第二十八章

圓28.2過三點的圓1課堂講解2課時流程逐點導講練課堂小結作業(yè)提升確定圓的條件三角形的外接圓

問題1：小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為配到與原來大小一樣的圓形玻璃，小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應該是哪一塊？

問題2：玻璃店里的師傅，要劃出一塊與原來大小一樣的圓形玻璃，他只要知道圓的什么就可以了？為什么？

問題3：如果店里師傅僅僅知道圓的半徑，他可以畫出多少個這樣的圓？為什么？1知識點確定圓的條件知1－導1.如圖，平面上有兩點A，B，過點A，B的圓有多少

個?這些圓的圓心到點A，B的距離具有怎樣的關系？

圓心是否在線段的垂直平分線上？知1－導2.如圖，平面上三點A，B，C不在一條直線上.過點A，B，C的圓是否存在？如果存在，這樣的圓有

多少個？你能確定經(jīng)過A，B，C三點的圓的圓心

及半徑嗎？說出你的想法并和同學進行交流.知1－導討論

當點A，B，C在同一條直線上時，過這三點的圓是否存在？

我們發(fā)現(xiàn)：過兩點A，B的圓也有無數(shù)個，這些圓的圓心都在線段AB的垂直平分線上.過不在同一條直線上三點A，B，C的圓有且只有一個，這個圓的圓心為線段AB，BC的垂直平分線的交點.過在同一條直線上三點的圓不存在.結論不在同一條直線上的三點確定一個圓.(1)經(jīng)過平面內(nèi)一點可以作無數(shù)個圓；圓心可以是這一點之外任何點．(2)經(jīng)過平面內(nèi)兩點可以作無數(shù)個圓；圓心在連接這兩點的線段的垂直平分線上．(3)經(jīng)過平面內(nèi)不在同一直線上的三點，可以作一個圓，并且只能作一個圓；圓心為連接其中任意兩點的線段的垂直平分線的交點．知1－講（來自《點撥》）下列關于確定一個圓的說法正確的是________．①已知圓心一定能確定一個圓；②以已知線段作為半徑一定能確定一個圓；③以已知線段作為直徑一定能確定一個圓；④經(jīng)過不在同一直線上的三個點一定能確定一個圓；⑤經(jīng)過菱形的四個頂點一定能確定一個圓．知1－講例1導引：“確定”的含義是“有且只有”，而且確定一個圓需

要兩個條件：圓心和半徑．①缺少半徑的長度；②缺少圓心的位置；⑤顯然錯．所以答案為③④.③④（來自《點撥》）總

結知1－講（來自《點撥》）

過平面內(nèi)任意四點不一定能作出一個圓．過四點作圓，應先過不在同一直線上的三點作圓，若第四個點到圓心的距離等于半徑，則第四個點在圓上，即過這四點可以作一個圓；否則不能．1下列說法中正確的是(

)A．兩個點確定一個圓B．三個點確定一個圓C．四個點確定一個圓D．不共線的三個點確定一個圓知1－練（來自《典中點》）當點A，B，C滿足下列條件時，總能確定一個

圓的是(

)A．AB＝1，BC＝4B．AB＝1，BC＝2，AC＝1C．AB＝

－1，BC＝2＋2，AC＝

＋3D．AB＝3，BC＝7，AC＝5知1－練（來自《典中點》）知1－講例2用尺規(guī)作過三角形三個頂點的圓.

已知：如圖，△ABC.

求作：⊙O，使它過三點A，B，C.作法：如圖.(1)分別作線段AB和BC的垂直平分線l1和l2.

設l1與l2相交于點O.(2)以點O為圓心，OA為半徑畫圓.⊙O即為所求.（來自《教材》）

本題運用分類討論思想解答，三點在和不在同一條直線上，所得結果不同．當三點在同一條直線上時，任意連兩條線段，并作它們的垂直平分線，這兩條垂直平分線是平行的，兩直線沒有交點，即無法確定圓心和半徑，所以此時無法作圓．結

論知1－講（來自《點撥》）1如圖，已知直線a和直線外的兩點A，B，經(jīng)過A，B作一圓，使它的圓心在直線a上．知1－練（來自《點撥》）知1－練

如圖，點A，B，C在同一條直線上，點D在直

線AB外，過這四點中的任意三個點，能畫圓的個數(shù)是(

)A．1

B．2C．3

D．4（來自《典中點》）2知識點三角形的外接圓知2－導

我們把經(jīng)過三角形三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓(circumcircle)，外接圓的圓心叫做三角形的外心(circumcenter).

(1)三角形的外心的位置：銳角三角形的外心在銳角三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心在直角三角形的斜邊的中點處，鈍角三角形的外心在鈍角三角形的外部．

(2)三角形外接圓的作法：①作三角形任意兩邊的垂直平分線，確定其交點；②以該交點為圓心，以交點到三個頂點中任意一點的距離為半徑作圓即可．

注意：一個三角形只有一個外接圓，而一個圓有無數(shù)個內(nèi)接三角形.知2－講（來自《點撥》）知2－講例3已知△ABC中，∠A︰∠B︰∠C＝1︰3︰5，則

這個三角形的外心在(

)A．三角形的內(nèi)部

B．三角形的外部C．三角形的邊上D．無法確定導引：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可知三個角的度數(shù)分別

是20°、60°和100°，所以這個三角形是鈍角三

角形，外心在三角形的外部.（來自《點撥》）B

要確定三角形的外心的位置，我們首先要確定三角形的形狀，由三角形的內(nèi)角和等于180°，可以求得∠C＝100°，故此三角形的外心在三角形的外部．結

論知2－講（來自《點撥》）知2－練1如圖所示，A，B，C分別表示三個村莊，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，為了豐富群眾生活，擬建一個文化活動中心，要求這三個村莊到活動中心的距離相等，則活動中心P的位置應在(

)A．邊AB的中點處B．邊BC的中點處C．邊AC的中點處D．∠C的平分線與邊AB的交點處

（來自《點撥》）知2－練2下列說法中，正確的是(

)A．三點確定一個圓B．圓有且只有一個內(nèi)接三角形C．三角形的外心到三角形三邊的距離相等D．三角形有且只有一個外接圓3下列說法中，真命題的個數(shù)是(

)①任何三角形有且只有一個外接圓；②任何圓有且只

有一個內(nèi)接三角形；③三角形的外心不一定在三角形

內(nèi)；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤經(jīng)

過三點確定一個圓．A．1B．2C．3D．4（來自《典中點》）1.三角形外心的性質(zhì)：三角形的外心是它的外接圓的圓

心，它是三角形三邊垂直平分線的交點，它到三角形

各個頂點的距離相等；銳角三角形的外心在三角