完成時(shí)間：月日天氣：作業(yè)05立體幾何初步（8大題型鞏固提升練+能力培優(yōu)練+拓展突破練+仿真考場(chǎng)練）一、空間圖形的表面積與體積1．主要考查多面體、旋轉(zhuǎn)體的表面積，旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開(kāi)圖，柱體、錐體、臺(tái)體的體積，球的表面積和體積，不規(guī)則空間圖形常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解．2.關(guān)于空間圖形的體積、表面積首先要明確空間圖形的基本量，如球的半徑，空間圖形的高、棱長(zhǎng)等，其次是準(zhǔn)確代入相關(guān)的公式計(jì)算．在計(jì)算中應(yīng)注意各數(shù)量之間的關(guān)系，特別是特殊的柱體、錐體、臺(tái)體，要注意其中矩形、直角三角形及梯形等重要的平面圖形的作用．二、空間中的平行關(guān)系1．空間中的平行主要有線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行、面面平行，主要考查在空間圖形中證明線(xiàn)面平行、面面平行以及線(xiàn)線(xiàn)平行．2.線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行、面面平行的關(guān)系線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行、面面平行這三種關(guān)系是緊密相連的，可以進(jìn)行任意轉(zhuǎn)化，相互間的轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：三、空間中的垂直關(guān)系1．主要考查空間中線(xiàn)面垂直、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，以及線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直、面面垂直三者之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化．2.線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直、面面垂直的轉(zhuǎn)化四、空間角的求法1．空間角包括異面直線(xiàn)所成的角、線(xiàn)面角及二面角，主要考查空間角的定義及求法，求角時(shí)要先找角，再證角，最后在三角形中求角．2.(1)求異面直線(xiàn)所成的角常用平移轉(zhuǎn)化法(轉(zhuǎn)化為相交直線(xiàn)的夾角)．(2)求直線(xiàn)與平面所成的角常用射影轉(zhuǎn)化法(即作垂線(xiàn)、找射影)．(3)二面角的平面角的作法常有三種：①定義法；②三垂線(xiàn)法；③垂面法一．棱柱的結(jié)構(gòu)特征（共5小題）1．（2024春?海安市校級(jí)期中）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有A．直線(xiàn)與為相交直線(xiàn) B．異面直線(xiàn)與所成角為 C．若是棱上一點(diǎn)，且，則、、、四點(diǎn)共面 D．平面截該長(zhǎng)方體所得的截面可能為六邊形2．（2024春?玄武區(qū)校級(jí)月考）設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中，2，，，為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，，平面和平面為多面體的所有以為公共點(diǎn)的面．已知在直四棱柱中，底面為菱形，，則下列結(jié)論正確的是A．直四棱柱在其各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等 B．若，則直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為 C．若，則直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為 D．若四面體在點(diǎn)處的離散曲率為，則平面3．（2023春?大豐區(qū)校級(jí)月考）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是A．、、、四點(diǎn)共面 B．平面平面 C．直線(xiàn)與所成的角為 D．平面4．（2023春?常州月考）正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，若點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，滿(mǎn)足平面，則點(diǎn)的軌跡所構(gòu)成的周長(zhǎng)為；若點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡所構(gòu)成的周長(zhǎng)為．5．（2023春?崇川區(qū)校級(jí)月考）已知直四棱柱，底面為平行四邊形，，，，，以為球心，半徑為2的球面與側(cè)面的交線(xiàn)的長(zhǎng)度為．二．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積（共7小題）6．（2024春?玄武區(qū)校級(jí)月考）已知四面體的各個(gè)面均為全等的等腰三角形，且．設(shè)為空間內(nèi)任一點(diǎn)，且，，，，五點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則A．四面體的面積為 B．四面體的體積為 C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為 D．當(dāng)三棱錐的體積為時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為7．（2024?建湖縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）香囊，又名香袋、花囊，是我國(guó)古代常見(jiàn)的一種民間刺繡工藝品，香囊形狀多樣，如圖1所示的六面體就是其中一種，已知該六面體的所有棱長(zhǎng)均為2，其平面展開(kāi)圖如圖2所示，則下列說(shuō)法正確的是A． B．直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角為 C．該六面體的體積為 D．該六面體內(nèi)切球的表面積是8．（2024春?玄武區(qū)校級(jí)月考）正四棱臺(tái)，其上、下底面的面積分別為，，該正四棱臺(tái)的外接球表面積為，則該正四棱臺(tái)的體積為．9．（2024春?海門(mén)區(qū)校級(jí)月考）近年來(lái)，納米品的多項(xiàng)技術(shù)和方法在水軟化領(lǐng)域均有重要應(yīng)用．納米晶體結(jié)構(gòu)眾多，如圖是一種納米晶的結(jié)構(gòu)示意圖，其是由正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面得到所有棱長(zhǎng)均為的幾何體，則該結(jié)構(gòu)的納米晶個(gè)體的體積為．10．（2024春?溧陽(yáng)市期末）如圖，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：；（3）求三棱錐的體積．11．（2024春?新吳區(qū)校級(jí)期中）如圖正方體的棱長(zhǎng)為2，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，平面過(guò)點(diǎn)、、．（1）畫(huà)出平面截正方體所得的截面，并簡(jiǎn)要敘述理由或作圖步驟；（2）求（1）中截面多邊形的面積；（3）平面截正方體，把正方體分為兩部分，求較小的部分與較大的部分的體積的比值．12．（2024春?邗江區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，側(cè)面為正方形，平面平面．點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求三棱柱的體積．三．球的體積和表面積（共5小題）13．（2024?建湖縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知正三棱錐中，，，該三棱錐的外接球球心到側(cè)面距離為，到底面距離為，則A． B． C． D．14．（2024春?邗江區(qū)校級(jí)月考）已知三棱錐，，，點(diǎn)到平面的距離是，則三棱錐的外接球表面積為．15．（2024春?江陰市校級(jí)月考）在三棱錐中，，，兩兩垂直，，，為棱上一點(diǎn)，于點(diǎn)，則當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，三棱錐的外接球表面積為．16．（2024春?相城區(qū)校級(jí)月考）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，則它的外接球的表面積為；若為的中點(diǎn)，則過(guò)、、三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面面積為．17．（2024春?新吳區(qū)校級(jí)期中）如今中國(guó)在基建方面世界領(lǐng)先，可謂是逢山開(kāi)路，遇水架橋．公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一．建設(shè)過(guò)程中研制出用于基建的大型龍門(mén)吊、平衡盾構(gòu)機(jī)等國(guó)之重器更是世界領(lǐng)先．如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切，已知正四面體體積為，則模型中最大球的體積為，模型中九個(gè)球的表面積之和為．四．平面的基本性質(zhì)及推論（共5小題）18．（2023春?響水縣校級(jí)期中）如圖，在正方體中，的中點(diǎn)為，過(guò)，，三點(diǎn)的截面是A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形19．（2023春?雨花臺(tái)區(qū)校級(jí)月考）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，為正方體內(nèi)部及其表面上的一動(dòng)點(diǎn)，且，則滿(mǎn)足條件的所有點(diǎn)構(gòu)成的平面圖形的面積是A． B． C．4 D．20．（2024春?梁溪區(qū)校級(jí)期中）在四面體中，，，，，分別為，，，，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是A．，，，四點(diǎn)共面 B． C． D．四邊形為梯形21．（2023春?宿遷期中）如圖，在正方體中，為、的交點(diǎn)，直線(xiàn)交平面于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A．、、、四點(diǎn)共面 B．直線(xiàn)與直線(xiàn)為異面直線(xiàn) C．直線(xiàn)與直線(xiàn)相交 D．、、、四點(diǎn)共面22．（2024春?江陰市校級(jí)月考）如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，分別為線(xiàn)段，上的動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為A． B． C． D．五．空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系（共4小題）23．（2023春?濱?？h期中）如圖，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是A．與垂直 B．與垂直 C．與平行 D．與平行24．（2023春?邳州市校級(jí)月考）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，、分別為棱、的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有A． B．直線(xiàn)與為相交直線(xiàn) C．若是棱上一點(diǎn)，且，則、、、四點(diǎn)共面 D．平面截該長(zhǎng)方體所得的截面可能為六邊形25．（2023春?泗陽(yáng)縣校級(jí)月考）已知兩個(gè)不同平面，和三條不重合的直線(xiàn)，，，則下列命題：（1）若，，則（2）若，在平面內(nèi)，且，，則（3）若，分別經(jīng)過(guò)兩異面直線(xiàn)，，且，則必與或相交（4）若，，是兩兩互相異面的直線(xiàn)，則存在無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與，，都相交其中正確的命題是．（請(qǐng)寫(xiě)上正確命題的序號(hào)）26．（2023春?鎮(zhèn)江月考）如圖，在四棱錐中，面，，，，，，是的中點(diǎn)．（1）求異面直線(xiàn)與所成角的正切值；（2）求證：．六．空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系（共3小題）27．（2024春?溧陽(yáng)市期末）已知，是兩條不同的直線(xiàn)，，是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是A．若，，則 B．若，，，則 C．若，，，則 D．若，，，則28．（2024春?南通月考）已知空間3條不同的直線(xiàn)，，和平面，則下列說(shuō)法正確的是A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則29．（2024春?邗江區(qū)校級(jí)月考）設(shè)是空間中的一個(gè)平面，，，是三條不同的直線(xiàn)，則A．若，，，，則 B．若，，，則 C．若，，，則 D．若，，，則七．直線(xiàn)與平面平行（共8小題）30．（2024春?南通月考）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，則下列正確的是A．平面 B．平面 C．多面體是棱臺(tái) D．平面截正方體所得截面的面積為31．（2024春?姑蘇區(qū)校級(jí)月考）如圖，在直角梯形中，，，且為的中點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，將三角形沿折起，則下列說(shuō)法正確的是A．不論折至何位置（不在平面內(nèi)），都有平面 B．不論折至何位置（不在平面內(nèi)），都有 C．不論折至何位置（不在平面內(nèi)），都有 D．在折起過(guò)程中，一定存在某個(gè)位置，使32．（2024春?江蘇月考）如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，為的中點(diǎn)，在上，，若平面，則的值為．33．（2024春?如皋市月考）如圖，正方體中，為底面的中心，為棱上一點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若平面，求證：為棱的中點(diǎn)．34．（2024春?江陰市期中）在通用技術(shù)課上，老師給同學(xué)們提供了一個(gè)如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型．點(diǎn)在棱上，滿(mǎn)足，點(diǎn)在棱上，滿(mǎn)足，要求同學(xué)們按照以下方案進(jìn)行切割：（1）試在棱上確定一點(diǎn)，使得平面；（2）過(guò)點(diǎn)，，的平面交于點(diǎn)，沿平面將四棱錐模型切割成兩部分，在實(shí)施過(guò)程中為了方便切割，需先在模型中確定點(diǎn)的位置，請(qǐng)求出的值．35．（2024春?梁溪區(qū)校級(jí)期中）如圖所求，四棱錐，底面為平行四邊形，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）已知點(diǎn)在上滿(mǎn)足平面，求的值．36．（2024春?錫山區(qū)校級(jí)月考）如圖，在三棱柱中，平面平面，側(cè)面是矩形，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)．求證：（1）；（2）平面．37．（2023春?南京期末）如圖，已知斜三棱柱中，平面平面，與平面所成角的正切值為，所有側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)均為2，是邊中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求異面直線(xiàn)與所成的角；（3）是邊一點(diǎn)，且，若，求的值．八．平面與平面垂直（共4小題）38．（2024春?泗陽(yáng)縣校級(jí)月考）已知平面，，，，則“”是“且”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件39．（2024春?泗陽(yáng)縣校級(jí)月考）如圖（1），在矩形中，，是的中點(diǎn)，沿將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，并滿(mǎn)足，如圖（2），則A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面40．（2024春?泗陽(yáng)縣校級(jí)月考）如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．求證：（1）平面；（2）平面平面．41．（2024春?玄武區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，是的中點(diǎn)，側(cè)面底面．（1）求證：；（2）過(guò)側(cè)面的對(duì)角線(xiàn)的平面交側(cè)棱于點(diǎn)，若，求證：截面?zhèn)让妫唬?）若截面平面，則成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．一．多選題（共4小題）1．（2024春?邗江區(qū)校級(jí)月考）如圖，是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有A．當(dāng)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的體積不變 B．當(dāng)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是 C．使得直線(xiàn)與平面所成的角為的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為 D．若是棱的中點(diǎn)，當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足平面時(shí)，的最小值是2．（2023春?天寧區(qū)校級(jí)期末）長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)，點(diǎn)分別線(xiàn)段，的中點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)分別為線(xiàn)段，上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是A．存在，，使得 B．三棱錐體積的最大值為10 C．若的周長(zhǎng)為10，則 D．的最小值為73．（2023春?海陵區(qū)校級(jí)月考）已知正四棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，為內(nèi)部（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則A．平面 B．球的表面積為 C．的最小值為 D．與平面所成角的最大值為4．（2023春?玄武區(qū)校級(jí)月考）如圖圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，，為圓柱上下底面的圓心，為球心，為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則下列各選項(xiàng)正確的是A．球與圓柱的體積之比為 B．四面體的體積的取值范圍為 C．平面截得球的截面面積最小值為 D．若為球面和圓柱側(cè)面的交線(xiàn)上一點(diǎn)，則的取值范圍為二．解答題（共6小題）5．（2024春?新吳區(qū)校級(jí)期中）在直四棱柱中，底面為平行四邊形，，，，分別為線(xiàn)段，，的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）證明：平面平面；（3）若，，當(dāng)與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求四棱錐的體積．6．（2024春?銅山區(qū)月考）如圖，在三棱錐中，平面平面，是等邊三角形，，且，、分別是，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．7．（2023春?秦淮區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點(diǎn)．（1）若，求證：平面；（2）若平面平面，且，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，求三棱錐的體積．8．（2023春?鎮(zhèn)江月考）在四棱錐中，，，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面．9．（2023春?錫山區(qū)校級(jí)期末）已知是內(nèi)一點(diǎn)，．（1）若是的外心，求的余弦值；（2）若是的垂心，是平面外一點(diǎn)，且平面，當(dāng)四面體外接球體積最小時(shí)，求的值．10．（2023春?玄武區(qū)校級(jí)月考）如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，．（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值；（3）若點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，試求的取值范圍．一．選擇題（共7小題）1．（2024?甲卷）已知、是兩個(gè)平面，、是兩條直線(xiàn)，．下列四個(gè)命題：①若，則或②若，則，③若，且，則④若與和所成的角相等，則其中，所有真命題的編號(hào)是A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④2．（2024?上海）空間中有兩個(gè)不同的平面，和兩條不同的直線(xiàn)，，則下列說(shuō)法中正確的是A．若，，，則 B．若，，，則 C．若，，，則 D．若