第一章集合、常用邏輯用語與不等式第4講基本不等式目

錄Contents01教材幫讀透教材融會貫通02高考幫研透高考明確方向03練習幫練透好題精準分層課標要求命題點五年考情命題分析預測利用基

本不等

式求最

值2021天津T13；

2020新高考卷

ⅠT11；2020天

津T14；2019天

津T13本講是高考的熱點，常作為工具與其他知識綜合考查，主要考查基本不等式及其應用，如求最值、證明不等式、求參數(shù)的取值范圍等，解題時要注意應用基本不等式的三個前提條件.題型以選擇題、填空題為主，難度不大.預計2025年高考命題點變化不大，但應加強對應用基本不等式解決實際問題的重視.基本不

等式的

綜合問

題2022新高考卷

ⅡT12；2021浙

江T8；2020新

高考卷ⅡT12

a

＞0，

b

＞0

a

＝

b

思維拓展

3.利用基本不等式求最值已知

x

＞0，

y

＞0.(1)如果積

xy

等于定值

P

，那么當

x

＝

y

時，和

x

＋

y

取得最小值⑤

(簡記：

積定和最小)；(2)如果和

x

＋

y

等于定值

S

，那么當

x

＝

y

時，積

xy

取得最大值⑥

(簡記：和

定積最大).注意

應用基本不等式求最值應滿足三個條件“一正”“二定”“三相等”.

1.下列說法正確的是(

C

)C12342.矩形兩邊長分別為

a

，

b

，且

a

＋2

b

＝6，則矩形面積的最大值是(

B

)A.4D.2

B12343.已知

a

，

b

為正數(shù)，則下列不等式中不成立的是(

D

)

D1234

6

1234

A.4B.6C.3D.10D例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3

例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3

2

例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3角度2

常數(shù)代換法例2

(1)[2023江西省南昌一中模擬]已知正數(shù)

a

，

b

滿足8

a

＋4

b

＝

ab

，則8

a

＋

b

的最

小值為(

C

)A.54B.56C.72D.81

C例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3

例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3

8

例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3

A.2C.4

C例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3(2)[江蘇高考]已知5

x

2

y

2＋

y

4＝1(

x

，

y

∈R)，則

x

2＋

y

2的最小值是

?.

例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3方法技巧1.基本不等式使用的前提是“一正、二定、三相等”.2.配湊、常數(shù)代換、消元的目的都是為了湊出和為定值或者積為定值的形式.3.多次使用基本不等式時，尤其要注意等號能否同時成立.例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3

A.(－1，4)B.(－4，1)C.(－∞，－4)∪(1，＋∞)D.(－∞，－3)∪(0，＋∞)C例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3

例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3

例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3

1

例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3

A.0B.1C.2D.3C例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3

例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3(2)[多選/2022新高考卷Ⅱ]若

x

，

y

滿足

x

2＋

y

2－

xy

＝1，則(

BC

)A.x＋y≤1B.x＋y≥－2C.x2＋y2≤2D.x2＋y2≥1[解析]

解法一由題意得，

x

2＋

y

2＝

xy

＋1，所以(

x

＋

y

)2＝3

xy

＋1，當

x

＞0且

y

＞0時，顯然有(

x

＋

y

)2＞1，即

x

＋

y

＞1，故A錯誤.因為

x

2＋

y

2≥2

xy

，所以

xy

＋

1≥2

xy

，所以

xy

≤1，所以

x

2＋

y

2≤2，當且僅當

x

＝

y

時等號成立，故C正確.因為

(

x

＋

y

)2＝

x

2＋

y

2＋2

xy

＝3

xy

＋1≤4，所以｜

x

＋

y

｜≤2，所以－2≤

x

＋

y

≤2，

故B正確.因為

x

2＋

y

2＝

xy

＋1，所以當

xy

＜0時，

x

2＋

y

2＜1，故D錯誤.故選BC.BC例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3

例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3例5

[江蘇高考]某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買

x

噸，運費為6萬元/次，一

年的總存儲費用為4

x

萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則

x

的值

是

?.

30

角度2

利用基本不等式解決實際問題例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3

例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3

(1)寫出年利潤

W

(

x

)(單位：萬元)關于年產(chǎn)量

x

(單位：臺)的函數(shù)解析式(利潤＝銷售

收入－成本).例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3

(2)當該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3方法技巧利用基本不等式求解實際問題時，要根據(jù)實際問題設出變量，注意變量應滿足

實際意義，抽象出目標函數(shù)的表達式，建立數(shù)學模型，再利用基本不等式求得

函數(shù)的最值.例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3

A.6B.7C.8D.9D例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3

例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3(2)[2023湖南省部分學校聯(lián)考]某社區(qū)計劃在一塊空地上種植花卉，已知這塊空地是

面積為1800平方米的矩形

ABCD

，為了方便居民觀賞，在這塊空地中間修了如圖所

示的三條寬度為2米的人行通道，則種植花卉區(qū)域的最大面積是(

C

)A.1208平方米B.1448平方米C.1568平方米D.1698平方米C例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3

例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3

思維幫·提升思維

快速解題

20

例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3

例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3

例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3角度2

判斷關于不等式的命題的真假例8

[2024四川成都聯(lián)考]已知正實數(shù)

m

，

n

滿足

m

＋

n

＝1，則下列不等式中錯誤的

是(

D

)B.2m2＋2n2≥1C.m(n＋1)＜1D例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3

例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3方法技巧1.柯西不等式：(

a

2＋

b

2)(

c

2＋

d

2)≥(

ac

＋

bd

)2，當且僅當

ad

＝

bc

時，等號成立.2.無論是均值不等式還是柯西不等式，在使用的時候都要注意“配湊”技巧，還要

注意驗證等號成立的條件.例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3

例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3(2)[多選/2024云南省大理模擬]若12

a

＝3，12

b

＝4，則下列結論正確的是(

ACD

)ACD例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3[解析]由12

a

＝3，12

b

＝4得

a

＝log123，

b

＝log124，

a

＋

b

＝log123＋log124＝

log1212＝1，且

a

＝log123＞log121＝0，

b

＝log124＞log121＝0.

例1例2例3訓練1例4例5例6訓練2例7例8訓練3

A12345

4

12345

2

123454.[命題點2角度1]已知0＜

a

＜1，

b

＞1，則下列不等式成立的是(

D

)

D12345

12345

(1)用

x

表示

F

.

(2)該合作社修建多大面積的太陽能面板，可使

F

最??？并求出最小值.

12345

(3)要使

F

不超過140萬元，求

x

的取值范圍.12345

1.[2024河北保定模擬]設

x

，

y

均為正數(shù)，且

x

＋

y

＝4，則

xy

的最大值為(

C

)A.1B.2C.4D.16

C123456789101112131415

A.1C.2D.3

D123456789101112131415

D.4

B123456789101112131415

A.4B.6C.8D.16

C1234567891011121314155.[多選]小王從甲地到乙地往返的速度分別為

a

和

b

(

a

＜

b

)，其全程的平均速度為

v

，則下列選項中正確的是(

AD

)

AD1234567891011121314156.[多選/2023重慶市三檢]已知

x

＞0，

y

＞0，且

x

＋

y

＋

xy

－3＝0，則下列結論正確

的是(

BC

)A.xy的取值范圍是(0，9]B.x＋y的取值范圍是[2，3)D.x＋4y的最小值是3BC123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

2

1234567891011121314158.[2023濟南市模擬]已知正數(shù)

x

，

y

滿足4

x

＋2

y

＝

xy

，則

x

＋2

y

的最小值為

?.

18

123456789101112131415

10

12345678910111213141510.[2024山東煙臺模擬]如圖，在半徑為4(單位：cm)的半圓形(

O

為圓心)鐵皮上截取

一塊矩形材料

ABCD

，其頂點

A

，

B

在直徑上，頂點

C

，

D

在圓周上，則矩形

ABCD

面積的最大值為

(單位：cm2).16

所以矩形

ABCD

面積的最大值為16cm212