第八章平面解析幾何第7講拋物線

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)1.了解拋物線

的定義、幾

何圖形和標(biāo)

準(zhǔn)方程，以

及簡(jiǎn)單幾何

性質(zhì).拋物線的

定義及其

應(yīng)用2022全國(guó)卷乙T5；2021新高考卷

ⅡT3；2021全國(guó)卷乙T21；2020全

國(guó)卷ⅠT4本講每年必考，主

要以定義作為命題

思路，求解軌跡問

題、距離問題、最

值問題等.拋物線的

標(biāo)準(zhǔn)方程2023全國(guó)卷乙T13；2022全國(guó)卷

甲T20；2021新高考卷ⅠT14；2021

全國(guó)甲卷T20課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)2.了解拋物線

的簡(jiǎn)單應(yīng)用.3.體會(huì)數(shù)形結(jié)

合的思想.拋物線的

幾何性質(zhì)2023新高考卷ⅡT10；

2021新高考卷ⅠT14；

2020全國(guó)卷ⅡT19；2020

全國(guó)卷ⅢT5在2025年高考備考中，在訓(xùn)

練常規(guī)題型的同時(shí)，應(yīng)關(guān)注

拋物線的定義的應(yīng)用.

1.拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)

F

和一條定直線

l

(

l

不經(jīng)過點(diǎn)

F

)的距離①

?的點(diǎn)的軌跡叫

做拋物線.點(diǎn)

F

叫做拋物線的②

，直線

l

叫做拋物線的③

?.注意

定點(diǎn)

F

在定直線

l

上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為過點(diǎn)

F

且垂直于

l

的一條直線.相等

焦點(diǎn)

準(zhǔn)線

2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)圖形

幾

何

性

質(zhì)對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)O(0，0)焦點(diǎn)④

?⑤

?⑥

?⑦

?

?

標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)幾

何

性

質(zhì)準(zhǔn)線方程⑧

?

?⑨

?⑩

??

?

?范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R離心率e＝?

?焦半徑(其中P(x0，y0)為拋物線上任一點(diǎn))?

?

??

?

1

x0

常用結(jié)論拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論如圖，設(shè)

AB

是一條過拋物線

y

2＝2

px

(

p

＞0)焦點(diǎn)

F

的弦，

AB

所在直線的傾斜角為

α，若

A

(

x

1，

y

1)，

B

(

x

2，

y

2)，

A

，

B

在準(zhǔn)線

l

上的射影分別為

A

1，

B

1，則

(4)當(dāng)

N

為準(zhǔn)線與

x

軸的交點(diǎn)時(shí)，∠

ANF

＝∠

BNF

.

(5)通徑是過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦，弦長(zhǎng)等于2

p

，通徑是過焦點(diǎn)的最短的弦.(6)以弦

AB

為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.(7)以

A

1

B

1為直徑的圓與

AB

相切，切點(diǎn)為

F

，∠

A

1

FB

1＝90°.(8)當(dāng)

M

1為

A

1

B

1的中點(diǎn)時(shí)，

M

1

A

⊥

M

1

B

.

(9)以

AF

或

BF

為直徑的圓與

y

軸相切.

1.下列說法正確的是(

D

)A.平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線B.若拋物線過點(diǎn)P(－2，3)，則其標(biāo)準(zhǔn)方程可寫為y2＝2px(p＞0)C.拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形D123452.拋物線

y

＝4

x

2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(

A

)C.(0，1)D.(1，0)

A123453.[2023湖北省十堰市調(diào)研]下列四個(gè)拋物線中，開口朝左的是(

C

)A.y2＝5xB.x2＝－5yC.y2＝－5xD.x2＝5y[解析]拋物線

y

2＝5

x

的開口朝右，拋物線

x

2＝－5

y

的開口朝下，拋物線

y

2＝－5

x

的開口朝左，拋物線

x

2＝5

y

的開口朝上.故選C.C12345

A.2B.3C.4D.8

D12345

A.2B.3C.4D.5

B12345

命題點(diǎn)1

拋物線的定義及其應(yīng)用例1

(1)[全國(guó)卷Ⅰ]已知

A

為拋物線

C

：

y

2＝2

px

(

p

＞0)上一點(diǎn)，點(diǎn)

A

到

C

的焦點(diǎn)的距

離為12，到

y

軸的距離為9，則

p

＝(

C

)A.2B.3C.6D.9

C訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5(2)[2022全國(guó)卷乙]設(shè)

F

為拋物線

C

：

y

2＝4

x

的焦點(diǎn)，點(diǎn)

A

在

C

上，點(diǎn)

B

(3，0)，

若｜

AF

｜＝｜

BF

｜，則｜

AB

｜＝(

B

)A.2C.3B訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5方法技巧利用拋物線的定義可解決的常見問題(1)軌跡問題：利用拋物線的定義可以確定與定點(diǎn)、定直線距離有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是否

為拋物線.(2)距離問題：涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離問題時(shí)，在解題過程

中注意兩者之間的相互轉(zhuǎn)化.(3)最值問題：通過距離轉(zhuǎn)化，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”和“垂線段最短”求解.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5訓(xùn)練1

[多選/2023惠州市二調(diào)]設(shè)拋物線

C

：

y

2＝8

x

的焦點(diǎn)為

F

，準(zhǔn)線為

l

，點(diǎn)

M

為

C

上一動(dòng)點(diǎn)，

E

(3，1)為定點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(

AD

)A.準(zhǔn)線l的方程是x＝－2B.｜ME｜－｜MF｜的最大值為2C.｜ME｜＋｜MF｜的最小值為7D.以線段MF為直徑的圓與y軸相切AD訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5(2)[2021新高考卷Ⅰ]已知

O

為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線

C

：

y

2＝2

px

(

p

＞0)的焦點(diǎn)為

F

，

P

為

C

上一點(diǎn)，

PF

與

x

軸垂直，

Q

為

x

軸上一點(diǎn)，且

PQ

⊥

OP

.

若｜

FQ

｜＝6，則

C

的準(zhǔn)線方程為

?.

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5方法技巧拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法(1)定義法根據(jù)拋物線的定義求出

p

.標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要注意判斷焦點(diǎn)位置及開口方向.(2)待定系數(shù)法當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，注意分類討論.對(duì)于焦點(diǎn)在

x

軸上的拋物線的方程可設(shè)為

y

2＝

mx

(

m

≠0)，焦點(diǎn)在

y

軸上的拋物線的方程可設(shè)為

x

2＝

my

(

m

≠0).訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5訓(xùn)練2

(1)若拋物線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在直線

x

－2

y

－4＝0上，則此拋物線的

標(biāo)準(zhǔn)方程為

?.[解析]由

x

－2

y

－4＝0，令

x

＝0，得

y

＝－2；令

y

＝0，得

x

＝4.所以拋物線的焦

點(diǎn)是(4，0)或(0，－2)，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y

2＝16

x

或

x

2＝－8

y

.y

2＝16

x

或

x

2＝－8

y

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5(2)如圖，過拋物線

y

2＝2

px

(

p

＞0)的焦點(diǎn)

F

的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)

A

，

B

，

C

，若｜

BC

｜＝2｜

BF

｜，且｜

AF

｜＝3，則拋物線的方程為

?.y

2＝3

x

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5

A.p＝2C.以MN為直徑的圓與l相切D.△OMN為等腰三角形AC訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5方法技巧應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)解題時(shí)，常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線

的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5

A.p＝4C.｜BD｜＝2｜BF｜D.｜BF｜＝4ABC訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5

巧用拋物線中的阿基米德三角形的幾何性質(zhì)例4

[2023溫州市第一次適應(yīng)性考試]已知

P

為直線

y

＝－

x

－1上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)

P

作拋

物線

C

：

x

2＝2

y

的兩條切線，切點(diǎn)分別記為

A

，

B

，則原點(diǎn)

O

到直線

AB

距離的最

大值為(

B

)A.1D.2B訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5

同理可得，直線

PB

：

y

＝

x

2

x

－

y

2.因?yàn)辄c(diǎn)

P

是直線

y

＝－

x

－1上一動(dòng)點(diǎn)，所以不妨設(shè)

P

(

t

，－

t

－1)，則－

t

－1＝

x

1

t

－

y

1，－

t

－1＝

x

2

t

－

y

2，所以直線

AB

：

tx

－

y

＋

t

＋1＝0.直線

tx

－

y

＋

t

＋1＝0過定點(diǎn)

G

(－1，1)，

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5

例5

[2021全國(guó)卷乙]已知拋物線

C

：

x

2＝2

py

(

p

＞0)的焦點(diǎn)為

F

，且

F

與圓

M

：

x

2＋(

y

＋4)2＝1上點(diǎn)的距離的最小值為4.(1)求

p

；

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5

(2)若點(diǎn)

P

在

M

上，

PA

，

PB

是

C

的兩條切線，

A

，

B

是切點(diǎn)，求△

PAB

面積

的最大值.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5方法技巧拋物線中的阿基米德三角形的幾何性質(zhì)圓錐曲線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.過拋物線

x

2＝2

py

(

p

＞0)上

A

，

B

兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，兩切線相交于點(diǎn)

P

，

則△

PAB

為拋物線中的阿基米德三角形.若

AB

恰好過拋物線的焦點(diǎn)

F

(如圖所示)，則

△

PAB

有以下基本性質(zhì)：(1)點(diǎn)

P

必在拋物線的準(zhǔn)線上.

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5

A.點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2B.點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為3C.直線l的斜率等于2D.｜TM｜＝5ACD訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練4例4例5

1.[命題點(diǎn)1/北京高考]設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為

O

，焦點(diǎn)為

F

，準(zhǔn)線為

l

，

P

是拋物線上異

于

O

的一點(diǎn)，過

P

作

PQ

⊥

l

于

Q

，則線段

FQ

的垂直平分線(

B

)A.經(jīng)過點(diǎn)OB.經(jīng)過點(diǎn)PC.平行于直線OPD.垂直于直線OP[解析]連接

PF

，由拋物線的定義可知｜

PQ

｜＝｜

FP

｜，故線段

FQ

的垂直平分

線經(jīng)過點(diǎn)

P

.

B123452.[命題點(diǎn)2]在平面直角坐標(biāo)系

xOy

中，動(dòng)點(diǎn)

M

到定點(diǎn)

F

(1，0)的距離比到

y

軸的距

離大1，則動(dòng)點(diǎn)

M

的軌跡方程為

?.

123453.[命題點(diǎn)2/2023陜西渭南二模]將拋物線

y

2＝

mx

繞其頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°之后，正好

與拋物線

y

＝2

x

2重合，則

m

＝(

A

)C.－2D.2

A12345

12345

12345

12345

12345

A.∠APB恒為銳角C.｜AP｜的最小值為4ABD12345

即3(

x

＋1)－

ty

＝0，則直線

AB

恒過點(diǎn)(－1，0).

12345

所以∠

APB

＜∠A'PB'≤60°，所以∠

APB

恒為銳角，所以選項(xiàng)A正確；當(dāng)直線

AB

垂直于

x

軸時(shí)，由對(duì)稱性可知，此時(shí)點(diǎn)

P

在

x

軸上，所以

P

(－4，0)，直

線

AB

的方程為

x

＝－1，又點(diǎn)

A

在

x

軸上方，

12345

12345

12345678910111213141516171.[2024福州市一檢]已知點(diǎn)

P

(

x

0，2)在拋物線

C

：

y

2＝4

x

上，則點(diǎn)

P

到

C

的準(zhǔn)線的

距離為(

C

)A.4B.3C.2D.1[解析]如圖，拋物線

y

2＝4

x

的準(zhǔn)線方程為

x

＝－1.由點(diǎn)

P

(

x

0，2)在拋物線

C

：

y

2＝4

x

上，得4＝4

x

0，所以

x

0＝1，故點(diǎn)

P

到

C

的準(zhǔn)線的距離為2，選C.C2.[2024青島市檢測(cè)]設(shè)拋物線

C

：

x

2＝2

py

的焦點(diǎn)為

F

，

M

(

x

，4)在

C

上，｜MF｜＝5，則

C

的方程為(

A

)A.x2＝4yB.x2＝－4yC.x2＝－2yD.x2＝2y

A12345678910111213141516173.[2023安徽省名校聯(lián)考]已知

O

為坐標(biāo)原點(diǎn)，

F

為拋物線

C

：

y

2＝8

x

的焦點(diǎn)，

M

為

C

上一點(diǎn)，若｜

MF

｜＝8，則△

MOF

的面積為(

A

)C.8

A1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

A.1B.2C.4D.6

B1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

C.－1A1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

D.2

D1234567891011121314151617

12345678910111213141516177.[多選]已知點(diǎn)

M

(2，－2)在拋物線

x

2＝2

py

(

p

＞0)的準(zhǔn)線上，

F

是拋物線的焦點(diǎn)，

過點(diǎn)

M

的兩條直線分別與拋物線相切于點(diǎn)

A

，

B

，直線

MF

交直線

AB

于點(diǎn)

E

，則下

列結(jié)論正確的是(

BCD

)A.拋物線的方程為x2＝4yB.直線AB的方程為x－2y＋4＝0D.｜ME｜2＝｜AE｜·｜BE｜BCD1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

y

2＝

x

12345678910111213141516179.[2021北京高考]已知拋物線

C

：

y

2＝4

x

，

C

的焦點(diǎn)為

F

，點(diǎn)

M

在

C

上，且｜FM｜＝6，則點(diǎn)

M

的橫坐標(biāo)是

?.[解析]拋物線

C

：

y

2＝4

x

的焦點(diǎn)

F

(1，0)，準(zhǔn)線方程為

x

＝－1，設(shè)點(diǎn)

M

的橫坐標(biāo)

為

x

0，則有

x

0＋1＝6，所以

x

0＝5.5

1234567891011121314151617

3

1234567891011121314151617

123456789101112131415161711.[2024信陽(yáng)市月考]已知直線

l

與拋物線

C

：

x

2＝4

y

交于

A

，

B

兩點(diǎn)，

M

是線段

AB

的中點(diǎn).(1)若直線

AB

的斜率為1，求點(diǎn)

M

的橫坐標(biāo)；

1234567891011121314151617

(2)若｜

AB

｜＝8，求點(diǎn)

M

縱坐標(biāo)的最小值.1234567891011121314151617∴(1＋

k

2)(

k

2＋

b

)＝4

②.由

x

1＋

x

2＝4

k

，得

y

1＋

y

2＝

k

(

x

1＋

x

2)＋2

b

＝4

k

2＋2

b

，故點(diǎn)

M

的坐標(biāo)為(2

k

，2

k

2＋

b

)，

1234567891011121314151617

12.

[2023南昌市一模]“米”是象形字.數(shù)學(xué)探究課上，某同學(xué)用拋物線

C

1：

y

2＝－2

px

(

p

＞0)和

C

2：

y

2＝2

px

(

p

＞0)構(gòu)造了一個(gè)類似“米”字形的圖案，如圖所示，若拋物線

C

1，

C

2的焦點(diǎn)分別為

F

1，

F

2，點(diǎn)

P

在拋物線

C

1上，過點(diǎn)

P

作

x

軸的平行線交拋物線

C

2于點(diǎn)

Q

，若｜

PF

1｜＝2｜

PQ

｜＝4，則

p

＝(

D

)A.2B.3C.4D.6

D1234567891011121314151617

[解析]由題意可知，拋物線

E

的焦點(diǎn)為

F

(2，0)，準(zhǔn)線方程為

x

＝－2.設(shè)

A

(

x

1，

y

1)，

B

(

x

2，

y

2)，

C

(－2，

y

3)，則有

x

1

x

2＝16.(過點(diǎn)(

a

，0)的直線交拋物線

y

2＝2

px

(

p

＞0)于

A

(

x

1，

y

1)，

B

(

x

2，

y

2)兩點(diǎn)，則

x

1

x

2＝

a

2，

y

1

y

2＝－2

pa

)C1234567891011121314151617

123456789101112131415161714.[多選/2022新高考卷Ⅰ]已知

O

為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)

A

(1，1)在拋物線

C

：

x

2＝2

py

(

p

＞

0)上，過點(diǎn)

B

(0，－1)的直線交

C

于