4.2.1等差數(shù)列的概念【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一等差數(shù)列的概念一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可負(fù)可為零．考點(diǎn)二等差中項(xiàng)的概念由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列．這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)且2A＝a＋b.考點(diǎn)三等差數(shù)列的通項(xiàng)公式首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d.考點(diǎn)四從函數(shù)角度認(rèn)識(shí)等差數(shù)列{an}若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公差為d，則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)點(diǎn)(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上，這條直線的斜率為d，在y軸上的截距為a1－d

；(2)這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)每增加1，函數(shù)值增加d.等差數(shù)列的性質(zhì)考點(diǎn)一等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形及推廣設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝eq\f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．其中，①的幾何意義是點(diǎn)(n，an)均在直線y＝dx＋(a1－d)上．②可以用來利用任一項(xiàng)及公差直接得到通項(xiàng)公式，不必求a1.③可用來由等差數(shù)列任兩項(xiàng)求公差．考點(diǎn)二等差數(shù)列的性質(zhì)1．若{an}，{bn}分別是公差為d，d′的等差數(shù)列，則有數(shù)列結(jié)論{c＋an}公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){c·an}公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){an＋an＋k}公差為kd的等差數(shù)列(k為常數(shù)，k∈N*){pan＋qbn}公差為pd＋qd′的等差數(shù)列(p，q為常數(shù))2.下標(biāo)性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.特別地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則有am＋an＝2ap.3．在等差數(shù)列中每隔相同的項(xiàng)選出一項(xiàng)，按原來的順序排成一列，仍然是一個(gè)等差數(shù)列．4．等差數(shù)列{an}的公差為d，則d>0?{an}為遞增數(shù)列；d<0?{an}為遞減數(shù)列；d＝0?{an}為常數(shù)列．【題型歸納】題型一：利用定義法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式1．（2022·福建省龍巖第一中學(xué)高二）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，則（

）A． B． C． D．2．（2022·河南鄭州·高二）設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)積為，且，則（

）A． B． C． D．題型二：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算3．（2022·湖北·監(jiān)利市教學(xué)研究室高二期末）已知數(shù)列滿足，則滿足的的最大取值為（

）A．6 B．7 C．8 D．94．（2022·江蘇鹽城·高二期中）已知是等差數(shù)列，且，則（

）A．1 B．3 C．5 D．75．（2022·陜西·禮泉縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，，，則的值為（

）A．33 B．30 C．27 D．246．（2022·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）等差數(shù)列的公差，數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．， B．，C．， D．，題型三：等差中項(xiàng)及應(yīng)用7．（2022·河南平頂山·高二期末（文））已知數(shù)列是等差數(shù)列，且滿足，則（

）A． B． C． D．8．（2022·北京豐臺(tái)·高二期中）在等差數(shù)列中，，則的值是（

）A．24 B．32 C．48 D．969．（2022·廣東·佛山市第四中學(xué)高二階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為，，，則此數(shù)列的第四項(xiàng)為（

）A．12 B．13 C．10 D．15題型四：等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用10．（2022·新疆·烏魯木齊市高級(jí)中學(xué)高二期中）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，則（

）A．8 B．12 C．15 D．2411．（2022·重慶長壽·高二期末）在等差數(shù)列中，，則的值是（

）A．36 B．48 C．72 D．2412．（2022·河南開封·高二期末（理））已知數(shù)列，都是等差數(shù)列，且，，則（

）A． B． C．1 D．2題型五：等差數(shù)列的應(yīng)用13．（2022·浙江·杭州市余杭中學(xué)高二期中）在北京冬奧會(huì)開幕式上，二十四節(jié)氣倒計(jì)時(shí)驚艷了世界．從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長依次成等差數(shù)列，若冬至的日影長為18.5尺，立春的日影長為15.5尺，則春分的日影長為（

）A．9.5尺 B．10.5尺 C．11.5尺 D．12.5尺14．（2022·全國·高二）習(xí)近平總書記提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵．要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵(lì)外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．為鼓勵(lì)返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，黑龍江對青山鎮(zhèn)鎮(zhèn)政府決定投入創(chuàng)業(yè)資金和開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員．預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府每年投入的創(chuàng)業(yè)資金構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列（單位萬元，），每年開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金的倍，已知．則預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為（

）A．72萬元 B．96萬元 C．120萬元 D．144萬元15．（2022·北京豐臺(tái)·高二期中）《張邱建算經(jīng)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十織迄……”其大意為：有一女子不善于織布，每天比前一天少織同樣多的布，第一天織5尺，最后一天織一尺，三十天織完…….則該女子第11天織布（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺題型六：等差數(shù)列的判定與證明16．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知在數(shù)列中，，，數(shù)列滿足.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說明理由.17．（2022·陜西·西北農(nóng)林科技大學(xué)附中高二期中（文））已知數(shù)列滿足，.(1)求??；(2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.18．（2022·廣東·佛山一中高二階段練習(xí)）已知數(shù)列{}滿足(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，求數(shù)列{·}的前2022項(xiàng)和；【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題19．（2022·廣東·饒平縣第二中學(xué)高二開學(xué)考試）已知是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，如果，則序號(hào)等于（

）A．664 B．665 C．674 D．67520．（2022·陜西咸陽·高二期中（文））若數(shù)列為等差數(shù)列，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．?dāng)?shù)列，，，…，…為等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列，，，…，，…為等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列21．（2022·福建漳州·高二期中）已知等差數(shù)列中，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則=（

）A．2 B．3 C．4 D．622．（2022·江蘇省震澤中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足.則取最小值時(shí)，取值為（

）A．4 B．8 C．9 D．23．（2022·上海財(cái)經(jīng)大學(xué)附屬北郊高級(jí)中學(xué)高二期中）1934年，東印度（今孟加拉國）學(xué)者森德拉姆發(fā)現(xiàn)了“正方形篩子”如圖所示，根據(jù)規(guī)律，則“正方形篩子”中位于第100行的第100個(gè)數(shù)是（

）A．20180 B．20200 C．20220 D．2024024．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)高二階段練習(xí)）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將正整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（

）A．103 B．107 C．109 D．10525．（2022·甘肅·天水市田家炳中學(xué)高二階段練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；26．（2022·江蘇·常熟市王淦昌高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知等差數(shù)列中．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，是否存在正整數(shù)m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．【高分突破】一：單選題27．（2022·山東·蘭陵四中高二）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．28．（2022·福建省連城縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）定義“等方差數(shù)列”：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)的平方與它的前一項(xiàng)的平方的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作該數(shù)列的方公差.設(shè)是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，且方公差為，則數(shù)列的前24項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．629．（2022·全國·高二單元測試）若數(shù)列滿足（其中d是常數(shù)），則稱數(shù)列是“等方差數(shù)列”．已知數(shù)列是公差為m的等差數(shù)列，則“”是“是等方差數(shù)列”的（

）．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件30．（2022·全國·高二）若，，，…，為各項(xiàng)都大于0的等差數(shù)列，公差，則（

）．A． B．C． D．31．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中，若公差為，、為數(shù)列的任意兩項(xiàng)，則當(dāng)時(shí)，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中必定成立的有（

）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)32．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有下列命題：①若，則數(shù)列是等差數(shù)列；②若，則數(shù)列是等差數(shù)列；③若（b、c是常量），則數(shù)列是等差數(shù)列．其中真命題有（

）．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)二、多選題33．（2022·湖南·長郡中學(xué)高二期中）若是等差數(shù)列，則下列數(shù)列中仍為等差數(shù)列的是（

）A．B．C．(為常數(shù))D．34．（2022·湖南·雙峰縣第一中學(xué)高二期中）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列單調(diào)遞增，且，則（

）A．公差d的取值范圍是 B．C． D．的最小值為135．（2022·福建省華安縣第一中學(xué)高二）設(shè)等差數(shù)列中，，公差，依次取出項(xiàng)的序號(hào)被4除余3的項(xiàng)組成新數(shù)列，則（

）A． B． C． D．36．（2021·浙江·測試·編輯教研五高二期中）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（

）A． B．是該數(shù)列中的項(xiàng)C．該數(shù)列是遞增數(shù)列 D．該數(shù)列是等差數(shù)列37．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)高二階段練習(xí)）已知方程的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則的值等于（

）A． B． C． D．38．（2022·黑龍江·勃利縣高級(jí)中學(xué)高二期中）公差為d的等差數(shù)列滿足，，則下面結(jié)論正確的有（

）A．d＝2 B．C． D．的前n項(xiàng)和為39．（2022·黑龍江·哈師大附中高二期中）已知數(shù)列滿足：，當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于數(shù)列的說法正確的是(

)A． B．是遞增數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列為周期數(shù)列三、填空題40．（2022·甘肅·天水市田家炳中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式___________41．（2022·江蘇省鄭梁梅高級(jí)中學(xué)高二期中）我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有一道題:“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩二，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”根據(jù)這一數(shù)學(xué)思想，所有被3除余2的正整數(shù)按從小到大的順序排列組成數(shù)列，所有被5除余2的正整數(shù)按從小到大的順序排列組成數(shù)列，把數(shù)列與的公共項(xiàng)按從小到大的順序排列組成數(shù)列，則數(shù)列的第10項(xiàng)是數(shù)列的第______項(xiàng).42．（2022·江蘇鹽城·高二期中）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為2，公差為8，在中每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使它們與原數(shù)列的項(xiàng)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式__________.43．（2022·甘肅·白銀市第九中學(xué)高二階段練習(xí)）已知在等差數(shù)列中，是方程的兩個(gè)根，則__________.44．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列能判斷數(shù)列是等差數(shù)列的是______．①；②；③；④．45．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知是等差數(shù)列，且，，則______．46．（2022·全國·高二單元測試）設(shè)是公差為－2的等差數(shù)列，如果，那么______．47．（2022·遼寧營口·高二期末）已知a，b，c三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，函數(shù)的圖像過定點(diǎn)A，函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____________．四、解答題48．（2022·浙江·嘉興一中高二期中）已知數(shù)列滿足：．(1)若，求的值；(2)設(shè)，，數(shù)列是否有最大項(xiàng)，最小項(xiàng)？若有，分別指出第幾項(xiàng)最大，最?。蝗魶]有，試說明理由．49．（2022·江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足：，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)對于正整數(shù)，已知三數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，求正整數(shù)的值.50．（2022·甘肅·慶陽第六中學(xué)高二階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)判斷96是不是數(shù)列中的項(xiàng)？51．（2022·上海市延安中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，；(1)設(shè)，，，求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，，，數(shù)列是否有最大項(xiàng)，最小項(xiàng)？若有，分別指出第幾項(xiàng)最大，最??；若沒有，試說明理由；【答案詳解】1．A【分析】由題意可知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用與的關(guān)系求出即可.【詳解】∵a1=1，－=1，∴是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，∴，即，∴（）.當(dāng)時(shí)，也適合上式，.故選：A.2．B【分析】當(dāng)可求得；當(dāng)時(shí)，可證得數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到，由求得后，利用可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，由得：，即，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)：滿足，，故選：B.3．B【分析】首先地推公式變形，得，，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式后，再解不等式.【詳解】因?yàn)?，兩邊取倒?shù)，得，整理為：，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，，，因?yàn)?，即，得，解得：?所以的最大值是7.故選：B4．B【分析】結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可解決.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，，則故選：B.5．A【分析】用基本量表示題干條件，求出，即得解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，即，解得，所以.故選：A6．B【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)列的前項(xiàng)和，列出關(guān)于的方程組，解之即可求得的值.【詳解】等差數(shù)列的公差，數(shù)列前項(xiàng)和則，，由，則，則可得故選：B7．C【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，則，因此，.故選：C.8．C【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求得，再由即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，，則，所以.故選：C9．B【分析】根據(jù)題意，，解方程得，進(jìn)而得答案.【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列的前三項(xiàng)分別為，，，所以，解得所以該等差數(shù)列的前三項(xiàng)為，公差為，所以此數(shù)列的第四項(xiàng)為.故選：B10．B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，所以，解得，所以，.故選：B11．A【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求得，再由即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，，則，所以.故選：A12．A【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式的基本運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列，都是等差數(shù)列，所以數(shù)列是等差數(shù)列，又，，所以其公差為，所以則，故選：A13．D【分析】由等差數(shù)列相關(guān)運(yùn)算得到公差，進(jìn)而求出春分的日影長.【詳解】由題意得：為等差數(shù)列，公差為d，則，，則，解得：，則，故春分的日影長為12.5尺.故選：D14．C【分析】本題可設(shè)等差數(shù)列的公差為，然后根據(jù)題意得出五年累計(jì)總投入資金為，最后通過基本不等式即可求出最值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，五年累計(jì)總投入資金為：，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為120萬元，故選：C.15．B【解析】女子每天的織布數(shù)成等差數(shù)列，根據(jù)首項(xiàng)和末項(xiàng)以及項(xiàng)數(shù)可求公差，從而可得第11天的織布數(shù).【詳解】設(shè)女子每天的織布數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，由題設(shè)可知為等差數(shù)列，且，故公差，故，故選：B.16．(1)證明見解析(2)最小值，最大值3，理由見解析【分析】（1）求，化簡后由等差數(shù)列定義證明（2）先求的通項(xiàng)公式后得出的通項(xiàng)公式，結(jié)合單調(diào)性求解(1)證明：因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，.又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.(2)由（1）知，則.設(shè)函數(shù)，在區(qū)間和上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值3.17．(1)，，；(2)證明見解析，.【分析】（1）根據(jù)遞推公式，結(jié)合，逐項(xiàng)求解即可；（2）對遞推公式進(jìn)行變形，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可證明，再求，即可求得.(1)由得，代入，n依次取值2，3，4，得，，.(2)證明：由變形，得，即，所以是等差數(shù)列.由，所以，變形得，所以.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由遞推公式構(gòu)造數(shù)列證明（2）由裂項(xiàng)相消法求和(1)依題設(shè)可得∴數(shù)列{}是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，∴，∴(2)由（1）可得，∴，∴19．D【分析】由列方程，解方程求得.【詳解】，解得.故選：D20．C【分析】利用等差數(shù)列的定義判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以設(shè)（為常數(shù)），又，所以數(shù)列也為等差數(shù)列，故A正確；B選項(xiàng)：，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故B正確；C選項(xiàng)：，不是常數(shù)，故不是等差數(shù)列，故C錯(cuò)；D選項(xiàng)：，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故D正確.故選：C.21．D【分析】由根與系數(shù)關(guān)系有，再根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)即可求值.【詳解】由題意知，又是等差數(shù)列，所以.故選：D22．A【分析】結(jié)合已知條件可得是等差數(shù)列，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)通項(xiàng)公式的特征即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，則，所以是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，從而，即，從而易知，數(shù)列中僅有，，為負(fù)，因?yàn)?，，，所以取最小值時(shí)，.故選：A.23．B【分析】先求出第100行的第一個(gè)數(shù)，再根據(jù)第100行的數(shù)是公差為3＋2×(100－1)＝201的等差數(shù)列，從而得到第100行的第100個(gè)數(shù)是301＋201×(100－1)＝20200．【詳解】第一列的數(shù)字為4，7，10，13，16，……，成等差數(shù)列，公差d＝3，其通項(xiàng)公式＝4＋3(n－1)＝3n＋1，故第100行的第一個(gè)數(shù)為＝301，再看行，第一行的數(shù)是公差為3的等差數(shù)列，第二行的數(shù)是公差為5的等差數(shù)列，第三行的數(shù)是公差為7的等差數(shù)列，…，第n行的數(shù)是公差為3＋2×(n－1)的等差數(shù)列，則第100行的數(shù)是公差為3＋2×(100－1)＝201的等差數(shù)列，所以第100行的第100個(gè)數(shù)是301＋201×(100－1)＝20200．故選：B．24．B【分析】由題意可將問題轉(zhuǎn)化為既是3的倍數(shù)，也是7的倍數(shù)，也即是21的倍數(shù)，即可得出，求得答案.【詳解】由題意可將問題轉(zhuǎn)化為既是3的倍數(shù)，也是7的倍數(shù)，也即是21的倍數(shù)，即，則，∴，故選：B25．證明見解析，.【分析】利用已知條件，確定k的值，最值得遞推關(guān)系式，得證為等差數(shù)列，即可求解通項(xiàng)公式.【詳解】證明：，，，則，即，解得，所以，，即，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，故.26．(1)；(2)不存在，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算量列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，寫出通項(xiàng)公式；求出的通項(xiàng)公式，列出方程，求出，故不存在正整數(shù)m.（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得所以，即；（2），∵，∴，則，解得，不符合題意，∴不存在正整數(shù)，使得.27．A【分析】根據(jù)數(shù)列與的關(guān)系化簡計(jì)算可得，等式兩邊同時(shí)除以得，結(jié)合等差數(shù)列的定義可知是以6為首項(xiàng)，5為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】由題意知，，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，則，整理，得，等式兩邊同時(shí)除以，得，又，所以數(shù)列是以6為首項(xiàng)，5為公差的等差數(shù)列，有，則，所以.故選：A.28．A【分析】先由等方差數(shù)列的定義得到是公差為2的等差數(shù)列，進(jìn)而求出，代入得，再利用裂項(xiàng)相消法求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，得，故是公差為2的等差數(shù)列，所以，即，所以，故數(shù)列的前24項(xiàng)和為：.故選：A.29．C【分析】由得到為常數(shù)列，從而，故是等方差數(shù)列，充分性成立，再由是等方差數(shù)列，也是等差數(shù)列，得到，結(jié)合，分析出，，必要性得證.【詳解】若，則為常數(shù)列，滿足，所以是等方差數(shù)列，充分性成立，因?yàn)槭堑确讲顢?shù)列，所以，則，因?yàn)閿?shù)列是公差為m的等差數(shù)列，所以，所以，由于,當(dāng)時(shí)，隨著的改變而改變，不是定值，不合要求，當(dāng)時(shí)，為定值，此時(shí)滿足題意，綜上必要性成立.故選：C30．B【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的推論，以及結(jié)合通項(xiàng)公式進(jìn)行作差法，可得答案.【詳解】由題意，可知，，故選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤；由，，，則，即，故選：B.31．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式依次討論即可得答案.【詳解】解：由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，所以，，，.故②③④成立，①不成立.故選：C32．C【分析】由等差數(shù)列的定義即可得出結(jié)論.【詳解】由，得，滿足等差數(shù)列的定義，故①正確；，不是常數(shù)，不滿足等差數(shù)列的定義，故②錯(cuò)誤；，，，滿足等差數(shù)列的定義，故③正確.故選：C33．BCD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義逐一進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解.【詳解】對于選項(xiàng)A，數(shù)列是等差數(shù)列，取絕對值后不是等差數(shù)列，故選項(xiàng)A不符合題意；對于選項(xiàng)B，若為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知：數(shù)列為常數(shù)列，故為等差數(shù)列，故選項(xiàng)B符合題意；對于選項(xiàng)C，若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則為常數(shù)列，故為等差數(shù)列，故選項(xiàng)C符合題意；對于選項(xiàng)D，若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則為常數(shù)，故為等差數(shù)列，故選項(xiàng)D符合題意，故選：BCD.34．AB【分析】由,,且，可判斷A，由等差數(shù)列的性質(zhì)可判斷B，由作差法可判斷C，由基本不等式可判斷D.【詳解】由題意得,,而，，解得，∴，故A正確；由，故B正確；由，可知，故C錯(cuò)誤；由，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，但，故不能取“=”，所以D錯(cuò).故選：AB35．BCD【分析】先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，再由題意逐一判斷即可【詳解】因?yàn)?，，所以，?shù)列中序號(hào)被4除余3的項(xiàng)是第3項(xiàng)，第7項(xiàng)，第11項(xiàng)，，所以故A錯(cuò)誤，BC正確；設(shè)數(shù)列中的第項(xiàng)是數(shù)列中的第項(xiàng)，則，所以當(dāng)時(shí)，，故，所以D正確，故選：BCD36．AB【分析】對于A，取值即可判斷；對于B，分類討論是奇數(shù)項(xiàng)與是偶數(shù)項(xiàng)兩種情況即可判斷；對于CD，列出的前3項(xiàng)即可判斷.【詳解】因?yàn)?，對于A，當(dāng)時(shí)，，故A正確；對于B，若是奇數(shù)項(xiàng)，則，解得，不滿足，舍去；若是偶數(shù)項(xiàng)，則，解得，滿足題意，故是中的第二項(xiàng)，故B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，故的前三項(xiàng)為，顯然不是遞增數(shù)列，故C錯(cuò)誤；對于D，由C易知，，故不是等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：AB.37．BD【分析】設(shè)方程的四根分別為、、、，利用等差數(shù)列的基本性質(zhì)結(jié)合韋達(dá)定理可求得這四個(gè)數(shù)的值，進(jìn)而可求得、的值，即可得解.【詳解】設(shè)方程的四根分別為、、、，則數(shù)列、、、是首項(xiàng)為的等差數(shù)列，設(shè)其公差為，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，①若、為方程的兩根，則、為方程的兩根，由韋達(dá)定理可得，可得，，則，，此時(shí)，，則；②若、為的兩根，、為方程的兩根，同理可得，，則.綜上所述，.故選：BD.38．ABD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷A、B；利用裂項(xiàng)相消求和法即可判斷C、D.【詳解】由題意得，，即，解得，所以，故A、B正確；得，故，故C錯(cuò)誤；所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為，故D正確.故選：ABD.39．ABC【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式推出，說明數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，然后求解通項(xiàng)公式，即可判斷選項(xiàng)的正誤．【詳解】數(shù)列滿足：，當(dāng)時(shí)，，，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，，，故C正確；，故A正確；∵函數(shù)在x＞－1時(shí)單調(diào)遞增，故是單調(diào)遞增數(shù)列，故B正確，D錯(cuò)誤．故選：ABC．40．【分析】由已知條件可得，從而可得數(shù)列是等差數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式后化簡即可得到.【詳解】∵，∴，∴數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，又，∴，∴.故答案為：.41．28【分析】根據(jù)給定的條件，求出數(shù)列，的通項(xiàng)公式，再推導(dǎo)出數(shù)列的通項(xiàng)即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，令，即有，則，因此，即，有，于是得數(shù)列的通項(xiàng)為，，由得：，所以數(shù)列的第10項(xiàng)是數(shù)列的第28項(xiàng).故答案為：2842．，【分析】等差數(shù)列滿足為，，故可以求得的首項(xiàng)與公差，從而可以寫出的通項(xiàng)公式.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為由題意可知，，，于是因?yàn)?，所以，所以所以故答案為：?3．【分析】根據(jù)韋達(dá)定理可求得，利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】是方程的兩個(gè)根，，.故答案為：.44．①②【分析】根據(jù)可以求出，再結(jié)合可以判斷