第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年福建省福州一中九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.2024的相反數(shù)是(

)A.2024 B.?2024 C.12024 D.2.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,?4)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(

)A.(1,4) B.(?1,4) C.(0,?4) D.(?1,?4)3.如圖，在△ABC中，DE//BC，ADDB=23，若AE=4，則A.6B.8

C.10D.124.下列計算正確的是(

)A.x5·x2=x10 B.5.下列長度的三條線段能組成三角形的是(

)A.2，3，6 B.5，8，13 C.4，4，7 D.3，4，86.某校舉行“英語單詞拼寫比賽”，5個班級代表隊的正確答題數(shù)如圖.這5個正確答題數(shù)所組成的一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)是(

)A.15，15 B.15，13 C.20，13 D.10，157.如圖，直線AC和直線BD相交于點(diǎn)O，若∠1+∠2=90°，則∠BOC的度數(shù)是(

)A.100°B.115° C.135°D.145°8.某校七年級組織一次籃球賽，各班均組隊參賽，賽制為每兩班之間賽兩場，共需安排42場比賽.設(shè)七年級共有x個班，則下列方程正確的是(

)A.x(x?1)=42 B.12x(x+1)=42 C.x(x+1)=42 9.如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，H為AD邊中點(diǎn)，AC=12，菱形ABCD的面積為96，則OH的長等于(

)

A.6 B.5 C.4 D.310.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的圖象與x軸交于不同兩點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)在y軸正半軸，它的對稱軸為直線x=1，有以下結(jié)論：①abc<0，②2a+b=0，③拋物線上有兩點(diǎn)P(x1,y1)和Q(x2,y2)，若x1<1<x2，且A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④二、填空題：本題共7小題，共27分。11.據(jù)報道，受臺風(fēng)“摩羯”影響，?？谌惺転?zāi)人口126.81萬人，造成直接經(jīng)濟(jì)損失約263.24億元，數(shù)據(jù)263.24億元用科學(xué)記數(shù)法表示為______元.12.如果13a2bx3與?0.513.因式分解：x2?4y2=14.如圖，已知OA=OB，BC⊥AC于點(diǎn)C.點(diǎn)O對應(yīng)的數(shù)是0，點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)是?2，AC=1，那么數(shù)軸上點(diǎn)B所表示的數(shù)是______．

15.當(dāng)x=1時，整式ax3+bx+1的值為2024，則當(dāng)x=?1時，整式a16.如圖，正方形ABCD中邊長為12，E為BC上一點(diǎn)，且BE=3，F(xiàn)為AB邊上的一個動點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為______．17.如圖，菱形ABCD中的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BE//AC，CE//BD．

求證：四邊形OBEC是矩形．三、解答題：本題共8小題，共64分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。18.(本小題8分)

(1)計算：(2024?π)0+|3?1|?19.(本小題8分)

如圖，∠A=∠D=90°，AB=DC，求證：△ABC≌△DCB．20.(本小題8分)

先化簡、再求值x2?2xx2?121.(本小題8分)

為了了解某校中學(xué)生音樂期末成績分布情況，隨機(jī)調(diào)查了部分參加期末測試的學(xué)生的音樂成績，整理并制作了統(tǒng)計圖表的一部分．分?jǐn)?shù)段頻數(shù)頻率60≤x<70a0.170≤x<8090b80≤x<9090≤x≤10060c請根據(jù)圖表中提供的信息，解答下列問題：

(1)a=______；b=______；

(2)請用樣本數(shù)據(jù)，估計該校音樂期末測試成績的平均分；

(3)若該校有2000名學(xué)生參加音樂期末測試，成績達(dá)到90分為優(yōu)秀，則估計該校音樂期末測試成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為______．22.(本小題8分)

某工藝品專賣店計劃購買中國結(jié)和油紙傘若干，已知購買2個中國結(jié)和3把油紙傘共需195元，購買4個中國結(jié)和8把油紙傘共需460元．

(1)每個中國結(jié)和每把油紙傘的進(jìn)價分別是多少元；

(2)若該專賣店準(zhǔn)備購買中國結(jié)和油紙傘共30件，且購買中國結(jié)的數(shù)量至少比油紙傘的數(shù)量多5件，請問怎樣購買，才能使總費(fèi)用最少，并求出最少總費(fèi)用．23.(本小題8分)

閱讀材料：如圖1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，請用尺規(guī)作圖在AB邊上求作點(diǎn)P，使得∠BPC+∠ACP=90°.小明提出想法：如圖2，假設(shè)點(diǎn)P為所求作的點(diǎn)，連接CP，此時有∠BPC+∠ACP=90°，因為∠BCP+∠ACP=90°，所以∠BPC=∠BCP，從而得到：BP=BC．

由此想法得到如下作圖方法：如圖2，以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑畫弧，該弧與AB相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所作的點(diǎn)．

根據(jù)以上材料，完成下面兩個問題：

(1)請你類比上述作圖方法，在圖3中，用尺規(guī)作圖在AB邊上作點(diǎn)Q，使得∠CQB+∠ACQ=180°；

(2)按以上要求作出P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)直角邊長度發(fā)生變化時，求證：∠PCQ=45°．24.(本小題8分)

如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn).A點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,0)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3)，點(diǎn)M為拋物線頂點(diǎn)，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)在直線BC上方的拋物線上存在點(diǎn)Q，使得∠QCB=2∠ABC，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)已知D，F(xiàn)為拋物線上不與A，B重合的相異兩點(diǎn)，若直線AD，BF交于點(diǎn)P，則無論D，F(xiàn)在拋物線上如何運(yùn)動，當(dāng)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時，試判斷△ABP的面積是否為定值，若是，請求出定值：若不是，請說明理由．

25.(本小題8分)

如圖，將正方形紙片ABCD沿PQ折疊，使點(diǎn)B的對稱點(diǎn)E落在邊CD上，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為F，EF交AD于點(diǎn)G．

(1)如圖1，若QC=4，EC=3，DE=6，求DG的長；

(2)如圖2，連接BG交PQ于點(diǎn)H，連接BE、HE，

①試判斷△BHE的形狀，并說明理由：

②求證：EG2?BH參考答案1.B

2.D

3.C

4.D

5.C

6.A

7.C

8.A

9.B

10.D

11.2.6324×1012.?2

13.(x+2y)(x?2y)

14.?15.?2022

16.15217.證明：∵菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，

∴AC⊥BD，

∵BE//AC，CE//BD，

∴∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°，

∴四邊形OBEC是矩形；

18.解：(1)原式=1+3?1?23

=?3；

(2)x2?3x+1=0，

∴Δ=(?319.證明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，

BC=CBAB=DC，

∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)．20.解：x2?2xx2?1÷(x?1?2x?1x+1)

=x(x?2)(x+1)(x?1)÷x221.（1）30，22.解：(1)設(shè)每個中國結(jié)的進(jìn)價為x元，每把油紙傘的進(jìn)價為y元，

由題意，得2x+3y=195,4x+8y=460,

解得x=45,y=35.

答：每個中國結(jié)的進(jìn)價為45元，每把油紙傘的進(jìn)價為35元．

(2)設(shè)購買m個中國結(jié)，則購買(30?m)把油紙傘，

根據(jù)題意，得m≥30?m+5，

解得m≥17.5．

設(shè)總費(fèi)用為W元，則W=45m+35(30?m)=10m+1050．

∵10>0，

∴W隨m的增大而增大．

∵m為整數(shù)，m≥17.5，

∴當(dāng)m=18時，W取得最小值，

此時W=10×18+1050=1230，

此時30?m=12．

答：購買中國結(jié)18個、油紙傘12把時，總費(fèi)用最少，最少總費(fèi)用是1230元．

23.解：(1)如圖1，點(diǎn)Q即為所求，

；

(2)證明：如圖2，

；

由作圖知：AC=AQ，BC=BP，

∴∠ACQ=∠AQC，∠BCP=∠BPC，

∵∠ACQ+∠AQC+∠A=180°，∠BCP+∠BPC+∠B=180°，

∴∠AQC=12(180°?∠A)，∠BPC=12(180°?∠B)，

∵∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A+∠B=90°，

∴∠AQC=12(180°?∠A)=124.解：(1)將A(?1,0)，C(0,3)代入y=ax2+2x+c，

得a?2+c=0c=3，

解得：a=?1c=3，

∴拋物線解析式為y=?x2+2x+3；

(2)對于y=?x2+2x+3，令y=0，則?x2+2x+3=0

解得：x1=?1，x2=3

∴B(3,0)，

∴OB=OC=3，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°，

∵∠QCB=2∠ABC，

∴∠QCB=90°，

如圖所示，過點(diǎn)C作CQ⊥BC交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QG⊥y軸于點(diǎn)G，

∴∠GCQ=90°?∠ABC=45°，

∴△GCQ是等腰直角三角形，

∴CG=QG，

設(shè)Q(q,?q2+2q+3)，則G(0,?q2+2q+3)，

∴CG=?q2+2q，GQ=q，

∴?q2+2q=q，

解得：q=0(舍去)或q=1，

∴Q(1,4)；

(3)△ABP的面積為定值8．

理由：

如圖：

設(shè)D(x1,y1)，F(xiàn)(x2,y2)，

∵點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，A(?1,0)，B(3,0)

∴E(1,0)，

∵D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，

∴可設(shè)直線DF的解析式y(tǒng)=kx+b，

代入E(1,0)得b=?k，

∴直線DF的解析式y(tǒng)=kx?k=k(x?1)，

聯(lián)立y=k(x?1)y=?x2+2x+3，

得?x2+(2?k)x+(3+k)=0，

∴x1+x2=2?k，x1x2=?3?k，

∵A(?1,0)，B(3,0)，

同理直線AD解析式為y=k1(x+1)，直線BF解析式為y=k2(x?3)，

聯(lián)立y=k25.(1)解：∵將正方形紙片ABCD沿PQ折疊，使點(diǎn)B的對稱點(diǎn)E落在邊CD上，

∴∠QEG=∠B=90°，∠C=∠D=90°，AB/?/CD，

∴∠CQE=90°?∠CEQ=∠DEG，

∴△CQE∽△DEG，

∴CEDG=CQDE，即3DG=46，

∴DG=4.5；

(2)①解：△BHE是等腰直角三角形，

理由：過B作BM⊥GE，

∵翻折，

∴∠ABE=∠GEB，BH=EH，

∵AB/?/CD，

∴∠ABE=∠BEC，

∴∠BEM=∠BEC，

又∠BME=∠C=90°，BE=BE，

∴△BCE≌△BME(AAS)，

∴∠MBE=∠CBE=12∠CBM，BM=BC=AB，

又BG=BG，

∴Rt△BMG≌Rt△BAG(HL)，

∴∠MBG=∠ABG=12∠ABM，

∴∠GBE=∠MBE+∠MBG=12∠CBM+12∠ABM=12∠ABC=45°，

∵BH=EH，

∴∠HBE=∠HEB=45°，

∴∠BHE=90°，

∴△BHE是等腰直角三角形；

②證明：連接AH，MH，EH，如