專題4用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值一、考情分析函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn),函數(shù)的最值是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì),有些復(fù)雜的函數(shù)的最值,只能借助導(dǎo)數(shù)來(lái)求,高考常考題型一是給出確定函數(shù)或含有參數(shù)的函數(shù)求最值,二是求解不等式恒成立問(wèn)題,常常利用函數(shù)的最值來(lái)求解,此類問(wèn)題一般難度較大,多以壓軸題形式出現(xiàn).二、解題秘籍(一)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值一般地,如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值與最小值．求函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值；(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a),f(b)；(3)將函數(shù)f(x)的極值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值．【例1】（2023屆河南省洛陽(yáng)市創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟高三摸底）已知函數(shù)．(1)求的圖像在點(diǎn)處的切線方程；(2)求在上的值域．【解析】(1)因?yàn)?，所以，所以，，故所求切線方程為，即．(2)由（1）知，．令，得；令，得．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．又，，所以，即在上的值域?yàn)椋?二)求函數(shù)在非閉區(qū)間上的最值求函數(shù)在非閉區(qū)間上的最值,一般通過(guò)函數(shù)的研究函數(shù)的單調(diào)性與極值來(lái)確定,若函數(shù)在某一區(qū)間上有唯一極值點(diǎn),則該點(diǎn)處的極值一定是函數(shù)的最值.【例2】（2024屆云南師范大學(xué)附中高三適應(yīng)性月考）已知，.(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)若在上恒成立，求a的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以的最小值為（2）在上恒成立等價(jià)于：恒成立，即，在恒成立，令，由（1）知：上面不等式等價(jià)于：，在上恒成立，所以，在上恒成立，令所以.又令，且，而，即在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增；所以在上的最小值為，所以(三)含單參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題含單參數(shù)的函數(shù)的最值一般不通過(guò)比值求解,而是先討論函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)性求出最值．含參函數(shù)在區(qū)間上的最值通常有兩類：一是動(dòng)極值點(diǎn)定區(qū)間,二是定極值點(diǎn)動(dòng)區(qū)間,這兩類問(wèn)題一般根據(jù)區(qū)間與極值點(diǎn)的位置關(guān)系來(lái)分類討論．【例3】已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求在上的最大值．【解析】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，則.當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，由，可得，由，可得.此時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）解：由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)，.綜上所述，.(四)把不等式恒成立或有解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題有些不等式恒成立或有解問(wèn)題,常通過(guò)分類參數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題,常用結(jié)論是：若的值域?yàn)?則恒成立,有解.【例4】（2024屆浙江省名校新高考研究聯(lián)盟（Z20名校聯(lián)盟）高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：當(dāng)時(shí)，【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，，，由，可得，由，可得，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）解：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則，由，可得，由，可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以，下證：，即證：．記，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以，，所以恒成立，即．(五)含雙參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題含雙參數(shù)的函數(shù)的最值一般與恒成立問(wèn)題有關(guān)，通常是先通過(guò)函數(shù)的最值把問(wèn)題兩個(gè)參數(shù)的等式或不等式，再把其中一個(gè)參數(shù)看作自變量，構(gòu)造函數(shù)求解．【例5】（2023屆河南省安陽(yáng)市高三上學(xué)期名校調(diào)研）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若，求b的最小值．【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令有，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時(shí)，由（1）若，則有解即可，即有解，即有解，設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.故，故當(dāng).故b的最小值為(六)根據(jù)恒成立,求整數(shù)a的最大值根據(jù)恒成立,求整數(shù)a的最大值,通常情況是有最小值,但無(wú)法求出,這種情況下一般設(shè)出函數(shù)的極值點(diǎn),把最小值轉(zhuǎn)化為關(guān)于極值點(diǎn)的式子,根據(jù)極值所在范圍,確定最小值的大致范圍,由此確定整數(shù)a的最大值.【例6】（2023屆江西省臨川第一中學(xué)高三上學(xué)期期中）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性，(2)若，當(dāng)時(shí)，恒成立時(shí)，求的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）由可得.當(dāng)時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，恒成立即，設(shè)，則，令，則，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，故，綜上有，故，故為增函數(shù)，又，因?yàn)?，故，所以，故存在唯一零點(diǎn)使得，故當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，又，即，所以設(shè)，則，故為增函數(shù)，又，所以，所以，故要且為正整數(shù)則的最大值為3.三、典例展示【例1】（2024屆陜西省西安中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若時(shí)函數(shù)有最大值，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）的定義域?yàn)?，由可得，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上是單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，即，因此有，得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【例2】（2024屆寧夏吳忠市高三上學(xué)期月考）已知函數(shù)在處的切線與直線：垂直．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，求整數(shù)的最大值．【解析】（1）由，得，又切線與直線：垂直，所以，即．所以，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立．設(shè)，即．，令，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增．又，，所以存在，使得，即，所以．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以，當(dāng)時(shí)，，所以，由題意知且所以，即整數(shù)的最大值為1．【例3】（2024屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期診斷測(cè)試）已知函數(shù).(1)求的最大值;(2)證明：【解析】（1），定義域?yàn)?，則，令，因?yàn)楹愠闪?，所以在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，，令，可得，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.（2）要證，即證，令令得，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，即欲證，只需證也就是證明設(shè)，則，令，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取到最小值故式成立，從而成立.【例4】（2023屆北京名校高三二輪復(fù)習(xí)檢測(cè)）已知函數(shù)，其中．(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）依題意，，而，則，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，，由，得，，由，得，，所以當(dāng)時(shí)，的最小值是，最大值是；當(dāng)時(shí)，的最小值是，最大值是；當(dāng)時(shí)，的最小值是，最大值是；當(dāng)時(shí)，的最小值是，最大值是．四、跟蹤檢測(cè)1．（2024屆江蘇省鎮(zhèn)江市高三上學(xué)期階段檢測(cè)）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的最值；(2)若，函數(shù)在上是增函數(shù)，求a的最大整數(shù)值．【解析】（1）若，則函數(shù)，．令，則或，由于，因而當(dāng)時(shí)．單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)．單調(diào)遞增，所以的最小值為，最大值為（2），由在上是增函數(shù)，得在上恒成立，即，分離參數(shù)得設(shè)，則，，即設(shè)，由于因而方程在上有解，設(shè)為，則，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以的最大值為．因而，即，又又所以a的最大整數(shù)值為0．2．（2023屆江蘇省南通市如皋市2高三上學(xué)期模擬）設(shè)，函數(shù)，函數(shù)(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間和最值；(2)若當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，都有成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【解析】（1），則，令，解得，當(dāng)變化時(shí)，與的變化如下表所示：-0+↗所以函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減，區(qū)間上為單調(diào)遞增，所以，無(wú)最大值.（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，由題意，若對(duì)任意的，，都有恒成立，只需當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，令，解得，?dāng)x變化時(shí)，f(x)與f(x)的變化如下表所示：+0-↗所以，又因?yàn)椋?，解得，由?）知所以函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減，區(qū)間上為單調(diào)遞增，所以，綜上所述，得.3．（2024屆四川省成都市高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．(3)若存在實(shí)數(shù)、，使得恒成立，求的最小值．【解析】（1）解：因?yàn)?，其中，則，若，則恒成立，此時(shí)的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；若，由，得，由，得，此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為．（2）解：由得，當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，，可得，令，則，則在上遞減，故，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，可得，令得，由，可得，由，可得．此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，在處取得最小值，即，此時(shí)．綜上，的取值范圍是．（3）解：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)，不可能恒成立；當(dāng)時(shí)，，要使恒成立，只需，所以，當(dāng)時(shí)，由題意，，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以存在唯一的，使得，由可得，由可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，因?yàn)楹愠闪?，所以，故①，又，所以，代入不等式①可得，整理得：，設(shè)，則，所以，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，所以，當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，綜上所述，的最小值為．4．（2024屆百師聯(lián)盟高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底聯(lián)考）已知函數(shù)，且.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題，當(dāng)時(shí)，，，，，所以切線方程為，化簡(jiǎn)得，即曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2），即，即在上恒成立，令，則.對(duì)于，，故其必有兩個(gè)零點(diǎn)，且兩個(gè)零點(diǎn)的積為，則兩個(gè)零點(diǎn)一正一負(fù)，設(shè)其正零點(diǎn)為，則，即，且在上時(shí)則，此時(shí)單調(diào)遞減，在上，，此時(shí)單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，取最小值，故，即.令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故，顯然函數(shù)在上是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為5．（2024屆寧夏銀川一中高三上學(xué)期月考）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，證明：；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，令，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以在處取得唯一的極大值，即為最大值，所以，所以，而，所以.（2）令.則.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?所以關(guān)于的不等式不能恒成立；當(dāng)時(shí)，.令，得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故函數(shù)的最大值為.令，因?yàn)椋忠驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，.所以整數(shù)的最小值為3.6．（2024屆湖北省騰云聯(lián)盟高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù).(1)證明：有唯一的極值點(diǎn)；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）證明：定義域?yàn)?，由，得，令，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，且，，且?dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)?，所以有唯一的零點(diǎn)，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以有唯一的極值點(diǎn)，（2）由（1）知，在取得極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，由得，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)時(shí)，，，所以，因?yàn)?，所以設(shè)，則所以在上單調(diào)遞減，所以，即7（2023屆黑龍江省哈爾濱市高三上學(xué)期月考）設(shè)函數(shù)(1)若，，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，不等式對(duì)任意恒成立，求整數(shù)k的最大值．【解析】（1）當(dāng)，時(shí)，，所以，即切點(diǎn)為因?yàn)椋?，所以切線方程為，即，（2），由，所以，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增不等式，對(duì)恒成立，構(gòu)造，，構(gòu)造，，對(duì)有，所以在遞增，，，所以，，所以，，即，在遞減，，，即，在遞增，所以，結(jié)合，故，所以對(duì)恒成立，故，所以整數(shù)k的最大值為3；8．（2023屆河南省南陽(yáng)市高三上學(xué)期期中）已知.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)是的導(dǎo)數(shù).當(dāng)時(shí)，記函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最大值為.求證：.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，令，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，所以，即故函數(shù)在上單調(diào)遞增（2）由（1）知在時(shí)，單調(diào)遞增，且，故，所以，由于，所以，故,而,因此9．（2023屆福建省三明市高三上學(xué)期期末）已知函數(shù)，.(1)求證：在上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.【解析】（1），，，由，有，，則，又，則.當(dāng)時(shí)，，，所以

所以當(dāng)時(shí)，，綜上，在上單調(diào)遞增.（2）.化簡(jiǎn)得.當(dāng)時(shí)，，所以，設(shè)，

設(shè)，.，，，在上單調(diào)遞增，又由，所以當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，所以，故.10．（2023屆河南省開(kāi)封市模擬）設(shè)函數(shù)，．(1)若函數(shù)在上存在最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求證：．【解析】（1）由得：（），①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在不存在最大值，②當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在時(shí)，取得最大值，又由函數(shù)在上存在最大值，因此，解得：，所以的取值范圍為.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)的定義域?yàn)椋C明，即證明時(shí)，，只需要證明：時(shí)，，因?yàn)?，所以不等式等價(jià)于設(shè)（），則，令得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，且當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；又設(shè)（），則，令得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，且當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；綜上可得：時(shí)，，且等號(hào)不同時(shí)成立，所以時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，得證.11．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(2)若在恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)時(shí)設(shè)，則即在遞減，在遞增，當(dāng)，當(dāng)而當(dāng)所以當(dāng)遞