第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)1.1.1集合及其表示方法人教B版（2019）在生活與學(xué)習(xí)中，為了方便，我們經(jīng)常要對(duì)事物進(jìn)行分類(lèi).例如，圖書(shū)館中的書(shū)是按照所屬學(xué)科等分類(lèi)擺放的，作文學(xué)習(xí)可按照文體如記敘文、議論文等進(jìn)行，整數(shù)可以分成正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零這三類(lèi)……你能說(shuō)出數(shù)學(xué)中其他分類(lèi)實(shí)例嗎？試著分析為什么要進(jìn)行分類(lèi).情境與問(wèn)題1.集合在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用“集合”來(lái)對(duì)所研究的對(duì)象進(jìn)行分類(lèi).把一些能夠確定的、不同的對(duì)象匯集在一起，就說(shuō)由這些對(duì)象組成一個(gè)集合（有時(shí)簡(jiǎn)稱(chēng)為集），組成集合的每個(gè)對(duì)象都是這個(gè)集合的元素.集合通常用英文大寫(xiě)字母A，B，C，…表示，集合的元素通常用英文小寫(xiě)字母a，b，c，…表示．元素與集合的關(guān)系嘗試與發(fā)現(xiàn)你能舉出幾個(gè)用集合表達(dá)的、與數(shù)學(xué)有關(guān)的例子嗎？指出例子中集合的元素是什么.現(xiàn)在我們來(lái)考慮方程x+1=x+2的所有解組成的集合，由于該方程無(wú)解，因此這個(gè)集合不含有任何元素.空集根據(jù)集合的概念可知，集合的元素具有以下特點(diǎn)：（1）確定性：集合的元素必須是確定的.因此，不能確定的對(duì)象不能組成集合，即給定一個(gè)集合，任何對(duì)象是不是這個(gè)集合的元素，應(yīng)該可以明確地判斷出來(lái)。（2）互異性：對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素一定是不同的.因此，集合中的任意兩個(gè)元素必須都是不同的對(duì)象，相同的對(duì)象歸入同一個(gè)集合時(shí)只能算作集合中的一個(gè)元素.例如，由英語(yǔ)單詞success（成功）中的所有英文字母組成的集合，包含的元素只有4個(gè)，即s，u，c，e.（3）無(wú)序性：集合中的元素可以任意排列.集合中元素的三個(gè)特性嘗試與發(fā)現(xiàn)（1）你所在的班級(jí)中，身高不低于175cm的同學(xué)能組成一個(gè)集合嗎？（2）你所在的班級(jí)中，高個(gè)子同學(xué)能組成一個(gè)集合嗎？為什么？（3）不等式

x-2＞1的所有解能組成一個(gè)集合嗎？能能不能不滿(mǎn)足確定性給定兩個(gè)集合A和B，如果組成它們的元素完全相同，就稱(chēng)這兩個(gè)集合相等，記作A＝B．集合相等集合可以根據(jù)它含有的元素個(gè)數(shù)分為兩類(lèi)：含有有限個(gè)元素的集合稱(chēng)為有限集，含有無(wú)限個(gè)元素的集合稱(chēng)為無(wú)限集.空集可以看成包含0個(gè)元素的集合，所以空集是有限集.集合的分類(lèi)2.幾種常見(jiàn)的數(shù)集【歸納總結(jié)】常用數(shù)集之間的關(guān)系實(shí)數(shù)集R分?jǐn)?shù)集整數(shù)集Z無(wú)理數(shù)集有理數(shù)集Q負(fù)整數(shù)集自然數(shù)集N正整數(shù)集N+或N*{0}3.列舉法把集合中的元素一一列舉出來(lái)（相鄰元素之間用逗號(hào)分隔），并寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)，以此來(lái)表示集合的方法稱(chēng)為列舉法.試用列舉法表示下列集合：（1）由兩個(gè)元素0，1組成的集合可用列舉法表示為（2）24的所有正因數(shù)1，2，3，4，6，8，12，24組成的集合可用列舉法表示為（3）中國(guó)古典長(zhǎng)篇小說(shuō)四大名著組成的集合可以表示為{0，1}；{1，2，3，4，6，8，12，24}；{《紅樓夢(mèng)》，《三國(guó)演義》，《水滸傳》，《西游記》}．用列舉法表示集合時(shí)，一般不考慮元素的順序.例如，{1，2}與{2，1}表示同一個(gè)集合.但是，如果一個(gè)集合的元素較多，且能夠按照一定的規(guī)律排列，那么在不致于發(fā)生誤解的情況下，可按照規(guī)律列出幾個(gè)元素作為代表，其他元素用省略號(hào)表示.例如，不大于100的自然數(shù)組成的集合，可表示為：{0，1，2，3，...，100}.無(wú)限集有時(shí)也可用列舉法表示.

例如，自然數(shù)集N可表示為：{0，1，2，3，...，n，...}.值得注意的是，只含一個(gè)元素的集合{a}也是一個(gè)集合，要將這個(gè)集合與它的元素a加以區(qū)別，事實(shí)上：a∈{a}.嘗試與發(fā)現(xiàn)以下集合用列舉法表示方便嗎？如果不方便，你覺(jué)得可以怎樣表示？（1）滿(mǎn)足x>3的所有數(shù)組成的集合A；（2）所有有理數(shù)組成的集合Q.上述表示集合的方法中，大括號(hào)內(nèi)豎線(xiàn)的左邊是元素的形式，豎線(xiàn)的右邊是只有這個(gè)集合中的元素才滿(mǎn)足的性質(zhì).一般地，如果屬于集合A的任意一個(gè)元素x都具有性質(zhì)p(x)，而不屬于集合A的元素都不具有這個(gè)性質(zhì)，則性質(zhì)p(x)稱(chēng)為集合A的一個(gè)特征性質(zhì).此時(shí)，集合A可以用它的特征性質(zhì)p(x)表示為{x

|p(x)}.這種表示集合的方法，稱(chēng)為特征性質(zhì)描述法，簡(jiǎn)稱(chēng)為描述法.4.描述法試用描述法表示下列集合：（1）所有平行四邊形組成的集合（2）所有能被3整除的整數(shù)組成的集合（3）所有被3除余1的自然數(shù)組成的集合{x

|

x是一組對(duì)邊平行且相等的四邊形}{x|x＝3n，n∈Z}{x

|

x＝3n＋1，n

∈N}也可表示為{x

∈

N

|

x＝3n＋1，n

∈

Z）

這就是說(shuō)，集合{x

|

p(x)}中所有在另一個(gè)集合I中的元素組成的集合，可以表示為{x

∈

I

|

p(x)}.嘗試與發(fā)現(xiàn)判斷A與B是有限集還是無(wú)限集，由此思考該選用哪種表示方法.5.區(qū)間及其表示上述區(qū)間中，a，b分別稱(chēng)為區(qū)間的左、右端點(diǎn)，b-a稱(chēng)為區(qū)間的長(zhǎng)度．區(qū)間可以用數(shù)軸形象地表示．例如，區(qū)間[-2，1）可用下圖表示，注意圖中-2處的點(diǎn)是實(shí)心點(diǎn)，而1處的點(diǎn)是空心點(diǎn)．在用數(shù)軸表示區(qū)間時(shí)，實(shí)心點(diǎn)代表取得到，空心點(diǎn)代表取不到．類(lèi)似地，上述區(qū)間也可用數(shù)軸來(lái)形