第二章等式與不等式2.1等式2.1.2一元二次方程的解集及其根與系數的關系知識梳理1．一元二次方程的解集一般地，△=b2（1）當△>0時，方程的解集為{eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)}；（2）當△=0時，方程的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))；（3）當△<0時，方程的解集為．2．一元二次方程根與系數的關系若是一元二次方程的兩個根，則，．常見考點考點一一元二次方程的解集典例1．求下列方程的解集：（1）；（2）；（3）；【答案】（1）（2）（3）【分析】直接利用十字相乘法分解因式，再解方程．【詳解】解：（1），原方程化為，解得或，所以原方程的解集為.（2），原方程化為，解得或，所以原方程的解集為.（3），原方程化為，解得或，所以原方程的解集為.【點睛】本題主要考查十字相乘法分解因式，考查一元二次方程的解法，屬于基礎題．變式1-1．解下列一元二次方程：（1）；（2）.【答案】（1）（2）當時，原方程的解集為，當時，原方程的解集為【分析】直接利用十字相乘法解方程，寫解集時注意元素的互異性．【詳解】解：（1）原方程化為，解得或，所以原方程的解集為.（2）原方程化為，解得或，當時，原方程的解集為，當時，原方程的解集為.【點睛】本題主要考查十字相乘法解一元二次方程，屬于基礎題．變式1-2．方程的解集是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意得到，解得或，即可求解.【詳解】由方程，可得方程，解得或，所以或，即方程的解集為.故選：C.變式1-3．一元二次方程解集是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將一元二次方程因式分解后，求得方程的解集.【詳解】，即，所以或，解得，.故選:C.【點睛】本小題主要考查提公因式法求一元二次方程的解集，屬于基礎題.考點二根據一元二次方程根的情況求參數典例2．已知關于x的一元二次方程沒有實數根，則k的取值范圍是__________．【答案】【分析】直接根據，即可得答案；【詳解】由題意得：，故答案為：.變式2-1．一元二次方程有兩個不相等的實數根，則實數k的取值范圍是______．【答案】【分析】首先根據題意得到，再解方程組即可.【詳解】因為方程有兩個不相等的實數根，則，解得：且故答案為：【點睛】本題主要考查一元二次方程根的情況，屬于簡單題.變式2-2．已知關于的二次方程有一正數根和一負數根，則實數的取值范圍是_____．【答案】【分析】由二次項系數非零及兩根之積小于0，可得關于m的不等式組，解之即可.【詳解】由題意知，二次方程有一正根和一負根，得，解得.故答案為：變式2-3．已知方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0有兩個負實根，求實數k的取值范圍.【答案】或【分析】根據方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0有兩個負實根，由求解.【詳解】要使原方程有兩個負實根，必須滿足：，即，所以，解得-2≤k<-1或<k≤1.所以實數k的取值范圍是k-2≤k<-1或<k≤1.考點三根與系數的關系例3．若關于x的方程的兩根分別是，則（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】由韋達定理可得，然后，即可算出答案.【詳解】因為是方程的兩根，所以所以故選：C變式3-1．關于x的方程的兩個根為，，則______．【答案】3【分析】利用韋達定理求出兩根關系即可求出.【詳解】由題意得，，所以．故答案為：3.變式3-2．設m?n是方程的兩個實數根，則的值為___________.【答案】1000【分析】由題意，結合韋達定理，轉化原式為，即得解【詳解】由題意，m?n是方程的兩個實數根又則故答案為：1000變式3-3．若方程的兩個實根為、，則的值為______．【答案】10．【分析】由根與系數的關系求解．【詳解】由已知，，所以．故答案為：10考點四利用根與系數的關系求參數例4．已知一元二次方程的兩實根為、，且，求實數的值.【答案】【分析】轉化，結合韋達定理以及判別式，即得解【詳解】由題意，一元二次方程的兩實根為、故解得或且故即或（舍去）故實數的值為變式4-1．關于的方程有兩個實數根．(1)若，且方程的兩根為和，求的值．(2)若方程兩根的平方和為11，求實數的值．【答案】(1)3；(2)1．【分析】(1)由題意結合韋達定理即可求得代數式的值；(2)由題意結合韋達定理和方程的判別式即可求得實數的值．【詳解】(1)當時，方程即，由韋達定理可得：，，則．(2)根據題意設方程的兩根為，，∴，∵，∴，∵，∴，解得或﹣3(舍去)．綜上所述，實數的值為1．變式4-2．已知關于x的一元二次方程．（1）若方程有實數根，求實數的取值范圍；（2）若方程兩實數根分別為、，且滿足，求實數的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用判別式的意義得到（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，然后解不等式即可；（2）根據題意x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2+2，由條件得x12+x22＝31+x1x2，再利用完全平方公式得（x1+x2）2﹣3x1x2﹣31＝0，所以（2m+3）2﹣3（m2+2）﹣31＝0，然后解關于m的方程，最后利用m的范圍確定滿足條件的m的值．【詳解】（1）根據題意得（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，解得m≥﹣；（2）根據題意x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2+2，x12+x22＝31+x1x2，即（x1+x2）2﹣3x1x2﹣31＝0，所以（2m+3）2﹣3（m2+2）﹣31＝0，整理得m2+12m﹣28＝0，解得m1＝﹣14，m2＝2，而m≥﹣；所以m＝2．變式4-3．已知，是方程的兩個實數根，且.（1）求值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）66.【分析】（1）由判別式，可求得的取值范圍，由韋達定理結合可求得實數的值；（2）利用完全平方和公式及韋達定理即可得解.【詳解】解：（1）∵，是方程的兩個實數根.∴，即，且，.又∵∴∴，即∴或（舍）.故的值為.（2）由（1）可知，∴.故的值為66.鞏固練習練習一一元二次方程的解集1．求下列方程的解集：（1）；（2）【答案】（1）22,-22【分析】（1）本題首先可以求解方程，然后將方程的根寫成集合的形式即可；（2）本題首先可以求解方程，然后將方程的根寫出集合的形式即可.【詳解】（1），，解得或，故、、、，方程的解集為22,（2），，，解得或，方程的解集為.【點睛】本題考查用集合表示方程的解，考查集合的表示方式，考查計算能力，是簡單題.2．解下列一元二次方程：（1）；（2）.【答案】（1）當或1時，此時原方程的解集為或；當且時，此時原方程的解集為.（2）當時，此時原方程的解集為；當時，此時原方程的解集為.【分析】直接利用十字相乘法解方程，在寫解集時注意元素的互異性．【詳解】解：（1）因為，所以原方程化為，解得或，當或1時，，此時原方程的解集為或；當且時，，此時原方程的解集為.（2）因為，所以原方程化為，解得或.當時，，此時原方程的解集為；當時，此時原方程的解集為.【點睛】本題主要考查含參的一元二次方程的解法，考查十字相乘法，考查元素的互異性，屬于易錯的基礎題．3．求方程的解集.【答案】【分析】直接利用因式分解法解方程．【詳解】解：因為，所以原方程可以化為，從而可知或，即或，因此所求解集為．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解法，通常用因式分解法、配方法、求根公式法解決，屬于基礎題．4．解下列一元二次方程.（1）；（2）.【答案】（1），或；（2），或.【分析】（1）由十字相乘將化簡為：，即可求出答案.（2）由十字相乘將化簡為：，即可求出答案.【詳解】（1），解得：，或.（2），解得：，或.【點睛】本題第一問和第二問主要考查利用十字相乘法求一元二次方程，屬于簡單題.練習二根據一元二次方程根的情況求參數5．關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用一元二次方程有兩個不相等的實根可判斷，解不等式可得答案.【詳解】解：有兩個不相等的實數根故答案選：B6．已知關于的方程有兩個實數根，則的取值范圍為（）A． B．或C．或 D．【答案】C【分析】由一元二次方程存在兩個實根，有判別式即可求的取值范圍.【詳解】由題意知：，解之得或，故選：C7．若關于x的方程kx2+2x-1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（）A．k>-1 B．k<-1C．k≥-1且k≠0 D．k>-1且k≠0【答案】D【分析】由方程有兩個不等實根，則根據一元二次方程的性質有k≠0且Δ>0，即可求得k的范圍【詳解】∵x的方程kx2+2x-1=0有兩個不相等的實數根∴k≠0且Δ=4-4k×(-1)>0，解得k>-1∴由上，k的取值范圍為k>-1且k≠0故選：D【點睛】本題考查了一元二次方程，由根與系數關系，以及判別式求參數范圍8．若關于的方程有兩個不同的正根，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，判別式及根與系數關系列出不等式組，即可求出實數的取值范圍.【詳解】因為關于的方程有兩個不同的正根，所以，解得，故實數的取值范圍是.故選：C練習三根與系數的關系9．若函數的零點為，，則_________．【答案】4【分析】由題意可知，是方程的兩個根，從而得到，且，然后代入所求式子即可求出結果．【詳解】解：∵函數的零點為，，∴，是方程的兩個根，∴，且，∴，故答案為：4．10．若是方程的兩個實數根，則的值等于___________.【答案】2006【分析】由題得，進而提公因式求解即可得答案.【詳解】解：因為是方程的兩個實數根，所以根據韋達定理得，所以故答案為：11．已知方程的兩根為，且，求的值．【答案】【分析】根據方程解出，，代入即可得出答案.【詳解】方程的兩根為，且則根據方程可得，所以故答案為：12．已知方程的兩個實數根為，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）（2）（3）【分析】結合韋達定理求出兩根和與積，再將所求式子轉化為與韋達定理相關的式子即可求解.（1）因為的兩個實數根為，結合韋達定理可得，；（2）；（3）練習四利用根與系數的關系求參數13．已知是關于一元二次方程的兩個實數根，則，則值是（）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】根據一元二次方程根與系數的關系，結合題干條件，化簡計算，即可得答案.【詳解】由題意得且解得，又，解得或（舍）.故選：B14．已知一元二次方程的兩實根為