第一章空間向量與立體幾何用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系第1課時(shí)空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.能用向量語(yǔ)言描述直線和平面,理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系.3.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面平行關(guān)系的判定定理.4.能用向量方法證明空間中直線、平面的平行關(guān)系.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)1空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示1.點(diǎn)的位置向量在空間中,我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn),那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量

來(lái)表示.我們把向量

稱為點(diǎn)P的位置向量.如圖.

既包含方向,也包含距離2.空間直線的向量表示式

①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知,空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定.3.空間平面的向量表示式如圖,取定空間任意一點(diǎn)O,空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x,y,使

.我們把這個(gè)式子稱為空間平面ABC的向量表示式.由此可知,空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定.4.平面的法向量如圖,直線l⊥α,取直線l的方向向量a,我們稱向量a為平面α的法向量.給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a,那么過(guò)點(diǎn)A,且以向量a為法向量的平面完全確定,可以表示為集合{P|a·=0}.名師點(diǎn)睛

過(guò)關(guān)自診1.直線的方向向量如何確定?2.如何確定平面的法向量?3.[人教B版教材習(xí)題]設(shè)(2,-2,1),(3,-3,1)是空間直線l上的點(diǎn),求直線l的一個(gè)方向向量.4.[北師大版教材習(xí)題]分別寫出Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo).解

設(shè)A(2,-2,1),B(3,-3,1)是空間直線l上的點(diǎn),解

平面Oxy、平面Oyz、平面Ozx的一個(gè)法向量的坐標(biāo)分別為(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0).(答案不唯一)

知識(shí)點(diǎn)2空間中直線、平面平行的向量表示位置關(guān)系向量表示線線平行設(shè)μ1,μ2分別是直線l1,l2的方向向量,則l1∥l2?μ1∥μ2??λ∈R,使得μ1=λμ2線面平行設(shè)μ是直線l的方向向量,n是平面α的法向量,l?α,則l∥α?μ⊥n?μ·n=0面面平行設(shè)n1,n2分別是平面α,β的法向量,則α∥β?n1∥n2??λ∈R,使得n1=λn2名師點(diǎn)睛1.空間平行關(guān)系的本質(zhì)是線線平行,根據(jù)共線向量的定義,只需證明直線的方向向量μ1∥μ2.此外,證明線面平行也可用共面向量的性質(zhì),即只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示即可.2.利用直線的方向向量證明直線與直線平行、直線與平面平行時(shí),要注意向量所在的直線與所證直線或平面無(wú)公共點(diǎn),證明平面與平面平行時(shí)也要注意兩平面沒(méi)有公共點(diǎn).過(guò)關(guān)自診1.若已知平面外一直線的方向向量和平面的法向量,則這兩向量滿足什么條件可說(shuō)明直線與平面平行?提示

可探究直線的方向向量與平面的法向量是否垂直,進(jìn)而確定線面是否平行.2.[人教B版教材習(xí)題]設(shè)n1,n2分別是空間中兩個(gè)不重合的平面α,β的法向量,分別根據(jù)下列條件判斷平面α,β的位置關(guān)系.(1)n1=(-2,1,2),n2=(6,-3,-6);(2)n1=(1,2,3),n2=(3,6,9).解

(1)∵n1=(-2,1,2),n2=(6,-3,-6)=-3(-2,1,2)=-3n1,∴n1∥n2,∴α∥β(已知α,β不重合).(2)∵n1=(1,2,3),n2=(3,6,9)=3(1,2,3)=3n1,∴n1∥n2,∴α∥β(已知α,β不重合).重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一平面的法向量及其求法【例1】

[人教B版教材例題]如圖所示,已知空間直角坐標(biāo)系中的三棱錐O-ABC中,O(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),其中abc≠0.求平面ABC的一個(gè)法向量.規(guī)律方法

利用待定系數(shù)法求平面的法向量的解題步驟

變式訓(xùn)練1如圖所示,已知四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.(1)求平面ABCD的一個(gè)法向量;(2)求平面SAB的一個(gè)法向量;(3)求平面SCD的一個(gè)法向量.解

以點(diǎn)A為原點(diǎn),AD,AB,AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,探究點(diǎn)二利用向量方法證明線線平行【例2】

在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,P,Q,R,S分別是AA1,D1C1,AB,CC1的中點(diǎn).求證:PQ∥RS.證明

(方法1)以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1),規(guī)律方法

向量法證明兩條直線平行的方法兩直線的方向向量共線時(shí),兩直線平行或重合;否則兩直線相交或異面.變式訓(xùn)練2在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P在線段A1D上,點(diǎn)Q在線段AC上,線段PQ與直線A1D和AC都垂直,求證:PQ∥BD1.證明

以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),探究點(diǎn)三利用向量方法證明線面平行【例3】

[人教B版教材例題]已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是A1B與A1C1的中點(diǎn),求證:MN∥面ADD1A1.正方體的棱長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),規(guī)律方法

利用空間向量證明線面平行的方法(1)利用共面向量法:證明直線的方向向量p與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量a,b是共面向量,即滿足p=xa+yb(x,y∈R),則p,a,b共面,從而可證直線與平面平行.(2)利用共線向量法:證明直線的方向向量p與該平面內(nèi)的某一向量共線,再結(jié)合線面平行的判定定理即可證明線面平行.(3)利用法向量法:求出直線的方向向量與平面的法向量,證明方向向量與法向量垂直,從而證明直線與平面平行.變式訓(xùn)練3如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為正方形,側(cè)棱SD⊥底面ABCD,E,F分別為AB,SC的中點(diǎn).求證:EF∥平面SAD.證明

如圖,以D為原點(diǎn),DA,DC,DS所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.探究點(diǎn)四利用向量方法證明面面平行【例4】

[北師大版教材習(xí)題]如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,點(diǎn)E,F,G,H,M,N分別是該正方體六個(gè)面的中心,求證:平面EFG∥平面HMN.規(guī)律方法

利用空間向量證明面面平行的方法(1)轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行,然后借助向量共線進(jìn)行證明;(2)通過(guò)證明兩個(gè)平面的法向量平行證明.變式訓(xùn)練4在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分別為棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點(diǎn).求證:平面AMN∥平面EFBD.證明

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),B(2,3,0),本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)空間點(diǎn)、直線、平面的向量表示;(2)直線的方向向量,平面的法向量;(3)線線平行、線面平行、面面平行的向量表示.2.方法歸納:待定系數(shù)法、坐標(biāo)法、轉(zhuǎn)化化歸.3.常見誤區(qū):(1)不理解直線的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性;(2)通過(guò)向量和平面平行直接得到線面平行,忽略直線不在平面內(nèi)的條件.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.(多選題)若直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,則可能使l∥α的是(

)A.a=(1,0,0),n=(0,-2,0)B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)12345AD解析

若l∥α,則a·n=0.而A中a·n=0,B中a·n=1+5=6,C中a·n=-1,D中a·n=-3+3=0.2.已知線段AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)為A(9,-3,4),B(9,2,1),則直線AB(

)A.與坐標(biāo)平面Oxy平行B.與坐標(biāo)平面Oyz平行C.與坐標(biāo)平面Oxz平行D.與坐標(biāo)平面Oyz相交12345B解析

因?yàn)锳(9,-3,4),B(9,2,1),所以

=(0,5,-3),而坐標(biāo)平面yOz的法向量為(1,0,0),顯然(0,5,-3)·(1,0,0)=0,故直線AB與坐標(biāo)平面yOz平行.3.若平面α∥β,則下面可能是這兩個(gè)平面的法向量的是(

)A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)12345D解析

因?yàn)槠矫姒痢桅?所以兩個(gè)平面的法向量應(yīng)該平行,只有D項(xiàng)符合.4.[人教B版教材習(xí)題]已知A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),求平面ABC的一個(gè)法向量的坐標(biāo).12345令x=20,則y=15,z=12.因此n=(20,15,12)為平面ABC的一個(gè)法向量.5.[蘇教版教材例題]如圖,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,點(diǎn)M,N分別在對(duì)角線BD,AE上,且BM