空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖、直觀圖-2-知識梳理考點(diǎn)自診1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

平行且相等

全等任意多邊形有一個公共頂點(diǎn)的三角形相似-3-知識梳理考點(diǎn)自診矩形直角邊直角腰圓錐半圓面或圓面-4-知識梳理考點(diǎn)自診2.空間幾何體的三視圖(1)幾何體的三視圖包括

,分別是從幾何體的

方、

方、

方觀察幾何體畫出的輪廓線.

(2)三視圖的畫法①基本要求:

,

,

.

②畫法規(guī)則:

一樣高,

一樣長,

一樣寬;看不到的輪廓線畫

線.

正視圖、側(cè)視圖、俯視圖正前正左正上長對正高平齊寬相等正側(cè)正俯側(cè)俯虛-5-知識梳理考點(diǎn)自診3.空間幾何體的直觀圖(1)畫法:常用

畫法.

(2)規(guī)則①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直,直觀圖中,x'軸、y'軸的夾角為

,z'軸與x'軸

.

②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段,在直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段長度在直觀圖中

,平行于y軸的線段長度在直觀圖中

.

斜二測45°(或135°)垂直保持原長度不變變?yōu)樵瓉淼囊话?6-知識梳理考點(diǎn)自診1.常見旋轉(zhuǎn)體的三視圖(1)球的三視圖都是半徑相等的圓.(2)底面與水平面平行放置的圓錐的正視圖和側(cè)視圖為全等的等腰三角形.(3)底面與水平面平行放置的圓臺的正視圖和側(cè)視圖為全等的等腰梯形.(4)底面與水平面平行放置的圓柱的正視圖和側(cè)視圖為全等的矩形.-7-知識梳理考點(diǎn)自診-8-知識梳理考點(diǎn)自診1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)有兩個面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.(

)(2)有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(

)(3)棱臺是由平行于棱錐底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分.(

)(4)在用斜二測畫法畫水平放置的∠A時,若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸,且∠A'=90°,則在直觀圖中∠A=45°.(

)(5)正方體、球、圓錐各自的三視圖中,三視圖均相同.(

)(6)畫幾何體的三視圖時,看不到的輪廓線應(yīng)畫虛線.(

)××√××√-9-知識梳理考點(diǎn)自診解析:(1)反例:由兩個平行六面體上下組合在一起的圖形滿足條件,但不是棱柱.(2)反例:如圖所示圖形不是棱錐.

(3)根據(jù)棱臺的概念知,棱臺就是由平行于棱錐底面的平面截棱錐所得的.(4)用斜二測畫法畫水平放置的∠A時,把x,y軸畫成相交成45°或135°,平行于x軸的線還平行于x軸,平行于y軸的線還平行于y軸,所以∠A也可能為135°.(5)正方體和球的三視圖均相同,而圓錐的主視圖和左視圖相同,且為等腰三角形,其俯視圖為圓心和圓.(6)畫幾何體的三視圖時,為了增加立體感,把看到的輪廓線畫成實(shí)線,看不到的輪廓線畫成虛線.-10-知識梳理考點(diǎn)自診2.如圖,長方體ABCD-A'B'C'D'中被截去一部分,其中EH∥A'D'.剩下的幾何體是(

)

A.棱臺

B.四棱柱

C.五棱柱

D.六棱柱C解析:由幾何體的結(jié)構(gòu)特征,知剩下的幾何體為五棱柱.-11-知識梳理考點(diǎn)自診3.(2019河北張家口期中)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M為DD1的中點(diǎn),則圖中陰影部分BC1M在平面BCC1B1上的正投影是(

)C

解析:由題意,點(diǎn)M在平面BCC1B1上的投影是CC1的中點(diǎn),B,C1在平面BCC1B1上的投影是它本身,所以△BC1M在平面BCC1B1上的正投影是C中陰影部分,故選C.-12-知識梳理考點(diǎn)自診C

解析:當(dāng)幾何體是正方體時,A正確;當(dāng)幾何體是直三棱柱時,B正確;當(dāng)幾何體是圓柱時,D正確;唯有C是不可能的.-13-知識梳理考點(diǎn)自診5.利用斜二測畫法得到的:①三角形的直觀圖一定是三角形;②正方形的直觀圖一定是菱形;③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形;④菱形的直觀圖一定是菱形.以上結(jié)論正確的個數(shù)是

.

1解析:由斜二測畫法的規(guī)則可知①正確;②錯誤,是一般的平行四邊形;③錯誤,等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形;而菱形的直觀圖也不一定是菱形,④也錯誤.-14-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3

空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1(1)下列結(jié)論正確的是(

)A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長都相等,則該棱錐可能是六棱錐D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線(2)以下命題:①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐;②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺;③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓;④一個平面截圓錐,得到一個圓錐和一個圓臺.其中正確命題的個數(shù)為(

)DA-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(1)A錯誤,如圖①是由兩個相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體,它的各個面都是三角形,但它不是三棱錐;B錯誤,如圖②,若△ABC不是直角三角形,或△ABC是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊,所得的幾何體都不是圓錐;C錯誤,若該棱錐是六棱錐,由題設(shè)知,它是正六棱錐.易證正六棱錐的側(cè)棱長必大于底面邊長,這與題設(shè)矛盾.(2)命題①錯,因?yàn)檫@條邊若是直角三角形的斜邊,則得不到圓錐;命題②錯,因?yàn)檫@條腰必須是垂直于兩底的腰;命題③錯,因?yàn)閳A柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面;命題④錯,必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以.-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考如何熟練應(yīng)用空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征?解題心得1.要想真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征,必須多角度、全面地去分析,多觀察實(shí)物,提高空間想象能力.2.緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵,熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型,在條件不變的情況下,變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素,然后依據(jù)題意判定.3.通過反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析,即要說明一個命題是錯誤的,只要舉出一個反例即可.-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)下面是關(guān)于四棱柱的四個命題:①若有一個側(cè)面垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱;②若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱;③若四個側(cè)面兩兩全等,則該四棱柱為直四棱柱;④若四棱柱的四條體對角線兩兩相等,則該四棱柱為直四棱柱.其中,真命題的編號是

.

(2)設(shè)有四個命題,其中真命題的個數(shù)是(

)①有兩個平面互相平行,其余各面都是四邊形的多面體一定是棱柱;②有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的多面體一定是棱錐;③用一個面去截棱錐,底面與截面之間的部分叫棱臺;④側(cè)面都是長方形的棱柱叫長方體.個個個個②④

A-18-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3

解析:(1)①顯然錯;②正確,因兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面可得到側(cè)棱垂直于底面;③錯,可以是斜四棱柱;④正確,對角線兩兩相等,則此兩對角線所在的平行四邊形為矩形.故填②④.(2)①不滿足棱柱的定義,所以不正確;②不滿足棱錐的定義,所以不正確;③不滿足棱臺的定義,所以不正確;④沒有說明底面形狀,不滿足長方體的定義,所以不正確;正確命題為0個,故選A.-19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3平面圖形與其直觀圖的關(guān)系例2(1)右圖是水平放置的某個三角形的直觀圖,D'是△A'B'C'中B'C'邊的中點(diǎn),且A'D'∥y'軸,A'B',A'D',A'C'三條線段對應(yīng)原圖形中的線段AB,AD,AC,則(

)A.最長的是AB,最短的是ACB.最長的是AC,最短的是ABC.最長的是AB,最短的是ADD.最長的是AD,最短的是ACC-20-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個正方形,則原來的圖形是(

)A-21-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(1)A'D'∥y'軸,根據(jù)斜二測畫法規(guī)則,在原圖形中應(yīng)有AD⊥BC,又AD為BC邊上的中線,所以△ABC為等腰三角形.AD為BC邊上的高,則有AB,AC相等且最長,AD最短.(2)由直觀圖可知,在直觀圖中四邊形為正方形,對角線長為

,所以原圖形為平行四邊形,位于y軸上的對角線長為2.-22-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考用斜二測畫法畫直觀圖的法則和技巧有哪些?解題心得1.在斜二測畫法中,要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段的位置,注意“三變”與“三不變”;平面圖形的直觀圖,其面積與原圖形的面積的關(guān)系是2.在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x'軸或y'軸平行,原圖中不與坐標(biāo)軸平行的線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線,原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點(diǎn),作出在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后,用平滑的曲線連接而畫出.-23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)利用斜二測畫法畫平面內(nèi)一個△ABC的直觀圖得到的圖形是△A'B'C',那么△A'B'C'的面積與△ABC的面積的比是(

)(2)已知正三角形ABC的邊長為a,那么△ABC的平面直觀圖△A'B'C'的面積為(

)AD-24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(1)將△A'B'C'放入銳角為45°的斜角坐標(biāo)系x'O'y'內(nèi),如圖(1)所示,-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-26-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3

空間幾何體的三視圖(多考向)考向1

由空間幾何體的直觀圖識別三視圖例3(1)“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全相同的四個曲面構(gòu)成,相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上,好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋).其直觀圖如圖1,圖2中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線,當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時,它的正視圖和俯視圖分別可能是(

)A.a,b B.a,c C.c,b D.b,d圖1A-27-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)(2019北京清華附中二模)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱BB1的中點(diǎn),用過點(diǎn)A,E,C1的平面截去該正方體的下半部分,則剩余幾何體的正視圖(也稱主視圖)是

(

)思考由直觀圖識別三視圖時應(yīng)注意什么問題?A-28-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(1)當(dāng)正視圖和側(cè)視圖完全相同時,“牟合方蓋”相對的兩個曲面正對前方,正視圖為一個圓,俯視圖為一個正方形,且兩條對角線為實(shí)線,故選A.(2)正方體ABCD-A1B1C1D1中,過點(diǎn)A,E,C1的平面截正方體的直觀圖如圖:則該幾何體的正視圖為圖中粗線部分.故選A.-29-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向2

由空間幾何體的三視圖還原直觀圖例4(1)(2019北京昌平二模)某四棱錐的三視圖如圖所示,在此四棱錐的側(cè)面中,直角三角形的個數(shù)為(

)C-30-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)某多面體的三視圖如圖所示,其中正視圖和側(cè)視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形,該多面體的各個面中有若干個是梯形,這些梯形的面積之和為(

)A.10 B.12 C.14 D.16思考由三視圖還原幾何體的直觀圖基本步驟有哪些?B-31-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(1)由三視圖可得,該四棱錐如下圖的P-ABCD,直角三角形有:△PAD、△PCD、△PAB,共3個.故選C.-32-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)由三視圖可還原出幾何體的直觀圖如圖所示.該五面體中有兩個側(cè)面是全等的直角梯形,且該直角梯形的上底長為2,下底長為4,高為2,則S梯=(2+4)×2÷2=6,所以這些梯形的面積之和為12.-33-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向3

由三視圖的兩視圖推測另一視圖例5已知一三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示,俯視圖是邊長為2的正三角形,側(cè)視圖是有一條直角邊為2的直角三角形,則該三棱錐的正視圖可能為(

)思考如何由三視圖的兩視圖推測另一視圖?C-34-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:由已知條件得直觀圖如圖所示,正視圖是直角三角形,中間的線是看不見的線PA形成的投影,應(yīng)為虛線.故選C.-35-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1.由幾何體的直觀圖求三視圖.注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向,注意看到的部分用實(shí)線表示,看不到的部分用虛線表示.2.由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀.要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖,明確三視圖的形成原理,結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖.3.由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖.先根據(jù)已知的一部分三視圖,還原、推測直觀圖的可能形式,再找其剩下部分三視圖的可能形式.當(dāng)然作為選擇題,也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入,看看給出的部分三視圖是否符合.-36-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)一個四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時,以zOx平面為投影面,則得到的正視圖可以為(

)(2)(2019河南八市高中聯(lián)盟測評五)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的各個面中是直角三角形的個數(shù)為(

)AC-37-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(3)(2019山東青島二模,7)某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的側(cè)棱與底面所成線面角的最小角的正弦值為(

)C-38-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(4)一個錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示,下面選項(xiàng)中,不可能是該錐體的俯視圖的是(

)C-39-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-40-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)三視圖還原為如圖所示三棱錐A-BCD:由正方體的性質(zhì)得△ABC,△BCD,△ACD為直角三角形,△ABD為正三角形,故選C.-41-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-42-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)31.要掌握棱柱、棱錐的結(jié)構(gòu)特征,計算問題往往轉(zhuǎn)化到一個三角形中進(jìn)行解決.2.旋轉(zhuǎn)體要抓住“旋轉(zhuǎn)”的特點(diǎn),弄清底面、側(cè)面及其展開圖的形狀.3.三視圖的畫法(1)實(shí)線、虛線的畫法:分界線和可見輪廓線用實(shí)線,看不見的輪廓線用虛線;(2)理解“長對正、高平齊、寬相等”.-43-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)31.臺體可以看成是由錐體截得的,易忽視截面與底面平行且側(cè)棱(母線)延長后必交于一點(diǎn).2.空間幾何體不同放置時其三視圖不一定相同.3.對于簡單組合體,若相鄰兩物體的表面相交,表面的交線是它們的分界線,在三視圖中,易混淆實(shí)虛線.-44-易錯警示——三視圖識圖中的易誤辨析在直觀想象核心素養(yǎng)的形成過程中,辨析三視圖識圖中的易錯、易混點(diǎn),能夠進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生幾何直觀和空間想象能力,增強(qiáng)運(yùn)用圖形和空間想象思考問題的意識,提升數(shù)形結(jié)合的能力,感悟事物的本質(zhì),培養(yǎng)創(chuàng)新思維.-45-例1如圖,已知三棱錐的底面是直角三角形,直角邊長分別為3和4,過直角頂點(diǎn)的側(cè)棱長為4,且垂直于底面,該三棱錐的正視圖是(

)易錯分析:如果忽視三棱錐底面的垂直關(guān)系,容易錯選為D,誤認(rèn)為點(diǎn)B在正視圖中的位置落在線段AO上,而事實(shí)上三棱錐的底面是一個直角三角形,即∠AOB=90°,所以點(diǎn)B在正視圖中的位置落在點(diǎn)O上.-46-答案:B解析:由直觀圖可以看出,其正視圖是一個直角三角形,水平的直角邊長為3,與其垂直的直角邊長為4,點(diǎn)B在正視圖中的位置落在點(diǎn)O上,所以選B.反思提升畫幾何體的三