河南省許昌市建安區(qū)第三高中2025屆高三數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若滿足約束條件則的最大值為（）A．10 B．8 C．5 D．32．已知某超市2018年12個月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示：根據(jù)該折線圖可知，下列說法錯誤的是（）A．該超市2018年的12個月中的7月份的收益最高B．該超市2018年的12個月中的4月份的收益最低C．該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D．該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長了90萬元3．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，則下列結(jié)論正確的是（）A．﹣3∈AB．3BC．A∩B=BD．A∪B=B4．設函數(shù)，則，的大致圖象大致是的()A． B．C． D．5．在中，角的對邊分別為，，若，，且，則的面積為（）A． B． C． D．6．某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法中錯誤的是（）．A．收入最高值與收入最低值的比是B．結(jié)余最高的月份是月份C．與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同D．前個月的平均收入為萬元7．已知，，是平面內(nèi)三個單位向量，若，則的最小值（）A． B． C． D．58．若為虛數(shù)單位，則復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．已知數(shù)列的前項和為，且，，，則的通項公式（）A． B． C． D．10．設正項等比數(shù)列的前n項和為，若，，則公比（）A． B．4 C． D．211．定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，已知是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．以上情況均有可能12．已知實數(shù)滿足約束條件，則的最小值是A． B． C．1 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復數(shù)z1＝1﹣2i，z2＝a+2i（其中i是虛數(shù)單位，a∈R），若z1?z2是純虛數(shù)，則a的值為_____．14．直線是曲線的一條切線為自然對數(shù)的底數(shù))，則實數(shù)__________.15．已知多項式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，則a4＝________，a5＝________．16．若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知關(guān)于的不等式有解.（1）求實數(shù)的最大值；（2）若，，均為正實數(shù)，且滿足.證明：.18．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，且過點.求橢圓的方程；已知是橢圓的內(nèi)接三角形，①若點為橢圓的上頂點，原點為的垂心，求線段的長；②若原點為的重心，求原點到直線距離的最小值.19．（12分）已知函數(shù).（1）若曲線的切線方程為，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）如圖，在四邊形中，，，.（1）求的長；（2）若的面積為6，求的值.21．（12分）某動漫影視制作公司長期堅持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動漫題材，創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動漫影視作品，獲得市場和廣大觀眾的一致好評，同時也為公司贏得豐厚的利潤.該公司年至年的年利潤關(guān)于年份代號的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表（已知該公司的年利潤與年份代號線性相關(guān)）.年份年份代號年利潤（單位：億元）（Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程，并預測該公司年（年份代號記為）的年利潤；（Ⅱ）當統(tǒng)計表中某年年利潤的實際值大于由（Ⅰ）中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時，稱該年為級利潤年，否則稱為級利潤年.將（Ⅰ）中預測的該公司年的年利潤視作該年利潤的實際值，現(xiàn)從年至年這年中隨機抽取年，求恰有年為級利潤年的概率.參考公式：，.22．（10分）某大型公司為了切實保障員工的健康安全，貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求，決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次普查，為此需要抽驗1000人的血樣進行化驗，由于人數(shù)較多，檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.方案①：將每個人的血分別化驗，這時需要驗1000次.方案②：按個人一組進行隨機分組，把從每組個人抽來的血混合在一起進行檢驗，如果每個人的血均為陰性，則驗出的結(jié)果呈陰性，這個人的血只需檢驗一次（這時認為每個人的血化驗次）；否則，若呈陽性，則需對這個人的血樣再分別進行一次化驗，這樣，該組個人的血總共需要化驗次.假設此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為，且這些人之間的試驗反應相互獨立.（1）設方案②中，某組個人的每個人的血化驗次數(shù)為，求的分布列；（2）設，試比較方案②中，分別取2，3，4時，各需化驗的平均總次數(shù)；并指出在這三種分組情況下，相比方案①，化驗次數(shù)最多可以平均減少多少次？（最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

畫出可行域,將化為,通過平移即可判斷出最優(yōu)解,代入到目標函數(shù),即可求出最值.【詳解】解:由約束條件作出可行域如圖,化目標函數(shù)為直線方程的斜截式,.由圖可知當直線過時,直線在軸上的截距最大,有最大值為3.故選:D.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題.一般第一步畫出可行域,然后將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式,在可行域內(nèi)通過平移找到最優(yōu)解,將最優(yōu)解帶回到目標函數(shù)即可求出最值.注意畫可行域時,邊界線的虛實問題.2、D【解析】

用收入減去支出，求得每月收益，然后對選項逐一分析，由此判斷出說法錯誤的選項.【詳解】用收入減去支出，求得每月收益（萬元），如下表所示：月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高，A選項說法正確；月收益最低，B選項說法正確；月總收益萬元，月總收益萬元，所以前個月收益低于后六個月收益，C選項說法正確，后個月收益比前個月收益增長萬元，所以D選項說法錯誤.故選D.【點睛】本小題主要考查圖表分析，考查收益的計算方法，屬于基礎題.3、C【解析】試題分析：集合考點：集合間的關(guān)系4、B【解析】

采用排除法：通過判斷函數(shù)的奇偶性排除選項A；通過判斷特殊點的函數(shù)值符號排除選項D和選項C即可求解.【詳解】對于選項A:由題意知,函數(shù)的定義域為，其關(guān)于原點對稱，因為,所以函數(shù)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱，故選A排除；對于選項D:因為,故選項D排除;對于選項C:因為,故選項C排除;故選:B【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和特殊點函數(shù)值符號判斷函數(shù)圖象;考查運算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點并判斷其函數(shù)值符號是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.5、C【解析】

由，可得，化簡利用余弦定理可得，解得．即可得出三角形面積．【詳解】解：，，且，，化為：．，解得．．故選：．【點睛】本題考查了向量共線定理、余弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．6、D【解析】由圖可知，收入最高值為萬元，收入最低值為萬元，其比是，故項正確；結(jié)余最高為月份，為，故項正確；至月份的收入的變化率為至月份的收入的變化率相同，故項正確；前個月的平均收入為萬元，故項錯誤．綜上，故選．7、A【解析】

由于，且為單位向量，所以可令，，再設出單位向量的坐標，再將坐標代入中，利用兩點間的距離的幾何意義可求出結(jié)果．【詳解】解：設，，，則，從而，等號可取到．故選：A【點睛】此題考查的是平面向量的坐標、模的運算，利用整體代換，再結(jié)合距離公式求解，屬于難題．8、B【解析】

由共軛復數(shù)的定義得到，通過三角函數(shù)值的正負，以及復數(shù)的幾何意義即得解【詳解】由題意得，因為，，所以在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限．故選：B【點睛】本題考查了共軛復數(shù)的概念及復數(shù)的幾何意義，考查了學生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.9、C【解析】

利用證得數(shù)列為常數(shù)列，并由此求得的通項公式.【詳解】由，得，可得（）.相減得，則（），又由，，得，所以，所以為常數(shù)列，所以，故.故選：C【點睛】本小題考查數(shù)列的通項與前項和的關(guān)系等基礎知識；考查運算求解能力，邏輯推理能力，應用意識.10、D【解析】

由得，又，兩式相除即可解出．【詳解】解：由得，又，∴，∴，或，又正項等比數(shù)列得，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應用，屬于基礎題．11、B【解析】

由已知可求得函數(shù)的周期，根據(jù)周期及偶函數(shù)的對稱性可求在上的單調(diào)性，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可比較．【詳解】由可得，即函數(shù)的周期，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知，在上單調(diào)遞增，因為，是銳角三角形的兩個內(nèi)角，所以且即，所以即，．故選：．【點睛】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．12、B【解析】

作出該不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖中陰影部分所示，設，則，易知當直線經(jīng)過點時，z取得最小值，由，解得，所以，所以，故選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1【解析】

由題意，令即可得解.【詳解】∵z1＝1﹣2i，z2＝a+2i，∴，又z1?z2是純虛數(shù)，∴，解得：a＝﹣1．故答案為：﹣1．【點睛】本題考查了復數(shù)的概念和運算，屬于基礎題.14、【解析】

根據(jù)切線的斜率為，利用導數(shù)列方程，由此求得切點的坐標，進而求得切線方程，通過對比系數(shù)求得的值.【詳解】，則，所以切點為，故切線為，即，故.故答案為：【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求解曲線的切線方程有關(guān)問題，屬于基礎題.15、164【解析】

只需令x＝0，易得a5，再由(x＋1)3(x＋2)2＝(x＋1)5＋2(x＋1)4＋(x＋1)3，可得a4＝＋2＋.【詳解】令x＝0，得a5＝(0＋1)3(0＋2)2＝4，而(x＋1)3(x＋2)2＝(x＋1)3[(x＋1)2＋2(x＋1)＋1]＝(x＋1)5＋2(x＋1)4＋(x＋1)3；則a4＝＋2＋＝5＋8＋3＝16.故答案為：16,4.【點睛】本題主要考查了多項式展開中的特定項的求解，可以用賦值法也可以用二項展開的通項公式求解，屬于中檔題.16、3【解析】

作出可行域,可得當直線經(jīng)過點時,取得最大值,求解即可.【詳解】作出可行域（如下圖陰影部分）,聯(lián)立,可求得點,當直線經(jīng)過點時,.故答案為:3.【點睛】本題考查線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解析】

（1）由題意，只需找到的最大值即可；（2），構(gòu)造并利用基本不等式可得，即.【詳解】（1），∴的最大值為4.關(guān)于的不等式有解等價于，（?。┊敃r，上述不等式轉(zhuǎn)化為，解得，（ⅱ）當時，上述不等式轉(zhuǎn)化為，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為，則實數(shù)的最大值為3，即.（2）證明：根據(jù)（1）求解知，所以，又∵，，，，，當且僅當時，等號成立，即，∴，所以，.【點睛】本題考查絕對值不等式中的能成立問題以及綜合法證明不等式問題，是一道中檔題.18、；①；②.【解析】

根據(jù)題意列出方程組求解即可；①由原點為的垂心可得，軸，設，則，，根據(jù)求出線段的長；②設中點為，直線與橢圓交于，兩點，為的重心，則，設：，，，則，當斜率不存在時，則到直線的距離為1，，由，則，，，得出，根據(jù)求解即可.【詳解】解：設焦距為，由題意知：，因此，橢圓的方程為：；①由題意知：，故軸，設，則，，，解得：或，，不重合，故，，故；②設中點為，直線與橢圓交于，兩點，為的重心，則，當斜率不存在時，則到直線的距離為1；設：，，，則，，則，則：，，代入式子得：，設到直線的距離為，則時，；綜上，原點到直線距離的最小值為.【點睛】本題考查橢圓的方程的知識點，結(jié)合運用向量，韋達定理和點到直線的距離的知識，屬于難題.19、（1）；（2）或【解析】

（1）根據(jù)解析式求得導函數(shù)，設切點坐標為，結(jié)合導數(shù)的幾何意義可得方程，構(gòu)造函數(shù)，并求得，由導函數(shù)求得有最小值，進而可知由唯一零點，即可代入求得的值；（2）將解析式代入，結(jié)合零點定義化簡并分離參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可知直線與曲線有兩個交點；求得并令求得極值點，列出表格判斷的單調(diào)性與極值，即可確定與有兩個交點時的取值范圍.【詳解】（1）依題意，，，設切點為，，故，故，則；令，，故當時，，當時，，故當時，函數(shù)有最小值，由于，故有唯一實數(shù)根0，即，則；（2）由，得.所以“在區(qū)間上有兩個零點”等價于“直線與曲線在有兩個交點”；由于.由，解得，.當變化時，與的變化情況如下表所示：30+0極小值極大值所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又因為，，，，故當或時，直線與曲線在上有兩個交點，即當或時，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義應用，由切線方程求參數(shù)值，構(gòu)造函數(shù)法求參數(shù)的取值范圍，函數(shù)零點的意義及綜合應用，屬于難題.20、(1)(2)【解析】

（1）利用余弦定理可得的長；（2）利用面積得出，結(jié)合正弦定理可得.【詳解】解：（1）由題可知.在中，，所以.（2），則.又，所以.【點睛】本題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知角較多時一般選用正弦定理，已知邊較多時一般選用余弦定理.21、（Ⅰ），該公司年年利潤的預測值為億元；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）求出和的值，將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求得和的值，進而可求得關(guān)于的線性回歸方程，然后將代入回歸直線方程，可得出該公司年年利潤的估計值；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸直線方程計算出從年