第23講特殊四邊形■矩形

目錄

題型14與矩形有關(guān)的規(guī)律探究問題

一、考情分析題型15與矩形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題

題型16矩形與一次函數(shù)綜合

二、知識(shí)建構(gòu)題型17矩形與反比例函數(shù)綜合

考點(diǎn)一矩形的性質(zhì)與判定題型18矩形與二次函數(shù)綜合

題型01利用矩形的性質(zhì)求角度考點(diǎn)二矩形的折疊問題

題型02利用矩形的性質(zhì)求線段長題型01與矩形有關(guān)的折疊問題

題型03利用矩形的性質(zhì)求面積類型一沿對(duì)角線翻折（模型一）

題型04求矩形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)類型二將矩形短邊頂點(diǎn)翻折到對(duì)角線上（模型

題型05根據(jù)矩形的性質(zhì)證明二）

題型06矩形的判定定理的理解類型三將矩形短邊頂點(diǎn)翻折到長邊上（模型三）

題型07添加一個(gè)條件使四邊形是矩形類型四矩形短邊沿折痕翻折（模型四）

題型08證明四邊形是矩形類型五通過翻折將矩形兩個(gè)頂點(diǎn)重合（模型五）

題型09根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度類型六將矩形短邊頂點(diǎn)翻折到對(duì)稱軸上（模型

題型10根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長六）

題型11根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求面積類型七將矩形翻折使其一個(gè)頂點(diǎn)落在一邊上

題型12根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問（模型七）

題類型八其它

題型13與矩形有關(guān)的新定義問題

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)

矩形是特殊平行四邊形中比較重要的圖形，也是幾何圖形中難

矩形的性>探索并證明矩形的性質(zhì)定理.

度比較大的幾個(gè)圖形之一，年年都會(huì)考查，預(yù)計(jì)2024年各地中考還

質(zhì)與判定>探索并證明矩形的判定定理.

將出現(xiàn).其中，矩形還經(jīng)常成為綜合壓軸題的問題背景來考察，而

矩形其他出題類型還有選擇、填空題的壓軸題，難度都比較大，需

矩形的折要加以重視.解答題中考查特殊四邊形的性質(zhì)和判定，一般和三角形

疊問題全等、解直角三角形、二次函數(shù)、動(dòng)態(tài)問題綜合應(yīng)用的可能性比較

大.

矩形具仃平行四邊形的所仃性質(zhì)題型01利用矩形的性質(zhì)求加度

題型02利用矩形的性質(zhì)求線段長

知形的四個(gè)口都是直角題型03利用矩形的性質(zhì)求面積

性質(zhì)對(duì)角線q相平分n.相等題型04求矩形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

題型05根據(jù)矩形的性質(zhì)證明

知形既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形.題型06矩形的判定定理的理解

題型07添加一個(gè)條件使四邊形是矩形

矩形的對(duì)稱軸過矩形的對(duì)稱中心.題型08證明四邊形是矩形

有?個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形\題型09根據(jù)矩形的性質(zhì)叮判定求角度

題型10根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長

矩形的性質(zhì)判定對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形題型11根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求面積

與判定題型12根據(jù)矩形的性質(zhì)叮判定解決多結(jié)論問題

有一個(gè)角足一角的四邊形是矩形題型13與矩形有關(guān)的新定義問題

特

若是.則需要再證明對(duì)角線相等或題型14與矩形有關(guān)的規(guī)律探.究問題

題型矩形仃美的動(dòng)點(diǎn)問題

殊［解題思路］要語明?個(gè)四邊形是矩形，行’個(gè)角是克角154

題型16矩形與?次函數(shù)綜介

四首先要判斷四邊形是否為平行四邊形若不易判斷，則可通過證明有二個(gè)題型17矩形與反比例函數(shù)綜合

力是直向來宜接證明題型18矩形與一.次函數(shù)綜合

邊

形

-對(duì)折疊前后的圖形進(jìn)行細(xì)致分析，折疊后的圖形與原圖形仝等，對(duì)應(yīng)

邊、對(duì)應(yīng)角分別相等，找I。各相等的邊或角：類型一沿對(duì)角線翻折（模型一）

矩類型二將矩形短邊頂點(diǎn)翻折到對(duì)角線上（模型二）

形折痕可看作角平分線（時(shí)稱線段所在的白線與折痕的夾角相等）類型三將矩形短邊頂點(diǎn)翻折到長邊上（模型三）

類型四矩形短邊沿折痕翻折（模型四）

解題思路折痕可看作垂直平分線（互相重介的兩點(diǎn)之間的連線被折痕垂直平分）

類型人通過翻折將矩形兩個(gè)頂點(diǎn)重合（模型石）

選擇一個(gè)直角三角形（不找以折痕為邊長的直角三角形），利用未知數(shù)表類型六將矩形短邊頂點(diǎn)翻折到對(duì)稱軸上（模型六）

矩形的

示共它直角一角形二邊，通過勾股定理/相似二角形知識(shí)求解.類型七將矩形翻折使其一個(gè)頂點(diǎn)落在一邊上（模型七）

折疊問題類型八其它

7種模型展示（附求解過程）

考點(diǎn)一矩形的性質(zhì)與判定

.夯基.必備基購識(shí)他理

矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.

矩形的性質(zhì)：1）矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；

2）矩形的四個(gè)角都是直角;

3）對(duì)角線互相平分且相等；

4）矩形既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形.矩形的對(duì)稱中心是矩形對(duì)角線的交點(diǎn)；矩形有

兩條對(duì)稱軸，矩形的對(duì)稱軸是過矩形對(duì)邊中點(diǎn)的直線；矩形的對(duì)稱軸過矩形的對(duì)稱中心.

【推論】1）在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半.

2）直角三角形中，30度角所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半.

矩形的判定：1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；

2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；

3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

【解題思路】要證明一個(gè)四邊形是矩形，首先要判斷四邊形是否為平行四邊形，若是，則需要再證明對(duì)角

線相等或有一個(gè)角是直角；若不易判斷，則可通過證明有三個(gè)角是直角來直接證明.

易混易錯(cuò)

1.對(duì)于矩形的定義要注意兩點(diǎn):a.是平行四邊形;b.有一個(gè)角是直角.

2.定義說有一個(gè)角是直角的平行四邊形才是矩形,不要錯(cuò)誤地理解為有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

提升-必考題型歸納

題型01利用矩形的性質(zhì)求角度

[例1]（2023?廣東江門?統(tǒng)考二模）如圖，在矩形4BCD中，對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)。，已知NB4C=35。,

則NBOC的度數(shù)是（）

C.75°D.80°

【答案】B

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，證出。力=。8,得出4。48=NAB。，再由三角形的外角的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】解：???四邊形是矩形,

OA=OC,OB=OD,AC=BD,

OA=OB,

???^OAB=乙ABO=35°,

???4BOC=2X35。=70°；

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角定理；證出。4=OB是解題關(guān)鍵.

【變式1TX2022.安徽安慶?安慶市第二中學(xué)?？既＃┤鐖D，。是矩形4BCD的對(duì)角線交點(diǎn)，4E平分NB/W,

^AOD=120°,乙4E。的度數(shù)為()

C.25°D.30°

【答案】D

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)和乙4。0=120。證明△84。是等邊三角形，是等腰直角三角形，推出。8=

BE,再根據(jù)等腰對(duì)等角求出乙BE。，貝！U4E。=乙BEO-^BEA.

【詳解】解：???四邊形/BCD是矩形,

..OA=OB,乙ABC=乙BAD=90°,

?.乙BAO=Z.ABO,

.?Z.AOD=/.BAO+/.ABO=120°,

1

??乙BAO=Z,ABO=-x120°=60°,

2

?.△BZ。是等邊二角形.

??AB—OB,

??ZE平分

i

??/.BAE=-x90°=45°,

2

?.Z.BAE=Z.BEA=45°,

?.AB=BE,

?.OB=BE,

..乙BOE=乙BEO,

又「乙OBE=/.ABC-^ABO=30°,

???乙BEO=：x(180°-30°)=75°,

??.Z.AEO=乙BEO-^BEA=75°-45°=30°.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，解

題的關(guān)鍵是證明484。是等邊三角形.

【變式「2】(2023?山西大同?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))翻花繩是中國民間流傳的兒童游戲，在中國不同的地域，有不

同的稱法，如線翻花、翻花鼓、挑繃繃、解股等等，如圖1是翻花繩的一種圖案，可以抽象成如右圖，在

矩形ABCO中，IJ\\KLfEF\\GH,zl=Z2=30°,乙3的度數(shù)為(

p

/；77IC

圖】圖2

A.30°B.45°C.50°D.60°

【答案】D

【分析】由矩形的性質(zhì)可得AD=NC=90。，進(jìn)而可得NHGC=乙1JD=60°；再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得

AGMJ=60°；然后再證四邊形NUMU是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得NVNU=NGM/=60。，最后

由對(duì)頂角相等即可解答.

【詳解】解：如圖：???矩形ABCQ中，

:.乙D=“=90°,

VZ.1=42=30°,

:.乙HGC=AIJD=60°,

/.Z.GM]=60°,

'：IJ\\KL,EFWGH,

.,?四邊形NUMU是平行四邊形，

/.VNU=Z.GMJ=60°,

."3=A.VNU=60°.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)判定、性質(zhì)定理

是解答本題的關(guān)鍵.

【變式1-3]（2023?重慶渝中?重慶巴蜀中學(xué)校考三模）如圖，矩形4BCD中，點(diǎn)E為CD邊的中點(diǎn)，連接4E,

過E作EF12E交BC于點(diǎn)F,連接4尸，若N82F=a,貝UNEFC的度數(shù)為（）

BFC

A.aB.45°+-C.45°--D.90°-a

22

【答案】B

【分析】延長ZE,交BC的延長線于點(diǎn)G,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，/.BAD=AADC=ADCB=90°,ADWBC,

可證A4DEmAGCE(ASA),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得4E=GE,可知EF垂直平分4G,根據(jù)線段垂直平分

線的性質(zhì)可得4F=GF,進(jìn)一步可得NG=NF4E,根據(jù)2D||BC,可得NEME=NG,可表示出ACME的度數(shù)，

進(jìn)一步可得NFEC的度數(shù)，再根據(jù)NFEC+NEFC=90。，可得NEFC的度數(shù).

???乙ECG=90°,

???E為CD邊中點(diǎn)，

???DE—CE,

在△ZOE和△GCE中，

乙D=乙ECG

DE=CE,

Z-AED=Z.GEC

：.△ADE=△GCE(ASA),

???AE=GE,

EF1AE,

???EF垂直平分/G,

??.AF=GF,

Z.FAE=ZG,

U：AD\\BC,

???Z-DAE=zG,

???Z-DAE=Z.FAE,

???Z-BAF=a,

CAL900-a

???/-DAE=----,

2

???/.DAE+Z.AED=90°,/.AED+Z.FEC=90°,

90。一a

???乙FEC=/.DAE=把」，

???乙FEC+2EFC=90°,

.-.乙EFC=90°-=45°+

22

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，添加合適的輔助線

構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式「4】（2023?安徽合肥??？既＃┤鐖D，a\\b,矩形2BCD的頂點(diǎn)B在直線a上,若41=34。，則N2的

度數(shù)為（）

A.34°B.46°C.56°D.66°

【答案】C

【分析】過點(diǎn)4作4E||a,利用矩形的性質(zhì)和平行線的判定與性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：過點(diǎn)4作4E||a,如圖，

???Z.EAB=N1=34°.

???a\\b,AE\\a,

AE\\b,

z2=Z.DAE,

???四邊形4BCD為矩形，

.-./.DAB=90°,

/.DAE=90°—Z.EAB=56°,

???Z2=56°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，過點(diǎn)4作2E||a是解題的關(guān)鍵.

題型02利用矩形的性質(zhì)求線段長

【例2】（2022?安徽?合肥38中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形4BCD的對(duì)角線交于點(diǎn)。，EF經(jīng)過點(diǎn)。且EF1BD,

EF分別與AD,BC交于點(diǎn)E,F,若48=2,BC=4,貝ME等于（）

【答案】A

【分析】連接BE,由矩形的性質(zhì)可得OB=?！?gt;,4D=BC=4,Z.BAD=90°,由線段垂直平分線的性質(zhì)可

得BE=DE=4。一力E,由勾股定理可得(4—4E)2=22+4方，求解即可.

【詳解】解：如圖，連接BE,

???四邊形力BCD是矩形,

???OB=OD,AD=BC=4,^BAD=90°,

EF1BD,OB=OD,

EF是BD的垂直平分線，

???BE^DEAD-AE^4-AE,

在RtAABE中，BE2=AB2+AE2,

則(4-4E)2=22+AE2,

解得：AE=\,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)、線段垂直平

分線的性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1](2023?廣西南寧??？级?在矩形2BCD中，AB=3,將A8繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0。<戊<90。)

得到BE,連接。E,若DE的最小值為2,貝U8C的長為.

AD

BC

【答案】4

【分析】根據(jù)三角形不等式得到BE+DE>BD,當(dāng)點(diǎn)B,點(diǎn)E,點(diǎn)。三點(diǎn)共線時(shí)，BE+DE取得最小值,

得到BD=5,根據(jù)勾股定理計(jì)算BC即可.

【詳解】'：BE+DE>BD,

...當(dāng)點(diǎn)2,點(diǎn)E,點(diǎn)D三點(diǎn)共線時(shí)，BE+OE取得最小值，

"：BE=AB=3,

的最小值為2,

：.BD=5,

:矩形4BCD,48=3,

：.AB=CD=3,/.BCD=90°

：.BC=7BD2一CD2=4,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2］（2023?海南僧州?海南華僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,點(diǎn)

E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接4E,過點(diǎn)E作EF14E交BC于點(diǎn)F.連接4F交BE于點(diǎn)。，若力B=4E,則線

段AF與BD的位置關(guān)系為；BF的長為.

【答案】AF1BD-

4

［分析］先證Rt△ABF=Rt△4EF可得N82F=^EAF,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得4尸1BD,

再由面積法可求40=杵的長，進(jìn)而求得80=3再求得COSNCBD=襄=解=揶可解答.

55BDBF5

【詳解】解：???四邊形4BC0為矩形，

:?(ABC=乙BAD=90°.

VAB=3,AD=4,

：.BD=y/AB2+AD2="6+9=5.BC=AD=4,

VEFXAE,

AZ-AEF=90°.

在Rt△ABF和Rt△4E尸中，

(AB=AEf

kAF=AF,

：.△ABFW△/EF(HL).

：.^BAF=Z.EAF.

XVXB=AE,

：.AFLBD.

1i

：.-AB-AD=-A0,BD,

22

..八ABAD12

..Al)=---------=—

故答案為

4

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，

靈活運(yùn)用相關(guān)判定、性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2023?浙江寧波??？家荒＃┤鐖D，矩形48CD的兩條對(duì)角線4C,8。相交于點(diǎn)0,OELAB,垂

足為E,尸是。。的中點(diǎn)，連接EF交。8于點(diǎn)P,那么警=____.

PD

DC

【答案】|

【分析】取。B的中點(diǎn)H,連接EH,根據(jù)矩形性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得EH=OH=

BH,AE=BE,根據(jù)4c可證得AOFP可求得OP=PH=OH,即可求解.

【詳解】如圖，取0B的中點(diǎn)H,連接EH,

???4BCD是矩形,

0A=OB=0C=0D,

vOE1AB,點(diǎn)H為。8中點(diǎn),

??.EH=0H=BH,AE=BE,

???EH\\AC

???△OFPfHEP

EH_OP

：,~OF=~PH

???尸是oc的中點(diǎn)，

：,OF=-OC=-OB=EH,

22

1

AOP=PH=-OH

2

PB=3OP

.OP_i

“PB-3，

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性

質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

【變式2-4］（2022?陜西西安.高新一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在矩形48CD中，AB=5,BC=4,E、F分

別是40、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P、。在EF上.且滿足PQ=2,則四邊形4PQB周長的最小值為.

【答案】12

【分析】因?yàn)镻Q和48是定長，所以要使四邊形”Q8的周長最小，只要4P+BQ最小即可，在2B上截取4M=

PQ,尸是BC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)8關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)是C點(diǎn)，連接CM與EF交于點(diǎn)。，貝UCM即為4P+BQ的最小

值；

【詳解】解：???四邊形4PQB周長=2P+PQ+QB+48,

VAB=5,BC=4,PQ=2,

四邊形4PQB周長=AP+PQ+QB+AB7+AP+BQ,

要使四邊形4PQB的周長最小，只要4P+BQ最小即可，

在48上截取4M=PQ,尸是BC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)8關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)是C點(diǎn)，連接CM與EF交于點(diǎn)。，貝IJCM即

為4P+BQ的最小值，

???BQ=CQ,

MB=3,BC=4,

在RtABCM中，由勾股定理得:

MC=、32+42=5,

Z.四邊形4PQB周長=AP+PQ+QB+AB=7+AP+BQ=7+5=12.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱一最短路線問題、矩形的性質(zhì)，能夠?qū)⑺笏倪呅蔚闹荛L轉(zhuǎn)化為求4P+BQ的最

小值是解題的關(guān)鍵.

題型03利用矩形的性質(zhì)求面積

【例3】（2023?福建泉州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形4BC2中,E,F,G,”分別在AB,BC,CD,ZM上,

S.AE=^AB,BF=^BC,CG=）D,DH=^DA,若矩形A8CD面積為9,則四邊形￡TGH的面積為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

-1-1__

【分析】設(shè)4E=a,BF=b,根據(jù)4E=豺8,BF=加，CG=/，?！?可知四=。。=3。，

BC=3b,AE=CG=a,BF=DH=b,BE=DG=2a,AH=CF=2b,從而得到^4EH的面積=△BEF

的面積=ACGF的面積=ADGH的面積=ab,再根據(jù)“矩形的面積是9”求出ab,從而得到四邊形EFGH的面積

為9—4ab=5.

【詳解】解：設(shè)=BF=b,

???四邊形/BCD是矩形，

：.AB=CD,AD=BC,

1i

*：AE=-AB,BF=-BC,

33

'.AB=CD=3a,AD=BC=3b,

-1-1

XVCG=-CD,DH=-DA,

33

：.AE=CG=a,BF=DH=b,

：.BE=DG=2a,AH=CF=2b,

???△AEH的面積的面積=△CGF的面積=2kOGH的面積=ab,

=3a,AD=3b,

:矩形4BCD面積為9,

.".AB-AD=3a-3b=9ab=9,

.'.ab=1,

AE"的面積=△BEF的面積=△CGF的面積=△DGH的面積=ab,

：.四邊形EFGH的面積=9-4ab=9-4=5.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)和直角三角形的面積公式，掌握矩形的面積公式及合理設(shè)未知數(shù)列方程是解

題的關(guān)鍵.

【變式3-1］（2023?陜西渭南?統(tǒng)考二模）如圖，AC是矩形4BCD的對(duì)角線，延長力B至E,使得黑=三連接

BE6

CE,若矩形力BCD的面積為20,則ABCE的面積為（）

A.16B.14C.12D.10

【答案】C

【分析】先由矩形的性質(zhì)求出S&4BC=白矩形.CD=1°，再根據(jù)磬=槳求解即可.

【詳解】解：,矩形4BCD的面積為20,

..?SAABC=5s矩形4BCD=1。

??,矩形4BCD,

：.BCLAB

105

???S"BC_-AB9口pn口-_1,

S^BECBES&BEC6

?"△BEC=12，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形的面積，得出受型=，是解題的關(guān)鍵.

SABECBE

【變式3-2］（2023?山西太原?統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形04BC的頂點(diǎn)A和。分別落在y

軸與x軸的正半軸上，。4=6,OC=8.若直線y=2%+b把矩形面積兩等分，則匕的值等于（）

A.5B.2C.-2D.-5

【答案】D

【分析】直線y=2x+b把矩形面積兩等分，一定經(jīng)過對(duì)角線中點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求解析式

即可.

【詳解】解：?.?。力=6,0C=8,

所以A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6),C點(diǎn)坐標(biāo)為(8,0),

則AC中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,3),

因?yàn)榫匦问侵行膶?duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線中點(diǎn)，

所以直線y=2x+b把矩形面積兩等分，一定經(jīng)過對(duì)角線中點(diǎn)，

代入解析式得，3=2x4+b,解得，b=-5；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和求一次函數(shù)解析式，解題關(guān)鍵是明確平分矩形面積一定經(jīng)過對(duì)角線中點(diǎn)，

再用待定系數(shù)法求解.

【變式3-3](2023?江蘇常州??？家荒?如圖，現(xiàn)將四根木條釘成的矩形框4BCD變形為平行四邊形木框

A'B'C'D',且4。'與CD相交于CD邊的中點(diǎn)E,若4B=4,BC=5,則原矩形4BCD和平行四邊形49重

疊部分的面積是

【答案】10-2V3

【分析】根據(jù)矩形和平行四邊形的性質(zhì)可得：AD||BC||A'D',CD1BC,AB=CD=CDr=4,AD=BC=

A'D'=5,從而得出CD1A'D',根據(jù)中點(diǎn)的定義即可求出CE,然后根據(jù)勾股定理即可求出進(jìn)而求出4E,

最后根據(jù)梯形面積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：?矩形木框4BCD變形為平行四邊形木框4夕LZT

：.AD||BC||A'D',CD1BC,AB=CD=CD'=4,AD=BC=A'D'=5,

：.CD1A'D'

:點(diǎn)E為CO的中點(diǎn)，

：.CECD=2,

2

在Rt△中，根據(jù)勾股定理可得：ED'=y/CD'2-CE2=2痘,

：.AE=AD'_ED，=5_25

?c_c_CEQ4'E+BC)_5+5-2-*?_〕n_2、反

??J陰影7梯形BCE4'一2—一2—XZ—LU—"VJ

故答案為：10-2V3.

【點(diǎn)睛】此題考查的是矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)定理、平行四邊形的

性質(zhì)定理、用勾股定理解直角三角形是解決此題的關(guān)鍵.

【變式3-4］（2023?湖南湘西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形4BCD中，AB=3,BC=4,P是對(duì)角線"上一點(diǎn),

AP=2,連接BD,則圖中陰影部分的面積為.

【分析】作DEJ.2C于點(diǎn)E,作BFLAC于點(diǎn)R對(duì)角線4C與8。交于點(diǎn)O,根據(jù)勾股定理求出2C=5,則

OA^OC=I，進(jìn)而得出0P=5PC=3,根據(jù)S-Dc=14C.￡）E=.CD,得出DE=裝，同理可得：

BF=―,最后根據(jù)S陰影部分=S^BOP+SADPC即可求解.

【詳解】解：如圖，作DE14C于點(diǎn)E,作BF12C于點(diǎn)凡對(duì)角線4c與BD交于點(diǎn)O,

四邊形4BCD是矩形，

:.乙ABC=90°,

：.AB=DC=3,BC=AD=4,

：.AC=yjAB2+BC2=5,

15

：.0A=0C=-AC=-,

22

9CAP=2,

I.OP=OA-AP=

2

???PC=0P+0C=3,

yS^DC=lAC-DE=lAD-CDf

：.5DE=12,

17

：.DE=^-,

同理可得：BF=?

.c_cc_11121Q12_21

,,3陰影部分="BOP+、ADPC=2X2X~5~^2X^XV=-r,

所以圖中陰影部分的面積為小

故答案為：---

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握矩形四個(gè)角都是直角，矩形對(duì)角線互

相平分且相等，以及勾股定理內(nèi)容.

題型04求矩形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

【例4】(2023?河南駐馬店?駐馬店市第二初級(jí)中學(xué)校考二模)如圖，矩形A8CD的頂點(diǎn)A,2分別在x軸、y

軸上，OB=4,OA=3,AD=10,將矩形力BCD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束

時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為()

A.(6,5)B.(5,6)C.(-6,-5)D.(-5,-6)

【答案】C

【分析】過點(diǎn)。作DTlx軸于點(diǎn)兀首先證明△4TDSABOA,利用相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，再

探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作D7軸于點(diǎn)T.

V0A=3,0B=4,"08=90°,

???AB=VOA2+OB2=V32+42=5,

???/.ATD=Z.AOB=Z.BAD=90°,

???/.DAT+乙BAO=90°,4BA。+^ABO=90°,

???乙DAT=Z-ABO,

ATDBOA,

.AD_AT_DT

**AB~OB~OA1

10_AT_DT

,一=7=T

???AT—8,DT=6,

OT=NT-04=8—3=5,

???0(-5,6),

,矩形ZBCD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。，

則第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(6,5)；

則第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5,-6)；

則第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(一6,-5)；

則第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(一5,6)；

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：旋轉(zhuǎn)4次一個(gè)循環(huán)，

.-.2023+4=505...3,

則第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-6,-5).

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)、規(guī)律型-點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)規(guī)

律，總結(jié)規(guī)律.

【變式4-1](2023?天津河?xùn)|?統(tǒng)考二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形力BCD的頂點(diǎn)A在第一象限，8,

。分別在y軸上，。是BD的中點(diǎn).若AB=。8=2百，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是()

A.(3,V3)B.(-3,-V3)C.(V3,3)D.(-V3,-3)

【答案】B

【分析】過點(diǎn)A作4F軸,垂足為尸，由四邊形力BCD是矩形易證得△AOB是等邊三角形，進(jìn)而NAOF=30°,

解直角三角形得2F=CM-sinN力。F=g，OF=0A-cos30°=3,所以4(3,百)，由矩形是中心對(duì)稱圖形

知點(diǎn)A,點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得點(diǎn)C(-3,-百).

【詳解】：四邊形4BCD是矩形

0A=0B

'：AB=0B=

：.0A=AB=OB=2V3,/-AOB=60°

過點(diǎn)A作軸，垂足為R

LA/3

OF=OA-cos30°=2y3X—=3

，點(diǎn)力(3,百)

?..點(diǎn)A,點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

.?.點(diǎn)C(-3,-圾，

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形，點(diǎn)坐標(biāo)的含義；結(jié)合已知條件

構(gòu)建直角三角形求解相關(guān)線段是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2](2022?山東聊城?校聯(lián)考一模)如圖，已知矩形A02C的頂點(diǎn)。在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(一

2,1),點(diǎn)8的縱坐標(biāo)是3,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是()

A.(,4)B.(-|,4)c.(—Q伺D.(-|,2V5)

【答案】A

【分析】作BDlx軸于點(diǎn)。，過點(diǎn)A作FE1為軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作FG1y軸于點(diǎn)G,先通過角度等量代換

證明AE4。~RDOB,求出。。：=再證明ADB。a1^FAC,求出FC,AF,貝!|CG=OE-CF,EF=AE+FA,

由此可解.

【詳解】解：如圖，

作801%軸于點(diǎn)。，過點(diǎn)A作FE1%軸于點(diǎn)過點(diǎn)C作FGly軸于點(diǎn)G,

..?點(diǎn)A的坐標(biāo)是（一2,1）,點(diǎn)8的縱坐標(biāo)是3,

：.AE=1,0E=2,BD=3,

BD1%軸，F(xiàn)E1%軸，F(xiàn)G1y軸，

：.^AFC=乙OEA=乙BDO=90°,

四邊形A03C是矩形，

：./.CAO=乙AOB=90°,

乙

：.Z.EAO+2LEOA=DOB+Z.EOA=90°f

C.Z.EAO=乙DOB,

：.LEAO?ADOB,

即絲

AEOE12

：.OD=-.

2

???四邊形AOBC是矩形，

：.AC=OB,

,：LEAO+Z-EOA=/.FAC+乙￡;4。=90。，

：.Z.EOA=Z.FAC,

又???△瓦4。?ADOB,

：.Z.EOA=乙DBO,

:?乙DBO=4FAC,

在ADB。和△凡4c中，

2DBO=/.FAC

（ODB=^CFA,

,AC=OB

：.LDBO="AC,

：.FC=OD=~,AF=BD=3,

2

31

：.CG=OE-CF=2--=-EF=ZE+FZ=1+3=4,

22f

??,點(diǎn)。在第二象限,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)是(―1,4).

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判

定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線構(gòu)造全等及相似三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3](2021?湖南株洲?統(tǒng)考一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將矩形AOC。沿直線AE折疊，折疊

后頂點(diǎn)。恰好落在邊OC上的點(diǎn)尸處.若點(diǎn)。的坐標(biāo)為(10,8),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為()

A.(10,3)B.(10,5)C.(6,3)D.(4,3)

【答案】A

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AF=A。，所以在直角4人。/中，利用勾股定理求得。尸=6,然后設(shè)EC=x,則

EF=DE=8-x,B=10-6=4,根據(jù)勾股定理列方程求出EC可得點(diǎn)E的坐標(biāo).

【詳解】解：：四邊形AOC。為矩形，。的坐標(biāo)為(10,8),

：.AD=OC=\0,DC=AO=8,

???矩形沿AE折疊，使。落在上的點(diǎn)尸處，

：.AD=AF=IO,DE=EF,

在RtA40尸中,0尸=>/4尸2-4。2=6,

.,.FC=10-6=4,

設(shè)EC=x,則Z)E=EF=8-x,

在RtLCEF中,E^2=EC2+FC2,

即(8—X)2=/+42,

解得x=3,即EC的長為3,

.,.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(10,3).

故選擇4

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，勾股定理，利用勾股

定理構(gòu)造方程是解題關(guān)鍵.

【變式4-4](2023?江西萍鄉(xiāng)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-jx+2分別與無軸、y軸

交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，若以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，則點(diǎn)N的

坐標(biāo)為

【答案】(4,2)或(3,—2)或(—4,—6)

【分析】分類討論：①點(diǎn)M在x軸上；②點(diǎn)M在原點(diǎn)；③點(diǎn)M在y軸上,利用相似及平移規(guī)律即可求解.

【詳解】解：直線y=—[x+2分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B,

當(dāng)％=0時(shí)，y=2,y=0時(shí)，x=4,

???人點(diǎn)坐標(biāo)(4,0),2點(diǎn)坐標(biāo)2(0,2),

分三種情況：

①點(diǎn)M在原點(diǎn)，矩形BAL4N中，如圖，

4N

o\、「

BO=AN=2,BN=4。=4,

???點(diǎn)N坐標(biāo)為(4,2)；

②如圖1,點(diǎn)M在%軸上，如圖,

矩形BMM4中，0B1/M,

+(OMB=Z.OBM+/-OBA=90°,

C.Z.OMB=AOBA,

BOM~AAOB,

.BO_MO

**AO~BO

?n“八B。？

??MO=----=1,

AO

M點(diǎn)坐標(biāo)為(一1,0),

將點(diǎn)M向右平移4個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位得到點(diǎn)N,

N的坐標(biāo)為(3,-2)；

②如圖2,點(diǎn)M在y軸上，如圖，

圖2

矩形中，Q41MB,

由②同理可得：AMOA^AAOB,

.BO_AO

**AO~MO

an2

：.MO=—=8,

BO

M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-8),

將點(diǎn)、M向左平移4個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)N,

N的坐標(biāo)為1-4,-6),

???點(diǎn)N坐標(biāo)為(4,2)或(3,-2)或(―4,一6),

故答案為：(4,2)或(3,-2)或(-4,-6).

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與矩形的綜合題型，