函數(shù)

何謂“函數(shù)”，函數(shù)是一種關(guān)系，所謂變量之間的關(guān)系，變量常常以字母的方式表現(xiàn)出來，所以說簡單點，函數(shù)

就是字母間的關(guān)系。

函數(shù)難題就是參數(shù)的計算，計算就是初中的算理算法，難，難在哪？難在關(guān)系的找法，不同題型不同的解法。每

一題不同的關(guān)系，找到關(guān)系就只剩計算。解函數(shù)綜合題，簡單說，找關(guān)系、然后計算。

初中三大函數(shù)+少見的復(fù)合函數(shù)

函數(shù)：

三要素：x(取值范圍)、解析式、y

圖象性質(zhì)：增減性、交點問題、取值范圍、分段函數(shù)、函數(shù)與方程——比較大小、面積問題

圖形變換：平移

特殊性質(zhì)：如一次函數(shù)k、反比例分象限、二次函數(shù)的對稱性和最值問題

一次函數(shù)

定義：自變量、因變量、整式概念

形如y=kx+b(k=#0)

1、我們知道，若兩個有理數(shù)的積為1,則稱這兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。同樣的，當兩個實數(shù)(〃+的)與血)的

積是1時，我們?nèi)匀环Q這兩個實數(shù)互為倒數(shù)。

(1)判斷(4+夜)與(4-應(yīng))是否互為倒數(shù)，并說明理由；

(2)若實數(shù)(?+6)是(6-4)的倒數(shù)，求點(X，y)中縱坐標隨橫坐標變化的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)圖象.

圖像性質(zhì)：

1、畫圖：兩點法——列表、描點、連線

1、已知函數(shù)y=(m+l)x+(〃P—1),求當相為何值時：(1)此函數(shù)為一次函數(shù)；(2)此函數(shù)為正比例函數(shù)

2、用描點法畫出下列函數(shù)圖象：

(l)y=2x+l⑵y=2x-l(3)y=-2x+l(4)y=-2x-1

圖象

圖象性質(zhì)：增減性、比較大小

1、已知點A（如，”JB（膽2，〃2），（如<加2）在直線y=Ax+。上。若見+"2=38，nt+n2=kb+4,b>2<>試比較〃i

和“2的大小，并說明理由。

兩條直線關(guān)系：平行、相交

5、我們知道，當兩條直線公共點時，稱這兩條直線相交.類似地，我們定義：當一條直線與一個正方形有兩個

公共點時，稱這條直線與這個正方形相交.如圖，在平面直角坐標系中，正方形0A8C的頂點為。(0,0)、

A(l,0)、B(l,1)、C(0,1).

(1)判斷直線y=-1-x+-1-與正方形OABC是否相交，并說明理由；

⑵設(shè)d是點O到直線產(chǎn)一小x+b的距離，若直線尸一小x+6與正方形OABC相交，求d的取值范圍.

y1'

CB

A

與x、y軸交點、交點、比較大小、分段函數(shù)、形成的面積問題

1、直線y=3x+2與x軸的交點坐標是,與y軸的交點坐標是；

直線y=x+2與x軸的交點坐標是,與)，軸的交點坐標是：

2、一次函數(shù)y=3x+b的圖象與兩坐標軸圍成的三角形面積是24,求。

3、已知整數(shù)尤滿足0WxW5,y=x+2,y2=-2x+5,對任意一個x,ye%中的較大值用機表示，則機的

最小值是()

A.3B.5C.7D.2

4、在平面直角坐標系中，已知函數(shù)乂=2x和函數(shù)％=-》+6,不論x取何值，％都取弘與乃之間的較小值。

求處關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；并畫出先關(guān)于x的圖象.

5、已知點P是直線y=3x-\與直線y=x+〃S>0)的交點，直線y=3x-\與x軸交于點A,直線y=x+h與y

軸交于點艮若△以8的面積是12求6的值.

圖形變換：平移——上加下減

2、特殊性質(zhì)：3k

1、如圖，在平面直角坐標系北>)，中，A(0,2),B(0,6),動點C在直線y=x上.若以A、B、C三點為頂點的

三角形是等腰三角形，則點C的個數(shù)是()

A.2B.3C.4D.5

2、如圖，平面直角坐標系中，直線AB與x軸,y軸分別交于A(3,0),8(0,6)兩點，點C為線段AB上的一

動點，過點C作C￡)_Lx軸于點￡)。若5行》=￡，求C點坐標;

6

反比例函數(shù)

k

定義：形如y=—

x

圖象性質(zhì)：

1、畫圖：3-5點——列表、描點、連線

增減性、對稱性

1、菱形的面積為6,寫出它的兩條對角線長工與y的函數(shù)關(guān)系，并畫出函數(shù)圖像。

2、⑴正比例函數(shù)產(chǎn)鬲武鬲聲0）和反比例函數(shù)產(chǎn)乙（左2翔）的一個交點為（加，及），則另一個交點為.

X

4

（2）直線y=&（A＞0）與雙曲線》二一交于4a[,y），B（M，力）兩點，則2玉%—的值等于:

x

2、反比例函數(shù)性質(zhì)

【知識要點】

%的符號Q0k<0

函數(shù)圖象J

（拋物線）1

X取值范圍：中0x取值范圍：燈0

X,y取值范圍

y取值范圍：燈0y取值范圍：燈0

位置圖象在__________象限內(nèi)圖象在___________象限內(nèi)

增減性在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而___________在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而________

對稱性反比例函數(shù)的圖象是關(guān)于原點成中心對稱的圖形

1、（1）已知點4。，份在反比例函數(shù)》=，圖象上，若1V〃V2,則b的范圍為

x

（2）己知相〃二一2,若一1＜根＜2,則〃的范圍為

2、已知實數(shù)a,。滿足a—匕=1,/一必+2>0,當1勺區(qū)2時，函數(shù)尸三(存0)的最大值與最小值之差是1,

求a的值.

2、與一次函數(shù)綜合：

交點、比較大小、面積問題

1、直線y=-x+6與雙曲線y=-1(xVO),交于點A,與x軸交于點8,則。。

4

2,已知一次函數(shù)了=丘+。與反比例函數(shù)>=一的圖象相交于點A(-1,B(-4,〃).

(1)求一次函數(shù)的關(guān)系式；

(2)在給定的直角坐標系中畫出這兩個函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象回答：當x為何值時，一次函數(shù)的值大于反比

例函數(shù)的值？

5

4

3

2

-5-4-3-27°12345x

-1

-2

-3

-4

-5

3、如圖，矩形A08C中，C點的坐標為(4,3),,尸是BC邊上的一個動點(不與B,C重合)，過產(chǎn)點的反比例

函數(shù)y=人僅＞0)的圖像與AC邊交于點E。

x

(1)若BF=1,求AOE尸的面積；

(2)請?zhí)剿鳎菏欠裨谶@樣的點F,使得將ACEF沿EF對折后，C點恰好落在。8上？若存在，求出點A的值；

若不存在，請說明理由

4,已知點。是平面直角坐標系的原點，直線y=—與雙曲線丫=!交于兩個不同的點4(m，〃)(M?N2)和

x

B(p,q),直線)=-%+機+〃與y軸交于點C,求△08C的面積S的取值范圍.

5,已知點A(l,c)和點仇3,")是直線y=^x+匕與雙曲線y=&也,>0)的交點.

X

(1)過點4作40軸，垂足為M,連結(jié)3M.若AM=BM，求點3的坐標.

(2)若點P在線段AB上，過點尸作軸，垂足為E,并交雙曲線y=&(網(wǎng)>0)于點N.

X

PN1

當而取最大值時，有PN=Z，求此時雙曲線的解析式.

2..........

6、已知雙曲線y=—和直線y=-2%,點C(a,Z?)(R?V2)在第一象限，過點C作大軸的垂線交雙曲線于點F,交

x

直線于點6,過點C作y軸垂線交雙曲線于點，交直線于點A.

(1)若〃=1,則結(jié)論“A、E不能關(guān)于直線尸8對稱”是否正確？若正確，請說明理由；若不正確，請舉反例.

(2)若NCAB=NCFE,設(shè)卬=AC-EC,當1<〃V2,求w的取值范圍.

4、特殊性質(zhì)：k的幾何意義，以及xy=k的消參作用

3

1、已知點A是反比例函數(shù)y二-二圖象上的一點.若AB垂直于y軸，垂足為B,則△箱的面積=.

x

1?

2、雙曲線y=上與y=士在第一象限內(nèi)的圖像如圖7所示，作一條平行于y軸的直線分別交雙曲線于A、B兩點,

xx

連接04、0B,則AAOB的面積為

2

3、如圖，點M是反比例函數(shù)>=一（公>0）圖象上任意一點，軸于N,點P是x軸上的動點，則△MNP的

x

面積是（）

A.1B.2C.4D.不能確定

1236

一B.y=-C.

A.y=y二一y=-

xxXX

4、如圖，雙曲線y=X（A>0）經(jīng)過矩形0A8C的邊2C的中點E,交A8于點D若梯形0￡>8c的面積為3,則雙

x

曲線的解析式為（）

5、如圖14,矩形0ABe交雙曲線丁="（左>0）于E、尸兩點，已知E是BC的中點，求證：尸是AB的中點

X

6、已知雙曲線y=4(上>0),過點M(m，w)(w>VT)作M4J_x軸，MBJ_)，軸，垂足分別是A和8,MA.MB

X

分別交雙曲線y=4(k>0)于點E、F.

X

(1)若仁2,加=3,求直線EF的解析式；

(2)。是坐標原點，連結(jié)OF,若NBOF=22.5。，多邊形8QAE尸的面積是2,求Z的值。

二次函數(shù)

定義：

圖象性質(zhì)：

1、畫圖：3-5點(含頂點)——列表、描點、連線

增減性、對稱性、最值性、與x軸交點、△、f(1)、f(-1)、f(2)、f(-2)、f(m);

函數(shù)開口對稱軸頂點最大(小)值增減性

〃>0,當x=h時，當x<h時，\；

開口向匕y有最小值為k.當?shù)诿跁r，/.

y=a(xh)+k直線x=h(h,k)

。<0,當x=h時,當X</l時，/；

開口向下.y有最大值為k.當時，

當A—/時，當XV—四時,\;

a>0,

直線音b4〃c~~/

y=cuc+bx+c(一4a)

2/b~

開口向上.y有最小值為4tz%c—.當X>一治時，/.

字母字母的符號圖象的特征

67>0開口向上

a

a<0開口向下

b=0對稱軸為y軸

h

a.b同號對稱軸在y軸的左邊

a.b異號對稱軸在y軸的右邊

c=0經(jīng)過原點

c

c>0在x軸的上方（與y軸的正半軸相交）

c<0在x軸的下方（與y軸的負半軸相交）

△=0與X軸只有一個交點（頂點在X軸上）

△

△>0與X軸有兩個交點

△<0與X軸沒有交點

b

2a+b一三與1比較

2a

-2與-i比較

2ab

2a

a+/7+c令x=l,看縱坐標

a-b+c令4?1,看縱坐標

4a+2Z?+c令42,看縱坐標

4。-2Z7+c令4-2,看縱坐標

【基本的圖象性質(zhì)和符號判斷】

1、二次函數(shù)＞=0?+—+或4片0）的圖象如圖1,結(jié)合圖象填空：

a0,b0,c0.b~—4ac0,2a+b0,2a一b0,a+6+c0,a-%+c0,

4a+2h+c0,4a~2b+c0

2、二次函數(shù)＞=0?+笈+。的圖象如圖2所示，試判斷下列各式的符號

a0,b0,c0,2a+60,2a—b0,b2~4tzc0,“+b+c0＞a~~b+c0,

44+2b+c0?4〃-2b+c0

【對稱性、增減性】

1、若二次函數(shù)y=（x-m）2-l.當xwi時，y隨x的增大而減小，則加的取值范圍是（）

4、777=1B、m＞\C、m＞\D、m＜\

2,已知二次函數(shù)y=d+3+l）x+c,若x42,），隨x增大而減小，則實數(shù)b的取值范圍是；若

點4（1,c）、BQ》，）1、C（2,%）在這個函數(shù)圖像上，且必＜見，則實數(shù)。的取值范圍是；

【函數(shù)與方程】

1、二次函數(shù)曠=以2+/JX+C（WO）中，自變量的x與函數(shù)y的對應(yīng)值如下表：

X-2-101234

A11141

yw-4—m-2tn——mtn——m-2“一4一

2222

若1＜機＜1,，則一元二次方程辦2+bx+c=0的兩個根X”M的取值范圍是（）

2

A＞2＜必＜3B、-2＜即＜-1,1＜也＜2

C、0＜X]Vl,1＜必＜2D\3＜必＜4

2、二次函數(shù)—x+c（c。））一定經(jīng)過點（"J，',）,

42

ML,1+—4ac）1+A/1—4ac,,B

3、代數(shù)式a------------------------+c+l的值是_____________.

、2aJ2a

4、已知一個二次函數(shù)的），=一（*+/02+/（0#0）,方程（彳+獷-J-1=（）的兩根是6，“<c）,方程（工+少一/

-2=0的兩根分別為〃?，nCm<n）,判斷6,c,m,"的大小關(guān)系（用"V"連接）.

【實際問題】

1、汽車剎車后行駛的距離s（單位：米）與行駛的時間f（單位：秒）的函數(shù)關(guān)系是s=15f-6/，那么汽車剎車

后停下來

2、從地面擊出一個小球，如果不考慮空氣阻力，小球的飛行時離地面的高度力（單位：米）與飛行時間（單位：

秒）之間的函數(shù)關(guān)系是：力=20,-5入則小球從飛出到落地要用秒.

【取值范圍、增減性】

1、拋物線y=f—2x—3的開口向；當-2WxW0時，y的取值范圍是.

2、已知實數(shù)4,%滿足〃+%=1,/+M+1>o,當KcW2時，二次函數(shù)y=ax2-6ax+9a（“W0）的最大值與最小

值之差是9,求a的值.

2、圖象平移：左加右減、上加下減

1、將拋物線y=/向右平移一個單位長度，再向上平移3個單位長度所得的拋物線的解析式為（）

4.y=(x—1>+3B.y=(x+l>+3C.y=(x-l)2-3D.y=(x+l>—3

2、如果將拋物線y=W向右平移1個單位，那么所得的拋物線的表達式是()

A.y—^—\B.y=f+lC.y=(x—1尸D.>=。+1尸

3^與一次函數(shù)綜合：

交點、比較大小、面積問題、軌跡方程、幾何圖形存在性問題

1、已知二次函數(shù)丁=0?+法+。3<())的部分圖像如圖7所示，拋物線與x軸的一個交點坐標為(3,0),對稱軸為

直線x=l.

(1)若4=—1,求C的值；

(2)若實數(shù)根r1,比較與〃2(〃加+力的大小，并說明理由

2、已知二次函數(shù)y=f—x+c.

(1)若點4(—1,〃)、5(2,2"-1)在二次函數(shù)y=*2—x+c的圖象上，求此二次函數(shù)的最小值;

⑵若點O(x”yi)、氏初，")、P(m，")(爪>0)在二次函數(shù)>=工2—x+c,的圖象上，且。、E兩點關(guān)于坐標原點成中

□

心對稱，連接OP.當2gWOPW2+啦時，試判斷直線。E與拋物線y=x2-r+c+*的交點個數(shù)，并說明理由.

3、如圖1,過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平

寬”⑷，中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度BD叫4ABC的“鉛垂高(/?『我們可得出一種計算三角形面積的

新方法：S“Bc=gah,即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半?

解答下列問題：

如圖2,拋物線頂點坐標為點。(1,4),交x軸于點8(3,0),交)，軸于點C。在第一象限的拋物線上是否存在一

點P，使5曠相最大，若存在，求出P點的坐標：若不存在，請說明理由.

4、已知拋物線y=-d+2/nr-機2+2的頂點4在第一象限，過點A作A8_Ly軸，垂足為B,C是線段AB上一

點(不與端點A、B重合)，過C作COJ_x軸，垂足為。，并交拋物線于點P。

(1)若點C(l,a)是線段48的中點，求點P的坐標；

(2)若直線AP交y軸的正半軸于點E,且AC=CP,求△OPE的面積S的取值范圍。

5、拋物線y=x?+Ax+c?的頂點為Q(-1,-4),與y軸交于點C(0,-3),與x軸交于A,8兩點(點A在點8

的左側(cè)).

(1)連接AC,CD,AD,試證明△ACO為直角三角形；

(2)若點E在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點F,使以A,B,E,F為頂點的四邊形為平行四邊形？

若存在，求出所有滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由.

6、如圖，直線y=x+2與拋物線)，=0?+以+6(“和)相交于A(‘，2)和B(4,巾)，點P是線段AB上異于4、B

22

的動點，過點尸作尸軸于點。，交拋物線于點C.

(1)是否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由;

(2)求△aic為直角三角形時點P的坐標.

5、純參數(shù)問題

1,若拋物線y=/+法+c與x軸只有一個交點，且過點A(〃i,〃)，B(〃?+6,〃)，則〃=

2、已知a>h>c,且4+〃+c=0,則拋物線y=cvC+Zzx+c與直線y=—bx的交點個數(shù)有.個.

3、若拋物線y=o?+6x+c上有兩點A、8關(guān)于原點對稱，則稱它為“完美拋物線”.

(1)請猜猜看：拋物線y=f+x-1是否是“完美拋物線”？若是，請寫出A、B坐標；若不是，請說明理由;

2

(2)若拋物線丫=62+桁+'是“完美拋物線”，與y軸交于點C,與x軸交于(-$,0),若葭然。；?，求直線

2b

AB的解析式.

5、X系方程

1、若尤1,X2是關(guān)于X的方程f+版+c=0的兩個實數(shù)根，且悶+必1=2閡伏是整數(shù))，則稱方程/+法+。=0

為“偶系二次方程”.如方程x2—6x—27=0,X2—2x—8—0,』+3x———0,f+6x—27=0,x2+4x+4=0,

4

都是“偶系二次方程”.

(1)判斷方程f+x—12=0是否是“偶系二次方程”，并說明理由；

(2)對于任意一個整數(shù)6,是否存在實數(shù)c,使得關(guān)于x的方程f+加+c=0是“偶系二次方程”，并說明理由.

2、若斯，必是關(guān)于x的方程法+c=0的兩個實數(shù)根，且滿足|如+2咫1=匕1+2,則稱方程f+版+c=0為

“T系二次方程”.如方程$-2x=0