第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年江蘇省泰州市多校高三（上）暑期數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.集合和邏輯用語(yǔ)描述了精彩的數(shù)學(xué)世界，下列說(shuō)法正確的是(

)A.隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω，若?ω∈Ω，?ξ∈R，ω與ξ一一對(duì)應(yīng)，則ξ為隨機(jī)變量

B.{f|f(x)=?f(?x),x∈R}∩{f|f(x)=f(?x),x∈R}=?

C.函數(shù)f：A→B的定義域是數(shù)集A，值域是數(shù)集B

D.數(shù)列的本質(zhì)是定義域?yàn)镹，值域是數(shù)集的函數(shù)2.如圖所示，點(diǎn)A,B在⊙O上，向量a所在直線與⊙O相切于點(diǎn)A，向量b=AB.若已知下列選項(xiàng)給出的量，則可以得到a

①a

②b

③⊙O半徑r

④∠AOBA.①④ B.①② C.③ D.⑤3.設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個(gè)變量的n對(duì)樣本數(shù)據(jù)為(x1,y1)，(x2,yA.i=1n|yi?(bxi+a)| 4.函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來(lái)刻畫．下列情景可以使用指數(shù)函數(shù)模型的是(

)A.在彈性限度內(nèi)，彈簧的彈力與其形變量成正比

B.以每年5%增長(zhǎng)率遞增的物價(jià)翻一倍所需的時(shí)間

C.動(dòng)物種群個(gè)體數(shù)量的瞬時(shí)變化率與個(gè)體數(shù)量成正比

D.物體溫度的瞬時(shí)變化率正比于物體與環(huán)境的溫度差5.圓x2+y2A.D2=E2=4F B.D26.一只蝸牛從數(shù)軸原點(diǎn)出發(fā)向正方向前進(jìn)1個(gè)單位長(zhǎng)度，接著后退12個(gè)單位長(zhǎng)度，然后再前進(jìn)14個(gè)單位長(zhǎng)度，接著后退18個(gè)單位長(zhǎng)度，以此類推.經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后，蝸牛將始終會(huì)在某個(gè)位置附近前后爬行，這個(gè)位置的坐標(biāo)是A.34 B.23 C.57.下列關(guān)于隨機(jī)事件的說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.必然事件與任意事件獨(dú)立 B.不可能事件與任意事件獨(dú)立

C.兩個(gè)概率大于0的互斥事件可以不獨(dú)立 D.兩個(gè)概率大于0的獨(dú)立事件可以互斥8.已知A=x∈Nx<12,B=x∈Nx<3，函數(shù)f1:A→N,f1x的值等于x除以6得到的余數(shù)，f2:N→B.設(shè)fA.729 B.189 C.378 D.540二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說(shuō)法正確的是(

)A.若ξ～Nμ,σ2，則Pξ=μ=1σ2π

B.若X～B4,14，則PX≥210.平面內(nèi)有一點(diǎn)O，小明從點(diǎn)A1出發(fā)，依次到達(dá)點(diǎn)A2,A3,…,AiAi+1A.OA3=3A1A2 B.|OAn11.函數(shù)f(x)，g(x)，?(x)的解析式分別為f(x)=sin1x，x>0，g(x)=xsin1x,x≠0,0,x=0,A.g′(0)=0 B.?′(0)=0

C.數(shù)列{1an}是以π2為首項(xiàng)的等比數(shù)列 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.?ABC的三邊分別為a,b,c，邊BC上的中線長(zhǎng)為

．13.與家庭電路不同，從發(fā)電廠到用戶端的高壓電路只有三根火線而沒有零線.實(shí)際上，發(fā)電廠通常采用三相正弦交流進(jìn)行發(fā)電，三根火線的瞬時(shí)電流表達(dá)式分別為iA=Isinωt，iB=Isin(ωt+1314.已知在n行n列的數(shù)陣中，第1行第1列的數(shù)為a0，數(shù)陣的每一列從上往下組成公差為d1的等差數(shù)列，每一行從左往右組成公差為d2的等差數(shù)列．從第n行第1列的數(shù)開始，沿?cái)?shù)陣的對(duì)角線斜向上組成新的數(shù)列，該數(shù)列所有項(xiàng)之和為

.整個(gè)數(shù)陣的所有數(shù)的總和為

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知f(x)=exsinx．

(1)計(jì)算并畫出f(x)在[?π,π]上的大致圖象．

(2)將f(x)在(0,+∞)上所有的極大值點(diǎn)以及極大值從小到大依次排列，分別組成數(shù)列{an}和{16.(本小題12分)已知常數(shù)a,b,c∈R，設(shè)關(guān)于x的方程ax(1)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求解該方程．(2)當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)該方程的復(fù)根分別為x1,(3)如果多項(xiàng)式的系數(shù)是復(fù)數(shù)，那么稱該多項(xiàng)式為復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式．已知任何一元n次(n∈N?)復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程fx=0至少有一個(gè)復(fù)根．證明：fx=0(4)將題設(shè)的常數(shù)“a,b,c∈R”改為“a,b,c∈C”，并證明：(2)仍然成立．17.(本小題12分)

以A地生產(chǎn)的所有番茄為總體，總體中每個(gè)番茄的重量為隨機(jī)變量X，X～N(μ,σ2)，其中μ，σ均為正數(shù).隨機(jī)從總體中抽取n個(gè)番茄作為一個(gè)樣本，番茄的重量分別為X1，X2，?，Xn，其取值相互獨(dú)立.樣本均值為X?．

(1)已知對(duì)于任意的隨機(jī)變量Y1，Y2，?，Yn，有E(i=1nYi)=i=1nE(Yi)；如果Y1，18.(本小題12分)

在多項(xiàng)式的運(yùn)算中，二項(xiàng)式定理有著非常重要的作用.當(dāng)帕斯卡(BlaisePascal,16231662)建立了正整數(shù)次幕的二項(xiàng)式定理之后，這個(gè)定理又被其他數(shù)學(xué)家們作了進(jìn)一步的推廣，其中萊布尼茨(G.W.Leibniz,1646?1716)和約翰?伯努利(Jo?annBernoulli,1667?1748)則將二項(xiàng)式定理推廣成多項(xiàng)式定理．

(1)現(xiàn)有7個(gè)不同編號(hào)的白球，將其中2個(gè)球染成紅色，3個(gè)球染成藍(lán)色，2個(gè)球染成黃色，求染色方案的種數(shù)．

(2)現(xiàn)有n個(gè)不同編號(hào)的白球，將其中i個(gè)球染成紅色，j個(gè)球染成藍(lán)色，k個(gè)球染成黃色，i+j+k=n且n，i，j，k∈N，求染色方案的種數(shù).(用階乘符號(hào)表示)

(3)“∑”求和符號(hào)可用于求所有滿足約束條件的式子的和，例如i+j=5=aibj=a1b4+a219.(本小題12分)一條直線與另外兩條異面直線同時(shí)垂直且相交，則稱該直線是兩條異面直線的公垂線，并把以兩垂足為端點(diǎn)的線段稱為兩異面直線的公垂線段，公垂線段的長(zhǎng)度則被稱為兩異面直線之間的距離．(1)用符號(hào)語(yǔ)言表述公垂線、公垂線段及兩異面直線之間的距離的定義．(2)證明：兩條異面直線的公垂線有且僅有一條．(3)在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，直線l1過(guò)點(diǎn)A1,1,4，方向向量m=5,1,4；直線l2過(guò)點(diǎn)B2,0,2，方向向量Ⅰ.若共面，(ⅰ)求l1與l2交點(diǎn)(ⅱ)已知M∈l，記l與l1所確定的平面為α，記l與l2所確定的平面為β，若α⊥β，試問：l是否確定？若確定，求出Ⅱ.若異面，(ⅰ)請(qǐng)給出證明．(ⅱ)l為l1與l2的公垂線，M=l∩l1,N=l∩l2(ⅲ)求OM．

參考答案1.A

2.D

3.D

4.C

5.A

6.B

7.D

8.B

9.BCD

10.ACD

11.BD

12.1213.0

14.na15.解：(1)f′(x)=exsinx+excosx=2exsin(x+π4)，因?yàn)閑x>0，x?π(?π,??(?3π(πf′(x)?0+0?f(x)0↘?↗↘0f(x)的圖象如下圖所示：

(2)由于當(dāng)x∈(0,3π4)時(shí)，f′(x)>0；

當(dāng)x∈(3π4+2kπ,7π4+2kπ)(k=0,1,2,?)時(shí)，f′(x)<0；

當(dāng)x∈(7π4+2kπ,11π4+2kπ)(k=0,1,2,?)時(shí)，f′(x)>0，

因此x=3π4+2kπ(k=0,1,2,?)是極大值點(diǎn)．

將極大值點(diǎn)從小到大依次排列，形成數(shù)列{an}，得an=3π4+(n?1)?2π，

an+1?an=3π416.解：(1)當(dāng)a=0,b=0,c=0時(shí)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)根，所有根組成的集合是C；當(dāng)a=0,b=0,c≠0時(shí)，方程無(wú)根；當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，方程的根為x=?c當(dāng)a≠0時(shí)，配方得x+b①當(dāng)Δ=bx1②當(dāng)Δ=b2?4ac<0由于4a24ac?由于(±i)2=?1故方程有兩個(gè)復(fù)根x1(如果認(rèn)為i=?1，然后把兩種情況合并成一種情況x=?b±b2?4ac2a，則不正確．因?yàn)槲覀冎辉x過(guò)就算?1=i，那為什么不是再次強(qiáng)調(diào)：?1不是i，“i”不能寫成“?1”，i僅僅只是人為規(guī)定的一個(gè)抽象的數(shù)，它滿足(2)①當(dāng)Δ=b2②當(dāng)Δ=b2(3)一元n次n∈N?復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程不妨設(shè)該方程的一個(gè)復(fù)根為x1，則fx必然能夠分解出一個(gè)因式x?x由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可知，方程f1x=0是一元n?1不妨設(shè)該方程的一個(gè)復(fù)根為x2，則f1x必然能夠分解出一個(gè)因式x?重復(fù)該過(guò)程，最終fx其中c為常數(shù)，c∈C.顯然fx有n個(gè)復(fù)數(shù)根(重根按重?cái)?shù)計(jì))(4)由(3)得復(fù)系數(shù)二次方程ax2+bx+c=0a,b,c∈C有兩個(gè)復(fù)數(shù)根，分別設(shè)為即ax和原方程比較系數(shù)，得?ax即x1

17.解：(1)由題意得E(X?)=E(1ni=1nXi)=1nE(i=1nXi)=1ni=1nE(Xi)=1ni=1nμ=1n?nμ=μ．18.解：(1)染色方案總數(shù)為C72C53C22=210．

(2)染色方案總數(shù)為CniCn?ijCn?i?jk=n!i!(n?i)!?(n?i)!j!(n?i?j)!?(n?i?j)!k!(n?i?j?k)!=n!i!j!k!．

(3)由于A的次數(shù)是n，因此A的每一項(xiàng)都是n次項(xiàng)，即每一項(xiàng)中a1，a2，?，am的指數(shù)和為n．

不妨設(shè)展開式通項(xiàng)為L(zhǎng)k1,k2,?,kma1k1a2k2?amkm，其中k1，k2，?，km∈N，k1+k2+?+km=n．

而Lk1,k2,?,km就當(dāng)于“現(xiàn)有n個(gè)不同編號(hào)的白球，將其中k1個(gè)球染成顏色1，k2個(gè)球染成顏色2，?19.解：(1)設(shè)兩條直線分別為l1和l2,l1若l⊥l1,l∩l1=M,l⊥l線段MN為l1與l2的公垂線段，線段MN的長(zhǎng)度為l1(2)(反證法)假設(shè)l的另外一條直線l′也是兩條異面直線l1與l不妨設(shè)l′⊥l平移l得到l0，使得N′∈l0，則l記l0與l′所決定的平面為α由于l1⊥l，故l1⊥l0，又因?yàn)橛捎趌2⊥l，故l2⊥l0，又因?yàn)橛忠驗(yàn)閘1≠l2，所以l1所以兩條異面直線l1與l2的公垂線(3)異面．(ⅰ)證明：(反證法)假設(shè)l1與l2共面α，設(shè)面α的法向量分別平移m,n，使起點(diǎn)分別落在點(diǎn)A和點(diǎn)B處，則m,于是k⊥m且k⊥n，得k?顯然AB在面α內(nèi)，故k⊥AB，得k?k?與k?AB=0矛盾，故l(ⅱ)平移l1得到l′1，使得l′1∩l因?yàn)閘⊥l1，所以l⊥l′1，又因?yàn)閘⊥l故l1與l2之間的距離，即線段MN的長(zhǎng)度等于點(diǎn)M到面因?yàn)閘1與l2異面，所以l1?α，又因?yàn)樗渣c(diǎn)M到面α的距離等于點(diǎn)A到面α的距離．而點(diǎn)A到面α的距離dA故l1與l2之間的距