高中數(shù)學(xué)精編資源河北省“五個(gè)一”名校聯(lián)盟高一年級(jí)聯(lián)考(2023.06)數(shù)學(xué)試卷(滿分:150分,測(cè)試時(shí)間:120分鐘)一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量,則下列選項(xiàng)中與共線的單位向量是()A.; B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出與向量共線的單位向量即可得解.【詳解】,,與共線的單位向量是,故選:B2.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況,用比例分配的分層隨機(jī)抽樣作抽樣調(diào)查,擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿∶麑W(xué)生,已知該校初中部和高中部分別有和名學(xué)生,則正確的()A.高中部產(chǎn)生個(gè)樣本B.初中部產(chǎn)生個(gè)樣本C.不同級(jí)部每個(gè)學(xué)生被抽取的可能性不相同D.可以從兩個(gè)級(jí)部各抽取個(gè)樣本【答案】A【解析】【分析】利用分層抽樣可得出高中部和初中部樣本的容量,即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿∶麑W(xué)生,已知該校初中部和高中部分別有和名學(xué)生,所有,初中部產(chǎn)生的樣本的容量為,高中部產(chǎn)生的樣本的容量為,則A對(duì),BCD均錯(cuò).故選:A.3.已知為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則下列四個(gè)選項(xiàng)正確的是()A.B.若是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),則C.復(fù)數(shù)的虛部為D.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可判斷A選項(xiàng);利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷B選項(xiàng);利用復(fù)數(shù)的概念可判斷C選項(xiàng);利用復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?對(duì)于A選項(xiàng),,A錯(cuò);對(duì)于B選項(xiàng),,B對(duì);對(duì)于C選項(xiàng),復(fù)數(shù)的虛部為,C錯(cuò);對(duì)于D選項(xiàng),復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限,D錯(cuò).故選:B.4.若的周長(zhǎng)等于20,面積是,則邊的長(zhǎng)是A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】利用面積公式得到的值,結(jié)合周長(zhǎng)為,再根據(jù)余弦定理列出關(guān)于的方程,求出的值即為的值.【詳解】因?yàn)槊娣e公式,所以,得,又周長(zhǎng)為,故,由余弦定理得,,故,解得,故選C.【點(diǎn)睛】考查主要考查余弦定理,以及會(huì)用三角形的面積公式的應(yīng)用,屬于中檔題.對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式:(1);(2),同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外,在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí),還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值,以便在解題中直接應(yīng)用.5.已知平面向量滿足,,,則向量與向量的夾角為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)模長(zhǎng)公式得,結(jié)合夾角公式即可求解.【詳解】,,,由于向量與向量的夾角為.故選:D.6.元宵節(jié)是春節(jié)之后的第一個(gè)重要節(jié)日,元宵節(jié)又稱燈節(jié),很多地區(qū)家家戶戶都掛花燈.下圖是小明為自家設(shè)計(jì)的一個(gè)花燈,該花燈由上面的正六棱臺(tái)與下面的正六棱柱組成,若正六棱臺(tái)的上、下兩個(gè)底面的邊長(zhǎng)分別為40cm和20cm,正六棱臺(tái)與正六棱柱的高分別為10cm和60cm,則該花燈的體積為()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的幾何體,求出正六棱臺(tái)兩底面積,再利用臺(tái)體、柱體的體積公式計(jì)算作答.【詳解】依題意,花燈的體積等于上面的正六棱臺(tái)體積與下面的正六棱柱體積的和,正六棱臺(tái)的兩個(gè)底面積分別為,,所以花燈的體積.故選:C7.已知圓錐的頂點(diǎn)為,底面圓心為,為底面直徑,,,點(diǎn)在底面圓周上,且二面角為,則下列各選項(xiàng)正確的是()A.該圓錐的體積為 B.該圓錐的側(cè)面積為C. D.過(guò)圓錐任意兩條母線的截面中面積最大的為【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項(xiàng)的正確性;利用二面角的知識(shí)判斷C;對(duì)于D選項(xiàng),結(jié)合三角形的面積公式求解判斷即可.【詳解】依題意,,,所以,A選項(xiàng),圓錐的體積為,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;B選項(xiàng),圓錐的側(cè)面展開圖扇形弧長(zhǎng)為,所以圓錐的側(cè)面積為,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;C選項(xiàng),設(shè)是的中點(diǎn),連接,則,所以是二面角的平面角,則,所以,故,則,C選項(xiàng)正確;D選項(xiàng),設(shè)過(guò)圓錐任意兩條母線的截面為,,在中,,因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),截面面積最大,而,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:C.8.已知,,且,令,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù),,求得的關(guān)系,然后將向量的坐標(biāo)運(yùn)算,,轉(zhuǎn)化成只含或的關(guān)系式,,最后結(jié)合二倍角公式代入計(jì)算求解;【詳解】由,,所以,故,所以,,所以所以.故選:B.二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)為復(fù)數(shù),則下列命題中一定成立的是()A.如果,那么B.如果,那么C.如果,那么D.如果,那么【答案】BC【解析】【分析】舉例即可說(shuō)明A、D項(xiàng);根據(jù)即可得出B項(xiàng);由,即可判斷C項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng),取,時(shí),,但虛數(shù)不能比較大小,故A項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于B項(xiàng),由,得.又,,所以,故B項(xiàng)正確;對(duì)于C項(xiàng),因?yàn)?所以,故C項(xiàng)正確;對(duì)于D項(xiàng),取,,滿足,但是,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:BC.10.小明在一次面試活動(dòng)中,10位評(píng)委給他的打分分別為:70、85、86、88、90、90、92、94、95、100.則下列說(shuō)法正確的有()A.這10個(gè)分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為90B.這10個(gè)分?jǐn)?shù)第60百分位數(shù)為91C.這10個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)大于中位數(shù)D.去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分后,平均分?jǐn)?shù)會(huì)變大,而分?jǐn)?shù)方差會(huì)變小【答案】ABD【解析】【分析】分別求得中位數(shù)、百分位數(shù)、平均值、方差判斷各選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,10個(gè)分?jǐn)?shù)從小到大排列后第5個(gè)和第6個(gè)數(shù)的平均值為,即中位數(shù)是90,A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,由于,所以第60百分位數(shù)是第6個(gè)數(shù)90與第7個(gè)數(shù)92的平均數(shù),即,所以B正確;對(duì)于C選項(xiàng):方法1:平均數(shù)相對(duì)于中位數(shù)總在“拖尾”的一則,所以C錯(cuò)誤;方法2:這10個(gè)數(shù)的均值為分,中位數(shù)是90,所以C錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng):這10個(gè)數(shù)的方差為,去掉70和100后,平均數(shù)為,方差為,90>89,,所以D正確.故選:ABD.11.已知,函數(shù),下列選項(xiàng)正確的有()A.若的最小正周期,則B.當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象C.若在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的取值范圍是D.若在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】由余弦函數(shù)周期的公式,可判定A正確;利用三角函數(shù)的圖象變換,可判定B錯(cuò)誤;根據(jù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,列出不等式組,求得的范圍,得到當(dāng)時(shí),不等式有解,可判定C正確;由在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn),列出不等式組,求得的范圍,可判定D正確.【詳解】解:由余弦函數(shù)圖象與性質(zhì),可得,得,所以A正確;當(dāng)時(shí),可得,將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得,所以B錯(cuò)誤;若在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,解得,又因?yàn)?所以只有當(dāng)時(shí),此不等式有解,即,所以C正確;若在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn),則,解得,所以D正確.故選:ACD.12.素描是使用單一色彩表現(xiàn)明暗變化的一種繪畫方法,素描水平反映了繪畫者的空間造型能力.“十字貫穿體”是學(xué)習(xí)素描時(shí)常用的幾何體實(shí)物模型,如圖是某同學(xué)繪制“十字貫穿體”的素描作品.“十字貫穿體”是由兩個(gè)完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體,其中一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱,兩個(gè)四棱柱分別有兩條相對(duì)的側(cè)棱交于兩點(diǎn),另外兩條相對(duì)的側(cè)棱交于一點(diǎn)(該點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)).若該同學(xué)繪制的“十字貫穿體”由兩個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,高為6的正四棱柱構(gòu)成,則()A.一個(gè)正四棱柱的某個(gè)側(cè)面與另一個(gè)正四棱柱的兩個(gè)側(cè)面的交線互相垂直B.該“十字貫穿體”的表面積是C.該“十字貫穿體”的體積是D.與所成角的余弦值是【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)圖形分別求出,結(jié)合勾股定理判斷垂直;表面積是由4個(gè)正方形和16個(gè)與梯形全等的梯形組成,分別計(jì)算;體積用兩個(gè)柱體體積減去重疊部分體積;由與的長(zhǎng)度,通過(guò)圖形構(gòu)造直角三角形計(jì)算兩條直線所成角的余弦.【詳解】如圖一個(gè)正四棱柱的某個(gè)側(cè)面與另一個(gè)正四棱柱的兩個(gè)側(cè)面的交線CE、DE,則在矩形中,可知,為中點(diǎn),連接,由對(duì)稱性可知,為中點(diǎn),為中點(diǎn),,,,顯然,即CE、DE不垂直,A選項(xiàng)不正確;,,該“十字貫穿體”的表面積是由4個(gè)正方形和16個(gè)與梯形BDEF全等的梯形組成則表面積,B選項(xiàng)正確;如圖兩個(gè)正四棱柱的重疊部分為多面體,取的中點(diǎn)I則多面體可以分成8個(gè)全等三棱錐,,則,且平面,則,該“十字貫穿體”的體積即為,C選項(xiàng)正確;,與所成角即,在中,,D選項(xiàng)正確;故選:BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:求解組合體的表面積和體積,關(guān)鍵是弄清它的結(jié)構(gòu)特征,從而轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積,其表面有哪些底面和側(cè)面,各個(gè)面應(yīng)該怎樣求,然后再根據(jù)公式求出各面的面積,最后再相加或相減,求體積時(shí)也要先弄清組成,求出各簡(jiǎn)單幾何體的體積,然后再相加或相減.三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.把正確答案填在答題卡上.13.已知向量,,若,則________.【答案】4【解析】【分析】由向量數(shù)量積的垂直表示求解即可.【詳解】因?yàn)?所以,得.故答案為:.14.若復(fù)數(shù)滿足(為實(shí)數(shù)),則的最大值為_______.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)計(jì)算公式,求得,然后結(jié)合,解得的最大值.【詳解】由題意知

,因?yàn)?所以當(dāng)故答案為:2.15.已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,底面,,則四棱錐外接球表面積為________;若點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)確定球心,即可計(jì)算半徑及表面積,利用翻折后,由平面上兩點(diǎn)之間距離最短確定Q位置,再由余弦定理求解最小值.【詳解】如圖,設(shè)中點(diǎn)為O,由底面,底面,所以,又,,平面,所以平面,又平面,所以,同理可得,因?yàn)?,所以,所以在中,,所以O(shè)為四棱錐外接球的球心,為該球半徑,所以其表面積為;將繞AC翻折到與所在面重合,此時(shí)運(yùn)動(dòng)到處,連接,交AC于點(diǎn)Q,如圖,此時(shí)最小,因?yàn)?,所以,又,,所以.所以的最小值為.故答案為:;16.已知三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別是,若,為銳角,則的最小值為____________.【答案】【解析】【分析】由余弦定理及正弦定理化簡(jiǎn)條件可得,代入,利用均值不等式求解.【詳解】,,由正弦定理知,,即,,兩邊同除以,可得,,,由為銳角,知,故,,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)等號(hào)成立.故答案為:四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程和演算步驟.17.已知復(fù)數(shù),,其中是虛數(shù)單位,.(1)若為純虛數(shù),求的值;(2)若,求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)z1為純虛數(shù),則其實(shí)部為0,虛部不為0,解得參數(shù)值;(2)由z1＝z2,實(shí)部、虛部分別相等,求得關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,根據(jù)的范圍求得參數(shù)取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由z1純虛數(shù),則,解得m＝－2.【小問(wèn)2詳解】由,得∴∵,∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.為了調(diào)查疫情期間物理網(wǎng)課學(xué)習(xí)情況,某校組織了高一年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了物理測(cè)試.根據(jù)測(cè)試成績(jī)(總分100分),將所得數(shù)據(jù)按照,,,,,分成6組,其頻率分布直方圖如圖所示.(1)求圖中a的值;(2)試估計(jì)本次物理測(cè)試成績(jī)的平均分;(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)(3)該校準(zhǔn)備對(duì)本次物理測(cè)試成績(jī)優(yōu)異(將成績(jī)從高到低排列,排在前13%的為優(yōu)異)的學(xué)生進(jìn)行嘉獎(jiǎng),則受嘉獎(jiǎng)的學(xué)生分?jǐn)?shù)不低于多少？【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】(1)由直方圖區(qū)間頻率和為1求參數(shù)a;(2)根據(jù)直方圖求物理測(cè)試成績(jī)的平均分即可;(3)根據(jù)直方圖求出成績(jī)從高到低排列且頻率為對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)即可.【小問(wèn)1詳解】由,解得;【小問(wèn)2詳解】,故本次防疫知識(shí)測(cè)試成績(jī)的平均分為;【小問(wèn)3詳解】設(shè)受嘉獎(jiǎng)的學(xué)生分?jǐn)?shù)不低于分,因?yàn)?對(duì)應(yīng)的頻率分別為0.15,0.1,所以,解得,故受嘉獎(jiǎng)學(xué)生分?jǐn)?shù)不低于分.19.如圖是函數(shù)的部分圖象,已知.(1)求;(2)若,求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)設(shè),則,再根據(jù)求得周期,即解;(2)根據(jù)結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)計(jì)算即可的解.【小問(wèn)1詳解】設(shè),函數(shù)的最小正周期為T,則,則,故,解得(負(fù)值舍去),所以,所以;【小問(wèn)2詳解】由(1)得,,得,即,所以,又因,則,所以,所以.20.如圖,直三棱柱中,,,分別是,的中點(diǎn).(1)證明:;(2)若,直線與平面所成的角為,求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】(1)取中點(diǎn)可得,利用三棱柱為直棱柱,得平面,,為的中點(diǎn)得,再由線面垂直的判斷定理、性質(zhì)定理可得答案;(2)由(1)知為與平面所成的角,求出,利用錐體的體積公式計(jì)算可得答案.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn),分別連結(jié),,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,,因?yàn)槿庵鶠橹崩庵?所以平面,所以平面,因?yàn)槠矫?所以,又為的中點(diǎn),則,且,所以,因,平面,,所以平面,因?yàn)槠矫?所以;【小問(wèn)2詳解】由(1)知為與平面所成的角,所以,由,得,.21.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為,.(1)求的值;(2)若,求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用余弦定理角化邊即可求解;(2)根據(jù)弦化切將原等式變?yōu)?角化邊即可得到,再結(jié)合可得,,利用余弦定理即可