.2.1函數的單調性與最大（?。┲抵R點一定義法判斷函數的單調性【【解題思路】利用定義證明函數單調性的步驟：1.取值：設x1，x2是該區(qū)間內的任意兩個值，且x1<x2；2.作差變形：作差f(x1)－f(x2)，并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉化為易判斷正負的關系式；3.定號：確定f(x1)－f(x2)的符號；4.結論：根據f(x1)－f(x2)的符號與定義確定單調性.【例1-1】（24-25高一上·全國·假期作業(yè)）函數，判斷函數在上的單調性，并加以證明.【答案】函數在上單調遞減，證明見解析【解析】函數在上單調遞減，證明如下：函數，任取，設，則，因為，，所以，故，即，故函數在上單調遞減.【例1-2】（24-25高一上·上海·課堂例題）判斷函數在區(qū)間上的單調性，并證明你的結論．【答案】函數在上為嚴格減函數，證明見解析【解析】當時，函數在區(qū)間上為嚴格減函數．證明：設，則．因為，，所以，，，，所以，所以．所以當時，函數在上為嚴格減函數．【變式】1．（24-25高一福建）證明：函數在上是嚴格減函數．【答案】證明見解析【解析】設是區(qū)間上的任意給定的兩個實數，且，則．∵，∴，，，∴，即，所以，∴函數在上是嚴格減函數．2．（2024高一·全國·專題練習）已知函數的定義域為，判斷在上的單調性，并用定義證明；【答案】在上單調遞增，證明見解析【解析】在上單調遞增，證明如下：設，；因為，，，，所以，所以是在上單調遞增.3．（24-25湖南）判斷函數在區(qū)間上的單調性，并證明你的結論．【答案】函數在上是嚴格增函數，證明見解析【解析】當時，在上是嚴格增函數．任取，且，則．∵，∴，，．∵，∴，∴，∴，∴時，函數在上是嚴格增函數．知識點二性質法判斷函數單調性【【解題思路】常見函數的單調性函數單調性一次函數y＝ax＋b(a≠0)a＞0時，在R上單調遞增；a＜0時，在R上單調遞減反比例函數y＝eq\f(a,x)(a≠0)a＞0時，減區(qū)間是(－∞，0)和(0，＋∞)；a＜0時，增區(qū)間是(－∞，0)和(0，＋∞)二次函數y＝a(x－m)2＋n(a≠0)a＞0時，減區(qū)間是(－∞，m]，增區(qū)間是[m，＋∞)；a＜0時，減區(qū)間是[m，＋∞)，增區(qū)間是(－∞，m]【例2】（24-25高一上北京）下列函數在定義域上為嚴格減函數的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A:當，當，,在定義域上不是嚴格減函數，錯誤；對于B:當，當，，在定義域上不是嚴格減函數，錯誤；對于C:,當，，在定義域上不是嚴格減函數，錯誤；對于D:因為在定義域內為嚴格減函數,正確.故選：D.【變式】1．（23-24高一上·北京·期中）下列函數中，在區(qū)間上是減函數的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】選項A：任取，則，又，所以，即，所以函數在為減函數，故A正確；選項B：任取，則，又，所以，即，所以函數在為增函數，故B錯誤；選項C：任取，則，又，所以，即，所以函數在為增函數，故C錯誤；選項D：任取，則，又，所以，即，所以函數在為增函數，故D錯誤；故選：A.2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列命題正確的是（

）A．函數在上是增函數 B．函數在上是減函數C．函數和函數的單調性相同 D．函數和函數的單調性相同【答案】C【解析】對于A：定義域為，由二次函數的圖像可知，在是增函數，在是減函數，故A錯誤；對于B：的定義域為，由反比例函數的圖像可知，在和上是減函數，故B錯誤；對于C：在是增函數，在是減函數，，當時，，易知為增函數，當時，，易知為減函數，所以函數和函數的單調性相同，故C正確；對于D：定義域為，由反比例函數的圖像可知，在和上是減函數；設定義域為，取，則，當時，，即在上單調遞減，當，，即在上單調遞減，同理可證，在上單調遞減，在上單調遞增，故D錯誤，故選：C．3．（23-24高一上·四川內江·期中）（多選）下列函數中，滿足“，都有”的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】，都有，知是在上單調遞減的函數，對于A，在R上是增函數，不合題意；對于B，在R上是減函數，符合題意；對于C，為二次函數，其開口向下且對稱軸為，所以在上單調遞減，符合題意；對于D，由反比例函數的單調性可得是上的增函數，不合題意.故選：BC知識點三圖像法、分離常數法等求單調區(qū)間【例3-1】（23-24高一上·陜西西安·期中）已知函數，則函數的單調遞增區(qū)間是（

）A． B．C．和 D．和【答案】C【解析】因為函數的對稱軸為直線，由可得或，作出函數的圖象如下圖所示：由圖可知，函數的單調遞增區(qū)間為和.故選：C.【例3-2】（23-24高一上·湖北十堰·期中）函數的單調遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，解得,所以函數的定義域為，令，其圖象是開口向下的拋物線，對稱軸方程為，該函數在上單調遞減，則函數的單調遞增區(qū)間是.故選：C.【例3-3】（23-24高一上·廣東廣州·期中）已知函數，則函數（

）A．在上單調遞增 B．在上單調遞減C．在上單調遞增 D．在上單調遞減【答案】D【解析】，所以函數的圖象可由反比例函數的圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到.因為在和上單調遞減，所以在和上單調遞減.故選：D【變式】1．（23-24高一上·江蘇連云港·期中）函數的單調減區(qū)間是．【答案】【解析】畫出函數的圖象，如下：

故單調遞減區(qū)間為.故答案為：2．（22-23高一上·上海浦東新·期末）函數的增區(qū)間為．【答案】【解析】若的單調遞增區(qū)間為，任取，，因為，，可得恒成立，即，解得或（舍去），所以函數的增區(qū)間為．故答案為：3．（23-24高一上·江西撫州·期中）函數的單調遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，作出圖象，可以得到函數的單調遞減區(qū)間是．故選：B.4．（2024高三·全國·專題練習）函數的單調遞增區(qū)間為．【答案】和【解析】由函數，作出函數的大致圖象，如圖所示，可得函數的單調遞增區(qū)間是和.故答案為：和.5．（2024高一·全國·專題練習）函數的單調區(qū)間為【答案】增區(qū)間為和，無單調遞減區(qū)間，【解析】，所以的單調遞增區(qū)間為和故答案為：單調遞增區(qū)間為和，無單調遞減區(qū)間，6．（23-24高一上·廣東茂名·階段練習）已知，則函數的單調遞增區(qū)間為.【答案】【解析】，畫出函數圖象，

結合圖象得函數的單調遞增區(qū)間為.故答案為：.知識點四利用單調性解不等式【【解題思路】函數f(x)的解析式未知時，欲求解不等式，可以依據函數單調性的定義和性質，將符號“f”去掉，列出關于自變量的不等式(組)，然后求解，此時注意函數的定義域．【例4-1】（2024高一·全國·專題練習）若函數在單調遞增，且，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為函數在單調遞增，且，所以，即，解得.故選：D.【例4-2】（2024·湖北武漢·二模）已知函數，則關于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，故在上單調遞增，由，有，即.故選：A.【例4-3】（23-24高一上·廣東茂名·期末）已知函數是R上的減函數，，是其圖象上的兩點，那么的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，得或，因為函數是R上的減函數，，，所以有，，所以或.故選：A．【變式】11．（23-24高一上·四川成都·期末）已知定義在上的函數滿足：且都有.若，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得在上單調遞減，若可得.故選：D.2．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）函數在上是嚴格增函數，且，則的取值范圍是．【答案】【解析】因為函數在上是嚴格增函數，且，所以，解得.3．（23-24高一上·青海西寧·期末）若函數在上是減函數，且，則實數的取值范圍是.【答案】【解析】由函數在上是減函數，因為，可得，解得，所以實數的取值范圍是.故答案為：.答案為：.知識點五求函數的最值【【解題思路】求最值的實質--單調性的應用（1）圖象法求函數最值（2）單調性求函數的最值（3）換元法求函數最值（4）分離常數法求函數最值【例5-1】（23-24高一上·廣東廣州·期中）（多選）下列說法正確的是（

）A．函數在上的值域為B．函數的值域為C．函數的值域為D．函數的值域是【答案】BCD【解析】對于A，，則當時，，當時，，所以函數的值域為，錯誤；對于B，函數的圖象如下:

在為增函數，在為減函數，故值域為，正確；對于C，函數，可得其定義域為，又由，可得所以函數的值域為，正確；對于D，設，，則，，所以，，當時，有最大值2，所以.故函數的值域為，正確.故選：BCD.【例5-2】（23-24高一上·甘肅白銀·期中）函數.(1)判斷函數在上的單調性，并加以證明.(2)求函數在上的最值.【答案】(1)函數在上單調遞減，證明見解析(2)【解析】（1）函數在上單調遞減，證明如下：函數，任取，設，則，因為，，則，故，即，故函數在上單調遞減；（2）由（1）知函數在上單調遞減，故.【變式】1.（23-24江蘇揚州·階段練習）（多選）下列各函數中，最小值為2的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對于A，，故A錯誤；對于B，，，當時取最小值2，故B正確.對于C，當時，，故C錯誤；對于D，設，則，當且僅當，即時等號成立，故D正確；故選：BD.2．（2024高一·全國·專題練習）函數的定義域是，則其值域為【答案】【解析】由題意知函數均在上單調遞增，故在定義域上為增函數，所以，，即的值域為，故答案為：3．（22-23高一上·吉林長春·期末）的最大值為．【答案】【解析】由，故，而，所以，當時，即函數的最大值為.故答案為：4．（2024·上海嘉定·二模）函數的值域為．【答案】【解析】由函數，當時，；當時，.綜上所述，函數的值域為.故答案為：.5．（23-24高一上·上海浦東新·期末）已知函數．(1)證明函數在區(qū)間上是嚴格減函數；(2)求函數在區(qū)間上的最值．【答案】(1)證明見解析(2)最大值為8，最小值為【解析】（1）任取，，由，可得，，所以，又，所以，即，所以函數在區(qū)間上是嚴格減函數．（2）由于函數在單調遞減，在單調遞增，又，所以的最大值為8，最小值為重難點一已知單調性求參數【例6-1】（23-24高二下·江蘇南京·期末）“”是“函數在上單調遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為函數的圖象開口向上，對稱軸為，若函數在上單調遞減，等價于，顯然是的真子集，所以“”是“函數在上單調遞減”的充分不必要條件.故選：A.【例6-2】（2024·全國·模擬預測）若函數在區(qū)間上不單調，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為函數在上單調遞減，在上單調遞增．又函數在區(qū)間上不單調，所以，故選：B．【例6-3】（23-24高一上·湖南邵陽·階段練習）已知函數在R上單調遞增，則實數m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數，在上單調遞增，當時，由于和均在單調遞增函數，故在上單調遞增，所以，解得，當時，根據對勾函數的性質可知，若在上單調遞增，則，解得，當時，，此時，顯然滿足在上單調遞增，綜上，．故選：B【變式】1．（2024·廣東揭陽·二模）已知函數在上不單調，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函數的圖象對稱軸為，依題意，，得，所以的取值范圍為.故選：C2．（23-24高一上·北京·期中）已知函數是上的增函數，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為函數是上的增函數，所以，解得，即的取值范圍是.故選：D3．（24-25高一上·上海·隨堂練習）若函數在上是嚴格增函數，則的取值范圍是．【答案】【解析】由題意得，解得.故答案為：4．（2024高三·全國·專題練習）若函數在集合內為單調遞增函數，則實數t的取值范圍為.【答案】【解析】由對勾函數的性質知在內為單調遞增函數.要使在內為單調遞增函數，則，即，解得，所以實數的取值范圍為.故答案為：5．（23-24高一上·廣東河源·階段練習）已知函數在區(qū)間上具有單調性，則實數a的取值范圍是．【答案】【解析】當時，，所以在上單調遞增，當時，，所以在上單調遞減，由函數在區(qū)間上具有單調性，可得或，解得或，所以實數a的取值范圍是.故答案為：.6．（23-24高一上·北京·期中）已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是．【答案】【解析】因為，所以在上單調遞增，在上單調遞減，又函數在上單調遞減，所以，解得，即實數的取值范圍是.故答案為：重難點二含參一元二次函數最值的討論求二次函數最值的常見類型及解法求二次函數最值的常見類型及解法1、類型一：是函數定義域為實數集R法一：根據開口方向，用配方法即可求出最大(小)值法二：根據開口和對稱軸求出最值2.類型二：定義域為某一區(qū)間開口方向和對稱軸的位置來決定對于含參數的二次函數的最值問題，一般有如下幾種類型：(1)區(qū)間固定，對稱軸變動(含參數)，求最值；(2)對稱軸固定，區(qū)間變動(含參數)，求最值；(3)區(qū)間固定，最值也固定，對稱軸變動，求參數.通常都是根據區(qū)間端點和對稱軸的相對位置進行分類討論.求二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在區(qū)間[m，n]上的最值一般分為以下幾種情況：①若x＝－eq\f(b,2a)在區(qū)間[m，n]內，則最小值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))，最大值為f(m)，f(n)中較大者(或區(qū)間端點m，n中與x＝－eq\f(b,2a)距離較遠的一個對應的函數值為最大值)；②若x＝－eq\f(b,2a)＜m，則f(x)在區(qū)間[m，n]上單調遞增，最大值為f(n)，最小值為f(m)；③若x＝－eq\f(b,2a)＞n，則f(x)在區(qū)間[m，n]上單調遞減，最大值為f(m)，最小值為f(n)．【例7】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）已知函數定義在區(qū)間上，求的最值．【答案】答案見解析【解析】函數的圖像開口向上，對稱軸為．①當時，函數在上遞增，則當時，函數取最小值為；當時，函數取最大值為．②當，即時，函數在上遞減，∴當時，函數取最大值為；當時，函數取最小值為．③當時，當時，函數取最小值為；當時，函數取最大值為．④當時，當時，函數取最小值為；當時，函數取最大值為．⑤當時，當時，函數取最小值為；當或時，函數取最大值為．【變式】1．（2024高三·全國·專題練習）(多選)若函數y＝x2－3x－4的定義域為[0，m]，值域為[－，－4]，則實數m的取值范圍可以是（

）A．[0，4] B．[，2]C．[，2] D．[1，2]【答案】BC【解析】∵y＝x2－3x－4＝(x－)2－，作出函數y＝x2－3x－4在區(qū)間[0，m]上的圖象如圖所示．由圖象可知，當x＝時，ymin＝－.令y＝x2－3x－4＝－4得出x＝0或x＝3.當0＜m＜時，函數y＝x2－3x－4在區(qū)間[0，m]上單調遞減，此時ymin＝m2－3m－4＞－，不符合題意；當≤m≤3時，且當x∈[0，m]時，由圖象可知ymin＝－，ymax＝－4，符合題意；當m＞3時，且當x∈[0，m]時，由圖象可知ymin＝－，ymax＝m2－3m－4＞－4，不符合題意．綜上所述，實數m的取值范圍是[，3].故選BC.2．（24-25高一上·上海·課堂例題）若函數在上的最小值為，求的值．【答案】1【解析】函數圖像的對稱軸為，圖象開口向上．①當時，函數在上單調遞增，則的最小值為，由，得，不符合；②當時，在上單調遞減，在上單調遞增，則的最小值為，由，得或，∵，∴符合；③當時，函數在上單調遞減，則的最小值為，由，得，∵，∴不符合．綜上可得，.3（2024湖北）求f(x)＝x2－2ax－1在區(qū)間[0,2]上的最大值M(a)和最小值m(a)．【答案】見解析【解析】f(x)＝(x－a)2－1－a2，對稱軸為x＝a.(1)當a<0時，由圖①可知，f(x)在區(qū)間[0,2]上單調遞增，所以f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.(2)當0≤a≤1時，由圖②可知，對稱軸在區(qū)間[0,2]內，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.(3)當1<a≤2時，由圖③可知，對稱軸在區(qū)間[0,2]內，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.(4)當a>2時，由圖④可知，f(x)在[0,2]上單調遞減，所以f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.綜上，M(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－4a，a≤1，,－1，a>1，))m(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，a<0，,－1－a2，0≤a≤2，,3－4a，a>2.))單選題1．（2024·江蘇·高一）函數的單調增區(qū)間為（

）A． B． C．和 D．【答案】C【解析】由可得且，因為開口向下，其對稱軸為，所以的減區(qū)間為和所以的單調增區(qū)間為和故選：C2．（2024河北）已知函數，則函數的最小值為（

）A．0.4 B． C．2 D．【答案】D【解析】因為，由于在上單調遞增，則在上單調遞減，故在上單調遞增，所以．故選：D．3．（23-24高一上·浙江杭州·期末）如果函數在區(qū)間上是單調遞增的，則實數的取值范圍（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由函數在區(qū)間上為單調遞增函數，當時，在上為單調遞增函數，符合題意；當時，則滿足，解得，綜上可得，實數的取值范圍為.故選：D.4．（2023·廣東·肇慶市實驗中學高一期中）已知函數，且其對稱軸為，則以下關系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據題意，函數，其對稱軸為，其開口向上，在，上單調遞增，，則有；故選：．5．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函數是上的增函數，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為函數是上的增函數，則，解得.故選：B6．（2024·山東·二模）已知函數在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】由函數的對稱軸是，因為函數在區(qū)間上是增函數，所以，解得，又因為，因此，所以的取值范圍是.故選：A．7．（2023山東）某公司在甲、乙兩地同時銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中銷售量單位：輛)．若該公司在兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤為()A．90萬元 B．60萬元C．120萬元 D．120.25萬元【答案】C【解析】設公司在甲地銷售x輛，則在乙地銷售(15－x)輛，公司獲利為L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(19,2)))2＋30＋eq\f(192,4)，∴當x＝9或10時，L最大為120萬元．8．（23-24高一上·海南?？凇るA段練習）已知函數，若對任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可化為，又函數，可知在上單調遞增，不等式在恒成立，即不等式在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，即，解得故實數的取值范圍是.故選：B多選題9．（23-24高一上·廣西南寧·期中）已知函數的定義域為，其圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（

）

A．的單調遞減區(qū)間為B．的最大值為2C．的最小值為D．的單調遞增區(qū)間為和【答案】ACD【解析】對于A，由圖象可知：的單調遞減區(qū)間為，A正確；對于B，當時，，B錯誤；對于C，當時，，C正確；對于D，由圖象可知：的單調遞增區(qū)間為和，D正確．故選：ACD10．（23-24高一上·湖南邵陽·期末）已知函數，在上單調遞增，則實數的可能取值為（

）A． B． C．0 D．3【答案】ABC【解析】當時，若單調遞增，則或，即，當時，單調遞增，則，即，又函數在上單調遞增，所以，解得，綜上，實數的取值范圍為，故選：ABC11．（23-24高一上·新疆·階段練習）下列四個函數中，在上為增函數的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】對于A選項，函數在上為增函數，A滿足條件；對于B選項，函數在上為減函數，在上為增函數，B不滿足條件；對于C選項，函數在上為增函數，C滿足條件；對于D選項，當時，，則函數在上為減函數，D不滿足條件.故選：AC.填空題12．（23-24高一上·廣東廣州·期中）函數的單調遞減區(qū)間是．【答案】【解析】設，由可得，或，則函數，由在單調遞減，在單調遞增，而在單調遞增，由復合函數的單調性可知，函數的單調遞減區(qū)間是.故答案為：13．（24-25高一上·上?！るS堂練習）已知函數在上是減函數，則實數的取值范圍為．【答案】【解析】∵，∴的減區(qū)間是．又∵已知在上是減函數，∴，即．∴所求實數的取值范圍是，故答案為：．14．（23-24高一上·重慶云陽·階段練習）已知函數，則滿足的的取值范圍是．【答案】【解析】當時，，，故，故，不成立；當時，，，不成立，當時，要使得，有兩種情況：第一種情況，，即，此時由于在上單調遞增，只需，解得，第二種情況，，即時，只需，解得，與取交集得，綜上，的取值范圍是．故答案為：解答題15．（23-24高一上·遼寧朝陽·階段練習）已知函數，且．(1)求a的值；(2)判斷在區(qū)間上的單調性，并用單調性的定義證明你的判斷．【答案】(1)(2)減函數，證明見解析【解析】（1）由，得，解得．（2）在區(qū)間上是減函數，證明過程如下：由（1）得，對任意，且，則，所以，由，得，，又由，得，于是，即，所以在區(qū)間上是減函數．16．（23-24·江蘇徐州·階段練習）已