2023屆高三年級1月模擬考試數(shù)學(xué)（文科）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．集合，則（）A． B． C． D．2．設(shè)，其中為實(shí)數(shù)，則（）A． B． C． D．3．已知向量，則（）A．2 B．3 C．4 D．54．設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)，若，則（）A．2 B． C．3 D．5．已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為，則（）A．14 B．12 C．6 D．36．在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則（）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面7．函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）A． B． C． D．8．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到曲線，若關(guān)于軸對稱，則的最小值是（）A． B． C． D．9．當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（）A． B． C． D．110．甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（）A． B． C． D．11．設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點(diǎn)、兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知正四棱錐的側(cè)棱長為，其各頂點(diǎn)都在同一球面上．若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則公差_________．14．若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________．15．設(shè)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為_________．16．記函數(shù)的最小正周期為，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為_________．三、解答題：17．（10分）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）證明：；（2）若，求的周長．18．（12分）記為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若成等比數(shù)列，求的最小值．19．（12分）如圖，四面體中，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，點(diǎn)在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求三棱錐的體積．20．（12分）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，分別是的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．21．（12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．（1）若，求；（2）求的取值范圍．22．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的最大值；（2）若恰有一個零點(diǎn)，求的取值范圍．

數(shù)學(xué)（文科）—答案一、選擇題1．A【詳解】，所以．2．A【詳解】因?yàn)?，所以，解得：?．D【詳解】因?yàn)?，所以?．B【詳解】由題意得，，則，即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入得，，所以．5．D【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以．6．A【詳解】解：在正方體中，且平面，又平面，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；7．A【詳解】令，則，所以為奇函數(shù)，排除BD；又當(dāng)時，，所以，排除C．8．C【詳解】由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對稱，則，解得，又，故當(dāng)時，的最小值為．9．B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，所以依題可知，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有10．C【詳解】解：設(shè)母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以．11．C【詳解】解：依題意可得，因?yàn)?，所以，要使函?shù)在區(qū)間恰有三個極值點(diǎn)、兩個零點(diǎn)，又的圖象如下所示：則，解得，即．12．C【詳解】球的體積為，所以球的半徑，設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，則，所以所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時，時，，所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是．二、填空題13．2【詳解】由可得，化簡得，即，解得．14．【詳解】雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）．15．【詳解】點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)為，又因?yàn)辄c(diǎn)和均在上，點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑，，解得，的方程為．16．3【詳解】解：因?yàn)樗宰钚≌芷冢驗(yàn)?，又，所以，即，又為的零點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)?，所以?dāng)時；三、解答題：17．證明：（1）因?yàn)?，所以，所以，即，所以；?）因?yàn)椋桑?）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長為．18．解：（1）因?yàn)?，即①，?dāng)時，②，①-②得，，即，即，所以且，所以是以1為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可得，又成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時，．19．解：（1）由于是的中點(diǎn)，所以．由于，所以，所以，故，由于平面，所以平面，由于平面，所以平面平面．（2）依題意，三角形是等邊三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以．，所以，由于平面，所以平面．由于，所以，所以，所以，由于，所以當(dāng)最短時，三角形的面積最小值．過作，垂足為，在Rt中，，解得，所以，所以．過作，垂足為，則，所以平面，且，所以，所以．20．解：（1）連結(jié)．因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，且．又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．由題設(shè)知，可得，故，因此四邊形為平行四邊形，．又平面，所以平面．（2）過作的垂線，垂足為．由已知可得，所以平面，故．從而平面，故的長即為到平面的距離，由已知可得，所以，故．從而點(diǎn)到平面的距離為．21．解（1）由題意知，，則在點(diǎn)處的切線方程為，即，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，則，解得，則，解得；（2），則在點(diǎn)處的切線方程為，整理得，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時，的變化情況如下表：01-0+0-0+則的值域?yàn)椋实娜≈捣秶鸀椋?2．解（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；所以，此時函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時，，在上，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減；又，當(dāng)趨近正