專題14三次函數(shù)一、考情分析函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn),我們知道二次函數(shù)是重要的且具有廣泛應(yīng)用的基本初等函數(shù),學(xué)生對(duì)此已有較為全面、系統(tǒng)、深刻的認(rèn)識(shí),并在某些方面具備了把握規(guī)律的能力,由于三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù),使得我們可以利用二次函數(shù)研究三次函數(shù)的圖象與性質(zhì),這使得三次函數(shù)成為高考數(shù)學(xué)的一個(gè)熱點(diǎn).二、解題秘籍(一)三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)三次函數(shù)的圖象有六種,如圖：圖(2)圖(1)圖(2)圖(1)圖(4)圖(3)圖(4)圖(3)圖(5)圖(6)2.對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)：是二次函數(shù),原函數(shù)的極值點(diǎn)與單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有關(guān),所以容易發(fā)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)中的參數(shù)與的符號(hào)起決定性作用.當(dāng)為正時(shí),原函數(shù)的圖象應(yīng)為上圖中的（1）、（3）、（5）三種情況；而當(dāng)為負(fù)時(shí),原函數(shù)的圖象則為（2）、（4）、（6）三種情況.當(dāng)時(shí),二次方程有兩相異實(shí)根,且在的兩邊的符號(hào)相反,故函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),圖象為上圖中的（3）、（4）兩種；當(dāng)時(shí),二次方程有兩相等實(shí)根,且在根的兩邊的符號(hào)相同,這時(shí)函數(shù)只存在駐點(diǎn)（但不是極值點(diǎn)）,函數(shù)的圖象為上圖中（1）、（2）兩種,當(dāng)時(shí)；方程無實(shí)根,的值恒為正（或負(fù)）,函數(shù)的圖象為上圖中的（5）、（6）兩種.圖(5)圖(6)仔細(xì)觀察圖象,我們還不難發(fā)現(xiàn)三次函數(shù)是中心對(duì)稱曲線,這一點(diǎn)可以得到進(jìn)一步的驗(yàn)證:設(shè),得整理得,.據(jù)多項(xiàng)式恒等對(duì)應(yīng)系數(shù)相等,可得且,從而三次函數(shù)是中心對(duì)稱曲線,且由知其對(duì)稱中心仍然在曲線上.而是否具有特殊的意義？對(duì)函數(shù)進(jìn)行兩次求導(dǎo),再令等于0,得,恰好是對(duì)稱中心的橫坐標(biāo),這可不是巧合,因?yàn)闈M足的正是函數(shù)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo),這一性質(zhì)剛好與圖象吻合.除此,三次函數(shù)的對(duì)稱中心還有一個(gè)很少引起注意的性質(zhì)---過三次曲線的對(duì)稱中心且與該三次曲線相切的直線有且僅有一條；而過三次曲線上除對(duì)稱中心外的任一點(diǎn)與該三次曲線相切的直線有二條.由于三次曲線都是中心對(duì)稱曲線,因此,將其對(duì)稱中心移至坐標(biāo)原點(diǎn)便可將三次函數(shù)的解析式簡化為.若M（x1,y1）是三次曲線上的任一點(diǎn),設(shè)過M的切線與曲線y=f（x）相切于（x0,y0）,則切線方程為,因點(diǎn)M上此切線上,故,又,所以,整理得：,解得,或.綜上所述,當(dāng)點(diǎn)M是對(duì)稱中心即時(shí),過點(diǎn)M作曲線的切線切點(diǎn)是惟一的,且為M,故只有一條切線；當(dāng)點(diǎn)M不是對(duì)稱中心即時(shí),過點(diǎn)M作曲線的切線可產(chǎn)生兩個(gè)不同的切點(diǎn),故必有兩條切線,其中一條就是以M為切點(diǎn)（亦即曲線在點(diǎn)M處）的切線.由此可見,不僅切線與曲線的公共點(diǎn)可以多于一個(gè),而且過曲線上點(diǎn)的切線也不一定惟一求以曲線上的點(diǎn)(x0,f(x0))為切點(diǎn)的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化簡．【例1】（2023屆黑龍江省哈爾濱市高三上學(xué)期12月月考）設(shè)函數(shù)(1)若，，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，不等式對(duì)任意恒成立，求整數(shù)k的最大值．【解析】（1）當(dāng)，時(shí)，，所以，即切點(diǎn)為因?yàn)?，所以，所以切線方程為，即，（2），由，所以，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增不等式，對(duì)恒成立，構(gòu)造，，構(gòu)造，，對(duì)有，所以在遞增，，，所以，，所以，，即，在遞減，，，即，在遞增，所以，結(jié)合，故，所以對(duì)恒成立，故，所以整數(shù)k的最大值為3；(二)三次函數(shù)的零點(diǎn)1.若三次函數(shù)沒有極值點(diǎn),則有1個(gè)零點(diǎn)；2.三次函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn),則時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)；時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)；時(shí)有3個(gè)零點(diǎn).【例2】（2023屆江西省贛撫吉十一校高三第一次聯(lián)考）已知函數(shù),其中.(1)若的極小值為－16,求；(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【解析】（1）由題得,其中,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,無極值；當(dāng)時(shí),令,解得或；令,解得,所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,,所以當(dāng)時(shí),取得極小值,所以,解得.（2）由（1）知當(dāng)時(shí),的極小值為,的極大值為,當(dāng),即時(shí),有三個(gè)零點(diǎn),如圖①曲線；當(dāng),即時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn),如圖②曲線；當(dāng),即時(shí),有一個(gè)零點(diǎn),如圖③曲線；當(dāng)時(shí),,易知有一個(gè)零點(diǎn).

綜上,當(dāng)時(shí),有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí),有三個(gè)零點(diǎn).(三)過平面上一點(diǎn)P作三次函數(shù)圖象的切線的條數(shù)此類問題一般是先設(shè)出切點(diǎn)Q,寫出曲線在處的切線方程,把點(diǎn)P坐標(biāo)代入,整理出一個(gè)關(guān)于t的三次方程,該方程實(shí)根個(gè)數(shù)就是切線條數(shù).【例3】（2024屆江蘇省南通市高三上學(xué)期期初質(zhì)量監(jiān)測(cè)）已知函數(shù)的極小值為，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點(diǎn).(1)求的解析式；(2)若曲線恰有三條過點(diǎn)的切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1），因?yàn)?，且的圖象經(jīng)過，兩點(diǎn).所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以在處取得極小值，所以，又因?yàn)椋?，所以，，解方程組得，，，所以.（2）設(shè)切點(diǎn)為，則，因?yàn)椋?，所以切線方程為，將代入上式，得.因?yàn)榍€恰有三條過點(diǎn)的切線，所以方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解.記，則導(dǎo)函數(shù)，令，得或1.列表：01+0-0+↗極大↘極小↗所以的極大值為，的極小值為，所以，解得.故的取值范圍是.(四)含參數(shù)的三次函數(shù)的單調(diào)性的討論求含參數(shù)的三次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,一般根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)與閉區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行討論.【例4】（2024屆內(nèi)蒙古包頭市高三上學(xué)期調(diào)研）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若有2個(gè)零點(diǎn)，求的值．（注：）【解析】（1），，當(dāng)，即時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即或時(shí)，令，解得，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)或時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增，又，當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，如圖作出函數(shù)的大致圖象，

由圖可知，要使，兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，則，即當(dāng)時(shí)，有且只有2個(gè)零點(diǎn)．(五)三次函數(shù)與韋達(dá)定理的交匯由于三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù),而二次函數(shù)常與韋達(dá)定理交匯,故有時(shí)可以用定理交匯處理三次函數(shù)問題【例5】設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),且(1)求a的取值范圍；(2)求證：.【解析】(1),的兩個(gè)實(shí)根,又a＞0,由得(2)設(shè)則上單調(diào)遞增,三、典例展示【例1】（2024屆海南省瓊中縣高三上學(xué)期9月全真模擬）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求在上的值域；(2)若的極小值為，求m的值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，得或，當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如表所示：x01＋0－0＋單調(diào)遞增極大值0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增0所以在上的值域?yàn)椋?）由，得，令，得或，因?yàn)?，令，得；令，得或，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極小值，令，解得，故m的值為6．【例2】（2024屆貴州省貴陽第一中學(xué)高三上學(xué)期適應(yīng)性月考）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，求的取值范圍；(3)請(qǐng)問過點(diǎn)，，，，分別存在幾條直線與曲線相切？（請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不需要證明）【解析】（1）因?yàn)?，所?又，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)在處的切線的斜率為，所以，切線方程為.（2）設(shè)切點(diǎn)為，則，切線方程為，整理可得，.又點(diǎn)在切線上，則.要使過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，則該方程有個(gè)解.令，則.解，可得，所以在上單調(diào)遞增；解，可得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.所以，在處取得極小值，在處取得極大值.又，，由題意可知，.（3）設(shè)切點(diǎn)為，則，切線方程為.①當(dāng)點(diǎn)在切線上時(shí)，有，此時(shí)，即點(diǎn)為切點(diǎn).由（1）知，切線為1條；②當(dāng)點(diǎn)在切線上時(shí)，由（2）知，在處取得極小值，且，所以，此時(shí)，只有1個(gè)解，即只存在1條切線；③當(dāng)在切線上時(shí)，由（2）知，，解得或.所以此時(shí)存在2條切線；④設(shè)切線過此時(shí)有.令，則.解，可得，所以在上單調(diào)遞增；解，可得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.所以，在處取得極小值，在處取得極大值.又，，所以，當(dāng)時(shí)，有3條切線.所以，過點(diǎn)的切線有3條.又方程，可化為，解得或，所以，過點(diǎn)的切線有2條.【例3】（2023屆江蘇省徐州市睢寧縣高三下學(xué)期5月模擬）已知函數(shù)，，且在上的極大值為1．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若，，，求的值．【解析】（1），，①時(shí)，，∴，無極值．②時(shí)，，∴，當(dāng)，即時(shí)，，無極大值；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，，∴在處取極大值，即，∴，舍去．③時(shí)，，∴，時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，．∴在處取極大值，∴符合題意．綜上，．（2）由（1）可知，，，令可得，令可得或，如圖所示．

①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，矛盾；當(dāng)時(shí)，，∴，矛盾．②當(dāng)時(shí)，符合題意．③當(dāng)時(shí)，時(shí)，，∴，則，，∴，矛盾．④當(dāng)時(shí)，符合題意．⑤當(dāng)時(shí)，時(shí)，，∴，則，，∴，矛盾．⑥當(dāng)時(shí)，符合題意．⑦當(dāng)時(shí)，，則，∴，與矛盾．⑧當(dāng)時(shí)，，，∴，與矛盾．綜上，，或，或．【例4】（2023屆重慶市第十一中學(xué)校高三上學(xué)期11月質(zhì)量檢測(cè)）已知函數(shù)，在處取極大值，在處取極小值.(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)在方程的解中，較大的一個(gè)記為，在方程的解中，較小的一個(gè)記為，證明：為定值.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，；即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為.（2）由，根據(jù)題意，得的兩根為，且，即，得，，所以，因?yàn)椋瑒t，可知，因?yàn)?，即，即，可知，同理，由，可知；得到，所?【例5】（2023屆上海市嘉定區(qū)高三三模）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，(1)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且，試比較與的大小.(2)若，試判斷在區(qū)間上是否存在極值點(diǎn)，并說明理由.(3)在（1）的條件下，對(duì)任意的，總存在使得成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【解析】（1）因?yàn)椋室徽回?fù)，，所以，所以是方程的兩根，由韋達(dá)定理得，因?yàn)樗裕剩?，，因?yàn)?，，所以；?），開口向上，，，，①當(dāng)時(shí)，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，存在使得，且時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，存在使得，且時(shí)，，時(shí)，，所以在區(qū)間上存在極小值點(diǎn)；（3）對(duì)任意的，總存在使得成立，設(shè)，的最大值為，則，即①，②，③，由①+③得④，由②得⑤，④+⑤得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，所以的最大值為2.【例6】設(shè)函數(shù),其中,為常數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍．【解析】(1)．當(dāng)時(shí),,或,,,當(dāng)時(shí),,或,,,當(dāng)時(shí),,綜上,當(dāng)時(shí),在,上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增．(2)由（1）可知,有3個(gè)零點(diǎn),則且,∴,∴．四、跟蹤檢測(cè)1.（2024屆江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽市高三上學(xué)期期初檢測(cè)）已知函數(shù)在處有極小值.(1)求m的值；(2)求函數(shù)在上的最大值.【解析】（1）因?yàn)?，則，又因?yàn)樵谔幱袠O小值，則，解得或，（i）當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，符合題意；（ii）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，不符合題意，舍去綜上所述：.（2）由（1）可知：，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，如圖所示：

又因?yàn)?，則有：（i）當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最大值為；（ii）當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象可知：函數(shù)在上的最大值為；（iii）當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，所以函數(shù)在上的最大值為；綜上所述：.2.（2023河南省新未來3月聯(lián)考）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)，恒成立，求的最小值．【解析】（1）若，可得，有，令，可得，令，則或，故函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，函數(shù)的極小值為，極大值為；（2）令，有，由函數(shù)單調(diào)遞增及，，可知存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，可得，由，恒成立，有，可得，有，可得，令，有，令，則，令，則，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以，故的最小值為．3．（2023屆安徽省卓越縣中聯(lián)盟高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）已知函數(shù)，．(1)若在上的值域?yàn)椋笤谏系膯握{(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解析】（1）因?yàn)椋?，令，解得或，?dāng)，即時(shí)，令，得；令，得或；所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)是的極大值點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，令，得；令，得或；所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，此時(shí)是的極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增，此時(shí)，易得，，不滿足題意；又，在上的值域?yàn)椋栽谏系淖钪禐?，故是的極大值點(diǎn)，所以，此時(shí)，有或兩種情況，都有，故滿足題意，所以由上述分析可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即；因?yàn)?，令，則，令，則，令，解得或．①若，則，此時(shí)在上單調(diào)遞增．又，所以有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，即有且僅有1個(gè)零點(diǎn)．②若，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，故在上沒有零點(diǎn)，下證．當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，所以，所以．從而在上有唯一零點(diǎn)，所以在上有唯一零點(diǎn)，在上沒有零點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，故有且僅有1個(gè)零點(diǎn)．4．（2023屆湖南省湘潭市部分學(xué)校高三上學(xué)期期末聯(lián)考）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知函數(shù)(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若，曲線與曲線都有唯一的公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，得或；令，得；所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，曲線與曲線都有唯一的公共點(diǎn)，所以，方程有唯一解，即方程有唯一解，令，則，對(duì)于，當(dāng)，即時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，易知，當(dāng)趨向于0時(shí)，趨向于無窮小，趨向于0，故趨向于無窮??；當(dāng)趨向于無窮大時(shí)，趨向于無窮大，趨向于無窮大，故趨向于無窮大；所以的值域?yàn)椋?，與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)實(shí)根，且，，若，則當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以先增后減再增，存在一個(gè)極大值和一個(gè)極小值，要使有唯一實(shí)數(shù)根，則大于的極大值或小于的極小值，記為極大值點(diǎn)，則，恒成立，又，即，則的極大值為，令，則，故在上單調(diào)遞增，故，則，故，記為極小值點(diǎn)，則，恒成立，又，即，則的極小值為，令，則，故在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，即，取，則，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，故，所以，即，所以趨向于無窮小，則趨向于無窮小，所以不存在，使得恒成立；若，記為極大值點(diǎn)，則，同理可得恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，則，故，記為極小值點(diǎn)，則，同理可得不存在，使得恒成立；綜上：要使，曲線與曲線都有唯一的公共點(diǎn)，，即的取值范圍為.5．（2023屆北京市第五中學(xué)高三下學(xué)期3月檢測(cè)）設(shè)函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求的取值范圍；(3)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，由解得：或，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，.（2）函數(shù)，則，因函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則，成立，即，，顯然在上單調(diào)遞減，即，，則，所以a的取值范圍是.（3）由(2)知，，因函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，則在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等根，，即有，解得，且有，不妨令，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在處取得極大值，在取得極小值，顯然，，由兩邊平方得，而，即，整理得：，把代入上述不等式并整理得：，解得，綜上得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.6．已知函數(shù)（）有極值，且導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn)．(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(2)求證：；(3)若這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于，求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)樗裕?，所以令，解得由于?dāng)時(shí)，，所以在時(shí)為單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在時(shí)為單調(diào)遞減；所以的極小值點(diǎn)為；由于導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是原函數(shù)的零點(diǎn)，所以，即，所以；因?yàn)橛袠O值，所以有兩個(gè)不等的實(shí)根，所以，即，解得，所以（2）證明：由（1）知，設(shè)函數(shù)，則；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；又因?yàn)椋?，故；即，因?（3）設(shè)的極值點(diǎn)是，由（1）知，，所以所以即整理得所以函數(shù)的兩個(gè)極值之和為，的極值為，設(shè)這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和為，所以，而；即在上單調(diào)遞減，而，所以由，即得；因此的取值范圍為.7．已知.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，曲線在相異的兩點(diǎn)點(diǎn)處的切線分別為和和的交點(diǎn)位于直線上，證明：兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和小于4.【解析】（1）的定義域?yàn)镽，，，的解集為，故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，，點(diǎn)處切線方程為，點(diǎn)處切線方程為，故，解得，故兩切線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由題意，結(jié)合，，解得.故A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和小于4.8．（2024屆江西省穩(wěn)派上進(jìn)教育高三上學(xué)期摸底考試）已知函數(shù)，，，分別為，的導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)任意的，存在，使．(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明：，有．【解析】（1）因?yàn)椋?，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故．因?yàn)?，所以．令，則，又，所以，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．又對(duì)任意的，存在，使，所以，即，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．（2）令，，則．令，解得，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．令，則．令，解得，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．又，所以．因?yàn)椋?，故，即?.已知函數(shù),,,（1）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào),求的取值范圍；（2）求的最大值；（3）若對(duì)任意恒成立,求的取值范圍．【解析】（1）由題意可知,函數(shù)在上有極值點(diǎn),,則,所以,函數(shù)在上遞減,在上遞增,所以,,可得；（2）若時(shí),對(duì)任意的,,在上遞減,,,,所以,,則；若,對(duì)任意的,,在上遞增,,,,所以,,則；若,由,可得或；由,可得.則在上遞增,在上遞減,在上遞增；,,,．因?yàn)?所以,函數(shù)關(guān)于對(duì)稱,,則,若,,,則；若,,,則,則；若,,,則,則.綜上；（3）先考慮必要性,若對(duì)任意恒成立,首先必須滿足.①若,,可得,不合乎題意；②若,,解得,此時(shí)；③若時(shí),,解得,此時(shí).綜上,此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.若,由（2）可知,,則,由,則,所以若,則,,由,則,則,令,則,對(duì)于函數(shù),對(duì)任意的恒成立,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,,對(duì)于函數(shù),對(duì)任意的恒成立,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,因此,.綜上：.10.已知函數(shù)在處的切線與軸平行．（1）求的值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)的圖象與拋物線恰有三個(gè)不同交點(diǎn),求的取值范圍．【解析】（1）由已知得,∵在處的切線與軸平行∴,解得．這時(shí)由,解得或；由,解．∴的單調(diào)增區(qū)間為和；單調(diào)減區(qū)間為．（2）令,則原題意等價(jià)于圖象與軸有三個(gè)交點(diǎn)．∵,∴由,解得或；由,解得．∴在時(shí)取得極大值；在時(shí)取得極小值．依題意得,解得．故的取值范圍為．11.已知函數(shù)（1）（i）求函數(shù)的圖象的交點(diǎn)A的坐標(biāo)；（ii）設(shè)函數(shù)的圖象在交點(diǎn)A處的切線分別為是否存在這樣的實(shí)數(shù)a,使得？若存在,請(qǐng)求出a的值和相應(yīng)的點(diǎn)A坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說明理由.（2）記上最小值為F（a）,求的最小值.【解析】（I）（i）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為得故函數(shù)與圖象的交點(diǎn)A坐標(biāo)為 （ii）若存在a,使得則當(dāng)點(diǎn)A坐標(biāo)為又,則,此時(shí)點(diǎn)A坐標(biāo)為 當(dāng)點(diǎn)A坐標(biāo)為又,則,無解. 綜上,存在（2）令整理得圖象另一交點(diǎn)橫坐標(biāo) 結(jié)合圖象可得：（1）若（2）若（3）若綜上所以 當(dāng)且當(dāng)時(shí)取到“=”；當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,此時(shí)綜上, 12.已知函數(shù)在時(shí)有極小值.(1)當(dāng)時(shí),求在處的切線方程；(2)求在上的最小值.【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)有極小值,故,,解得：.當(dāng)時(shí),,故,,則,則在處的切線方程為：,整理得：.故在處的切線方程為.(2)由（1）得,且,故,令,解得,因?yàn)?所以,,.又函數(shù)在時(shí)有極小值,當(dāng)時(shí),或,,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,故函數(shù)在有極大值,與題意不符,故,即,即,所以,當(dāng)或,,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,故函數(shù)在有極大值.當(dāng),即時(shí),函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間單調(diào)遞增,故在區(qū)間上得最小值為,當(dāng),即時(shí),函數(shù)在區(qū)間和單調(diào)遞減,在區(qū)間單調(diào)遞增,且,,.故當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,.綜上所述：當(dāng)時(shí),函數(shù)在上的最小值為,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上的最