科學和工程計算基礎復習題填空題:評價一個數(shù)值計算方法的好壞主要有兩條標準:計算結果的精度和得到結果需要付出的代價.計算機計費的主要依據(jù)有兩項:一是使用中央處理器(CPU)的時間,主要由算數(shù)運算的次數(shù)決定;二是占據(jù)存儲器的空間,主要由使用數(shù)據(jù)的數(shù)量決定.用計算機進行數(shù)值計算時,所有的函數(shù)都必須轉化成算術運算.對于某個算法,若輸入數(shù)據(jù)的誤差在計算過程中迅速增長而得不到控制,則稱該算法是數(shù)值不穩(wěn)定的,否則是數(shù)值穩(wěn)定的.函數(shù)求值問題的條件數(shù)定義為:單調減且有下界的數(shù)列一定存在極限;單調增且有上界的數(shù)列一定存在極限.方程實根的存在唯一性定理:設且,則至少存在一點使.當在上存在且不變號時,方程在內有唯一的實根.函數(shù)在有界閉區(qū)域D上對滿足Lipschitz條件,是指對于D上的任意一對點和成立不等式:.其中常數(shù)L只依賴于區(qū)域D.設為其特征值,則稱為矩陣A的譜半徑.設存在,則稱數(shù)為矩陣的條件數(shù),其中是矩陣的算子范數(shù).方程組,對于任意的初始向量和右端項,迭代法收斂的充分必要條件是選代矩陣B的譜半徑.設被插函數(shù)在閉區(qū)間上階導數(shù)連續(xù),在開區(qū)間上存在.若為上的個互異插值節(jié)點,并記,則插值多項式的余項為,其中.若函數(shù)組滿足k,l=0,1,2,…,n,則稱為正交函數(shù)序列.復化梯形求積公式,其余項為復化Simpson求積公式,其余項為選互異節(jié)點為Gauss點,則Gauss型求積公式的代數(shù)精度為2n+1.如果給定方法的局部截斷誤差是,其中為整數(shù),則稱該方法是P階的或具有P階精度.微分方程的剛性現(xiàn)象是指快瞬態(tài)解嚴重影響數(shù)值解的穩(wěn)定性和精度,給數(shù)值計算造成很大的實質性困難的現(xiàn)象.迭代序列終止準則通常采用，其中的為相對誤差容限.在求解非線性方程組的阻尼牛頓迭代法中加進阻尼項的目的,是使線性方程組(牛頓方程)的系數(shù)矩陣非奇異并良態(tài).選擇題1.下述哪個條件不是能使高斯消去法順利實現(xiàn)求解線性代數(shù)方程組的充分條件?(D)A.矩陣的各階順序主子式均不為零;B.對稱正定;C.嚴格對角占優(yōu);D.的行列式不為零.2.高斯消去法的計算量是以下述哪個數(shù)量級的漸近速度增長的?(B)A.;B.;C.;D..用計算機進行數(shù)值計算時,所有的函數(shù)都必須轉化成算術運算;在作加減法時,應避免接近的兩個數(shù)相減;在所乘除法時,計算結果的精度不會比原始數(shù)據(jù)的高.(√)用計算機作加減法時,交換律和結合律成立.(×)單調減且有下界的數(shù)列一定存在極限。(√)設,則的充要條件是的譜半徑.(√)若,則一定有.(×)求解線性代數(shù)方程組,當很大時,Cholesky分解法的計算量比Gauss消去法大約減少了一半.(√)在用迭代法求解線性代數(shù)方程組時,若Jacobi迭代矩陣為非負矩陣,則Jacobi方法和Gauss-Seidel方法同時收斂,或同時不收斂;若同時收斂,則Gauss-Seidel方法比Jacobi方法收斂快.(√)均差(或差商)與點列的次序有關.(×)線性最小二乘法問題的解與所選基函數(shù)有關.(×)復化梯形求積公式是2階收斂的,復化Simpson求積公式是4階收斂的.(√)Gauss求積系數(shù)都是正的.(√)在常微分方程初值問題的數(shù)值解法中,因為梯形公式是顯式Euler公式和隱式Euler公式的算術平均,而Euler公式和隱式Euler公式是一階方法,所以梯形公式也是一階方法.(×)在Runge-Kutta法中,通常同級的隱式公式能獲得比顯式公式更高的階.(√)求解的梯形公式是無條件穩(wěn)定的.(√)在常微分方程初值問題的數(shù)值解法中,不論單步法還是多步法,隱式公式比顯式公式的穩(wěn)定性好.(√)迭代法的基本問題是收斂性、收斂速度和計算效率.(√)在一元非線性方程的數(shù)值解法中,最有效的是Steffensen迭代法和Newton迭代法.前者不需要求導數(shù),但不宜推廣到多元的情形;后者需要求導數(shù),但可直接推廣到多元方程組.(√)常微分方程邊值問題的差分法,就是將解空間和微分算子離散化、組成滿足邊值條件的差分方程組,求解此方程組,得到邊值問題在節(jié)點上函數(shù)的近似值.(√)在求解非線性方程組時,在一定條件下映內性可保證不動點存在,因而也能保證唯一性.(×)線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法用高斯消去法求解方程組，即列出用增廣矩陣表示的計算過程及解向量；列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角陣和；由計算。P65例3.2.1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~用高斯消去法求解方程組，即列出用增廣矩陣表示的計算過程及解向量；列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角陣和；由計算。解：方程組的增廣矩陣第一次消元：消元因子，進行消元，得第二次消元：消元因子，進行消元，得回代得，，易知，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~用高斯消去法求解方程組，即列出用增廣矩陣表示的計算過程及解向量；列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角陣和；由計算。解：方程組增廣矩陣第一次消元：消元因子，進行消元，得第二次消元：消元因子，進行消元，得回代得，，易知，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~用高斯消去法求解方程組，即列出用增廣矩陣表示的計算過程及解向量；列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角陣和；由計算。解：方程組增廣矩陣第一次消元：消元因子，進行消元，得第二次消元：消元因子，進行消元，得回代得，，易知，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~用高斯消去法求解方程組，即列出用增廣矩陣表示的計算過程及解向量；列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角陣和；由計算。解：方程組增廣矩陣第一次消元：消元因子，進行消元，得第二次消元：消元因子，，進行消元，得第三次消元：消元因子，進行消元，得回代得，，，易知，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~用高斯消去法求解方程組，即列出用增廣矩陣表示的計算過程及解向量；列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角陣和；由計算。解：方程組增廣矩陣第一次消元：消元因子，進行消元，得第二次消元：消元因子，，進行消元，得第三次消元：消元因子，進行消元，得回代得，，，易知，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~用追趕法求解三對角方程組,其中解：，，，，，，，得，解得，，，得，，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~用追趕法求解三對角方程組,其中，，，，，，，得，解得，，，得，，Page77例3.3.1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~用追趕法求解三對角方程組,其中解：，，，，，，，，得，解得，，，得，，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~插值與擬合已知函數(shù)的三個點，寫出Lagrange插值基函數(shù),并求2次插值多項式.Page117例4.2.1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~已知,求函數(shù)過這三點的二項Lagrange插值多項式.解：這里n=2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~求不超過3次的多項式，使它滿足插值條件：Page121例4.2.4~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~求不超過4次的多項式，使它滿足插值條件：解：構造其中的插值基函數(shù)，，，為三次多項式，為待定常數(shù)。計算得，，由于，得=，所以=~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~給定數(shù)據(jù)如下:11.5021.252.501.005.50作函數(shù)的均差表;用牛頓插值公式求三次插值多項式.解：均差表1階均差2階均差3階段均差11.251.52.5001.0025.502）=1.25+2.5+1.5+~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~求不超過3次的多項式，使它滿足插值條件:解：構造其中的插值基函數(shù)，，，為三次多項式，為待定常數(shù)。計算得，，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~己知函數(shù)的三個點處的值為：在區(qū)間[-1,1]上,求在自然邊界條件下的三次樣條插值多項式.P129例4.4.1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~已知為定義在區(qū)間上的函數(shù),且有試求區(qū)間上滿足上述條件的三次樣條插值函數(shù).解：，，；，均差表1階均差2階均差0010.522.031.5，利用固支條件，得矩陣用追趕法求解方程組：，，，，，，，，得，解得，，，得，，所以，i=0,1,2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~己知點列和權數(shù),試用三項遞推公式構造對應的正交多項式.解：，，=2于是，=22=，于是=~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~觀察物體的直線運動,得出如下數(shù)據(jù)：時間t/s0.00.91.93.03.95.0距離s/m010305080110求運動方程,并作圖.解：選擇多項式子空間的基函數(shù)為,,它們在自變量序列處的函數(shù)值向量為，，數(shù)據(jù)中沒有給出權數(shù)，表示默認它們都是1，即。格蘭姆矩陣G==右端向量d==解正規(guī)方程組，得到得圖形如下：~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~試用二次多項式擬合下表中的離散數(shù)據(jù):012340.000.250.500.751.000.100.350.811.091.96Page151例4.6.1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~試用二次多項式擬合下表中的離散數(shù)據(jù):012340.000.250.500.751.001.00001.28401.64872.11702.7183解：n=2，子空間的基函數(shù)為，，。數(shù)據(jù)中沒有給出權數(shù)，表示默認它們都是1，即。解正規(guī)方程組，得到~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~用自己的語言敘述最小二乘原理，并求參數(shù)和，使積分值最小.解：最小二乘原理：Page146定義4.6.1，對于連續(xù)函數(shù)的情況可以用函數(shù)范數(shù)代替向量范數(shù)。令，，選擇多項式子空間的基函數(shù)為,,權函數(shù)。格蘭姆矩陣G===右端向量d===解正規(guī)方程組，得到，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~數(shù)值積分和數(shù)值微分求積公式已知其余項的表達式為,試確定系數(shù)使該求積公式具有盡可能高的代數(shù)精確度,并給出該求積公式的余項和代數(shù)精確度的次數(shù).解：P165例5.2.1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~確定下列求積公式的待定參數(shù),使該求積公式的代數(shù)精確度盡量高,并指出其代數(shù)精確度的次數(shù).(1)解：題中有4個待定參數(shù)，至少要建立4個方程。按代數(shù)精確度，分別令，帶入上式，有，，，，由第一式可知，，代入第三式可得，4乘以第四式減去第二式得，，由題目和上面的結論知，得0，，于是得求積公式它至少有3次代數(shù)精度。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)解：題中有4個待定參數(shù)，至少要建立4個方程。按代數(shù)精確度，分別令，帶入上式，有，，，，由和第二式可知，再由第三式可知，再由第一式知,于是得求積公式它至少有3次代數(shù)精度。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)解：P165例5.2.1，本題有三個未知量，至少有2次代數(shù)精度，和例5.2.1類似。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~確定下列求積公式的待定參數(shù),使該求積公式的代數(shù)精確度盡量高,指出其代數(shù)精確度的次數(shù),并求出余項中的常數(shù).(1)解：余項為三階導數(shù)，可知求積公式至少有2次代數(shù)精度題中有3個待定參數(shù)，至少要建立3個方程。按代數(shù)精確度，分別令，帶入上式，有，，，解得，，，則有令，分別代入求積公式的左右兩邊，左邊=，右邊=，左邊不等于右邊，不能使求積公式準確成立，所以該求積公式只有2次代數(shù)精度?？紤]余項，當時，代入求積公式，得，，所以余項為：~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)解：余項為三階導數(shù)，可知求積公式至少有2次代數(shù)精度題中有3個待定參數(shù)，至少要建立3個方程。按代數(shù)精確度，分別令，帶入上式，有，，，解得，，，則有令，分別代入求積公式的左右兩邊，左邊=0，右邊=，左邊不等于右邊，不能使求積公式準確成立，所以該求積公式只有2次代數(shù)精度?？紤]余項，當時，代入求積公式，得，，所以余項為：~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~給定數(shù)據(jù)表:1.82.02.22.42.63.120144.425696.042418.0301410.46675分別用復化梯形公式和復化Simpson公式計算的近似值.解：，復化梯形公式：，=5.058337，復化Simpson公式:=5.033002~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分別用4段梯形公式和2段Simpson公式計算下列積分,運算時取5位有效數(shù)字。(1)(2)解：（1）n=4,h=(9-1)/4=2數(shù)據(jù)表：1357911.73212.23612.64583復化梯形公式：，=17.228，復化Simpson公式:=17.322精確解：17.333，復化Simpson精確度更高些。**************************************************************************（2）（1）n=4,h=(3-2)/4=數(shù)據(jù)表：22.252.52.7534.47215.54006.73158.04709.4868復化梯形公式：，=6.8245，復化Simpson公式:=6.8141~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~己知求積公式:試利用此公式導出計算的2段復化求積公式.解：作變量置換，時，則=~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~用兩種不同的方法確定，使下面公式為Gauss求積公式:解：（1）作變量置換，時，，則有（2）題中有4個待定參數(shù)，至少要建立4個方程。按代數(shù)精確度，分別令，帶入上式，有，，，，解得，，于是得求積公式它至少有3次代數(shù)精度。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~常微分方程的數(shù)值解法取步長，試用顯式Euler法求解初值問題：并將計算解和精確解(要求求出)比較.解：原方程等價于令，得，解得，利用初始條件，解得，得，方程精確解為顯式Euler公式：，計算結果見下表：0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0顯式Euler公式11.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848精確解11.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~取，試用顯式Euler法