?=[pn…pm]將其寫為：λ?Pi?-Pi?=0λ?P;,n-1-Pm=0a,P?+an-1Pi?+…+a?P,m-1+(令λ?Pi?-Pi?=0λ?P;n-1-Pm=0a,Pi+an-1Pi?+…+a?Pi,n-1+((2)A特征值又重根時(3)有共軛復(fù)根時3)系統(tǒng)的并聯(lián)型實現(xiàn)已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：將上式展開成部分分式。由于系統(tǒng)的特征根有兩種情況：一是所有根均為互異，另一種是有重根。(1)具有互異根的情況系統(tǒng)特征根為互異，將系統(tǒng)傳遞函數(shù)寫成將其展開成部分分式：c,(i=1,2,…,n)由待定系數(shù)法確定。取每個積分器的輸出作為一個狀態(tài)變量，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式分別為：或者以上兩式為互為對偶。系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖也互為對偶，分別繪制如下。(2)有重根的情況系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：1.6由狀態(tài)空間表達式求傳遞函數(shù)1.6.1傳遞函數(shù)(陣)一般情況D=0,假設(shè)相應(yīng)變量的初始條件為0。X(s)=[sI-A]-1BU(s)則輸入U(s)-輸出Y(s)之間的傳遞函數(shù)關(guān)系為W(s)為m×r維傳遞函數(shù)矩陣，即意義：建立現(xiàn)代與經(jīng)典的關(guān)系，從狀態(tài)方程的ABCD可求出傳遞陣(函數(shù))。傳遞函數(shù)的不變性：對于同一個系統(tǒng)，盡管其狀態(tài)空間表達式可以作各種非奇異變換而不是唯一的，但它的傳遞函數(shù)矩陣是不變的。令x=Tz或z=T-1x(T為非奇異矩陣),則原狀態(tài)空間表達式轉(zhuǎn)換成y=CTz+Du則，對應(yīng)的傳遞函數(shù)矩陣為即同一系統(tǒng)其傳遞函數(shù)矩陣是唯一的。例：(多輸入-多輸出)已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為其中求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。例：(單輸入-單輸出)已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式同上其中求傳遞函數(shù)矩陣。1.6.2子系統(tǒng)在各種連接時的傳遞函數(shù)和并聯(lián)連接=[C?sI-A]-1B?+D]±[C?(sI-A?)串聯(lián)連接y?=yy?=yU且有1.7離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式線性離散系統(tǒng)狀態(tài)空間描述，形式上類似于連續(xù)系統(tǒng)，一般形式為1.7.1差分方程化為狀態(tài)空間表達式根據(jù)輸入函數(shù)，分兩種情況y(k+n)+a?y(k+n-1)+…+an-1y(k+1)+a,y(k)=或y(k+n)+a?y(k+n-1)+…+an-1y(k+1)+a=b?u(k+n)+b?u(k+n-1)+…+b?_1u(k+1)例已知離散系統(tǒng)差分方程為y(k+3)+2y(k+2)+3y(k+1)+y(k)=u(k+1)+i.e.n=3;a?=2,a?=3,a?=1;b?=b?1.7.2脈沖傳遞函數(shù)化為狀態(tài)空間表達式1.脈沖傳遞函數(shù)僅含單極點情形令→Y(z)=c?X?(z)+c?X?(z)+…+y(k)=c?x?(k)+C?x?(k)+…+c,x(k)+du(k)y(k)=[c?c?…c,]x(k)+du(k)2.脈沖傳遞函數(shù)含重極點情形設(shè)而Y(z)=[c?X?(z)+…+cmXm(z)]+[cm+1Xm+;(z)+…+c,X,(z例已知系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間分析法本章內(nèi)容■線性定常齊次狀態(tài)方程的解■矩陣指數(shù)函數(shù)-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣■線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解■線性時變系統(tǒng)的解■離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解■連續(xù)時間狀態(tài)表達式的離散化1、對(1)線性定常系統(tǒng)、時變系統(tǒng)、離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解；(2)連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程離散化。2.1線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解(自由解)t=0時，初始狀態(tài)為x(0)=x?x(t)=eAx?1.矩陣指數(shù)法：(關(guān)鍵求eA)x(t)=b?+b?t+b?t2+…+bt*+…,因為記eA稱矩陣指數(shù)函數(shù)。x(0)=e-Aox(t?)例：已知例.用狀態(tài)變量法求解方程y+y=0,y(1)|_o=y(0),j(t),_0=解：選狀態(tài)變量為x?=y,x?=j由前例知得原方程的解為y(t)=x?(t)=y(0)cost+y(0)2拉氏變換法求解。解：eA的性質(zhì)1收斂：對所有有限時間絕對收斂。2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣陣。證明：2.2.3幾個特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)1A為對角陣2當A可以轉(zhuǎn)化成對角陣時，即T-1AT=A則3約旦標準型則則1.根據(jù)定義直接計算例：已知sX(s)-x(0)=AX(s)→X(s)例：(同上例)3.化矩陣A為標準型法矩陣A特征值互異情形例：(同上例)矩陣A的特征方程為矩陣A有重特征值情形：設(shè)det(AI-A)=(λ-A)"(λ-λ求eA。解：由det(QI-A)=(λ-1)2(λ-2)=0,得λ?=A?=1,A?=2令若A有m重特征值，不妨設(shè)det(AI-A)=(λ-λ)"(λ-在將其余n-m個單特征值考慮在內(nèi)，即由上述n個方程，可確定n個待定系數(shù)。det(AI-A)=(λ-3)2(λ-1)=0,→由此，有狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2.3線性定常非齊次狀態(tài)方程的解x(t)=Ax(t)+Bu(t),x(t?)=x?或例已知系統(tǒng)狀態(tài)方程y(t)=Cx(t)=CΦ(t)x(0)+C這是系統(tǒng)傳函矩陣的拉普拉斯反變換，即y(t)=Cx(t)=CΦ(t)x(0)+CA-'[Φ(t=Φ(t)x(0)+[A2φ(t)-A-2y(t)=Cx(t)=CΦ(t)x(0)+C[A-2Φ(t)-A22.4線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解由于A(t?)A(t?)=A(t?)A(t?例求解系統(tǒng)狀態(tài)方程解：由于滿足條件故依此類推，可以得到第n+1次近似解為可以驗證上式為時變系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解。實際上例系統(tǒng)狀態(tài)方程為即不滿足可交換條件。時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可按Peano-Baker級數(shù)求解。可按照一定的精度要求，采用數(shù)值計算的方法近似求得。1)滿足如下矩陣微分方程線性時變非齊次狀態(tài)方程為當t=to時，有將狀態(tài)方程的解代入輸出方程，可得線性時例系統(tǒng)狀態(tài)方程為若to=0,x(to)=0,u=1(t),則因為不滿足可交換條件，時變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可按Peano-Bak由線性時變系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解為2.5離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為通?？捎玫ê蚙變換法求系統(tǒng)的解，本節(jié)主要內(nèi)容：2.5.2Z變換法2.5.3離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣設(shè)離散線性系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x(0),輸入向量為u(k),經(jīng)遞推迭代，可得x(k+1)=G(k)x(k)+H(kk=0:x(1)=G(0)x(0)+H(0)k=1:x(2)=G(1)x(1)+H(1)k=2:x(3)=G(2)x(2)+H(2)u(2)對定常系統(tǒng)k=1:x(2)=Gx(1)+Hu(1)=G2x(0)+GHu(0)+仿連續(xù)系統(tǒng)，定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣性質(zhì)或當初始時刻為h時，離散定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為y(k)=Cx(k)+Du(k)2.5.2Z變換法x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)→X(z)=(zI-G)-1zX(0)+(z→x(k)=z1(zI-G)-1z]x(0)+z-(z2.5.3離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣1.直接法例系統(tǒng)狀態(tài)方程 ""2.Z變換法D(k)=z-1(zI-G)-1z]3.化G為標準型法p-GP=A由G為友矩陣，變換矩陣P為p-GP=J4.有限項法應(yīng)用Hamilton-Caley定理，有例系統(tǒng)狀態(tài)方程得2.6線性連續(xù)時間系統(tǒng)的離散化(1)等周期T采樣；(3)采樣T滿足香農(nóng)定理。2.6.1線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程離散化x=Ax+Bu令t=(k+1)T,t0=kT,u(t)=u(kT),則令G(T):=eAT,輸出方程：y(kT)=Cx(kT)+Du(kT)綜上所述，線性定常系統(tǒng)例線性定常系統(tǒng)為令t=kT,to=hT,有令t=(k+1)T,t0=hT,則有y(kT)=C(kT)x(kT)+D(kT)u(kT)當采樣周期較小時(被控對象最小時間常數(shù)的1/10),可采用近似離散化方法?！鷛(kT+T)-x(kT)=T[A(kT)x(kT)例線性時變系統(tǒng)為例系統(tǒng)如下圖所示，求離散化系統(tǒng)。5151若取T=0.1sec,則有若取T=0.1sec,則有2齊次狀態(tài)方程解的狀態(tài)轉(zhuǎn)移形式；3狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：4時變系統(tǒng)解的狀態(tài)轉(zhuǎn)移形式6連續(xù)系統(tǒng)離散化第三章線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀測性3.1線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性(一)定義：對于系統(tǒng)(二)性質(zhì)(三)能控性判據(jù)(一)定義：對系統(tǒng)2、系統(tǒng)完全能控→肯定狀態(tài)能控[rankM=ranlB,AB…A”-x,x?都與u有關(guān)，所以狀態(tài)完全能控，即能控例3.2有系統(tǒng)如下，判斷其是否能控故它是一個三角形矩陣，斜對角線元素均為1,不論a?、a?取何值，其秩為3,系統(tǒng)總是能控[定理3.3]若線性定常系統(tǒng)的系數(shù)矩陣A有互不相同的特征值，則系統(tǒng)能入矩陣B沒有任何一行的元素全部為零。例3.4判斷下列系統(tǒng)的能控性所以A為約旦陣，但有兩個相同特征值的約旦塊對應(yīng)b雖為最后一行全為0的元素行，仍不能控，可算出rank[M]<3.3.2線性定常離散系統(tǒng)的能控性對于線性定常離散系統(tǒng)x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)如果存在控制信號序列u(k)、u(k+1)...u(n-1),使得系統(tǒng)從第k步狀態(tài)x(k)開始，能在第n步上達到零狀態(tài)(平衡狀態(tài)),即x(n)=0,其中n為大于k的某一個有限正整數(shù)，稱系統(tǒng)在第如果對于任一個k,第k步上的狀態(tài)x(k)都是能控狀態(tài)，則系統(tǒng)都完全能控，稱系統(tǒng)完全能3.2.2判別準則[定理3.5]線性定常離散系統(tǒng)∑(G,H)狀態(tài)能控的充要條件是能控性矩陣M=[H,GH…G-H是滿秩的(秩為n)其中[u(0)...u(n-1)]T為n個未知，方程有解的充要條件是系數(shù)陣滿秩，即rankM=ranAG”-1H,G”-2H…例3.5已知,秩=3=n說明：也可把矩陣G化為對角形或約旦標準型后，按定理3.3、3.4判別系統(tǒng)是否能控。3.3線性定常系統(tǒng)的能觀測性x=Ax+Bu,y=Cx[定理3.7]線性定常系統(tǒng)y(t)=cφ(t-t?)x(t?)=cφ(t)x(0)=c例若系統(tǒng)為由[定理3.8]若矩陣A有互不相同的特征值，則系統(tǒng)能觀測的充要條件是輸出矩陣C沒有任何一列的元素全部為0。[定理3.6]若矩陣A為約旦型，則系統(tǒng)能觀測的充要條件是(1)輸出矩陣C中對應(yīng)于互異特征值的各列，沒有一列的元素全為0。(2)C中與每個約旦塊的第一列相對應(yīng)的各列，沒有一列的元素全為0。例3.10下列的一些系統(tǒng)是完全能觀測的i步的x(i),稱x(i)是能觀的。如果每個x(i)都能觀，稱狀態(tài)完(二)判別準則[證明]假設(shè)觀測從第0步開始，令u(k)=0,則從測量的y(0),y(1)…y(n-1)要唯一地確定出x(O){x?(0)x?(0)…x,(0)}的充要條件是：3.4能控性與能觀性的對偶原理3.4.1線性系統(tǒng)的對偶關(guān)系則稱系統(tǒng)Σ1和系統(tǒng)22互為對偶的。兩個互為對偶系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：3.4.2對偶系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣系=Φ(t,t?)φ-1(t,to)+Φ(t,t?)=A(t)Φ(t,t)φ-(t,to)+Φ(t,t?)→φ-1(t,to)=Φ(to,t)=-φ-(t,t?)A→Φ(to,t)=-A"(t)φ(to,t)Φ?(t,t?)=-A"(1)Φ(t,to)Φ”(to,t)=-A(t)ΦT(t?,t)3.4.3能控性和能觀測性的對偶關(guān)系定理原系統(tǒng)完全能控?對偶系統(tǒng)完全能觀測；原系統(tǒng)完全能觀測一對偶系統(tǒng)完全能控。證明：原系統(tǒng)完全能控一存在t?>to,使比較對偶系統(tǒng)能觀測Gram矩陣原系統(tǒng)完全能控→對偶系統(tǒng)完全能觀測。同樣，原系統(tǒng)完全能觀測→存在t1>t0,使而3.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解x=Ax+Bu由前述定理可知：(1)能控能觀x?(2)能控不能觀x?(4)不能控不能觀×?ux2yx44x=Ax+BuT=Rc,使得;變換矩陣T的求法：(2)以(1)求得的列向量，作為T的前r個列向量，其余列向量可以在保持T為非奇(1)系統(tǒng)按能控性分解后，其能控性不變。(2)系統(tǒng)按能控性分解后，其傳遞函數(shù)陣不變。3.5.3系統(tǒng)按能觀測性分解則存在非奇異矩陣T,使得：變換矩陣R?的求法：(1)從矩陣中1個線性無關(guān)向量例3.16設(shè)線性定常系統(tǒng)如下，判別其能觀性，若不是完全能觀的，將該系統(tǒng)按能觀性進行為構(gòu)造非奇異變換陣R-1,取得其中R,是在保證R-1非奇異的條件下任意選取的。于是系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式變換為3.6狀態(tài)空間表達式的能控標準型和能觀標準型將狀態(tài)空間表達式化為能控標準型和能觀標準型的理論依據(jù)是狀態(tài)非奇異變換不改變其能設(shè)線性定常單輸入系統(tǒng)是可控的，則存在線性非奇異變換稱如上式的狀態(tài)空間表達式為能控標準I型。其中a,(i=0,1,,n-1)為特征多項式：|I-A|=z"+a?_,2-1++aλ+a?的各項系數(shù)。采用能控標準I型的,求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)非常方便。從上式可以看出，傳遞函數(shù)分母多項式的各項系數(shù)是A的最后一行的元素的負值；分子多項式的各項系數(shù)是C陣的元素。同樣可以根據(jù)傳遞函數(shù)的分母多項式和分子多項式的系數(shù)，可以直接寫出系統(tǒng)的能控標準I型。(2)能控標準Ⅱ型設(shè)線性定常單輸入系統(tǒng)另一個能控標準型為取3.6.2單輸出系統(tǒng)的能觀標準型(1)能觀標準I型的各項系數(shù)。(2)能觀標準Ⅱ型設(shè)線性定常單輸入系統(tǒng)是可控的，則存在線性非奇異變換X=To?X稱如上式的狀態(tài)空間表達式為能觀標準Ⅱ型。的各項系數(shù)。由上可知，能觀標準I和能控標準Ⅱ互為對偶；能觀標準Ⅱ和能控標準I互為對偶。3.7系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣的實現(xiàn)3.7.1概念：根據(jù)給定的傳遞函數(shù)陣G(s),求其相應(yīng)的狀態(tài)空間表達式使其滿足3.7.2實現(xiàn)的目的是為了仿真(做模仿)通過模擬結(jié)構(gòu)圖，用積分器、加法器等(集成電路塊)連接試驗，物理可實現(xiàn)條件為2、G(s)中每一個元素均為s的真有理分式函數(shù)狀態(tài)變量的選擇有無窮多組，實現(xiàn)的方法有無窮多。單變量系統(tǒng)可以根據(jù)G(s)直接寫出其式中β-,Pn-2,,β,βo為m×r維常數(shù)陣；分母多項式為該傳遞函數(shù)的特征多項式。C.=[βoββ-1]式中，0.和Im為m×m階零矩陣；m為輸入矢量的維數(shù)。(1)定義：若G(s)的一個實現(xiàn)為如果G(s)不存在其他實現(xiàn)(2)定理：G(s)的一個實現(xiàn)(3)確定最小實現(xiàn)的步驟性(或能觀性),若為能控又能觀則(A,B,C)便是最小實現(xiàn)。3.8能控性和能觀性與傳遞函數(shù)陣的關(guān)系存在密切關(guān)系的，這里揭示出能控性、能觀測性與傳遞可用來判斷多輸入-多輸出系統(tǒng)的能控性、能觀測性。這是又一種測性的判據(jù)，是在s域內(nèi)的判據(jù)。定理3.12:對于單輸入單輸出系統(tǒng)),如果其傳遞函數(shù)G(s)存在零極點對消，則由證明：對于x=Ax+bu?有互不相同的λ2、有零極點對消，就會存在a,=0推論：G(s)所表示的僅僅是該系統(tǒng)既能觀又能控的那一部分子系統(tǒng)，所以G(s)是系統(tǒng)的一種不完整描述G(s)若有零極點對消，定理3.13:對于多變量系統(tǒng)，系統(tǒng)能控又能觀的充分條件是其傳遞函數(shù)陣G(s)中無零極點例3-12已知下列動態(tài)方程，試研究能控性、能觀測性與傳遞函數(shù)的關(guān)系：解三個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：存在零極點的對消對象。,rank[M]=2;,rank[N]=1[Ab]對為能控標準形，故能控，則不可觀測；式中月寫出分塊矩陣形式：式中2.求串聯(lián)系統(tǒng)的可控性、可觀測性：故不能控；故能觀測。原來是能控能觀測的系統(tǒng)，如圖2-2串聯(lián)連接后變成不能控、能觀測的了。若改變圖2-2串聯(lián)連接的順序，則串聯(lián)系統(tǒng)將變成能控、不能觀測的。串聯(lián)連接系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s):顯見存在零極點對消，使特征方程階次降低，故不能控。一、多輸入-多輸出系統(tǒng)多輸入-多輸出系統(tǒng)傳遞矩陣存在零極點對消時，系統(tǒng)并非一定是不能控或不能觀測的，多輸入-多輸出系統(tǒng)傳遞矩陣存在零極點對消時，系統(tǒng)并非一定是不能控或不能觀測的，是線性無關(guān)的。有如下判據(jù)：證明研究能觀測性時，可不失一般性地假定系統(tǒng)動態(tài)方程為：運用以上判據(jù)判斷多輸入-多輸出系統(tǒng)的能控性、能觀測性時，只需檢查行或列的線性以上判據(jù)也可適用于單輸入-單輸出系統(tǒng)，不過，線性無關(guān)時必不存在零極點對消例2-16試判斷下列比輸入-雙輸出系統(tǒng)的能控性、能觀測性：x=Ax+Bu;y=Cx,式中解計算能控性陣、能觀測性陣的秩：,故能控。計算傳遞矩陣(將公因子析出矩陣以外以便判斷):故②程②,可判斷①式中三行線性無關(guān)，故系統(tǒng)能控，與零極點存在對消現(xiàn)象無關(guān)。由于③例3-17試判斷下列單輸入-單輸出系統(tǒng)的能控性、能觀測性：x=Ax+bu;y=cX,式中解計算能控性陣、能觀測性陣的秩：,故不可觀測。成立，三行線性相關(guān)，故系統(tǒng)不能控。由傳遞函數(shù)存在零極點對消，也可得出不能控、不能觀測的相同結(jié)論。本章小結(jié)y=x?+x?,x?或x?定理：若線性定常系統(tǒng)的系數(shù)矩陣A有互不相同的特征值，則系統(tǒng)能控的充要條件是輸入定理：若A為約旦型，則系統(tǒng)能控的充要條件是定理：若矩陣A有互不相同的特征值，則系統(tǒng)能觀測的充要條件是輸出矩陣C沒有任何一列的元素全部為0。定理：若矩陣A為約旦型，則系統(tǒng)能觀測的充要條件是(1)輸出矩陣C中對應(yīng)于互異特征值的各列，沒有一列的元素全為0。 (2)C中與每個約旦塊的第一列相對應(yīng)的各列，沒有一列的元素全為0。矩陣B?(t)=B(t)B(t)=-A(t)B_(t)+B_,(t),i=矩陣令能控性與能觀性的對偶原理線性系統(tǒng)的對偶關(guān)系若系統(tǒng)Z?的狀態(tài)空間描述為：則稱系統(tǒng)Σ1和系統(tǒng)Σ2互為對偶的。兩個互為對偶系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：系線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解(1)當系統(tǒng)不能控或不能觀測時，并不是所有狀態(tài)都不能控或不能觀測(可通過坐標變換(2)把狀態(tài)空間按能控性或能觀性進行結(jié)構(gòu)分解。狀態(tài)空間表達式的能控標準型和能觀標準型Z[Abc],稱如上式的狀態(tài)空間表達式為能控標準I型。系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣的實現(xiàn)能控性和能觀性與傳遞函數(shù)陣的關(guān)系第四章控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析本章要點1、穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的首要問題。2、經(jīng)典理論判穩(wěn)方法及局限性。A、直接判定：單入單出中，基于特征方程的根是否都分布在復(fù)平面虛軸的左半部分，采用勞斯一古爾維茨代數(shù)判據(jù)和奈魁斯特頻率判據(jù)。局限性是僅適用于線性定常，不適用于非線性和時變系統(tǒng)。B、間接判定：方程求解一對非線性和時變通常很難。[俄]李雅普諾夫穩(wěn)定性理論是穩(wěn)定性判定的通用方法，適用于各種系統(tǒng)。李亞普諾夫第一法：先求解系統(tǒng)微分方程，根據(jù)解的性質(zhì)判定穩(wěn)定性——間接法李亞普諾夫第二法：直接判定穩(wěn)定性。思路：構(gòu)造一個李亞普諾夫函數(shù)V(x),根據(jù)V(x)的性質(zhì)判穩(wěn)。——對任何復(fù)雜系統(tǒng)都適用。4、本章內(nèi)容：李亞普諾夫第二法及其應(yīng)用。4.1基本定義x=f(x,t),x(t)為n維向量，f(x,t)也是n維向量，x=f;(x,x?,,xn,t),初始狀態(tài),1.李亞普諾夫穩(wěn)定性：設(shè)x=f(x,t),若任意給定一個實數(shù)ε>0,總存在另一個實數(shù)δ,使當|x?-x.|≤δ時，從任意初態(tài)x。出發(fā)的解x(t)=φ(t,xo,to)滿足幾何意義：3.大范圍漸近穩(wěn)定4.不穩(wěn)定4.2李雅普諾夫穩(wěn)定性理論1.例4.2系統(tǒng)圖如下，2虛構(gòu)能量函數(shù)V(x)——李亞普諾夫函數(shù)既可以描述物理系統(tǒng)，又可描述社會系統(tǒng)，滿足3個條件：·V(x)為任一標量函數(shù)，x為系統(tǒng)狀態(tài)變量，是t的函數(shù)?！(x)是正數(shù)(正定的)—反映能量大小。連續(xù)一階偏導，反映能量變化速度的大小，負值為能量減李亞普諾夫直接法：利用V(x)和V(x)的符號性質(zhì)(一)二次型定義及其表達式例4.3二次型的標準型，只含有平方項的二次型，如：ax2+a?x?2+a,x2對稱陣，且秩(二)標量函數(shù)V(x)的符號、性質(zhì)1.V(x)為正定是指：對所有在域2中非零的x,有V(x)>0,且在x=0處有例4.4V(x)=x2+x?2,x=(x,x?),V(x)是正定的，只有X=0,才有V(x)=0。2.V(x)半正定：對所有非零x,有V(x)≥0,且V(0)=0。例4.5V(x)=(x?+x?)2+x2,x=(x,x?,x?),在x=0以外存在不為零的向量x,是(三)二次型V(x)正定性的賽爾維斯特(Sylvester)準則例4.7判斷下列二次型函數(shù)的正定性。V(x)=10x2+4x?2+x2+2x?x?-2x?x由于P的所有主子行列式>0,所以，V(x)是正定的。4.2.3李亞普諾夫判穩(wěn)定理定理4.1設(shè)系統(tǒng)x=f(x,t)。平衡狀態(tài)為f(0,t)=0,如果存在一個具有連續(xù)的一階那么,在原點處的平衡狀態(tài)是漸進穩(wěn)定的。若x→,有V(x,t)→,當滿足上述條件時，在原點處的平衡狀態(tài)為大范圍(全(3)充分條件并不是必要條件，故若找不到這樣的V(x),并不一定是不穩(wěn)定的。(4)李亞普諾夫函數(shù)不唯一，只要滿足2各條件，最簡形式是二次型V(x)=x?Ax。例4.8對于系統(tǒng)分析x。=0,系統(tǒng)是否漸近穩(wěn)定。(2)V(x)=2xx?+2x?x?=-