1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算一、單選題1．在如圖所示的正方體中，下列各對向量的夾角為45°的是（）．A．與B．與C．與D．與2．已知向量和的夾角為120°，且，則等于（）A．12 B． C．4 D．133．已知非零向量，，，若，則的取值范圍為（）A． B． C． D．4．已知，則等于（）A． B．97 C． D．615．設(shè)正四面體ABCD的棱長為a，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則的值為（）A． B． C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)26．如圖所示，已知空間四邊形的每條邊和對角線長都等于a，點(diǎn)E、F、G分別為AB、AD、DC的中點(diǎn)，則a2等于（）A．2? B．2? C．2? D．2?7．已知空間中四個(gè)不共面的點(diǎn)O、A、B、C，若||＝||，且cos，cos，，則sin，的值為（）A．1 B． C． D．8．如圖所示，在四面體ABCD中，為等邊三角形，，，，，則（）A． B． C． D．二、多選題9．(多選)已知向量，，，下列等式中正確的是（）A． B．C． D．10．（多選）已知空間四邊形的四條邊和對角線長都為，且，，分別是，，的中點(diǎn)，則下列四個(gè)數(shù)量積中結(jié)果為的式子的有（）A． B．C． D．11．設(shè)ABCD﹣A1B1C1D1是棱長為a的正方體，以下結(jié)論為正確的有()A．?a2 B．?a2C．?a2 D．?a212．已知ABCD﹣A1B1C1D1為正方體，下列說法中正確的是()A．B．C．向量與向量的夾角是60°D．正方體ABCD﹣A1B1C1D1的體積為三、填空題13．化簡：________.14．已知是空間兩個(gè)向量，若，則________．15．已知向量與滿足，且與的夾角為，則＝________.16．已知空間向量，的夾角為120°，且，則的最小值為________.四、解答題17．已知長方體中，點(diǎn)Q是BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是上的動(dòng)點(diǎn)，，．（1）求；（2）求的取值范圍．18．如圖，平行六面體的底面是菱形，且，，求證：平面．19．如圖，已知正方體的棱長為1，E為的中點(diǎn).（1）求，的大??；（2）求向量在向量方向上的投影的數(shù)量.20．已知正方體的棱長為1，E為棱上的動(dòng)點(diǎn).求向量在向量方向上投影的數(shù)量的取值范圍.參考答案1．A【解析】對于A，因?yàn)?，所以與的夾角為，故A正確；對于B，因?yàn)?，所以與的夾角為，故B不正確；對于C，因?yàn)?，所以與的夾角為，故C不正確；對于D，因?yàn)椋耘c的夾角為，故D不正確.故選：A2．D【解析】,故選：D.3．C【解析】∵，∴．故選：C．4．C【解析】因?yàn)?，所?故選：C.5．A【解析】由題意，正四面體ABCD如圖所示，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)檎拿骟wABCD的棱長都為a，所以，故(a2cos60°+a2cos60°)a2．故選：A．6．B【解析】由題意可得，22a?a?cos（π﹣∠BAD）＝2a2?（﹣cos60°）＝﹣a2，故排除A．∵2?2?a?a?cos60°＝a2，故B滿足條件．∵2?2??a?cosπ＝﹣a2，故排除C．∵2?2??a?cos60°，故排除D，故選：B7．A【解析】∵cos，cos，，∴，∵||＝||，∴??，∴??（）＝0，∴．∴sin，sin1．故選：A8．D【解析】依題意，，因?yàn)闉榈冗吶切危?，，，，所以，，，，所以?故選：D.9．BCD【解析】易得=-3+0+3=0.，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；=，所以，所以B選項(xiàng)正確；，所以C選項(xiàng)正確；即，所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD.10．AC【解析】如圖所示，；；；．故結(jié)果為的式子有AC．故選：AC．11．BC【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所示的空間直角坐標(biāo)系，如下圖:則D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，D1(0，0，a)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，B1(a，a，a)，對于A，(0，a，0)，(﹣a，a，0)，則?a2，A錯(cuò)誤；對于B，(0，a，0)，(a，﹣a，﹣a)，則?a2，B正確；對于C，(﹣a，0，0)，(﹣a，0，﹣a)，則?a2，C正確；對于D，(0，a，0)，(a，﹣a，0)，則?a2，D錯(cuò)誤；故選：BC．12．AB【解析】由題意，正方體ABCD﹣A1B1C1D1如下圖所示：由向量的加法得到：，∵，∴，所以A正確；∵，AB1⊥A1C，∴，故B正確；∵△ACD1是等邊三角形，∴∠AD1C＝60°，又∵A1BD1C，∴異面直線AD1與A1B所成的夾角為60°，但是向量與向量的夾角是120°，故C錯(cuò)誤；∵AB⊥AA1，∴，故0，故D錯(cuò)誤．故選：AB．13．【解析】故答案為：14．【解析】將化為，得，即，解得，所以.故答案為：15．【解析】，故，故答案為：.16．【解析】因?yàn)椋?，而，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以，故答案為：.17．（1）；（2）.【解析】（1）因?yàn)椋?，即，因此；?）因?yàn)?所以因此設(shè)，，則，由于，所以，故的取值范圍為.18．證明見解析【解析】設(shè)，，，由于四邊形為菱形，則，即，所以，，同理可得，由題意可得，，所以，