24.1相似形

1.定義：形狀相同的圖形稱為相似形

【注意】對相似三角形的定義應從以下幾方面理解：

（1）“形狀相同的圖形”是將一個圖形放大或縮小后得到的

（2）“大小不一定相同的相似形”說明了相似圖形有兩種情況：一是大小不同；二是大小相同。對于大

小不同的兩個相似形，可以看作大的圖形由小的圖形放大而得到，或小的圖形由大的圖形縮小而得到。

對于大小相同的兩個相似形，它們可以重合，這時它們是全等形。

（3）所謂形狀相同，應與位置無關，與擺放角度無關，與擺放方向也無關。

例：下列各組中的圖形，不是相似圖形的是（）

（A）同一座城市的兩張比例尺不同的地圖（B）一個人現(xiàn)在的照片和他十年前的照片

（C）兩個正方形（D）國旗上的五角星

2.相似圖形的識別方法

（1）感觀法（2）測量法（3）對比分析法

3.相似圖形的性質

如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應角相等，對應邊的長度成比例。

【注意】（1）當兩個相似的多邊形是全等形時，它們的對應邊的長度的比值都是1

（2）根據(jù)此性質，我們可以判定兩個多邊形是否相似。

4.方格法畫與已知圖形相似的圖形

（1）利用“方格法”畫與已知圖形相似的圖形的依據(jù)是“兩多邊形對應角相等，對應邊的長度成比例,

則兩多邊形相似”。

（2）利用“方格法”畫與已知圖形相似的圖形的方法：在格子圖中畫與己知圖形相似的圖形時，首先應

確定對應邊所成的比例數(shù)，然后根據(jù)比例數(shù)在格子點上找出對應邊的長

度，再根據(jù)對應角相等即可畫出圖形。

例；如圖在正方形網格上，若使AABCS^PBD,則點P應在（）

24.2比例線段

L兩條線段的比

如果a:b=c:d（或旦=￡）,那么就說a、b、c、d成比例。

bd

兩條線段的長度的比叫做兩條線段的比。

【注意】（1）兩條線段的比，就是在同一單位下它們的長度比。因此,比與所選線段的長度單位無關,

但必須選定同一長度單位。

（2）由于a、Z?長度都是正數(shù)，所以兩條線段的比是一個正數(shù)。

nn

（3）兩條線段的比是有順序的，不可顛倒，除了。=〃時外，但一與一互為倒數(shù)。

ba

2.成比例線段

在四條線段a、b、c、d中，如果。與方的比等于c與d,即q=￡,我們把這四條線段叫做成比例線段,

bd

簡稱比例線段。

【注意】（1）比例線段所表示的是四條線段的關系。

（2）比例線段所表示的是一種相等關系，因此表示比例線段的式子中必須有等號存在。

（3）線段a、b、c、d成比例是順序地表示為a:5=c:d

（4）判斷四條線段是否成比例，只要把這四條線段長度的大小順序排好，判斷前兩條線段之比與后兩條

線段之比是否相等即可。

3.比例的基本性質

ac

兩個外項的積等于兩個內項的積，即如果一=—,那么4

bd

,ac,bdabcd

如果m一=一,那么一=一,一=一,—=一,-o

bdaccdab

4.合比性質

.acFb/a+bc+da-bc-daca_c

如果m一=一,那么----=-----；-----=-----,-----=-----

bdbdbda-bc-da+bc+d

nr

【注意】（1）在對比例式一=一進行變形時，要注意是分子加減分母經原分母，而不要理解反了

bd

a+bc+da+bb

（2）合比性質與比例基本性質結合起來運用可得到很多結論，如:-----=------=>------

bdc+d~d

例：（1）若一二4,求——-----的值。（2）若一二一，求------的值。

yy%+yb5b

5.等比性質

,ac7F-Q+Cac,

如果m—————k9那么----——————k

bdb+dbd

【注意】（1）等比性質可以推廣到任意有限多個相等的比的情形。例如：

如果幺=&=%=...=左，那么q+0+幺=幺="左

bxb2b3A+仇+b34b24

（2）在運用等比性質時，一定要注意性質滿足的條件是所有比的分母的和不為0

例：已知幺=9=9=3,求“―2'+4e的值（b—2d+4/-0）

bdfb-2d+4f

6.黃金分割

如圖，如果點C把線段AB分割成AC和CB（AOCB）兩條線段，且坐坐2=變萼，那么稱這種

A3（全）AC（長）

分割為黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC（長）是BC（短）與AB（全）的比例中項，AC

與AB的比值叫做黃金分割數(shù)。AC:A3=叵。：1^0.618:1

2

3=C5AB即3=（AB-AC）ABAC2+AB-AC=AB2

1,1,5,1J5

兩邊同時加上（QA3）2得（4。+]45）2=彳452,兩邊開平方得AC+5A5=A3

+J5-1J5-1

:.AC=———AB,只取AC=^——AB,

22

,ACV5-1

,AB-2

24.3三角形一邊的平行線

1.三角形一邊的平行線性質定理及推論

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對應線段成比例。

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例。

2.三角形的重心

三角形三條中線的交點叫做三角形的重心。

三角形的重心到一個頂點的距離，等于它到這個頂點對邊中點的距離的兩倍。

3.三角形一邊的平行線判定定理及推論

如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

如果一條直線截三角形的兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側）所得的對應線段成比例，那

么這條直線平行于三角形的第三邊。

4.平行線分線段成比例定理

兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應線段成比例

兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段

也相等。

5.通過上面的學習，含有比例線段的基本圖形:

例:

1.如圖，已知:在口A3CD的對角線AC上取一點G,過G作一直線分別交AB的延長線BC和AD及CD

的延長線開P、Q、E、S.求證:GP?GQ=GE?GS

分析:求線段的比或證明比例線段關鍵是通過找出“中間比”

來進行過渡，這是一種基本方法.證明中將行者等積式與比

例式進行互化是常用的方法.

2.如圖，UABC中,AD是BC上中線,F是AD上一點，且AF:FD=1:3,聯(lián)結BF,并延長AC于E.

求證:CE:EA=6:1

A

j\E

分析:作平行線是證明比例線段中常用的輔助線，能起到構造比（比例）

和平移比的作用，作不行線是應考慮兩點:一是過哪一點作平行線,二是

作哪一直線一平行線.其原則為:通過作平行線出現(xiàn)存在比和比例的基

本圖形,要得到的比例式中應盡可能多的出現(xiàn)已知或求證中的線段.

B

D

3.如圖：在四邊形ABCD中,M、N分別為AB、CD邊的中點，延長AD、MN相交于點G,BC延長線交GM于H.

求證:AG:DG=BH:CH

4.如圖，AABC中，點D在BC上,BD:DC=2:1,點E在AD上,AE:ED=2:3,BE的延長線交AC于點F,求BE:EF

的值.

如圖，已知在△ABC中，AE:EB=CD:CB=1:3,AD與CE相交于點"，求型的值。

5、

HC

6、如圖所示，在菱形A3CD中，點￡、尸分別在BC、CD上，ZBAF=ZDAE,AE與BD

相交于點G.

①求證：BE=DF；

r)pAD

②當——=—時，求證：四邊形BERG是平行四邊形.

FCDF

7、如圖，點P是菱形ABCD的.對角線5D上一點，聯(lián)結CP并延長，交于點E,交54的延長線于

點F.

(1)求證：PC2=PEPF；

(2)若菱形邊長為8,PE=2EF=6,

在AABC中，點D是3c上一點，且02=40。求證：Z1=Z2

8、如圖,

DCAC

重心題型

1.已知在等腰三角形ABC中，AB=AC=13,BC=10,G是△ABC的重心，則BG=.

2.在ZkABC中，NC=90°,BC=12,點G為重心，且GD_LBC,那么CD=.

3.兩個等腰直角三角形ACS和DCE的位置如圖所示，點A、C、E和點5、C、D

分別在,一直線上，ZACB=9Q°,AE=4形,AB=3DE,點G、H分別是AACB、

ADCE的重心，聯(lián)結G”,那么GH=.

4.我們把兩個三角形的中心之間的距離叫做重心距，在同一平面內有兩個邊長相等的等邊三角形，如果

當它們的一邊重合時重心距為2,那么當它們的一對角成對頂角時重心距為.

5.若直角三角形的重心到直角頂點的距離為2厘米，則這個直角三角形的斜邊長為________厘米.

6.已知，△ABC的重心G到邊中點。的距離是2,則邊上的中線長是.

7.如圖，點G是△ABC的重心，AGJ.GC,AC=4,那么BG的長為.

8汝口圖，點G是ZiABC的重心，GH〃AC交BC于點H,若GH=2,那么AC=.

EF

9.點G是ZkABC的重心，如果EF過點G且EF〃BC,分別交AB、AC于點E、F,那么——的值

BC

為.

10.在ZkABC中，BC=3,點G是ZkABC的重心，過點G作DG〃BC交邊AB于點D,那么DG=

11.已知G是ZXABC的重心，點D、E分別是邊AB、AC的點，DE〃BC,且經過重心G,如果ZkABC

的周長是30cm，那么ZkADE的周長是cm.

12.已知在ZXABC中，點G是ZkABC的重心，則^-----

SAABC

13.在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,AD1.BC,垂足為D,BE是邊AC上的中線，AD與BE相交于點

G,那么AD=____________.

e

n____7A

.zf\

A，第8題曾

第3題圖第7題圖

黃金分割點題型

1.已知點C是線段AB的黃金分割點，AB=2,求較長線段AC=.

2.實數(shù)2與0.5的比例中項是.

3.已知線段a=4,c=9,那么a和c的比例中項?=.

4.已知C是線段AB的黃金分割點，AC:AB=^^~,那么CB:AC=.

2

5.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是邊上的黃金分割點，且BE>CE,

AE與BD相交于點F,那么BF:五。的值為.

6.已知ZkABC中，AB=AC=m,ZABC=72°,8及平分NA3C交AC于用，過耳作用⑦〃BC

交AB于不，作坊用平分/4耳片交AC于四，過"作用^"BC交AB于昂，則線段田功的長度

為（用含加的代數(shù)式表示）。

7.在aABC中，AB=AC,NA=36°,BD平分NABC交AC于點D,DE平分N3DC交BC于點E,

8.已知點C是線段AB上的一個點，且滿足AC2=5C-A5,則下列式子成立的是……（）

ACA/5-1AC75-1BC75-1CB45+1

A.=---------；B.=----------；C.-----------；D.=----------.

BC2AB2AB2AC2

9.如果點C是線段AB的黃金分割點，那么下列線段比的值不可能是止二）■的為（）

2

AB

~BC

10.已知點P是線段AB的黃金分割點，且AP二行-1,則48的長是.

24.4相似三角形的判定

知識點一：相似三角形的概念

1.定義：如果兩個三角形的三個角對應相等、三邊對應成比例，那么這兩個三角形叫做相似三角形。對應

相等的角的頂點是這兩個相似三角形的對應頂點。

2.表示方法：AABC與ADEF相似，記作AABC-ADEF,讀作“AABC相似于ADEF

【注意】在記兩個三角形相似時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上，這樣可以比較容易地

找出相似三角形的對應角和對應邊。

3.相似比：相似三角形對應邊的比叫相似比。也叫相似系數(shù)，通常用左表示。

【注意】對于相似比這個概念，應注意順序問題和對應問題。

知識點二：相似三角形的預備定理和判定定理

1.相似三角形的預備定理

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似（符合相似三角形的定

義）

2.相似三角形判定定理1

如果一個三角形的兩角與另一個三角形的兩角對應相等，那么這兩個三角形相似。簡述：兩角對應相等,

兩個三角形相似。

【注意】（1）該判定只需兩個角便可說明兩個三角形相似，這是最簡單而且也是常用的判別條件，一般

地，當題目中告訴角之間的關系，或線段的平行關系時，常選擇該判別條件來求線段長度或說明線段的

比例關系等。

（2）該判別方法從另一個方面指出，對于三角形這種圖形，兩個角便可確定其形狀，只是大小不確定，

要確定其大小，至少還需添加一條邊的邊長。

3.相似三角形判定定理2

如果一個三角形兩邊與另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。簡述:

兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似。

【注意】和全等一樣，兩邊及其夾角。

4.相似三角形判定定理3

如果一個三角形三邊與另一個三角形的三邊對應成比例，那么這兩個三角形相似。簡述：三邊對應成比

例，兩個三角形相似。

【注意】在找到兩邊對應成比例時，一般找夾角，或者再找一邊對應成比例。

知識點三：兩個直角三角形相似的判定定理

如果一個直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊及一條直角邊對應成比例，那么這

兩個直角三角形相似。簡述：斜邊和直角邊對應成比例，兩個直角三角形相似。

【注意】（1）當題目中出現(xiàn)直角三角形時，除了想到前面的方法外，還要多聯(lián)系本方法

（2）該定理不具一般性，僅適用于直角三角形，一般三角形是不適用的。

例：1.如圖，正方形ABCD的邊長為1,P是CD邊的中點，點Q在線段BC上，當4ADP與4PCQ相似時,

求BQ的值.

2如圖，在AABC中,AB=BC,AD_LBC于BDELAC于E,M是DE的中點,BE、AM交于N.

DEAD

(1)求證：---=----;(2)求證：△BCEs^ADM.

CEDC

3.如圖,D是AABC內一點,E是UABC外一點，ZEBC=ZDBA,ZECB=ZDAB.

求證：ZBDE=ZBAC

4.已知如圖，在AABC中,AB>AC,在邊AB上取點D,在AC上取點E,使AD=AE,直線DE和BC的延長線交于

點P,求證：生=BD

CPCE

24.5相似三角形的性質

知識點一：相似三角形的對應邊、對應角的關系

相似三角形的對應邊成比例、對應角相等。

【注意】相似三角形的對應邊成比例是證明比例線段的最重要的方法之一，把這一性質與比例的基本性

質相結合可以在已知三條線段的情況下，求出第四條線段的長度，因此這一性質也是求線段長的重要方

法；而相似三角形的對應角相等則是繼“平行線的性質”、“全等三角形對應角相等”以及“等邊對等角

之后又一種證明兩角相等的重要方法，同時也可求有關角的度數(shù)。

例：如圖，已知在等邊4ABC的邊BC、AC上分別有點M、N,已知/AMN

=60°,AABC的邊長為10cm,且BM=4cm,求CN的長。

知識點二：相似三角形性質定理1

相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似三角形的相似比。

例：如圖，已知在AABC中，AD是高，矩形EFGH內接于△ABC,且

長邊FG在BC上，矩形相鄰兩邊的比為1：2,若BC=30cm,AD=10Cm,

求矩形EFGH的面積。

例：如圖，在ZkABC中，AB=3,AC=2,D是邊AB上的一點，

Ap

ZACD=ZB,NBA。平分線AQ與CD、BC分別相交于點P和點Q，求而

的值。

知識點三：相似三角形性質定理2

相似三角形周長的比等于相似比。

【注意】利用這一性質可在已知兩個相似三角形相似比和其中一個三角形的周長的情況下求另一個三角

形的周長。同時可得到：相似三角形對應高的比=對應中線的比=對應角平分線的比=周長的比=相似

比，

知識點四：相似三角形性質定理3

相似三角形面積的比等于相似比的平方。

例：如圖，已知AABC中，DE〃FG〃BC,且AD=DF=FB,那么AABC被分成的三部分面積之比

Sx:S2:S3—()

(A)1：1：1(B)1：2：3(C)1：3：5(D)1：4：9

如圖所示，在AABC中，DE〃AB〃FG,且FG到DE、AB的距離之比為1：2,

若AABC的面積為32,4CDE的面積為2,則4CFG的面積=.

G

'B

AFAE

1.在AABC中，點D在邊AB上，點F、E在邊AC上，且DF〃BE,——=——

FECE

(1)求證：DE〃BC；

Ap2

(2)如果---=—,S^=2,求3BC的值。

j—,-w—tcLXrD\LJFrLAXAnDL

rn3

2.如圖，在AABC中，點。在邊3c上，ZCAD=ZB,點E在邊AB上，聯(lián)結CE交AD于點H,

點尸在CE上，且滿足CF-CE=CD-3C.

(1)求證：AACFSA￡C4；

qcn

(2)當CE平分NACB時，求證：^^=—

SACAEBC

3.如圖，在△ABC中，點。為邊BC上一點，S.AD=AB,AE±BC,垂足為點E.過點。作。尸〃AB,

交邊AC于點E聯(lián)結EREF-=-BDEC.

2

(1)求證：AEDFsLEFC；

(2)如果53=上，求證：AB=BD.

SVADC4

（第3題圖）

4、已知：如圖，在△ABC中，DEIIBC,AD2=AEAC

求證：(1)ABCDs^CDE

CD2AD

⑵

BC-AB

B

5.已知：如圖，E是的對角線AC上一點，射線BE與交于點F與CD的延長線交于點G.

(1)求證：3E1是E可口EG的比例中項;

(2)若4尸:尸。=3:2,求的值.

SAGBC

6、已知：如圖，在△ABC中，平分NABC,點石為BD延長線上一點，且一=——

BCBD

(1)求證：AE=AD；

(2)若點尸為線段BD上一點，CF=CD,BF=2,BE=6,△跳C的面積為3,

求△ABD的面積.

C

7、已知：如圖，在中，AB=AC,M是邊3C的中點，ZDME=ZB,ME＞與射線54

相交于點。，ME與邊AC相交于點E.

BDCM

(1)求證:

DM~EM

(2)如果求