第五章一元一次方程5．4一元一次方程的應(yīng)用第5課時

1．會列一元一次方程解幾何問題，體會用圖形的性質(zhì)及其幾何量之間的關(guān)系列方程的方法．2．經(jīng)歷列一元一次方程解決幾何問題的過程，體會幾何與代數(shù)之間的關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合的思想方法．◎重點：列一元一次方程解決幾何問題．◎難點：由幾何圖形的性質(zhì)及幾何量之間的關(guān)系尋找等量關(guān)系．

1．長為a，寬為b的長方形的周長為

2（a＋b）

，面積為

ab

．

2（a＋b）ab2．如果兩個角的和等于

90°

，那么這兩個角互余；如果兩個角的和等于

180°

，那么這兩個角互補．

·導(dǎo)學(xué)建議·因為本課時要用到一些幾何圖形的性質(zhì)，因此，在學(xué)習(xí)新課前復(fù)習(xí)一些有關(guān)的知識顯得尤為必要．90°180°閱讀課本“例5”及其后面的內(nèi)容，體會如何列一元一次方程解幾何問題．

2t6－t6－t

＝2t2

3

列一元一次方程解幾何問題

At6－2t

1.5對于“例5”，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會：對幾何圖形上的動點問題，滲透運動變化思想，動點使得幾何圖形上的線段成為變量，將這些變化的量用代數(shù)式表示出來，即可得到方程．歸納總結(jié)：在幾何圖形中，常根據(jù)幾何圖形中

幾何量

之間的等量關(guān)系列方程，用代數(shù)式表示幾何圖形中

線段的長或角的度數(shù)等

是解題的關(guān)鍵．

幾何量線段的長或角的度數(shù)等·導(dǎo)學(xué)建議·

如圖，在長方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，動點P、Q分別從點A、B同時出發(fā)，點P以3cm/s的速度沿AB、BC向點C運動，點Q以1cm/s的速度沿BC向點C運動，當(dāng)P、Q其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．設(shè)P、Q運動的時間是ts．當(dāng)點P與點Q重合時t的值是（

C

）CA．B．4C．5D．6·導(dǎo)學(xué)建議·列方程解幾何問題，關(guān)鍵是從圖形中得到數(shù)量關(guān)系，用代數(shù)式表示后列出方程．預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)部分建議教師用15分鐘左右的時間完成．

列一元一次方程解動點問題1．如圖，兩人沿著邊長為80米的正方形，按A?B?C?D?A…的方向行走．甲從A點以每分鐘60米的速度，同時乙從B點以每分鐘100米的速度行走，當(dāng)乙第一次追上甲時，將在正方形（

B

）A．DA邊上B．AB邊上C．BC邊上D．CD邊上B

你能求出乙第一次追上甲所行走的路程是多少嗎？解：設(shè)乙第一次追上甲時，所用的時間為x分鐘．依題意得100x＝60x＋3×80，解得x＝6（分鐘）．所以乙第一次追上甲時所行走的路程為6×100＝600

米．2．動點A從原點出發(fā)向數(shù)軸的負方向運動，同時，動點B也從原點出發(fā)向數(shù)軸的正方向運動，3秒后，兩點相距15個單位長度．已知動點A、B的速度之比是1∶4（速度單位：單位長度/秒）．（1）分別求出兩個動點運動的速度，并在數(shù)軸上標(biāo)出A、B兩點從原點出發(fā)運動3秒時的位置；

（2）若A、B兩點從（1）中的位置同時向數(shù)軸的負方向運動，幾秒時，原點恰好處在兩個動點的正中間？

解：（1）設(shè)動點A的速度為x個單位長度/秒，則動點B的速度為4x個單位長度/秒．根據(jù)題意得3x＋12x＝15，解得x＝1．故A點運動的速度是1個單位長度/秒，B點運動的速度是4個單位長度/秒．點A表示的數(shù)是－3，點B表示的數(shù)是12，A、B兩點運動3秒時的位置如下圖．

（2）是否存在某一時間，使PQ＝18cm？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

（1）求點Q的運動速度．（2）因為點P從點A出發(fā)以每秒1

cm的速度，沿A→C→D→B→D運動，P點運動到終點D后停止運動，AB＝30

cm，BD＝5

cm，所以點P運動30秒到達點B，點P的運動時間是35秒．因為點Q從點B出發(fā)，運動速度是每秒2

cm，沿B→D→C→A→C運動，Q點運動到終點C后停止運動，AB＝30

cm，AC＝10

cm，所以點Q運動15秒到達點A，點Q的運動時間是20秒．因為P、Q兩點在線段AB上相遇的時間是30÷（1＋2）＝10（秒），所以當(dāng)PQ＝18

cm時，分五種情況進行討論．①當(dāng)0≤t≤10時，（1＋2）t＝30－18，解得t＝4（秒）；②當(dāng)10＜t≤15時，（1＋2）t＝30＋18，解得t＝16（不合題意舍去）；③當(dāng)15＜t≤20時，2t＋18＋（30－t）＝60，解得t＝12（秒）（不合題意舍去）；④當(dāng)20＜t≤30時，t－10＝18，解得t＝28（秒）；⑤當(dāng)30＜t≤35時，t－30＋18＋10＝30，解得t＝32（秒）．答：存在某一時間t，能夠使PQ＝18

cm，此時t的值為4秒或28秒或32秒．

列一元一次方程解角度問題

4．在三角形ABC中，∠A－∠B＝30°，∠C＝4∠B．求∠A、∠B、∠C的度數(shù)．解：設(shè)∠B＝x°，則∠A＝30°＋x°，∠C＝4x°．則有30＋x＋x＋4x＝180，解得x＝25，所以30＋x＝55，4x＝100．答：∠A＝55°，∠B＝25°，∠C＝100°．【方法歸納交流】在解決三角形內(nèi)角的有關(guān)問題時，常根據(jù)

三角形的內(nèi)角和等于180°

列方程求解．

三角形的內(nèi)角和等于180°

鐘面上顯示的時間是12時整，時針和分針在同一條直線上，再過幾分鐘鐘面上再次出現(xiàn)時針和分針在同一條直線的現(xiàn)象？此時它們的旋轉(zhuǎn)角分別是多少？

列一元一次方程解面積問題

去分母得3x＋18＝5x，解：設(shè)小正方形的面積為x平方厘米，則大正方形的面積為（x＋6）平方厘米．解得x＝9，可得x＋6＝9＋6＝15（平方厘米）．答：大正方形的面積為15平方厘米．根據(jù)幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系列方程，關(guān)鍵是尋找圖形中包含的等量關(guān)系，將該等量關(guān)系用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，即得到方程．合作探究部分建議用20分鐘左右的時間完成，備選問題根據(jù)學(xué)情選用．·導(dǎo)學(xué)建議·一、作業(yè)目標(biāo)1．進一步理解一元一次方程的定義、等式的性質(zhì)，具備熟練解一元一次方程的技能．2．建立方程模型，解決實際問題，滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想．《一元一次方程》實踐作業(yè)二、作業(yè)內(nèi)容

A．2個B．3個C．4個D．5個2關(guān)于x的方程3x－8＝x的解為x＝

4

．

A4

14解方程：（1）3（y＋1）＝2y－1；

解：（1）3（y＋1）＝2y－1，去括號，得3y＋3＝2y－1，移項，得3y－2y＝－1－3，合并同類項，得y＝－4．

5方程（a＋2）x2＋5xm－3－2＝3是一元一次方程，則a和m的值分別為（

B

）A．2和4B．－2和4C．2和－4D．－2和－46若x＝1是方程2ax－3bx＝10的解，則3b－2a的值為

－10

．

B－107用“●”“■”“▲”分別表示三種不同的物體，如圖，前兩架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，那么“？”處應(yīng)放“■”

5

個．

58某校七年級準(zhǔn)備觀看電影《長津湖》，由各班班長負責(zé)買票，每班人數(shù)都多于40人，票價每張25元，一班班長問售票員買團體票是否可以優(yōu)惠，售票員說，40人以上的團體票有兩種優(yōu)惠方案可選擇：方案一：全體人員可打8折；方案二：若打9折，有6人可以免票．（2）二班班長思考一會兒說，我們班無論選擇哪種方案要付的錢都是一樣的．你知道二班有多少人嗎？解：（1）方案一：25×0．8×50＝1000（元），方案二：25×0．9×（50－6）＝990（元）．∵1000（元）＞990（元），∴一班班長選擇方案二．（1）若一班有50名學(xué)生，則班長該選擇哪個方案？（2）設(shè)二班有x人，根據(jù)題意得25×0.8x＝25×0.9（x－6），解得x＝54．答：二班有54人．

9我們規(guī)定：若關(guān)于x的一元一次方程ax＝b的解為b＋a，則稱該方程為“