PAGE廣東省深圳市羅湖區(qū)2025屆高三數(shù)學上學期期末質量檢測試題理（含解析）本試卷共4頁，23小題，滿分150分.考試用時120分鐘.留意事項：1.答卷前，考生務必將自己的學校、班級和姓名填寫在答題卡上.2.作答選擇題時，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.3.非選擇題的答案必需用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必需寫在答題卡各題目的指定區(qū)域內相應位置上，不準運用鉛筆和涂改液.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將答案涂在答題卡上.1.設復數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先將整理為的形式,進而求解即可【詳解】由題,,所以,故選:D【點睛】本題考查復數(shù)的模,考查復數(shù)的除法法則的應用2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式可得,,再由交集的定義求解即可【詳解】由題,則,,所以,故選:B【點睛】本題考查集合的交集運算,考查解一元二次不等式,考查解指數(shù)不等式3.已知平面對量，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對平方處理,進而求解即可【詳解】由題,,所以,故選:A【點睛】本題考查向量的模,屬于基礎題4.為了探討不同性別在處理多任務時的表現(xiàn)差異，召集了男女志愿者各200名，要求他們同時完成多個任務，包括解題、讀地圖、接電話.下圖表示了志愿者完成任務所需的時間分布.以下結論，對志愿者完成任務所需的時間分布圖表理解正確的是（）①總體看女性處理多任務平均用時更短；②全部女性處理多任務的實力都要優(yōu)于男性；③男性的時間分布更接近正態(tài)分布；④女性處理多任務的用時為正數(shù)，男性處理多任務的用時為負數(shù).A.①④ B.②③ C.①③ D.②④【答案】C【解析】【分析】圖像為對志愿者完成任務所需的時間分布圖表,利用圖像依次分析即可【詳解】由圖,女性處理多任務用時主要集中在2到3分鐘,男性處理多任務用時主要集中在3到4分鐘,故總體來看女性處理多任務用時更短,故①正確；女性中也有處理多任務用時在5分鐘的,并不是全部女性處理多任務實力都要優(yōu)于男性,故②錯誤；從圖像上來看男性的時間分布更接近正態(tài)分布,故③正確；男性、女性處理多任務的用時均為正數(shù),故④錯誤；綜上,①③正確,故選:C【點睛】本題考查統(tǒng)計數(shù)據(jù)反饋的信息,考查閱讀理解實力5.已知為等差數(shù)列的前項和，若，，則（）A.6 B.15 C.16 D.18【答案】C【解析】【分析】由等差數(shù)列可得,可解得,,進而求解即可【詳解】因為是等差數(shù)列,所以,解得,所以,故選:C【點睛】本題考查求等差數(shù)列的項,考查等差數(shù)列的通項公式和前項和公式的應用6.中國古代的五音，一般指五聲音階，依次為：宮、商、角、徵、羽；假如把這五個音階全用上，排成一個5個音階的音序.且要求宮，羽兩音階在角音階的同側，可排成多少種這樣的不同音序（）A.120 B.90 C.80 D.60【答案】C【解析】【分析】探討“角”的位置,分別是“角”在兩端,“角”在其次或第四個位置,“角”在第三個位置的狀況,進而求解即可【詳解】若“角”在兩端,則“宮,羽”肯定在“角”的同側,此時有種；若“角”在其次或第四個位置,則有種；若“角”在第三個位置,則有種,故共有種,故選:C【點睛】本題考查元素有限制的排列問題,考查分類探討思想7.已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當時，.函數(shù)，若存在3個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將有3個零點問題轉化為與有3個交點問題,畫出的圖像,進而由圖像得到的范圍【詳解】由題,因為是定義域為的奇函數(shù),則圖像關于原點對稱,若存在3個零點,則與有三個交點,的圖像如圖所示,當時,在單調遞增,在上單調遞減,所以當時,,所以,由圖,當時與有三個交點,故選:A【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應用,考查由函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)范圍,考查數(shù)形結合思想8.已知，，（其中是自然對數(shù)的底），則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由,則,,再由,即可得到答案【詳解】由題,,,,因為,所以,,又,所以,故選:B【點睛】本題考查對數(shù)的運算法則的應用,考查對數(shù)的比較大小,屬于基礎題9.執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的值為（）A.90 B.384 C.474 D.488【答案】C【解析】【分析】按程序框圖要求一步一步運算,直至不滿意的狀況,此時輸出【詳解】,不是偶數(shù),則；,是偶數(shù),則；,不是偶數(shù),則；,是偶數(shù),則；,不是偶數(shù),則；,是偶數(shù),則；,此時輸出,故,故選:C【點睛】本題考查依據(jù)程序框圖計算輸出結果,考查運算實力10.設函數(shù)，已知在有且僅有2個微小值點，下述選項錯誤的是（）A.的取值范圍是 B.在單調遞增C.在單調遞減 D.在至多有2個極大值點【答案】B【解析】【分析】由在有且僅有2個微小值點可得,即,即可求得范圍,且在單調遞減,在單調遞增,進而推斷選項即可【詳解】由題,因為在有且僅有2個微小值點,所以,即,因為,所以,故A正確；因為,所以,因為在單調遞增,只有當時在單調遞增才成立,故B錯誤；因為在單調遞減,所以在上單調遞減,故C正確；因為,兩端點取不到,且,所以在至多有2個極大值點,故D正確；故選:B【點睛】本題考查余弦型函數(shù)的單調性,考查余弦型函數(shù)的周期性的應用11.已知雙曲線：的左，右焦點分別為、，以為直徑的圓與的一條漸近線交于點，，則該雙曲線的離心率為（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】以為直徑的圓與的一條漸近線交于點,則,可得,又有,則,則可得一條漸近線方程為,進而求解即可【詳解】由題,以為直徑的圓與的一條漸近線交于點,則,因為,所以,,設原點為,因為為的中點,所以在中,,所以,所以一條漸近線方程為,即,所以,故選:A【點睛】本題考查雙曲線的離心率,考查數(shù)形結合思想12.已知三棱錐的底面是正三角形，，點在側面內的射影是的垂心，當三棱錐體積最大值時，三棱錐的外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設點是點在底面的射影,先分析可得是底面的垂心,也是外心,則,則當相互垂直時體積最大,再求得外接球的體積即可【詳解】設點為的中點,則,因為點在側面內的射影是的垂心,所以,,設點是點在底面的射影,則平面,所以肯定在上,因為,,所以,所以是底面的垂心,也是外心,所以,則當相互垂直時體積最大,設球的半徑為,則,所以,所以球的體積為故選:D【點睛】本題考查棱錐的外接球體積,考查空間想象實力二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則曲線在點處的切線方程是______.【答案】【解析】【分析】先求導,將代入得到,即為曲線在點處的切線方程的斜率,再求得,進而求解即可【詳解】由題,,所以,,則在點處的切線方程為,即,故答案為:【點睛】本題考查曲線在一點處的切線方程,考查導函數(shù)的幾何意義的應用14.某大型工程遇到一個技術難題，工程總部將這個問題分別讓甲探討所和乙探討所進行獨立探討，已知甲探討所獨立探討并解決這個問題的概率為0.6，乙探討所獨立探討并解決這個問題的概率為0.7，這個技術難題最終能被解決的概率為______.【答案】0.88【解析】【分析】先求得這個技術難題最終不能被解決的概率,再由對立事務求解即可【詳解】設事務為“這個技術難題最終能被解決”,所以,所以,故答案為:0.88【點睛】本題考查獨立事務的概率公式的應用,考查利用對立事務求概率15.已知直線：經過拋物線：的焦點，且與交于、兩點，與的準線交于點，若，則______，______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】將代入直線的方程中即可求得焦點,進而求得；由可知點為線段的中點,進而求解即可【詳解】因為直線為,所以當時,,所以焦點,所以,即拋物線為,則準線為,設點,,因為,所以點為線段的中點,所以,解得,因為點在拋物線上,所以,解得或,因為,所以點在第一象限,所以為,所以,故答案為:；【點睛】本題考查拋物線方程,考查直線與拋物線的位置關系的應用,考查斜率公式的應用16.如圖，平面四邊形中的面積是面積的兩倍，數(shù)列滿意，，當時，恒有，則數(shù)列的前6項和為______.【答案】1818【解析】【分析】連接、,交于點,作,垂足為,,垂足為,由的面積是面積的兩倍可得,則,可設,則,,即,整理可得,則數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,再利用累加法可得數(shù)列的通項公式,進而求解即可【詳解】連接、,交于點,作,垂足為,,垂足為,如圖所示,所以∽,則,因為的面積是面積的兩倍,所以,所以,明顯、、三點共線,設,所以,則,,所以,則,當時,,所以數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,則,所以,…,,由累加法可得,所以,設數(shù)列的前項和為,所以所以當時,,故答案為:1818【點睛】本題考查平面對量分解定理的應用,考查累加法求通項公式,考查等比數(shù)列的前項和公式的應用,考查運算實力三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題，共60分17.在中，角，，的對應邊分別為，，，已知，且.（1）求；（2）若的面積為2，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得,分別探討和的狀況,進而求解即可；（2）由（1）可得,,依據(jù)三角形面積公式可得,再利用正弦定理可得,進而求解即可【詳解】解：（1）,∴,由余弦定理得,因為,,所以或,①當時,則,,這與“”沖突,∴；②當時,,∴,∴（2）由（1）,,,的面積,所以,由正弦定理,則,,所以,所以,則【點睛】本題考查余弦定理的應用,考查三角形面積公式的應用,考查利用正弦定理解三角形18.如圖，在矩形中，，為邊的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且使平面平面.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由,可得,利用平面平面,可得平面,則,由折疊知,進而得證；（2）以的中點為坐標原點,以的方向為軸正方向,過點分別做和的平行線,分別為軸和軸,建立如圖所示空間直角坐標系,分別求得平面的法向量和平面的法向量,進而利用數(shù)量積求解即可【詳解】（1）證明:由題意,又,所以,又平面平面,且平面平面,所以平面,故,又,且,所以平面（2）以的中點為坐標原點,以的方向為軸正方向,過點分別做和的平行線,分別為軸和軸,建立如圖所示空間直角坐標系,則,,,,設為平面的法向量,則有則,即,可取,設為平面的法向量,則有則,即,可取,所以,則二面角余弦值為【點睛】本題考查線面垂直的證明,考查空間向量法求二面角,考查運算實力19.已知橢圓：，若，離心率為.（1）求的方程；（2）斜率為的直線與橢圓交于，兩點，以線段為直徑的圓過點，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由題可得,進而求解即可；（2）設直線為,聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程,由韋達定理可得的關系,由以線段為直徑的圓過點,則,進而代入求解即可【詳解】解:（1）由題意,解得,,所以橢圓的方程（2）設直線的方程設為,設,,聯(lián)立消去得,則有,,且,解得,又,,所以,,由為直徑的圓過點,得,所以,得,所以,則,解得,,又,所以直線的方程為或【點睛】本題考查橢圓的方程,考查直線與橢圓的位置關系的應用,考查運算實力20.已知函數(shù)，，，是函數(shù)的導函數(shù).（1）當時，證明：函數(shù)在區(qū)間沒有零點；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）當時,,由可得,且,,,即可得時,,即可得到恒成立,進而證明；（2）,則在上恒成立,設,,則,,可得,對求導,由導函數(shù)的單調性進而推斷的單調性,從而求解即可【詳解】（1）證明：若,則,,又,,故,所以,又,,,當時,,所以恒成立,所以當時,函數(shù)在區(qū)間沒有零點.（2）解:,,故在上恒成立,設,,所以,,即,因為,由,得,所以在區(qū)間上單調遞減,所以；在區(qū)間上單調遞增,,又,所以,,,故在區(qū)間上存在唯一零點區(qū)間,由的單調性可知,在區(qū)間上,單調遞減；在區(qū)間上,單調遞增,,故【點睛】本題考查函數(shù)的零點的分布問題,考查利用導函數(shù)探討函數(shù)的單調性,考查利用導函數(shù)處理恒成立問題,考查運算實力21.某房產中介統(tǒng)計了深圳市某高檔小區(qū)從2024年12月至2024年11月當月在售二手房均價（單位：萬元/平方米）的散點圖，如下圖所示，圖中月份代碼1至12分別對應2024年12月至2024年11月的相應月份.依據(jù)散點圖選擇和兩個模型進行擬合，依據(jù)數(shù)據(jù)處理得到兩個回來方程分別為和，并得到以下一些統(tǒng)計量的值：殘差平方和0.01485570.0048781總偏差平方和0.069193（1）請利用相關指數(shù)推斷哪個模型的擬合效果更好；（2）某位購房者擬于2024年5月份購買深圳市福田區(qū)平方米的二手房（欲購房為其家庭首套房）.若該小區(qū)全部住房的房產證均已滿3年，請你利用（1）中擬合效果更好的模型解決以下問題：（i）估算該購房者應支付的購房金額.（購房金額＝房款＋稅費；房屋均價精確到0.01萬元/平方米）（ii）若該購房者擬用不超過760萬元的資金購買該小區(qū)一套二手房，試估算其可購買的最大面積（精確到1平方米）附注：依據(jù)有關規(guī)定，二手房交易須要繳納若干項稅費，稅費是依據(jù)房屋的計稅價格進行征收.（計稅價格＝房款）征收方式見下表：購買首套房面積（平方米）契稅（買方繳納）的稅率參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，參考公式：相關指數(shù).【答案】（1）模型的擬合效果更好；詳見解析（2）（i）答案不唯一，詳細見解析（ii）104平方米【解析】【分析】（1）依據(jù)表格,將數(shù)據(jù)代入相關指數(shù)的公式中,相關指數(shù)越大,擬合效果越好,即可得到結果；（2）（i）由題可得2024年5月份的對應月份代碼為18,代入模型中求得二手房均價,進而依據(jù)不同的房屋面積對房款和稅費求解即可；（ii）設該購房者可購買該小區(qū)二手房的最大面積為平方米,先由金額預估其面積的大致范圍,進而求解即可【詳解】解：（1）設模型和的相關指數(shù)分別是和，則,,因為,所以，所以模型的擬合效果更好（2）2024年5月份的對應月份代碼為18,由（1）知,模型的擬合效果更好,利用該模型預料可得,這個小區(qū)2024年5月份的在售二手房均價為萬元/平方米,（i）設該購房者應支付購房金額為萬元,因為稅費中買方只需繳納契稅,所以①當時,契稅為計稅價格的,故,②當時,契稅為計稅價格的,故,③當時,契稅為計稅價格的,故,故,所以當時,購房金額為萬元；當時,購房金額為萬元；當時,購房金額為萬元（ii）設該購房者可購買該小區(qū)二手房的最大面積為平方米,由（i）知,當時,應支付的