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參考答案與解析

第一章命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

1.A

【解析】

試題分析：由定義設(shè)非空集合S=任|朋4處滿足：當(dāng)xCS時(shí)，有％2eS知，符合定義的參數(shù)m的值

一定大于等于1或小于等于0,惟如此才能保證meS時(shí)，有加2eS,即胴2之胴，符合條件的?的值一定

大于等于。，小于等于1,惟如此才能保證"eS時(shí)，有小6s即/?“，正對(duì)各個(gè)命題進(jìn)行判斷：對(duì)于①

fn2<?11*'

若？n=L?/=ieS,故必有｛二’解得耳=1,$=｛1｝；②若旭=一三，胴2==6$,貝*1解得

?>1,—<fl

〔4一’

—>m.

2j-

刑2之犯解得一半《初40,所以正確命題有3個(gè).故選

-<M<1；對(duì)于③若“=-,則，A.

Ju

2

考點(diǎn)：1、元素與集合關(guān)系的判斷；2、集合的確定性、互異性、無序性.

【思路點(diǎn)睛】根據(jù)題中條件：“當(dāng)xeS時(shí)，有$，，對(duì)三個(gè)命題一一進(jìn)行驗(yàn)證即可，對(duì)于

式，根據(jù)解出的結(jié)果與四個(gè)命題的結(jié)論對(duì)照，即可得出正確結(jié)果有幾個(gè).本小題考查集合的運(yùn)算及

不等式和不等式組的解法.屬于創(chuàng)新題，解答的關(guān)鍵是對(duì)新定義的概念的正確理解，列出不等關(guān)系

轉(zhuǎn)化為不等式問題解決.

2.D

【解析】

試題分析：根據(jù)子集的定義知A正確；由對(duì)數(shù)的定義及性質(zhì)知B,C正確，對(duì)于D,當(dāng)零點(diǎn)左右符

號(hào)相同時(shí)不能用二分法，故D錯(cuò)，故選D.

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考點(diǎn)：1、子集的定義及對(duì)數(shù)的定義與性質(zhì)；2、二分法的基本含義.

3.A

【解析】

試題分析：①根據(jù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，可得不管X是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有"(7(x))=l；②根據(jù)

函數(shù)奇偶性的定義，可得/(X)是偶函數(shù)；③根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合有理數(shù)和無理數(shù)的性質(zhì)；④

取X1=—'二，x2=0,x3=——,可得A(1,()),8(0,1),C(———,()),三點(diǎn)恰好構(gòu)成等邊

3-333

三角形.

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用.

4.C

【解析】

試題分析：否命題需將條件和結(jié)論分別否定，所以否命題為：若XW2015,則xWO

考點(diǎn)：四種命題

5.B

【解析】

試題分析：根據(jù)四種命題的概念，可知命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是“若一個(gè)

數(shù)的平方是正數(shù)，貝J它是負(fù)數(shù)”，故選B.

考點(diǎn)：四種命題.

6.A

【解析】

試題分析：由得x>2或x<0,所以“x>2"是的充分不必要條件，故選

x2x2

A.

考點(diǎn)：充分條件與必要條件.

7.A

【解析】

試題分析：兩直線垂宜，所以一丈3=-1,。=±2,所以是充分不必要條件.

4

考點(diǎn)：充要條件.

8.B

【解析】

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試題分析：由題意得，由函數(shù)y=2'+"?—l1零點(diǎn)可得，m<\,而由函數(shù)y=log?,x在

(0,+8)上為減函數(shù)可得0<加<1,因此是必要不充分條件，故選B.

考點(diǎn)：1.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；2.對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；3.充分必要條件.

9.A

【解析】

試題分析：由題設(shè)條件可知8s48S瓦COSC中必有一個(gè)是負(fù)數(shù),即三個(gè)內(nèi)角中必有一個(gè)是鈍角，所以是鈍

角三角形,是充分條件;反之，若三角形是鈍角三角形,則8s4cos3：8SC的積必為負(fù)數(shù)，即是必要條件,

應(yīng)選答案A.

考點(diǎn)：解三角形.

【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題以解三角形的問題的形式為背景，考查的是充分必要條件的有關(guān)知識(shí)及推理判斷

的能力.解答好本題的關(guān)鍵是搞清楚鈍角三角形的概念是什么？其外延是什么？其實(shí)鈍角三角形的概

念是有一個(gè)內(nèi)角是鈍角即可了.解答這個(gè)問題的過程中常常會(huì)出現(xiàn)三個(gè)內(nèi)角都是鈍角的借誤，將銳

角三角形的概念和鈍角三角形的概念混淆在一起，從而誤判得出不正確的答案.

10.A

【解析】

試題分析：由％,a2,%成等比數(shù)列，得(％+d)2=q(q+4d),即(2+d)?=2(2+4〃)，解

得d=0或d=4,所以“。=4”是“q,a2,火成等比數(shù)列”的充分不必要條件?

考點(diǎn)；1、充分條件與必要條件；2,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；3、等比數(shù)列的性質(zhì).

第二章簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞

1.D

【解析】

試題分析：x=l時(shí)x_121gx,所以命題為真；

Vxw(0,7T),sinx>0,sinx4-—>2A/sinx-,—■=2

sinxVsinx,當(dāng)且僅當(dāng)sinx=l時(shí)取等號(hào)，所以命

q:VXE(0,7r),sinx+--—>2

題sinx為假；因此PF是真命題，〃八4是假命題，Pv(「q)是

真命題，PA(「幻是真命題，選D,

考點(diǎn)：命題真假

2.A

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【解析】

試題分析：因?yàn)樘胤Q命題的否定是將存在量詞改成全稱量詞，然后否定結(jié)論，所以特稱命題p:

2

3x0G/?,Xo2+4尤o+6<O的否定是全稱命題VxeR,x+4x+6>0,故選A.

考點(diǎn)：1、存在量詞與全稱量詞；2、特稱命題的否定形式.

3.B

【解析】

試題分析：易知①當(dāng)x=。時(shí)不成立,對(duì)于全稱命題,只要有一個(gè)情況不滿足,命題即假.②錯(cuò),只需兩個(gè)命題

中至少有一個(gè)為假即可.③正確,全稱命題的否定是特稱命題.即只有一個(gè)命題是正確的,故選B.

考點(diǎn)：1.命題的否定；2.四種命題的真假關(guān)系.

4.A

【解析】

試題分析：當(dāng)“a>1"時(shí)，,而<1”時(shí)一，如a=—1,則“a>1”不成所以

aa

asR,“工<1”是“a>l”的必要不充分條件，即A正確；“pAq為真命題”是“pvq

a

為真命題”的充分不必要條件，故B錯(cuò)；命題“玉GR,使得尤2+2X+3<0”的否定是：

“VxeR,x2+2x+3>0",故C錯(cuò)；命題p："X/xeR，sinx+cosxW&”是真命

題，所以“是假命題，故D錯(cuò)，所以選A.

考點(diǎn)；1.邏輯詞與命題；2.充分條件與必要條件；3.特稱命題與全稱命題.

5.C

【解析】當(dāng)命題〃為真時(shí)，?.?函數(shù)/(x)圖象的對(duì)稱軸為直線彳=根，

當(dāng)命題4為真時(shí)，當(dāng)機(jī)=0時(shí)，原不等式為一4x+l>0,該不等式的解集不為R,則這種情況不

存在；

m>0,

當(dāng)加W0時(shí)，則有《2解得

△二4(nz-2y-4m<0,

m<2,

又,.?pvq為真，pAg為假，；?p與夕一真一假，若p真g假，則，

[m<1或m>4,

m>2,

解得加41：若p假夕真，則《解得2<4.

[1<加<4,

綜上所述，m的取值范圍是〃?W1或2<m<4.

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一元二次不等式的解法.

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6.[-1,2]

【解析】

試題分析：X2-X-2>0=>X>2^X<-1,因此為一1<X<2.

考點(diǎn)：命題的否定.

7.@@

【解析】①VxeR，+l>0；②(DBx=OeZy<15

④，=3=x=±出任Q；⑤當(dāng)x=0時(shí)，V—3X+2H03⑥天?1</+121>0.所以0)(3)為真命題.

考點(diǎn)：特稱命題、全稱命題真假判定.

【解析】

試題分析：p:0<a<1,^:A=(2a-3)2-4>0=^>0<6(<i,a>1-.pv^M,p,所

以p,q一真一假，分別求出“「真°假”和“p假q真”對(duì)應(yīng)a的值，再取并集就得到a的取值

范圍.

試題解析：

當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y=log,,(x+1)在(°，―)內(nèi)單調(diào)遞減；

當(dāng)a〉1時(shí)，y=log?(x+l)在(°，+8)不是單調(diào)遞減.

曲線y=犬+(2a—3)x+1與尤軸交于不同兩點(diǎn)等價(jià)于(2a—3)2—4>0,

即a<,或a>*.

22

①若P正確，且q不正確，即函數(shù)yulog/x+l)在(Q+8)內(nèi)單調(diào)遞減，

曲線y=》2+Qa-3)x+l與％軸不交于兩點(diǎn)，此時(shí)qe

②若P不正確，且q正確，即函數(shù)y=log〃(x+l)在(°，+8)內(nèi)不是單調(diào)遞減，

曲線、=/+(2“-3)》+1與％軸交于不同兩點(diǎn)，此時(shí)“e(3,+8).

2

綜上所述，a的取值范圍是g，l)u(g,+8).

考點(diǎn)：含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性.

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9.（1）4cx<5；（2）-<m<2.

3

【解析】

試題分析：（Dpeg為真時(shí)的條件，當(dāng)且僅當(dāng)p與g都為真時(shí)才為真；（2）判斷充分不必要條件時(shí)，如果

無法進(jìn)行正面判斷,則可以使用其逆否命題進(jìn)行判斷,然后轉(zhuǎn)化為集合之間的包含關(guān)系,得出答案.

試題解析：解：（1）由一一7》+10<0,解得2Vx<5,所以p:2<x<5

又f-4mx+3，*2<0,因?yàn)榧?gt;0,解得m<%<3m，所以q：M<x<3m.

當(dāng),〃=4時(shí)，q:4<x<12,又/?A（7為真，p,q都為真，所以4cx<5.

（2）由「4是的充分不必要條件，即「p3「q’其逆否命題為

pnq,qAp,

m<2

由（1）p:2<x<5,q:m<x<3m,所以《3，〃25,即*

m>0

考點(diǎn)：1.一元二次不等式；2.命題及其關(guān)系；3.充分必要條件.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是逆否命題、充分條件與必要條件和復(fù)合命題的真假性，屬于容易

題.解題時(shí)一定要注意pnq時(shí)，p是g的充分條件，q是p的必要條件，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)

誤.充分、必要條件的判斷即判斷命題的真假，在解題中可以根據(jù)原命題與其逆否命題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)

化，進(jìn)而成為p,q命題所表示的范圍間的大小關(guān)系,轉(zhuǎn)化為集合的問題.另外需注意等號(hào)的取舍.

10.（1）見解析（2）m<2

【解析】（1）—ip：BxeR,/M^2+1<0：—iq：VxeR,x2+mxJt-\>0.

（2）由題意知，真或真，當(dāng)真時(shí)，m<0,當(dāng)真時(shí)?，A=/n2-4<0,解得

-2<m<2,因此，當(dāng)一pv「4為真命題時(shí)，相<0或一2</”<2,即〃z<2.

考點(diǎn)：全稱命題、特稱命題的否定及復(fù)合命題的判定.

第三章圓錐曲線的概念及性質(zhì)

1.A

【解析】

試題分析：橢圓工2+加）>2=1的焦點(diǎn)在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，2.1

Vin4

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

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2.D.

【解析】

試題分析：由橢圓的性質(zhì)可求出機(jī)的值，故選D.

考點(diǎn)：橢圓的定義.

3.D

【解析】

%%=為一內(nèi)為+y=MY

試題分析：設(shè)次孫必）、3（口一必）、尸（孫為）,則“FBzf/君—d,由

22222

y1%_力2一均IEb22c25V15

-5~一‘，-5~一—T~一1-----5場KB=F=T=F=彳=e="^―

bab相減得a即a3a33,

選D.

考點(diǎn)：雙曲線的離心率

【方法點(diǎn)睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a,b,c的方

程或不等式，再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式，建立關(guān)于a,b,c的方程或不等

式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.

4.A.

【解析】

試題分析：由題意可知，雙曲線尤4的漸近線方程和離心率分別是了二垃工浮二岔，故

選A.

考點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì).

5.A

【解析】

試題分析：由題意得，雙曲線的漸近線的方程為y=±J嬴，因?yàn)閳F(tuán)C為等腰直角三角形，所以

Nfidc=45°,設(shè)其中一條漸近線與x軸夾角為巴則0°<6<45°,所以0<tan。<1,所以0<訴<1,

解得0cm<1,故選A.

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考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì).

【方法點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，其中解答中涉及到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的

漸近線方程，以及直線的斜率與直線的傾斜角等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解

答問題的能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，本題的解答中根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，判斷出漸近線的斜

率的取值范圍是解答的關(guān)鍵，屬于中檔試題.

6.B

【解析】

試題分析：設(shè)Q到1的距離為d,則|QF|=d,

-：FP=4FQ.

：.|PQ=3d,

直線PF的斜率為-20,

VF(2,0),

直線PF的方程為y=-2&(x-2),

與/=8x聯(lián)立可得x=l,

.'.|QF|=d=l+2=3

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

7.B.

【解析】

試題分析：由題意，可設(shè)過點(diǎn)尸(°，1)直線的斜率，需要分類討論直線的斜率是否存在進(jìn)行討論，

故選B.

考點(diǎn)：1直線與拋物線的交點(diǎn)問題；2.分類討論.

8.A

【解析】

試題分析：由題意，設(shè)尸在拋物線準(zhǔn)線的投影為尸，拋物線的焦點(diǎn)為尸，則根據(jù)拋物線的定義

可知點(diǎn)P到該拋物線的準(zhǔn)線的距離為|即'|=|所|,則點(diǎn)P到點(diǎn)、(0J)的距離與點(diǎn)尸到該拋物線準(zhǔn)線的距離

之和d=|尸F(xiàn)|+1以怛\AF\=J(h2+22=浮，故選A.

考點(diǎn)：拋物線的定義及其簡單的幾何性質(zhì).

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了拋物線的定義及其簡單的幾何性質(zhì)，其中解答中涉及到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)

方程、拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題，

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本題的解答中熟練掌握拋物線的定義，把拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到拋物線的準(zhǔn)線的距離

四解答的關(guān)鍵.

9.A

【解析】

試題分析：設(shè)由拋物線的定義可得f+2=5,故f=3,m=±276,又尸(2,0),Fz(-2,0),

故PF'=725+24=7,又|PF|=5,則—PF=7—5=2,即2a=2=>a=1,因?yàn)?/p>

c=2,所以該雙曲線的離心率e=2,故應(yīng)選A.

考點(diǎn)：雙曲線拋物線的幾何性質(zhì)及運(yùn)用.

【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題考查的是雙曲線與拋物線的幾何性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想的綜合問題,解答時(shí)

先依據(jù)拋物線的定義求得交點(diǎn)P的縱橫坐標(biāo)分別為f=3,m=±2A/6,進(jìn)而求得

PP=J25+24=7,再借助|PF\=5,運(yùn)用雙曲線的定義可得PF'—PF=7-5=2,求得

2a=2na=1,從而求得該雙曲線的離心率e=2,進(jìn)而獲得答案.

1

10.-

2

【解析】

試題分析：設(shè)耳到AB的垂足為。，因?yàn)?6。4=/5。4=90°,乙4為公共角，所以

\ADF.□\AOB.所以歿=型，所以:一匕=上=立,因?yàn)槭?/一。2,所以

ABOBy/a2+b2也7

萬

(a-c)=_j_化簡得到5a2-14數(shù)+8c2=0,解得”=2?；?。=9。(舍去)，所以

2a2-c275

C1

6=—=一.

a2

考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì).

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【方法點(diǎn)晴】本題主?？疾榱藱E圓的幾何性質(zhì)，其中解答中涉及到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、三角形相似與

相似比的應(yīng)用，以及橢圓中〃=。2一。2等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，本題的解答中利用左焦點(diǎn)可到A5

的距離建立等式是解得的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能

力，屬于中檔試題.

第四章直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

1.A

【解析】

試題分析：設(shè)P（AM）,。（吃22），則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式有為="也，%=?孕，

將尸（5M）,12（孫當(dāng)）代入曲線方程得［［工7：=：，兩式作差得點(diǎn)（五2-翦+（為2-*）=0,

整理得3（噸+%）（噸一噸）+（為+必）（為一必）=0，即虎?2演?（◎一再）=一2￥01%一必），所以

比=一點(diǎn)-三3,即七L—0.

考點(diǎn)：點(diǎn)差法.

2.x+2y—8=0.

【解析】

試題分析：由題意得，設(shè)直線的方程，與橢圓聯(lián)立方程，用韋達(dá)定理即可求解.

考點(diǎn)：橢圓中平分弦的問題.

3.2\/3—3

【解析】

試題分析：記右焦點(diǎn)F'.|TF|=，|04『一|0丁『=6nPT\=\PF\-\TF\=hMF\-b,\PO\=hpF'\

^PO\-\PT\=b--（\MF\-\MF'\）=b-a=2^3-3.

2

考點(diǎn)：1、直線與圓；2、直線與拋物線.

【方法點(diǎn)晴】本題考查直線與圓和直線與拋物線，涉及數(shù)形結(jié)合思想、方程思想和轉(zhuǎn)化思想，考查

邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，具有一定的綜合性，屬于較難題型.利用數(shù)形結(jié)合

思想可得

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ITF|=一10Tl2=/,=|「7|=|PF\-\TF\=^\MF\-b,\P0\=^\PF'\

=|PO\-\PT\=b-

n|PO\-\PT\=b--(\MF\-\MF'\)=b-a=2y/3-3.

2

4.（1）2-V（2）SN4叵

【解析】

試題分析：（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，基本方法為待定系數(shù)法，根據(jù)題意可列兩個(gè)獨(dú)立條件

cV213,

e————----.

a2,及2a24/r,解得a=&,c=b=l（2）因?yàn)槭琎"L"N,所以

S=^\MN\\PQ\

先根據(jù)拋物線定義可求焦點(diǎn)弦長?"NI,再根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立方程組，結(jié)

合片達(dá)定理求弦長IPQL最后根據(jù)?元函數(shù)解析式求值域

_V2

試題解析：（1）由題意得：a2,a--b-=c-,得b=c,a=6c,則方程

二+匚1

4烏-罵

因?yàn)闄E圓過點(diǎn)22解得c=l,所以。=夜,

---F?=1

所以橢圓C方程為：2?

（2）當(dāng)直線"N斜率不存在時(shí)，直線02的斜率為0,易得|MN|=4,1PQ|=2j5,

5=472

當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)有線方程為：y=與：/=4%聯(lián)立得

k2x2-（2k2+4）x+k2=0

令M(%,yJ,N(X2，y2),則芭+々=記+2,x/T

IMN|=+2)2—4=5+4

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因?yàn)镻Q'MN,所以直線PQ的方程為；)'~k(X”

將直線與橢圓聯(lián)立得：第2+2)/_4》+2_2二=0,

4_2-2k2

令夕(工3，%)，。(如M)，Xi+'h=2+k2,X'X2~2+k2

IPQ|=、MJ(—O-4x曰=也/

由弦長公式*kN2+k2+k2+k

S=.|MNIIPQI=4"I+A)

所以四邊形PMQN的面積2入2+公)，令"i+/Q〉])

產(chǎn)扁T客2“士)>4加

所以綜上，SN40.

考點(diǎn)：直線與橢圓位置關(guān)系

(方法點(diǎn)睛】有關(guān)圓錐曲線弦長問題的求解方法

涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系，設(shè)而不求法計(jì)算弦長；涉及垂宜關(guān)系時(shí)也往往利

用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解。

涉及中點(diǎn)弦問題往往利用點(diǎn)差法.

而

5.(1)inG(0,4)；(2)kG(——,—1).

"V~0I,MIOO>,>?Io

試題分析：(1)化簡得cc+c)c=ln2±4>0,-^<0nMe(0,4)；

2〃z+22機(jī)+2,77m—4

m機(jī)一4

22[x2—y2=3

(2)m=2n雙曲線方程為/-丁=3,由聯(lián)立方程：《‘

[y=kx+2

=>(l-Z:2)x2-4fcc-7=0

精品

4k八

辦+9=匚戶〉。

-7V21

X.X-,=-----7>0=>^G（---,-1）.

1-\-k23

1-二H0

△=16公一4x（1—女2）x（-7）=288—12/>（）

試題解析：⑴雙曲線方程為熹+熹=1,

mm—4

.2m+2_,八小、2m+2_，.八

..-------->0—超e(-oo-1)u(0+GO)>---------me(-L4),

m::m—4

.'.m&(0,4).

(2)根=2時(shí)，雙曲線方程為x之一,2=3,

，22

X-y=3oo

聯(lián)立方程：<,，得：(1-8)/-4丘一7=0.

y=kx+2

???交于右支兩點(diǎn)，故得到以下不等式：

4k八

%+"匚淳〉。

rr__73ft,/V21八

?中2一]_左2〉unkw(——,-1)

1-F^0

△=16&2-4x(i2)x(-7)=288-12%2>0

考點(diǎn)：1、雙曲線的方程；2、直線與雙曲線.

2

6.(I)點(diǎn)P的軌跡是以4、B為兩焦點(diǎn)，長半軸為3的橢圓，方程為工+y2=l；(II)

9

675

【解析】

試題分析：(I)根據(jù)題意設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r,則|PA|=r,乂動(dòng)圓P內(nèi)切于定圓

B:(x-2V2)2+/=36,所以有|PB|=6-r,所以|PB|+r=6,即|P8|+|PA|=6,又

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|AB|=4V2＜6,所以尸點(diǎn)軌跡是以A,B為焦點(diǎn)，長軸長為6的橢圓，2a=6,2c=40,

2X2i

o—+V2=1

所以〃=。2一。2=1,所以軌跡方程為§X+/=1；（II）聯(lián)立J9，消去未知數(shù)y

y=x+m

得：10犬+183+9機(jī)2-9=0，A=（18/7z）2-410（9m2-9）＞0,解得“2＜1（）,所以

,設(shè)直線與橢圓交于4（為，乂），8（彳2，%）兩點(diǎn)，%+々=一券，

9加~—9..

x.x=---------，則弦長

12-10

2299，所以有

\AB\=y/\+k|x,-x21=V2?^（-^）-4-^O~=V2-

/（加）=,當(dāng)〃2=0時(shí)，/（〃）取得最大值

試題解析：（I）設(shè)動(dòng)圓圓心尸（兀N）,動(dòng)圓尸半徑為L網(wǎng)260）,

貝力網(wǎng)|=6—~且|尸/|=~貝”"|+|即|=6,2分

即動(dòng)圓圓心p到兩定點(diǎn)a（-WIo）和5（2加：0）的距禽之和恰好等于定圓半徑仇

又|45|=抽，二|尸幺|+悶

所以點(diǎn)P的軌跡是以A、B為兩焦點(diǎn)，長半軸為3的橢圓.4分

則8=后二7=巧曲了=1，故求點(diǎn)的軌跡方程為：y+/=l.6分

（II）聯(lián)立方程組［'+9/=9,消去？，整理得］09+18〃a+9源-9=05分

［y=x+m

設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（X］，X），（馬，%），

則△=（18m）2-40x9（機(jī)2-［）＞0,解得＜10,解得-加＜機(jī)＜質(zhì)6分

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9m

無?+毛=---

且72,7分

x.x,=-------

1-10

故/(m)=,(1+/)[(修|+彳2)_4/々]=J—36(]I=￥y/10-m210

分

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，弦長取得最大值為竿.12分

考點(diǎn)：L軌跡方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.弦長公式.

7.(I)—+y2=1；(II)y=±x+2.

【解析】

試題分析：(I)|PM|+沖|=|H/|+|P叫=4,由橢圓定義可得點(diǎn)P的軌跡方程為[+V=1;(II)設(shè)直

V-_

線Ly=Ax+2,<7(玉，％),￡>(三，％),聯(lián)立方程<"+)'=1=(1+4/)，+16依+12=0,則

J=AX4-2

%+三=一-1%,%三=—12占,由萬靈力，得x,=也，解得K=l,上=±1(滿足版>?).

試題解析：(I)設(shè)P(x,y)為所求曲線上任意一點(diǎn)，并且。尸與?！ㄏ嗲杏邳c(diǎn)B,

則|PM|+|PN|=|PM|+|PB|=4.

■>

所以點(diǎn)P的軌跡方程為—+/=1:

4

(II)經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)直線/_Lx軸時(shí)，題目條件不成立，所以直線/存在斜率，設(shè)直線

/：y二履+2.設(shè)。(玉，,),。(工2，)2)，則

■T+-V=1=(1+4/)/+16米+12=0,

y=kx-\-2

3

A=(16k)2-4(1+4/).12>0,得/>—.

4

16k小白…②，

再+無2=-]+4公??????①，不々=

—3—3

乂由AC=gAD,得A=g々，

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將它代入①，②得公=1,Z=±l（滿足A?>一），

所以直線/的斜率為k=±1,所以直線/的方程為y=+x+2.

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.

【方法點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是

一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化

為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)

問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用.

8.（1）斜率為百或一G；（2）四邊形OACB的面積最小值為4.

【解析】

試題分析：（D設(shè)直線450=可+1,將直線期與拋物線聯(lián)立消去x,設(shè)《不必），B（孫力）,利用

__________1

韋達(dá)定理和AF=3FB,可求直線AB的斜率；⑵由題意=2sAM=2-|。巴回一必|=卜1-M，

根據(jù)（D及韋達(dá)定理可得=J16疝+16,易得四邊形。XCB面積的最小值.

試題解析：（1）依題意可設(shè)直線

x=my-￥\、

將直線AB與拋物線聯(lián)立《，ny2_4%，-4=（）

?=4%

設(shè)A（再,y）,5（與乃）

由韋達(dá)定理得《力y+2

>1^2=-4

AF=3FBnx=—3%，

=>m2=—,斜率為V3或一也.

3

2

⑵SOACB=2SMOB=2?；|0F||y_=|x_%|="（X+%）2-4yj2=V16/H+16>4

當(dāng)〃?=0時(shí)，四邊形OACB的面積最小，最小值為4.

考點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系

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9.(1)—+^-=1；(2)證明見解析.

43

【解析】

試題分析：(1)設(shè)P(x,y),A?,0),B(0,yB),則AP=(x-xA,y),AP=(x-xA,y),根據(jù)

—￡—732

AP=—PB得乙=x+丁x,%=y+F＞，由|而|=2+石，即可求解點(diǎn)P的軌跡￡的

2

方程；(2)設(shè)KM:y=A(x+2)與聯(lián)立，得

(3+4F)/+16犬》+16F-12=(),然后由根與系數(shù)的關(guān)系能夠?qū)С鲋本€例N的方程，令y=()

得直線必過x軸上的定點(diǎn).

2v2

試題解析：(1)可求E:一%+L=l

43

精品

（2）設(shè)川二？=網(wǎng)尤+2）（上=0）與37+4>2—12=0聯(lián)立

得（3+止祝、16檔c+16必72=0

16〃16爐r6-8/t2

設(shè)兇（孫必），貝I」幣+馮=一門-------2+2=-------T

3+4上3+4左23+4左2

」小12k.”,6-8〃12k、

y,=k(x+2)=------..M(--------.--------)

13+4/tT13+4/T一3+4后T

設(shè)KN-y=一匕尤+2)(上工0),

k

同理可得：可（票三，一者二）

3A:+43k+4

止__7k南工1）

12/t7k,6—8/、

則MV二y

3+4/4<A?-1)3+4/

nir7

化簡可得尸一環(huán)s+5）

72

即MN過定點(diǎn)（一二刀），另MN斜率不存在時(shí)，也過（一二.。）

77

2

二直線瓜N必過定點(diǎn)（一二,0）

7

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；直線過定點(diǎn)問題.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、直線過定點(diǎn)問

題，其中解答中涉及到軌跡方程的求解、把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的的關(guān)

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系，轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理的應(yīng)用是解答此類問題的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力,

試題有一定的難度，屬于中檔試題，同時(shí)注意題目隱含條件的挖掘.

10.(1)42(2)詳見解析

【解析】

試題分析：(D確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需兩個(gè)獨(dú)立的條件，一個(gè)是點(diǎn)在橢圓上，另一個(gè)是離心率等

6r=4—ke__1

于2，聯(lián)立方程組解得3=2(2)由橢圓性質(zhì)知2,所以本題實(shí)質(zhì)等價(jià)證明2,

這可由AOMN的面積等于2推導(dǎo):先根據(jù)點(diǎn)到直線距離得三角形的高，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得底邊長,

_1_V2

從而可得2IA，W>VA，V3WI2,最后根據(jù)乙7+2%/2=1,xJ+2yJ=［進(jìn)行等量代換得

%”XN+2%yM=o,即"加4M=一萬

c72

e=-=——

a2

/=/+/

a2=4

，解得［"2=2

試題解析：解：(1)由題意得

故橢圓C的方程為42

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【思路點(diǎn)睛】定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多

少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.定點(diǎn)、定值問題同

證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必

定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).

第五章空間向量及其應(yīng)用

1.A

【解析】d=xa+yb+zc=x(e,+e2+e3)++e2-+-e2+e3)

=(x+y+z)e1+(x+y-z)e2+(x-y+z)e3=e1+2e2+3e3,

x+y+z=1,

51

由空間向量基本定理，得,x+y-z=2,，工=5,y=-l,z=~—.

x-y+z=3,

考點(diǎn)：空間向量基本定理.

2.D

【解析】

試題分析：由題意得，對(duì)于A中，向量1=(L2「2),b=(-2:-4:4)，滿足1=一4，所以共線；對(duì)于B

中，向量乙=(L0,0)，3=(-3,0,0),滿足工=-32,所以向量共線；對(duì)于C中，向量苕=(2,3,0),

7=(o,o,o),滿足]=ox,，所以向量共線，故選D.

考點(diǎn)：共線向量的判定.

3.詳見解析

【解析】；PA=A￡>=AB,且尸4_1_平面ABC。，AO_LA3,.?.以D4,08,DP所在直線

為x軸，y軸，z軸建立空間在角坐標(biāo)系A(chǔ)—盯z,如圖所示.設(shè)￡%=?],AB=e2,

AP=%.

?：MN=MA+AP+PN=MA+AP+-PC=MA+^P+-(PA+AD+DC

22、

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11/\11

=_5。2+/+5(_。3_4+。2)=_54+5%，

DC=A5=e2=(0,1,0).

考點(diǎn)：空間向量的坐標(biāo)表示.

V2+1

4.(1)證明略(2)-----

3

【解析】

試題解析：(I)證明：由已知得，—=—L=V2,.,.RtABAD^RtAABB,

ADAB

：.ZBDA=ZB,ABrZABD+ZBlAB=ZABD+ZBDA=90°

...在AAOB中，ZA0B=180°-(ZABO+ZOAB)=90°,HPBD±AB,

另BCJ_AB”BDDBC=B.；.AB」平面BCD,CDU平面BCD,

/.CD1AB,

在Rt^AOB中，得B0=在，.?.8。2+。。2=8。2即Bo，。。.?.CO_L平面AOB---8

3

分

建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)BC與平面ACD所成的角為6

???A（理,0,0）,8（0,-當(dāng),0）,。（0,0,孚）,。（0,印,0）,設(shè)平面ADC的法向量為n.解得

n：(1,1,1).

-/-I-

前=’,更叵,.\5也6=察烏=型里.即BC與平面ACD所成角的正弦值為乂汨

|n||BC|33

\337

考點(diǎn)：線線垂直的證明，利用空間向量求線面角.

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5.(1)證明見解析：(2)

6

【解析】

試題分析：(I)借助題設(shè)條件運(yùn)用面面垂直的判定定理推證；(2)借助題設(shè)運(yùn)用空間向量的數(shù)量

積公式求解.

試題解析：

(1)：。為40的中點(diǎn)，PA=PD=AD=2,BC=\,

：.PQ±AD,01sBe，二四邊形38。是平行四邊形，

，?底面如CD為直角梯形，ADHBC,ZADC=90\：.BQ±AD.

又方QflH3=Q,二40~1■平面尸@仁平面產(chǎn)㈤，二平面P@J"平面EdD................6分

(2)VPQ1AD,平面底面A8CD，平面尸4。0底面ABC。=AO,

PQ_L底面ABC。，

以。為原點(diǎn)，QA為x軸，QB為y軸，QP為軸z,建立空間直角坐標(biāo)系，

則0(0,0,0),3(0,6,0),C(-l,V3,0),P(0,0,回

設(shè)力,c),則而二』正,

4

即伍&.一揚(yáng)=*1'6,一兩=(一%

3A/3V3

a=--,b=-----，c=—，.??”3,更烏,

444444

麗=(一￥，￥)，2F=(0,73,0),

33^3V3

ifJQM=——x-\-------yd------z=0

設(shè)平面MQ8的法向量尸=(x,y,z),則444

riJQB=y/3y=0

取x=l,得了=(1,0,6)，平面8QC的法向量元=(0,0,1).

設(shè)二面角〃—“用為"則cos”盤邛,

?7C

:e~6

精品

71

二二面角M-BQ-C的大小為一.12分

6

考點(diǎn)：空間線面的位置關(guān)系及向量的數(shù)量積公式等有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用.

6.（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）60°.

【解析】

試題分析：（1）由。E//8C,可證；（2）由POJ.A8.OE_LAB，得4B_L平面

PDE,：.AB1PE-,（3）以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量

I=（3,2,百），又平面的法向量為a=（0」,0），設(shè)二面角的A-PB—E大小為6,則

—-"1

COS0=COS<〃],%>=—,所以6=60°.

122

試題解析：（1）；。、E分別為A3、AC中點(diǎn),

DE//BC.

,：DE<Z平面PBC,BCu平面PBC,

DE//平面PBC.

（2）連結(jié)尸Q,

PA=PBf：.PD±AB,

'：DEHBCZBC±AB,DE±AB

又,：PDCDE=D,

：.AB，平面PDE,

,：PEc平面PDE,

：.AB_LPE

精品

(3),?,平面PA6_L平面ABC,平面PABCI平面ABC=A8,PO_LA民P。J.平面

ABC.

如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系

B(I,O,O),P(O,O,V3),E[O,1,O

PB=(l,0,-V3),PE=

設(shè)平面PBE的法向量I=(x,y,z).

x-V3z=0

令z=V3,

-1y-V3z=0

得〃]二(3,2,6).

???DE_L平面PAB,

???平面PAB的法向量為后=(0,1,0).

設(shè)二面角的A-PB-E大小為e,

.____\1c

由圖知，cos0-cos()=.L.,-I,=—，所以6=60,即」hi角的A—尸大小為

同咽2

60°...12分

考點(diǎn)：空間位置關(guān)系證明、空間向量的應(yīng)用.

7.(I)證明見解析；(H)

3

【解析】

精品

試題分析：(I)由圖1折起成圖2后，8，。0，/。_1_00,又。/+。672=6=/。2,所以4。_1_平面。比必

<11)分別為00,08,