資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】5.3.1函數(shù)的單調(diào)性（精講）考點(diǎn)一函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系【例1-1】（2023·江西）已知函數(shù)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖所示，則該函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榈膱D像經(jīng)過與兩點(diǎn)，即，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知在與處的切線的斜率為，故AD錯(cuò)誤；由的圖象知，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又在上越來越大，在上越來越小，所以在上增長速度越來越快，在上增長速度越來越慢，故C錯(cuò)誤，B正確.故選：B.【例1-2】（2023春·福建漳州·高二統(tǒng)考期末）（多選）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖，那么的圖象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】BD【解析】從導(dǎo)函數(shù)的圖象可知兩個(gè)函數(shù)在處切線斜率相同，可以排除C，再由導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值反映的是原函數(shù)的切線斜率大小，可明顯看出的導(dǎo)函數(shù)的值在減小，∴原函數(shù)切線斜率應(yīng)該慢慢變小，排除A，選項(xiàng)BD中的圖象，都符合題意.故選:BD．【一隅三反】1．（2023春·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高二?？茧A段練習(xí)）已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．若的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】由的圖象可知當(dāng)和時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，結(jié)合選項(xiàng)，可知C中圖象符合題意，故選：C2．（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·高二校考階段練習(xí)）下面四個(gè)圖象中，至少有一個(gè)是函數(shù)（其中）的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則等于（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】，的圖象開口向上，所以②④錯(cuò)誤.對(duì)于①，則，；對(duì)于③，則，解得；所以等于或.故選：C3．（2023春·廣東深圳·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】由圖可知，當(dāng)x＜0時(shí)，即在(－∞,0)上單調(diào)遞減；當(dāng)0＜x＜2時(shí)，即在(0,2)上單調(diào)遞增；當(dāng)x＞2時(shí)，即在(2,＋∞)上單調(diào)遞減.結(jié)合各選項(xiàng)，只有D符合要求.故選：D考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2-1】（2023春·寧夏銀川）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.【答案】【解析】易知的定義域?yàn)椋瑒t，令，解得；即可知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減的，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為：【例2-2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是【答案】,【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由得，即，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為【例2-3】（2023秋·黑龍江齊齊哈爾）若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為【答案】【解析】函數(shù)，定義域?yàn)?，，令，解得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.【一隅三反】1．（2022春·北京）函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間是.【答案】【解析】，令得：，.，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：2.（2023春·江西萍鄉(xiāng)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】/【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，由得，由得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減．故答案為：3．（2023春·湖北武漢）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.【答案】【解析】的定義域?yàn)?，，令，可得，可得，又，則或，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為：4．（2023·全國·高二課堂例題）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為【解析】由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)?．令，則，解得，或．和把函數(shù)定義域劃分成三個(gè)區(qū)間，在各區(qū)間上的正負(fù)，以及的單調(diào)性如表所示x2＋0－0＋單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.考點(diǎn)三根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【例3-1】（2023秋·安徽銅陵）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，當(dāng)，解得：，由條件可知，所以，解得：.故選：B.【例3-2】（2023·湖南）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．m>1【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，得，因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，所以，解得：故選：B.【例3-3】（2023·專題練習(xí)）若函數(shù)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，要使函?shù)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得且，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故選：C.【例3-4】（2023春·北京海淀·高二北理工附中?？计谥校┮阎瘮?shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；若在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)?，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，，，因?yàn)樵?，，則的取值范圍是：.若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則在上有解，即在上有解，，又，.則的取值范圍是：.故答案為：；.【一隅三反】1.（2023秋·安徽亳州）（多選）若函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍可以是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】，令，得，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)，所以或，解得或.故選：AC.2．（2023·海南）若函數(shù)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則b的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，所以，解得：.故選：A3．（2023春·重慶江北·高二重慶十八中?？计谥校┤艉瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，由題意可知：存在，使得，整理得，且在上單調(diào)遞減，則，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.4．（2023春·甘肅武威·高二民勤縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在恒成立.故，即在恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在處取得的最大值0，所以.故選：A5．（2023春·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上不單調(diào)，所以在上有零點(diǎn)，即方程在上有根，即方程在上有根，又函數(shù)定義域?yàn)椋?，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.6．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是．【答案】【解析】，令，則或，因?yàn)槭菂^(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，所以或，解得或，所以的取值范圍是.故答案為：.7．（2023·全國·高三對(duì)口高考）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，且在區(qū)間及內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)p的取值集合是．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在及內(nèi)單調(diào)遞增，因此分別是函數(shù)的極大值、極小值點(diǎn)，而，于是，且，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，因此函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在及內(nèi)單調(diào)遞增，符合題意，所以實(shí)數(shù)p的取值集合是.故答案為：考點(diǎn)四含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性【例4-1】（2023秋·安徽亳州·高三蒙城縣第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；【答案】答案見解析【解析】∵，定義域?yàn)?，∴，?dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，∴在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增【例4-2】（2023北京）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)單調(diào)遞減為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)答案見解析【解析】（1）由題意得，定義域?yàn)?，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增（2）由題可知函數(shù)的定義域?yàn)?，則，（i）當(dāng)時(shí)，則在定義域上恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；（ii）當(dāng)時(shí)，令，即，解得；令，即，解得；所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.【例4-3】（2022秋·福建廈門）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；【答案】答案見解析【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，當(dāng)時(shí)，若，則，若，，當(dāng)時(shí)，令，得或，當(dāng)，即時(shí)，若或，則，若，則；當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，若或，則，若，則，綜上：當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增；【一隅三反】1（2023·北京）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)試討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】(1)(2)答案見解析【解析】（1）因?yàn)?，所以，則，切點(diǎn)為又因?yàn)樗?，即所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即.（2）因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增2．（2023·安徽）已知函數(shù)．試討論的單調(diào)性．【答案】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【解析】的定義域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．試討論的單調(diào)性．【答案】答案見解析【解析】易得，，當(dāng)時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，則在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減；綜上：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減.4．（2023·河南）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．【答案】(1)(2)分類討論，答案見解析.【解析】（1）的定義域?yàn)?，．曲線在處的切線的斜率為．把代入中得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為．所以曲線在處的切線方程為．（2）令，得．①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)．②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，為單調(diào)減函數(shù)；在區(qū)間上，，為單調(diào)增函數(shù)．綜上，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，為單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間上，為單調(diào)增函數(shù)．3．（2023·廣東）討論的單調(diào)性．【答案】答案見解析【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，．?）當(dāng)時(shí)，，若，則；若，則；∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時(shí)，，若或，則；若，則，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（3）當(dāng)時(shí)，，若或，則；若，則，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（4）當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增；（5）當(dāng)時(shí)，，若或，則；若，則，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上所述：（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（3）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（4）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；（5）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．考點(diǎn)五函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【例5-1】（2023·安徽）已知函數(shù)，，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，定義域?yàn)?，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增;由于,所以,時(shí)，單調(diào)遞減；所以；綜上：；故選：A【例5-2】（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，試比較的大小關(guān)系（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以有，因?yàn)?，所以，設(shè)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)是正實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，故，即，所以，故選：C【例5-3】（2023春·湖北恩施·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為奇函數(shù)，所以不等式，可化為，又由，因?yàn)?，所以，為單調(diào)遞增函數(shù)，由，可得，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范為.故選：B.【例5-4】（2022春·陜西安康·高二校聯(lián)考期末）若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且滿足f(x)－xf′(x)>0，則（

）A．3f(1)<f(3) B．3f(1)>f(3)C．3f(1)＝f(3) D．f(1)＝f(3)【答案】B【解析】由于f(x)>xf′(x)，知＝<0恒成立，因此在上是單調(diào)遞減函數(shù)，故，即3f(1)>f(3)，故選：B．【例5-5】．（2023春·廣東東莞·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)任意都有，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，則，所以在R上遞增，又，則不等式等價(jià)于，所以，故選：A【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函數(shù)，定義域?yàn)椋字?，又時(shí)，，，所以，即在上單調(diào)遞增，故，即.故選：C2．（2023春·福建寧德·高二?？茧A段練習(xí)）（多選）設(shè)，，，則下列判斷正確的是（

）.A． B．C． D．【答案】AB【解析】設(shè)，則，令，解得，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.而，，，因?yàn)?，所?故選：AB3．（2022春·江西撫州·高二金溪一中校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，故為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù).綜上為偶函數(shù)，且在上為增函數(shù).故可得.即，解得或故選：B4．（2023秋·陜西漢中）已知函數(shù)，則不等式的解集是．【答案】或【解析】的定義域?yàn)?，因?yàn)椋詾榕己瘮?shù).當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以的解集是或．故