人教A版（2019）選擇性必修第三冊《第七章隨機變量及其分布》2024年單元測試卷（B卷）一、選擇題1．（5分）已知離散型隨機變量X的概率分布列如表：X0123P0.20.30.4c則實數c等于（）A．0.5 B．0.24 C．0.1 D．0.762．（5分）已知，則＝（）A． B． C． D．3．（5分）已知4個紅球，2個白球，每次隨機取1個球，不放回地取兩次．在第一次取到紅球的條件下，第二次取到白球的概率為（）A． B． C． D．4．（5分）設隨機變量ξ的分布列由，則a的值為（）A．1 B． C． D．5．（5分）設隨機變量ξ～N（μ，σ2），若P（ξ＜0）+P（ξ＜1）＝1，則μ的值為（）A． B．﹣ C．1 D．﹣1二、多選題（多選）6．（5分）下列事件中隨機變量ξ服從二項分布的有（）A．隨機變量ξ表示重復拋擲一枚骰子n次中出現點數是3的倍數的次數 B．某射手擊中目標的概率為0.9，從開始射擊到擊中目標所需的射擊次數ξ C．有一批產品共有N件，其中M件為次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出現次品的件數（M＜N） D．有一批產品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出現次品的件數（M＜N）（多選）7．（5分）設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（0，1），則下列結論正確的是（）A．P（|ξ|＜a）＝P（ξ＜a）+P（ξ＞﹣a）（a＞0） B．P（|ξ|＜a）＝2P（ξ＜a）﹣1（a＞0） C．P（|ξ|＜a）＝1﹣2P（ξ＜a）（a＞0） D．P（|ξ|＜a）＝1﹣P（|ξ|≥a）（a＞0）（多選）8．（5分）下列命題中，正確的命題是（）A．已知隨機變量服從二項分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，則 B．將一組數據中的每個數據都加上同一個常數后，方差恒不變 C．設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，則 D．某人在10次射擊中，擊中目標的次數為X，X～B（10，0.8），則當X＝8時概率最大三、填空題9．（5分）設隨機變量X～B（5，），則P（2＜X≤4）＝．10．（5分）已知一個質子在隨機外力作用下，從原點出發(fā)在數軸上運動，每隔一秒等可能地向數軸正方向或負方向移動一個單位．若移動n次，則當n＝4時，質子位于原點的概率為，當n＝時，質子位于6對應點處的概率最大．11．（5分）已知隨機變量ξ的分布列如表所示：x﹣1012P（ξ＝x）abc若Eξ＝0，Dξ＝1，則b＝．四、解答題12．（12分）某校從學生會宣傳部6名成員（其中男生4人，女生2人）中，任選3人參加某省舉辦的“我看中國改革開放三十年”演講比賽活動．（1）設所選3人中女生人數為ξ，求ξ的分布列；（2）求男生甲或女生乙被選中的概率．13．（12分）學校體育節(jié)，某小組共10人，利用假期參加義工活動．已知參加義工活動次數為1，2，3的人數分別為3，3，4．現從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會．（1）設A為事件“選出的2人參加義工活動次數之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；（2）設X為選出的2人參加義工活動次數之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數學期望與方差．14．（12分）甲，乙兩隊參加世博會知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分．假設甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為，，，且各人答對與否相互之間沒有影響，用ξ表示甲隊的總得分．（1）求隨機變量ξ的分布列；（2）設C表示事件“甲隊得2分，乙隊得1分”，求P（C）．15．（12分）生產A，B兩種元件，其質量按測試指標劃分為：指標大于或等于82為正品，小于82為次品．現隨機抽取這兩種元件各100件進行檢測，檢測結果統(tǒng)計如下：測試指標[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件A81240328元件B71840296（Ⅰ）試分別估計元件A，元件B為正品的概率；（Ⅱ）生產一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10元；生產一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品則虧損20元．（ⅰ）記X為生產1件元件A和1件元件B所得的總利潤，求隨機變量X的分布列和數學期望；（ⅱ）求生產5件元件B所獲得的利潤不少于300元的概率．16．（12分）某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為，中獎可以獲得2分；方案乙的中獎率為，中獎可以獲得3分；未中獎則不得分．每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結束后憑分數兌換獎品．（1）若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為X，求X≤3的概率；（2）若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，分別求兩種方案下小明、小紅累計得分的分布列，并指出他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數學期望較大？

人教A版（2019）選擇性必修第三冊《第七章隨機變量及其分布》2024年單元測試卷（B卷）參考答案與試題解析一、選擇題1．（5分）已知離散型隨機變量X的概率分布列如表：X0123P0.20.30.4c則實數c等于（）A．0.5 B．0.24 C．0.1 D．0.76【分析】利用分布列的性質即可得出．【解答】解：據題意，得0.2+0.3+0.4+c＝1，解得：c＝0.1．故選：C．【點評】本題考查了隨機變量分布列的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．2．（5分）已知，則＝（）A． B． C． D．【分析】由二項分布與n次獨立重復實驗的模型可得：P（）＝P（X＝2）+P（X＝3）＝（）3（）2+（）2（）3＝，得解．【解答】解：因為X～B（5，），所以P（）＝P（X＝2）+P（X＝3）＝（）3（）2+（）2（）3＝，故選：C．【點評】本題考查了二項分布與n次獨立重復實驗的模型，屬簡單題．3．（5分）已知4個紅球，2個白球，每次隨機取1個球，不放回地取兩次．在第一次取到紅球的條件下，第二次取到白球的概率為（）A． B． C． D．【分析】直接分析即可．【解答】解：第一次取到紅球后還剩3個紅球，2個白球，故第二次取到白球的概率為．故選：B．【點評】本題考查概率，屬于基礎題．4．（5分）設隨機變量ξ的分布列由，則a的值為（）A．1 B． C． D．【分析】根據所給的隨機變量的分布列和分布列的所有概率之和等于1，列出關于a的一元一次方程，得到字母的值．【解答】解：∵隨機變量ξ的分布列由，∴根據分布列的性質有a×＝1，∴a（）＝a×＝1，∴a＝，故選：D．【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列的性質和簡單應用，本題解題的關鍵是根據分布列的性質得到關于字母系數的方程，利用方程思想來解題，本題是一個基礎題．5．（5分）設隨機變量ξ～N（μ，σ2），若P（ξ＜0）+P（ξ＜1）＝1，則μ的值為（）A． B．﹣ C．1 D．﹣1【分析】由題意結合正態(tài)分布的對稱性和概率的性質整理計算即可求得最終結果．【解答】解：由題意可得：P（ξ＜0）+P（ξ＜1）＝P（ξ≥1）+P（ξ＜1）＝1，∴P（ξ＜0）＝P（ξ≥1），結合正態(tài)分布的對稱性可得：．故選：A．【點評】本題考查正態(tài)分布的性質，概率的基本性質等，重點考查學生對基礎概念的理解和計算能力，屬于中等題．二、多選題（多選）6．（5分）下列事件中隨機變量ξ服從二項分布的有（）A．隨機變量ξ表示重復拋擲一枚骰子n次中出現點數是3的倍數的次數 B．某射手擊中目標的概率為0.9，從開始射擊到擊中目標所需的射擊次數ξ C．有一批產品共有N件，其中M件為次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出現次品的件數（M＜N） D．有一批產品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出現次品的件數（M＜N）【分析】根據已知條件，結合二項分布的定義，即可求解．【解答】解：對于A，由于每拋擲一枚骰子出現點數是3的倍數的概率都是相等的，且相互獨立，故隨機變量ξ表示重復拋擲一枚骰子n次中出現點數是3的倍數的次數服從二項分布，故A正確，對于B，對于射手某從開始射擊到擊中目標所需的射擊次數ξ，每次試驗不是獨立的，與其它各次試驗結果有關，故不是二項分布，故B錯誤，對于C，有一批產品共有N件，其中M件為次品，采用有放回抽取方法，每一次抽取中出現次品的概率都是相等的，且相互獨立，故ξ表示n次抽取中出現次品的件數（M＜N）服從二項分布，故C正確，對于D，由于采用不放回抽取方法，每一次抽取中出現次品的概率相等，后一次要受前一次影響，故ξ表示n次抽取中出現次品的件數（M＜N）不服從二項分布，故D錯誤．故選：AC．【點評】本題主要考查了二項分布的定義，屬于基礎題．（多選）7．（5分）設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（0，1），則下列結論正確的是（）A．P（|ξ|＜a）＝P（ξ＜a）+P（ξ＞﹣a）（a＞0） B．P（|ξ|＜a）＝2P（ξ＜a）﹣1（a＞0） C．P（|ξ|＜a）＝1﹣2P（ξ＜a）（a＞0） D．P（|ξ|＜a）＝1﹣P（|ξ|≥a）（a＞0）【分析】根據已知條件，結合正態(tài)分布的對稱性，即可求解．【解答】解：P（|ξ|＜a）＝P（﹣a＜ξ＜a），故A錯誤，P（|ξ|＜a）＝P（﹣a＜ξ＜a）＝P（ξ＜a）﹣P（ξ＜﹣a）＝P（ξ＜a）﹣P（ξ＞a）＝P（ξ＜a）﹣[1﹣P（ξ＜a）]＝2P（P（ξ＜a）﹣1，故B正確，C錯誤，∵P（|ξ|＜a）+P（|ξ|＞a）＝1，∴P（|ξ|＜a）＝10P（|ξ|＞a），（a＞0），故D正確．故選：BD．【點評】本題主要考查了正態(tài)分布的對稱性，掌握正態(tài)分布的對稱性是解決正態(tài)分布概率的關鍵，屬于基礎題．（多選）8．（5分）下列命題中，正確的命題是（）A．已知隨機變量服從二項分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，則 B．將一組數據中的每個數據都加上同一個常數后，方差恒不變 C．設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，則 D．某人在10次射擊中，擊中目標的次數為X，X～B（10，0.8），則當X＝8時概率最大【分析】根據二項分布的性質列方程組計算p判斷A，根據方差性質判斷B，根據正態(tài)分布對稱性判斷C，根據二項分布的概率公式判斷D．【解答】解：對于A，由題意可得：，兩式相比可得：1﹣p＝，故p＝，故A錯誤；對于B，由D（aX+b）＝a2D（X）可知當a＝1時，D（X+b）＝D（X），故B正確；對于C，由ξ～N（0，1）可知P（ξ≤0）＝，且P（ξ＜﹣1）＝P（ξ＞1）＝p，∴P（﹣1＜ξ≤0）＝P（ξ≤0）﹣P（ξ＜﹣1）＝p，故C正確；對于D，＝＝，＝＝，令，解得：≤k≤，又k∈Z，故k＝8，故X＝8時，概率最大，故D正確．故選：BCD．【點評】本題考查了隨機變量的分布列及其性質，屬于中檔題．三、填空題9．（5分）設隨機變量X～B（5，），則P（2＜X≤4）＝．【分析】利用二項分布和n次獨立重復試驗的模型直接求解．【解答】解：∵隨機變量X～B（5，），∴P（2＜X≤4）＝P（X＝3）+P（X＝4）＝+＝．故答案為：．【點評】本題考查概率的求法，考查二項分布和n次獨立重復試驗的模型等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．10．（5分）已知一個質子在隨機外力作用下，從原點出發(fā)在數軸上運動，每隔一秒等可能地向數軸正方向或負方向移動一個單位．若移動n次，則當n＝4時，質子位于原點的概率為，當n＝34或36時，質子位于6對應點處的概率最大．【分析】根據獨立重復試驗的概率公式求n＝4時質子位于原點的概率，再求質子位于6對應點處的概率表達式并求其最值．【解答】解：質子在隨機外力作用下，從原點出發(fā)在數軸上運動，每隔一秒等可能地向數軸正方向或負方向移動一個單位．則第n次移動時向左移動的概率為，事件n＝4時質子位于原點等價于事件前4次移動中有且只有2次向左移動，所以事件n＝4時質子位于原點的概率為，事件第2m+6次移動后質子位于6對應點處等價于事件質子在2m+6次移動中向右移了m+6次，所以第2m+6次移動后質子位于6對應點處的概率，設，則，令可得，化簡可得4m2+32m+28＞4m2+30m+56，所以m＞14，m∈N*，所以f（15）＞f（16）＞…＞f（m）＞…，令可得m＜14，m∈N*，所以f（14）＞f（13）＞…＞f（1），又，所以m＝14或m＝15，即n＝34或n＝36時，質子位于6對應點處的概率最大．故答案為：；34或36．【點評】本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，屬于中檔題．11．（5分）已知隨機變量ξ的分布列如表所示：x﹣1012P（ξ＝x）abc若Eξ＝0，Dξ＝1，則b＝．【分析】由分布列的性質和期望方差的定義可得a+b+c+＝1，①﹣a+c+＝0，②a+c+＝1，③聯(lián)立解方程組可得．【解答】解：由分布列的性質可得a+b+c+＝1，①又可得Eξ＝﹣a+c+＝﹣a+c+＝0，②Dξ＝（﹣1﹣0）2a+（0﹣0）2b+（1﹣0）2c+（2﹣0）2×＝1，化簡可得：a+c+＝1，③聯(lián)立②③可解得，代入①可得b＝故答案為：【點評】本題考查離散型隨機變量的期望與方程，涉及分布列的性質的應用，屬中檔題．四、解答題12．（12分）某校從學生會宣傳部6名成員（其中男生4人，女生2人）中，任選3人參加某省舉辦的“我看中國改革開放三十年”演講比賽活動．（1）設所選3人中女生人數為ξ，求ξ的分布列；（2）求男生甲或女生乙被選中的概率．【分析】（1）ξ的所有可能取值為0，1，2，分別求出ξ的分布列．（2）設“甲、乙都不被選中”為事件C，由此利用對立事件概率計算公式能求出男生甲或女生乙被選中的概率．【解答】解：（1）ξ的所有可能取值為0，1，2，依題意得P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝．∴ξ的分布列為：ξ012P（2）設“甲、乙都不被選中”為事件C，則P（C）＝＝＝．∴所求概率為P（）＝1﹣P（C）＝1﹣＝．【點評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．13．（12分）學校體育節(jié)，某小組共10人，利用假期參加義工活動．已知參加義工活動次數為1，2，3的人數分別為3，3，4．現從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會．（1）設A為事件“選出的2人參加義工活動次數之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；（2）設X為選出的2人參加義工活動次數之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數學期望與方差．【分析】（1）由相互獨立事件的概率計算公式求出事件A發(fā)生的概率；（2）根據題意知隨機變量X的所有可能取值，計算對應的概率值，寫出分布列，計算數學期望值與方差．【解答】解：（1）由已知得：P＝＝，所以，事件A發(fā)生的概率為；（2）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2；計算＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以隨機變量X的分布列為：X012P隨機變量X的數學期望為E（X）＝0×+1×+2×＝1，D（X）＝+．【點評】本題考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的計算問題，是基礎題．14．（12分）甲，乙兩隊參加世博會知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分．假設甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為，，，且各人答對與否相互之間沒有影響，用ξ表示甲隊的總得分．（1）求隨機變量ξ的分布列；（2）設C表示事件“甲隊得2分，乙隊得1分”，求P（C）．【分析】（1）由題意可知，ξ的所有可能的值為0，1，2，3，分別求出對應的概率，即可得ξ的分布列．（2）“甲隊得兩分”與“乙隊得1分”相互獨立，分別算出“甲隊得兩分”的概率，乙隊得1分”的概率，并相乘，即可求解．【解答】解：（1）由題意可知，ξ的所有可能的值為0，1，2，3，P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝，故ξ的分布列為：ξ0123P（2）“甲隊得兩分”與“乙隊得1分”相互獨立，由（1）得，“甲隊得2分”的概率P（ξ）＝，“乙隊得1分”的概率為++，∴“甲隊得2分，乙隊得1分”的概率P（C）＝．【點評】本題主要考查離散型隨機變量分布列的求解，以及需要學生熟練掌握概率公式，屬于基礎題．15．（12分）生產A，B兩種元件，其質量按測試指標劃分為：指標大于或等于82為正品，小于82為次品．現隨機抽取這兩種元件各100件進行檢測，檢測結果統(tǒng)計如下：測試指標[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件A81240328元件B71840296（Ⅰ）試分別估計元件A，元件B為正品的概率；（Ⅱ）生產一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10元；生產一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品則虧損20元．（?。┯沊為生產1件元件A和1件元件B所得的總利潤，求隨機變量X的分布列和數學期望；（ⅱ）求生產5件元件B所獲得的利潤不少于300元的概率．【分析】（Ⅰ）由檢測結果統(tǒng)計利用等可能事件概率計算公式能求出元件A、元件B為正品的概率．（Ⅱ）（i）隨機變量X的所有取值為150，90，30，﹣30．分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX．（ii）生產5件元件B所獲得的利潤不少于300元包含兩種情況：5件都是正品，或5件中4件正品1件次品，由此能求出生產5件元件B所獲得的利潤不少于300元的概率．【解答】解：（Ⅰ）由題意知元件A為正品的概率為p1＝＝，元件B為正品的概率為＝．（Ⅱ）（i）隨機變量X的所有取值為150，90，30，﹣30．由題意可得P（X＝150）＝，P（X＝90）＝＝，P（X＝30）＝＝，P（X＝﹣30）＝＝，∴X的分布列為：X1509030﹣30PEX＝＝108．（ii）生產5件元件B所獲得的利潤不少于300元包含兩種情況：5件都是正品，或5件中4件正品1件次品，∴生產5件元件B所獲得的利潤不少于300元的概率：p＝＝．【點評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．16．（12分）某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為，中獎可以獲得2分；方案乙的中獎率為，中獎可以獲得3分；未中獎則不得分．每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結束后憑分數兌換獎品．（1）若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為X，求X≤3的概率；（2）若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，分別求兩種方案下小明、小紅累計得分的分布列，并指出他們選