[單元思維圖解]認(rèn)識(shí)方程字母表示數(shù)用含有字母的式子表示數(shù)量及數(shù)量關(guān)系加法交換律:a＋b=b＋a;加法結(jié)合律(a＋b)＋c=a＋(b＋c);乘法交換律:ab=ba;乘法結(jié)合律:(ab)c=a(bc);乘法分配律:(a＋b)xc=ac＋bc。表示數(shù)量關(guān)系時(shí)它的值是待定的,只有字母的值確定了,這個(gè)式子的值才能隨之確定。用字母表示計(jì)算公式正方形的周長公式:C=4a,面積公式:S=a';長方形的周長公式:C=2(a＋6),面積公式:S=ab。用字母表示運(yùn)算律五認(rèn)識(shí)方程-1-認(rèn)識(shí)方程等量關(guān)系的意義數(shù)量之間具有的相等關(guān)系。含有未知數(shù)的等式叫方程。方程一定是等式,但等式不一定是方程。等式的性質(zhì)(一)方程的意義解方程(一)等式兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù),等式仍然成立。利用等式的性質(zhì)(一)解方程解形如x±a=b的方程。解方程(二)等式的性質(zhì)(二)利用等式的性質(zhì)(二)解方程解形如ax=b或x÷a=b(a不等于0)的方程。等式兩邊都乘同一個(gè)數(shù)(或除以同一個(gè)不為0的數(shù)),等式仍然成立。五認(rèn)識(shí)方程-2-認(rèn)識(shí)方程解形如ax±b=c(a不等于0)的方程方程的兩邊先同時(shí)加上(或減去)b,然后再同時(shí)除以a。五認(rèn)識(shí)方程-3-■考點(diǎn)一用含有字母的式子表示數(shù)量及數(shù)量關(guān)系用字母或者含有字母的式子都可以表示數(shù)量。含有字母的式子既可以表示數(shù)量,又可以表示數(shù)量關(guān)系。表示數(shù)量關(guān)系時(shí)它的值是待定的，只有字母的值確定了,這個(gè)式子的值才能隨之確定。第1課時(shí)字母表示數(shù)-4-五認(rèn)識(shí)方程例1小明去商店買了3支鉛筆,每支鉛筆a元，小明應(yīng)付()元根據(jù)表中的數(shù)據(jù)把下面的統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整。解析:根據(jù)總價(jià)=單價(jià)x數(shù)量,買3支鉛筆應(yīng)付的錢數(shù)為a×3或3×a。正確答案:a×3或3×a滿分備考:審清題意,根據(jù)要求寫出用字母或含有字母的式子表示的數(shù)量及數(shù)量關(guān)系。五認(rèn)識(shí)方程-5-■考點(diǎn)二白用字母表示計(jì)算公式1.數(shù)字和字母相乘時(shí),乘號(hào)可以寫成小圓點(diǎn),也可以不寫,數(shù)字一般寫在字母的前面。如4×a可以寫成4·a或4a。字母和字母之間的乘號(hào)也可以省略不寫。如a×b可以寫成ab。2.用字母表示正方形周長的計(jì)算公式:C=4a;用字母表示正方形面積的計(jì)算公式:S=a2;用字母表示長方形周長的計(jì)算公式:C=2(a＋b);用字母表示長方形面積的計(jì)算公式:S=ab。五認(rèn)識(shí)方程-6--7-例2一個(gè)長方形的長是16厘米，寬是x厘米。(1)長方形的長比寬長()厘米。(2)長方形的周長是()厘米。(3)長方形的面積是()厘米。解析:(1)長方形的長比寬長多少厘米,要用減法計(jì)算,列式為16-x。(2)長方形的周長=(長＋寬)×2,用C表示長方形的周長,則C=(a＋b)×2=2a＋26,將a=16,b=x代入公式計(jì)算,結(jié)果為C=2×16＋2x=(32＋2x)厘米。(3)長方形的面積=長x寬,用S表示長方形的面積,則S=ab,將a=16,b=x代入公式計(jì)算，結(jié)果為S=16x厘米2。正確答案:(1)16-x(2)32＋2x(3)16x易錯(cuò)答案:(1)x-16(2)16＋2x(3)16x2錯(cuò)因分析:(1)沒有搞清楚是誰比誰多。(2)計(jì)算錯(cuò)誤,在去括號(hào)運(yùn)算時(shí)出錯(cuò)。(3)混淆了長方形的面積公式。滿分備考:做題時(shí)要審清題意,熟練掌握長方形的周長公式和面積公式。五認(rèn)識(shí)方程-8-■考點(diǎn)三用字母表示運(yùn)算律通常用固定的字母表示運(yùn)算律。用字母表示運(yùn)算律更簡便易記。加法交換律:a＋b=b＋a加法結(jié)合律:(a＋b)＋c=a＋(b＋c)乘法交換律:a×b=b×a或ab=ba乘法結(jié)合律:(a×b)×c=a×(b×c)或(ab)c=a(bc)乘法分配律:(a＋b)×c=a×c＋b×c或(a＋b)c=ac＋bc五認(rèn)識(shí)方程-9-例3利用運(yùn)算律在口中填寫字母或數(shù)。(1)a＋=5＋(2)b(x＋y)=＋(3)5×b×c=5×(×)解析:分別利用加法交換律、乘法分配律、乘法結(jié)合律填寫即可。正確答案:(1)5a(2)bxby(3)bc易錯(cuò)答案:(1)a5(2)bxy(3)bc錯(cuò)因分析:沒有掌握各種運(yùn)算律。滿分備考:要熟記各種運(yùn)算律。五認(rèn)識(shí)方程-10-■乘法的簡寫與平方的應(yīng)用例4當(dāng)a=3時(shí),計(jì)算下面各題。(1)2a=()(2)a2=()(3)2a2=()解析:(1)2a表示2乘a,a=3,所以2a=2×3=6;(2)a2表示兩個(gè)a相乘,a=3,所以a2=3x3=9;(3)2a2=2×a×a=2×3×3=18。答案:6918易錯(cuò)警示:a2表示兩個(gè)a相乘,不要與2a產(chǎn)生混淆。[易錯(cuò)易混分析]五認(rèn)識(shí)方程■考點(diǎn)等量關(guān)系的意義等量關(guān)系是指數(shù)量之間具有的相等關(guān)系尋找等量關(guān)系的方法有很多,畫圖是最有效、最直觀的方法。第2課時(shí)等量關(guān)系-11-五認(rèn)識(shí)方程例1寫出下列各題的等量關(guān)系。(1)買1千克蘋果和1千克香蕉一共花了10.5元。(2)箱子里的小球拿了5次正好拿完,每次拿的數(shù)量一樣。解析:(1)題根據(jù)題意可知1千克蘋果的價(jià)格加上1千克香蕉的價(jià)格是10.5元;(2)題根據(jù)題意可知每次拿的小球數(shù)量乘以拿的次數(shù)就是箱子里小球的數(shù)量。正確答案:(1)1千克蘋果的價(jià)格+1千克香蕉的價(jià)格=10.5元(2)每次拿的小球數(shù)量x5=箱子里小球的數(shù)量易錯(cuò)答案:(1)1千克蘋果的價(jià)格-1千克香蕉的價(jià)格=10.5元(2)每次拿的小球數(shù)量x5=箱子里小球的數(shù)量錯(cuò)因分析:錯(cuò)解錯(cuò)在(1)小題中沒有找準(zhǔn)等量關(guān)系,誤認(rèn)為1千克蘋果的價(jià)格比1千克香蕉的價(jià)格多10.5元。滿分備考:在寫等量關(guān)系時(shí)，一定要分析清楚題中各個(gè)量之間的關(guān)系,找準(zhǔn)等量關(guān)系。五認(rèn)識(shí)方程-12--13-例2甲數(shù)比乙.數(shù)的2倍多20,甲數(shù)和乙數(shù)之間的等量關(guān)系是什么?解析:根據(jù)“甲數(shù)是乙數(shù)的2倍還多20”可知,乙數(shù)×2=甲數(shù)-20。正確答案:乙數(shù)×2=甲數(shù)-20易錯(cuò)答案:乙數(shù)×2=甲數(shù)+20錯(cuò)因分析:錯(cuò)解錯(cuò)在沒有讀懂題意,從甲數(shù)里減去20,剩下的才是乙數(shù)的2倍。滿分備考:找兩個(gè)數(shù)量間的等量關(guān)系時(shí),要理清兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，同一組數(shù)量，分析的角度不同,找到的等量關(guān)系一般也是不同的。五認(rèn)識(shí)方程-14-■沒有找準(zhǔn)等量關(guān)系例3寫出下面情境的等量關(guān)系。小雨付了100元,找回20元。解析:根據(jù)題意可以知道小雨買的這本書的價(jià)格乘以5加上找回的錢數(shù)等于100元。答案:書的價(jià)格×5+20元=100元易錯(cuò)警示:注意在寫等量關(guān)系時(shí),一定要弄清楚各個(gè)量之間的關(guān)系。[易錯(cuò)易混分析]五認(rèn)識(shí)方程■考點(diǎn)方程的意義1.像10=x+2、4y=2000,這樣含有未知數(shù)的等式叫方程。2.所有的方程都是等式,但等式不一定都是方程。等式與方程的關(guān)系如下圖:第3課時(shí)方程-15-五認(rèn)識(shí)方程-16-例1下面的式子哪些是等式，哪些是方程?填在圓圈里。①5+7=12②4+7y=25③8=3x④z÷3=10⑤x-9>6⑥5(x+2)=10⑦a+5⑧36＜20+25五認(rèn)識(shí)方程-17-解析:含有“=”的式子就是等式,所以可以判斷出①②③④⑥是等式。含有未知數(shù)的等式叫方程,所以方程必須具備兩個(gè)條件:一是含有未知數(shù);二是等式。從等式中找方程即可。①5+7=12,雖是等式,但不含有未知數(shù),因此不是方程;②③④⑥是含有未知數(shù)的等式,是方程。也可以先找到含有未知數(shù)的式子再判斷是不是等式。正確答案:①②③④⑥②③④⑥易錯(cuò)答案:①②③④⑥②③④⑤⑥⑦錯(cuò)因分析:錯(cuò)解認(rèn)為只要是含有未知數(shù)的式子就是方程,忽略了必須是等式這個(gè)條件。滿分備考:判斷一個(gè)式子是不是方程有兩大關(guān)鍵點(diǎn),缺一不可，一是必須是等式，二是必須含有未知數(shù)。五認(rèn)識(shí)方程-18-■易錯(cuò)易混分析誤認(rèn)為含有未知數(shù)的式子就是方程例2判斷。(1)9x＜15.6中含有未知數(shù),所以它是方程。()(2)方程是等式,等式也是方程。()解析:(1)9x＜15.6中含有字母,但不是等式，所以它不是方程;(2)含有未知數(shù)的等式是方程,所以方程是等式,但等式不一定是方程,還必須有未知數(shù)。答案:(1)×(2)×一定含有未知數(shù),等式中不一定有未知數(shù),由此可知,所有的方程都是等式,但不是所有的等式都是方程。[易錯(cuò)易混分析]五認(rèn)識(shí)方程■考點(diǎn)一等式的性質(zhì)(一)等式兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù),等式仍然成立。例1根據(jù)等式的性質(zhì)(一)在里填上合適的運(yùn)算符號(hào),在括號(hào)里填上合適的數(shù)。(1)如果m-7=n,那么m-7+7=n()。(2)如果a+5=b,那么a+5-5=b()。第4課時(shí)解方程(一)-19-五認(rèn)識(shí)方程-20-解析:根據(jù)等式的性質(zhì)(一),等式兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù),左右兩邊仍然相等。所以,在第(1)題中,已知m-7=n,如果在等式左邊加.上7,為了使等式成立，等式右邊也要同時(shí)加上7;同理,第(2)題按此性質(zhì)應(yīng)在等式右邊減5。正確答案:(1)+7(2)-5易錯(cuò)答案:(1)-7(2)+5錯(cuò)因分析:錯(cuò)解錯(cuò)在誤認(rèn)為如果等式左邊加上一個(gè)數(shù)，等式右邊要減去這個(gè)數(shù)才能使等式成立。滿分備考:根據(jù)等式的性質(zhì)(一),要想使等式成立,等式的左邊加上或減去一個(gè)數(shù)，等式的右邊也應(yīng)該加上或減去同一個(gè)數(shù)。五認(rèn)識(shí)方程-21-■考點(diǎn)二利用等式的性質(zhì)(一)解方程1.方程的解:使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值,叫方程的解。2.解方程:求方程的解的過程叫解方程。3.利用等式的性質(zhì)(一)解形如x士a=b的方程,步驟如下:x+a=b解:x+a-a=b-ax=b-a4.檢驗(yàn)步驟:(1)把求出的未知數(shù)的值代入原方程中。(2)計(jì)算,看等式是否成立。(3)等式成立,說明這個(gè)未知數(shù)的值是方程的解;等式不成立，說明計(jì)算錯(cuò)誤,需要重新計(jì)算。五認(rèn)識(shí)方程x-a=b解:x-a+a=b+ax=b+a-22-例2解方程:2.5+x=12.5解析:在方程兩邊同時(shí)減去2.5,左右兩邊仍相等,方程左邊減2.5后只剩下x,方程右邊減2.5后所得的數(shù)就是x的值。正確答案:2.5+x=12.5解:2.5+x-2.5=12.5-2.5x=10易錯(cuò)答案:2.5+x=12.5解:2.5+x-2.5=12.5-12.5x=0錯(cuò)因分析:錯(cuò)解錯(cuò)在方程的左邊減去2.5,在方程的右邊減去12.5,使等式不再成立,應(yīng)該在方程右邊也減去2.5。滿分備考:在解方程時(shí)，要時(shí)刻想著每一步都要遵循等式的基本性質(zhì),此外，可以將方程的解代入原方程來檢驗(yàn)方程的解是否正確。五認(rèn)識(shí)方程-23-■解方程時(shí),等式的性質(zhì)(一)運(yùn)用錯(cuò)誤例3下面的解方程對(duì)嗎?對(duì)的畫“√”,錯(cuò)的畫“X”,并改正。x-16=24改正:解:x-16+16=24+24x=48()解析:這是形如x士a=b的方程，應(yīng)讓等式的左右兩邊同時(shí)加16,而原式中等式左邊加16而等式右邊卻加了24,等式不成立了,所以是錯(cuò)誤的。改正時(shí)應(yīng)讓等式左右兩邊都加16,進(jìn)行計(jì)算求解方程即可。答案:×x-16=24x-16+16=24+16x=40易錯(cuò)警示:要正確運(yùn)用等式的性質(zhì)(一)解方程。等式兩邊要做相同的變化。[易錯(cuò)易混分析]五認(rèn)識(shí)方程■考點(diǎn)一等式的性質(zhì)(二)等式兩邊都乘同一個(gè)數(shù)(或除以同一個(gè)不為0的數(shù)),等式仍然成立。例1根據(jù)等式的性質(zhì)(二)在里填上合適的運(yùn)算符號(hào),在括號(hào)里填上合適的數(shù)。(1)如果x=y,那么xx5=y()。(2)如果m÷3=n,那么m+3x3=n()。(3)如果7a=b,那么7a+7=b()。第5課時(shí)解方程(二)-24-五認(rèn)識(shí)方程-25-解析:根據(jù)等式的性質(zhì)(二),等式兩邊都乘同一個(gè)數(shù)(或除以同一個(gè)不為0的數(shù)),等式仍然成立。所以,在第(1)題中,等式左邊乘5,為了使等式仍然成立,等式右邊也要乘5;同理,在第(2)題中,已知m+3=n,若在等式左邊乘3,為了使等式成立,等式右邊也要乘3;同理,(3)題按此性質(zhì)應(yīng)在等式右邊除以7。正確答案:(1)×5(2）×3(3)÷7易錯(cuò)答案:(1)÷5(2)÷3(3)×7錯(cuò)因分析:錯(cuò)解錯(cuò)認(rèn)為如果等式左邊乘(或除以)一個(gè)不為0的數(shù),等式右邊要同時(shí)除以(或乘)這個(gè)數(shù),等式才能成立。滿分備考:等式兩邊都乘同一個(gè)數(shù)(或除以同一個(gè)不為0的數(shù))，等式仍然成立。五認(rèn)識(shí)方程-26-■考點(diǎn)二利用等式的性質(zhì)(二)解方程1.形如ax=b(a不等于0)的方程的解法如下:2.形如x÷a=b(a不等于0)的方程的解法如下:五認(rèn)識(shí)方程

ax=b解:ax÷a=b÷ax=b÷a

x÷a=b解:x÷a×a=b×ax=b×a-27-例2解方程。(1)4x=48(2)x÷1.2=6解析:(1)在方程兩邊都除以4,等式仍然成立,方程左邊除以4后只剩下x,方程右邊除以4后所得的數(shù)就是x的值。(2)在方程兩邊同乘1.2,左右兩邊仍相等,方程左邊乘1.2后只剩下x,方程右邊乘1.2后所得的數(shù)就是x的值。檢驗(yàn)時(shí),將解出來的x的值代入方程中,看方程左邊的值是否等于右邊的值即可。正確答案：（1）4x=48解：4x÷4=48÷4x=12五認(rèn)識(shí)方程

易錯(cuò)答案:(2)x÷1.2=6解:x÷1.2×1.2=6÷1.2×1.2x=6

(2)x÷1.2=6解：x÷1.2×1.2=6×1.2x=7.2-28-錯(cuò)因分析:錯(cuò)解中等式右邊多除以了1.2。滿分備考:在解形如ax=b(a不等于0)或x÷a=b(a不等于0)的方程時(shí),一定要遵循等式的性質(zhì)(二)。五認(rèn)識(shí)方程-29-■沒有充分理解等式的性質(zhì)(二)，致使解題錯(cuò)誤例3解方程:x÷5=7解析:方程左邊是x÷5要使等號(hào)左邊只有x,要在等號(hào)左邊乘5,根據(jù)等式的性質(zhì)(二),等號(hào)右邊也乘5。答案:x÷5=7解:x÷5×5=7×5x=35易錯(cuò)警示:解方程時(shí)要正確運(yùn)用等式性質(zhì)(二)求解未知數(shù)。[易錯(cuò)易混分析]五認(rèn)識(shí)方程■考點(diǎn)解形如ax±bax+b=c(a不等于0)的方程1.形如ax+b=c(a不等于0)的方程的解法如下:2.形如ax-b=c(a不等于0)的方程的解法如下:第6課時(shí)猜數(shù)游戲-30-五認(rèn)識(shí)方程

ax+b=c解:ax+b-b=c-bax=c-bx=(c-b)÷aax-b=c解:ax-b+b=c+bax=c+bx=(c+b)÷a-31-例1解方程:5x+7=42解析:先把5x看作一個(gè)整體,根據(jù)等式的性質(zhì)(一),在方程兩邊都減去7,方程變成5x=35,再根據(jù)等式的性質(zhì)(二),在方程兩邊都除以5,最后得到x=7。錯(cuò)因分析:錯(cuò)解錯(cuò)在沒有先將5x看成一個(gè)整體,方程兩邊也沒有做相同的變化。滿分備考:在解形如ax+b=c(a不等于0)的方程時(shí)，一定要先把a(bǔ)x看作一個(gè)整體，把方程轉(zhuǎn)化為形如ax=b的方程再解方程。五認(rèn)識(shí)方程正確答案:5x+7=42解:5x+7-7=42-75x=355x÷5=35÷5x=7易錯(cuò)答案:5x+7=42解:x+7=42x=35-32-例2解方程:2x-46=10解析:先把2x看作一個(gè)整體,根據(jù)等式的性質(zhì)(一),在方程兩邊都加上46,方程變成2x=56,再根據(jù)等式的性質(zhì)(二),在方程兩邊都除以2,最后得到x=28錯(cuò)因分析:錯(cuò)解錯(cuò)在將2x和10分別除以2,而46沒有相應(yīng)變化。滿分備考:解形如ax-b=c(a不等于0)的方程，一定要先把a(bǔ)x看作一個(gè)整體,把方程轉(zhuǎn)化為形如ax=b的方程再解方程。五認(rèn)識(shí)方程

正確答案:2x-46=10解:2x-46+46=10+462x=562x÷2=56÷2x=28

易錯(cuò)答案:2x-46=10解:x-46=5x=51-33-■解方程時(shí)錯(cuò)把某個(gè)式子看作一個(gè)整體出現(xiàn)錯(cuò)誤例3下面的解方程對(duì)嗎?對(duì)的畫“√”,錯(cuò)的畫“×”，并改正。3x-30=96改正:解:3x÷3-30=96÷3x-30=32x-30+30=32+30x=62()[易錯(cuò)易混分析]五認(rèn)識(shí)方程-34-解析:先把3x看作一個(gè)整體,根據(jù)等式的性質(zhì)(一),在方程兩邊同時(shí)加30,方程變成3x=126,再根據(jù)等式性質(zhì)(二),在方程兩邊同時(shí)除以3,得到x的解即可。答案:×3x-30=96解:3x-30+30=96+30