PAGE7-核心素養(yǎng)測評八對數(shù)與對數(shù)函數(shù)(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.依據(jù)有關(guān)資料,圍棋狀態(tài)空間困難度的上限M約為3361,而可觀測宇宙中一般物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與MN最接近的是(參考數(shù)據(jù):lg3≈0.48)A.1033 B.1053 C.1073 【解析】選D.設(shè)MN=x=33611080,兩邊取對數(shù),lgx=lg33611080=lg3361-lg1080=361×lg3-80≈93.28,所以2.(2024·上饒模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=log2x,x>0A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)【解析】選C.由題意得a或a解得a>1或-1<a<0.3.(2024·呂梁模擬)函數(shù)y=lnsinx(0<x<π)的大致圖像是 ()【解析】選C.因?yàn)?<x<π,所以0<sinx≤1,所以lnsinx≤0,解除選項(xiàng)A,B,D.4.(2024·新鄉(xiāng)模擬)若log2(log3a)=log3(log4b)=log4(log2c)=1,則a,b,cA.a>b>c B.b>a>cC.a>c>b D.b>c>a【解析】選D.由log2(log3a)=1,可得log3a=2,故a=32=9;由log3(log4b)=1,可得log4b=3,故b=43=64;由log4(log2c)=1,可得log2c=4,故c=25.若函數(shù)y=a|x|(a>0且a≠1)的值域?yàn)閧y|y≥1},則函數(shù)y=loga|x|的圖像大致是 ()【解析】選B.由于y=a|x|的值域?yàn)閧y|y≥1},所以a>1,則y=loga|x|在(0,+∞)上是增函數(shù),又函數(shù)y=loga|x|的圖像關(guān)于y軸對稱.因此y=loga|x|的圖像應(yīng)大致為選項(xiàng)B.6.已知f(x)=lg(10+x)+lg(10-x),則 ()A.f(x)是奇函數(shù),且在(0,10)上是增函數(shù)B.f(x)是偶函數(shù),且在(0,10)上是增函數(shù)C.f(x)是奇函數(shù),且在(0,10)上是減函數(shù)D.f(x)是偶函數(shù),且在(0,10)上是減函數(shù)【解析】選D.由10+x>0,10-x>0,得x∈(-10,10),又t=100-x2在(0,10)上單調(diào)遞減,y=lgt在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故函數(shù)f(x)在(0,10)上單調(diào)遞減.7.(2024·寧德模擬)已知函數(shù)f(x)=lg(|x|+1),記a=f(50.2),b=f(log0.23),c=f(1),則a,b,c的大小關(guān)系為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號()A.b<c<a B.a<b<cC.c<a<b D.c<b<a【解析】選A.f(x)是偶函數(shù),在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以b=f(log0.23)=f(-log0.23)=flog因?yàn)?0.2>50=1,0<log0.213<log0.2所以0<log0.213<1<50.2所以flog0.所以b<c<a.二、填空題(每小題5分,共15分)8.已知函數(shù)f(x)=log3x,x>02【解析】f19=log319=-2,ff19=f(-2)=2答案:19.函數(shù)y=log2(x-x2)的定義域是,值域是,單調(diào)增區(qū)間是.

【解析】由題意得,x-x2>0,解得0<x<1,故函數(shù)y=log2(x-x2)的定義域?yàn)?0,1);因?yàn)閥=log2(x-x2)=log2-x-122所以函數(shù)的值域?yàn)?-∞,-2];因?yàn)閥=log2t是單調(diào)增函數(shù),所以函數(shù)g(x)=x-x2的增區(qū)間即為原函數(shù)的增區(qū)間.因?yàn)間(x)=x-x2在0,12上單調(diào)遞增,答案:(0,1)(-∞,-2]0【變式備選】函數(shù)f(x)=1-2lo【解析】由題意得x>0,1-2log6x≥0答案:(0,6]10.若函數(shù)f(x)=logax2+32x(a>0,a≠1)在區(qū)間12,+∞【解析】令M=x2+32x,當(dāng)x∈12,+∞時(shí),M∈(1,+∞),f(x)>0,所以a>1,所以函數(shù)y=logaM為增函數(shù),又M=x+342-916,因此M的單調(diào)遞增區(qū)間為-34,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).答案:(0,+∞)(15分鐘35分)1.(5分)已知函數(shù)f(x)=|lnx|,若f(m)=f(n)(m>n>0),則2m+1+A.12 B.1 C.2 【解析】選C.由f(m)=f(n),m>n>0,可知m>1>n>0,所以lnm=-lnn,則mn=1.所以2m+1+2n+1=2.(5分)(2024·威海模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(a-x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱,則函數(shù)f(x)的值域?yàn)?()A.(0,2)B.[0,+∞)C.(-∞,2] D.(-∞,0]【解析】選D.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=lnx+ln(a-x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱,所以f(1-x)=f(1+x),即ln(1-x)+ln(a-1+x)=ln(1+x)+ln(a-1-x),所以(1-x)(a-1+x)=(1+x)(a-1-x),整理得(a-2)x=0恒成立,所以a=2,所以f(x)=lnx+ln(2-x),定義域?yàn)?0,2).又f(x)=lnx+ln(2-x)=ln(2x-x2),因?yàn)?<x<2時(shí),0<2x-x2≤1,所以ln(2x-x2)≤0,所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?-∞,0].故選D.3.(5分)(2024·蚌埠模擬)若函數(shù)f(x)=loga(x2-26x+a)(a>0,且a≠1)有最小值12,則實(shí)數(shù)a的值等于【解析】令g(x)=x2-26x+a,則f(x)=loga[g(x)].①若a>1,由于函數(shù)f(x)有最小值12則g(x)應(yīng)有最小值a,而g(x)=x2-26x+a=(x-6)2+a-6,當(dāng)x=6時(shí),取最小值a-6,因此有a>1,②若0<a<1,由于函數(shù)f(x)有最小值12則g(x)應(yīng)有最大值a,而g(x)不存在最大值,不符合題意.綜上,實(shí)數(shù)a=9.答案:94.(10分)設(shè)f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(1)求a的值及f(x)的定義域.(2)求f(x)在區(qū)間0,3【解析】(1)因?yàn)閒(1)=2,所以loga4=2(a>0,a≠1),所以a=2.由1+x>0所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,3).(2)f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2[(1+x)(3-x)]=log2[-(x-1)2+4],所以當(dāng)x∈(-1,1]時(shí),f(x)是增函數(shù);當(dāng)x∈(1,3)時(shí),f(x)是減函數(shù),故函數(shù)f(x)在0,32上的最大值是5.(10分)已知函數(shù)f(x)=log12(1-x)+log12(x+a),若函數(shù)g(x)=2x(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)求函數(shù)f(x)的值域.【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=2x+a的圖像過點(diǎn)(0,4