2022年新高考北京數(shù)學高考真題變式題16-18題原題161．在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．變式題1基礎2．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求B；(2)若，△ABC的面積為，求△ABC的周長.變式題2基礎3．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)若，的面積為，求的周長．變式題3基礎4．在中，角的對邊分別為，.(1)求角；(2)若，面積，求△的周長.變式題4基礎5．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的值；(2)若2a+b=6，且的面積為，求的周長.變式題5鞏固6．已知的內角、、的對邊分別為、、，且.(1)求角的大小；(2)若，且，求的周長.變式題6鞏固7．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量，，且(1)求A；(2)若，的面積為，求的周長．變式題7鞏固8．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.(1)求B；(2)若，面積為，求周長.變式題8鞏固9．在中，內角、、的對邊分別為、、，且.(1)求角的大??；(2)若，且的面積為，求的周長.變式題9提升10．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，．(1)求A；(2)若點D在BC邊上，AD平分BAC，且，求的周長．變式題10提升11．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求角A的大小；(2)若AD為的平分線，且，，求的周長.變式題11提升12．在中，角A，，的對邊分別是，，，且向量和向量互相垂直．(1)求角的大小；(2)若外接圓的半徑是1，面積是，求的周長．變式題12提升13．在中，(1)求角A的大小(2)若BC邊上的中線，且，求的周長原題1714．如圖，在三棱柱中，側面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點．(1)求證：平面；(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．變式題1基礎15．如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為的正方形，.再從條件①：、條件②：、條件③：平面平面、中選擇兩個能解決下面問題的條件作為已知，并作答.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.變式題2基礎16．如圖，四棱錐中，平面，四邊形是矩形，點，分別是，的中點，若，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.變式題3基礎17．如圖，在四棱錐中，，，平面ABCD，，M為PC的中點.(1)求證：平面PAD；(2)設點N在平面PAD內，且平面PBD，求直線BN與平面ABCD所成角的正弦值.變式題4鞏固18．在①平面平面，②，③平面這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中并作答.如圖，在四棱錐中，底面是梯形，點在上，，，，，且______.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.變式題5鞏固19．如圖，在四棱錐中，平面，，，，為中點，___.(1)求證：四邊形是直角梯形；(2)并求直線與平面所成角的正弦值.從①；②平面這兩個條件中選一個，補充在上面問題中，并完成解答.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.變式題6鞏固20．如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為4的菱形，，點為棱上動點（不與，重合），平面與棱交于點.(1)求證：；(2)若，從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個條件作為已知，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：平面平面；條件②：；條件③：.變式題7鞏固21．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，丄平面，且，，點是的中點.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.變式題8鞏固22．如圖，在直三棱柱中，D，E分別是棱AB，的中點，，．(1)求證：平面；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得各條件相融．并求直線與平面所成的角的正弦值．條件①：；條件②：；條件③：到平面的距離為1．變式題9鞏固23．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點，分別為棱，的中點．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．變式題10提升24．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面，為的中點.（1）證明:平面;（2）在①，②這兩個條件中任一個，補充在下面的橫線上，并作答.若________，求與平面所成的角.注:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.變式題11提升25．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，E為PB的中點，______．從①；②平面PAD這兩個條件中選一個，補充在上面問題的橫線中，并完成解答．注：如果選擇多個條件分別解答按第一個解答計分．(1)求證：四邊形ABCD是直角梯形．(2)求直線AE與平面PCD所成角的正弦值．(3)在棱PB上是否存在一點F，使得平面PCD？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．變式題12提升26．如圖，在四棱錐中，已知底面為直角梯形，，，，平面平面，，.(1)從下列條件①?條件②中再選擇一個作為已知條件，求證：平面PAB；條件①：E，F(xiàn)分別為棱PD，BC的中點；條件②：E，F(xiàn)分別為棱PC，AD的中點.(2)若點M在棱PD（含端點）上運動，當為何值時，直線CM與平面PAD所成角的正弦值為.變式題13提升27．已知底面為菱形的四棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，平面平面ABCD，E，F(xiàn)分別是棱PC，AB上的點.(1)從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另一個成立；①F是AB的中點；②E是PC的中點；③平面PFD.(2)若.求PB與平面PDC所成角的正弦值.原題1828．在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優(yōu)秀獎．為預測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總人數(shù)，估計X的數(shù)學期望E（X）；(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）變式題1基礎29．某地區(qū)為了實現(xiàn)產業(yè)的轉型發(fā)展，利用當?shù)芈糜钨Y源豐富多樣的特點，決定大力發(fā)展旅游產業(yè)，一方面對現(xiàn)有旅游資源進行升級改造，另一方面不斷提高旅游服務水平．為此該地區(qū)旅游部門，對所推出的報團游和自助游項目進行了深入調查，如表是該部門從去年某月到該地區(qū)旅游的游客中，隨機抽取的100位游客的滿意度調查表．滿意度老年人中年人青年人報團游自助游報團游自助游報團游自助游滿意121184156一般2164412不滿意116232（1）由表中的數(shù)據(jù)分析，老年人、中年人和青年人這三種人群中，哪一類人群更傾向于選擇報團游？（2）為了提高服務水平，該旅游部門要從上述樣本里滿意度為“不滿意”的游客中，隨機抽取3人征集整改建議，記表示這3人中老年人的人數(shù)，求的分布列和期望；（3）若你朋友要到該地區(qū)旅游，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你會建議他選擇哪種旅游項目？變式題2基礎30．某快遞公司收取快遞費用的標準是：重量不超過的包裹收費元；重量超過的包裹，除收費元之外，超過的部分，每超出(不足，按計算)需再收元.該公司將最近承攬的件包裹的重量統(tǒng)計如表：包裹重量（單位：）包裹件數(shù)公司對近天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如表：包裹件數(shù)范圍包裹件數(shù)（近似處理）天數(shù)以上數(shù)據(jù)已做近似處理，并將頻率視為概率.（）計算該公司未來天攬件數(shù)在之間的概率；（）①估計該公司對每件包裹收取的快遞費的平均值；②公司將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的用作其他費用.目前前臺有工作人員人，每人每天攬件不會超過件，且日工資為元.公司正在考慮是否將前臺工作人員裁減人，試計算裁員前后公司每日利潤的數(shù)學期望，并判斷裁員是否對提高公司利潤更有利?變式題3基礎31．近期，某中學全體學生參加了“全國節(jié)約用水大賽”活動．現(xiàn)從參加該活動的學生中隨機抽取了男、女各25名學生，將他們的成績（單位：分）記錄如下：成績男生（人數(shù)）25891女生（人數(shù)）ab1032（1）在抽取的50名學生中，從大賽成績在80分以上的人中隨機取出2人，求恰好男、女生各1名，且所在分數(shù)段不同的概率；（2）從該校參加活動的男學生中隨機抽取3人，設這3人中大賽成績在80分以上的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；（3）試確定a、b為何值時，使得抽取的女生大賽成績方差最?。ㄖ粚懗鼋Y論，不需要說明理由）變式題4基礎32．《中華人民共和國老年人權益保障法》規(guī)定，老年人的年齡起點標準是60周歲．為解決老年人打車難問題，許多公司均推出老年人一鍵叫車服務．某公司為調查老年人對打車軟件的使用情況，在某地區(qū)隨機抽取了100位老年人，調查結果整理如下：年齡/歲80歲以上使用過打車軟件人數(shù)41201151未使用過打車軟件人數(shù)13963(1)從該地區(qū)的老年人中隨機抽取1位，試估計該老年人的年齡在且未使用過打車軟件的概率；(2)從參與調查的年齡在且使用過打車軟件的老年人中，隨機抽取2人進一步了解情況，用X表示這2人中年齡在的人數(shù)，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望；(3)為鼓勵老年人使用打車軟件，該公司擬對使用打車軟件的老年人贈送1張10元的代金券，若該地區(qū)有5000位老年人，用樣本估計總體，試估計該公司至少應準備多少張代金券．變式題5鞏固33．自由購是通過自助結算方式購物的一種形式.某大型超市為調查顧客使用自由購的情況，隨機抽取了100人，統(tǒng)計結果整理如下：20以下70以上使用人數(shù)312176420未使用人數(shù)003143630（Ⅰ）現(xiàn)隨機抽取1名顧客，試估計該顧客年齡在且未使用自由購的概率；（Ⅱ）從被抽取的年齡在使用自由購的顧客中，隨機抽取3人進一步了解情況，用表示這3人中年齡在的人數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望；（Ⅲ）為鼓勵顧客使用自由購，該超市擬對使用自由購的顧客贈送1個環(huán)保購物袋.若某日該超市預計有5000人購物，試估計該超市當天至少應準備多少個環(huán)保購物袋.變式題6鞏固34．某企業(yè)為了解職工款APP和款APP的用戶量情況，對本單位職工進行簡單隨機抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男職工女職工使用不使用使用不使用款APP72人48人40人80人款APP60人60人84人36人假設所有職工對兩款APP是否使用相互獨立.（1）分別估計該企業(yè)男職工使用款APP的概率?該企業(yè)女職工使用款APP的概率；（2）從該企業(yè)男，女職工中各隨機抽取1人，記這2人中使用款APP的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；（3）據(jù)電商行業(yè)發(fā)布的市場分析報告顯示，款APP的用戶中男性占%?女性占%；款APP的用戶中男性占%?女性占%.試分析該企業(yè)職工使用款APP的男?女用戶占比情況和使用款APP的男?女用戶占比情況哪一個與市場分析報告中的男?女用戶占比情況更相符.變式題7鞏固35．某調研機構就該市工薪階層對“樓市限購令”的態(tài)度進行調查，抽調了5000名市民，他們月收入人數(shù)分布表和對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表：月收入(單位：百元)調查人數(shù)500100015001000500500贊成人數(shù)40080012004149987（1）若從抽調的5000名市民中隨機選取一名市民，求該市民贊成“樓市限購令”的概率；（2）依據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，若從該市工薪階層隨機選取兩人進行調查，記贊成“樓市限購令”的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望；（3）若從抽調的收入在(百元)的市民中隨機抽取兩名，記贊成“樓市限購令”的人數(shù)為，期望記作；若從抽調的收入在(百元)的市民中隨機抽取兩名，記贊成“樓市限購令”的人數(shù)為，期望記作，比較與的大小關系.(直接寫出結論即可)變式題8鞏固36．北京市某區(qū)針對高三年級的一次測試做調研分析，隨機抽取同時選考物理?化學的學生330名，下表是物理?化學成績等級和人數(shù)的數(shù)據(jù)分布情況：物理成績等級化學成績等級人數(shù)（名）11053255701531210(1)從該區(qū)高三年級同時選考物理?化學的學生中隨機抽取1人，已知該生的物理成績等級為，估計該生的化學成績等級為的概率；(2)從該區(qū)高三年級同時選考物理?化學的學生中隨機抽取2人，以表示這2人中物理?化學成績等級均為的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望（以上表中物理?化學成績等級均為的頻率作為每名學生物理?化學成績等級均為的概率）；(3)記抽取的330名學生在這次考試中數(shù)學成績（滿分150分）的方差為，排名前的成績方差為，排名后的成績方差為，則不可能同時大于和，這種判斷是否正確.（直接寫出結論）.變式題9提升37．人類常見的遺傳病類型主要分為單基因遺傳病、多基因遺傳病和染色體異常遺傳病三大類，高度近視（600度以上）、紅綠色盲都是較常見的單基因遺傳病．某學校課后實踐活動對學生這兩種遺傳病情況進行統(tǒng)計，分別從男、女同學中各隨機抽取100人進行調查，對患病情況統(tǒng)計如下，其中“√”表示是，“×”表示否．人數(shù)男生高度近視紅綠色盲3√×√2√√×1√√√1××√2×√×(1)分別估計該校男生紅綠色盲的發(fā)病率和該校女生紅綠色盲的發(fā)病率；(2)為做家庭訪問，從已調查出患紅綠色盲的同學中任選兩人，記這兩人中男同學人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；(3)假設該校男生人數(shù)為1500，女生人數(shù)為2500，試估計該校學生高度近視發(fā)病率與該校學生紅綠色盲發(fā)病率的大小關系，并說明理由．（注：）變式題10提升38．2021年是北京城市軌道交通新線開通的“大年”，開通線路的條?段數(shù)為歷年最多.12月31日首班車起，地鐵19號線一期開通試運營.地鐵19號線一期全長約22公里，共設10座車站，此次開通牡丹園?積水潭?牛街?草橋?新發(fā)地?新宮共6座車站.在試運營期間，地鐵公司隨機選取了乘坐19號線一期的名乘客，記錄了他們的乘車情況，得到下表（單位：人）：下車站上車站牡丹園積水潭牛街草橋新發(fā)地新宮合計牡丹園///5642724積水潭12///20137860牛街57///38124草橋1399///1638新發(fā)地410162///335新宮25543///19合計363656262125200(1)在試運營期間，從在積水潭站上車的乘客中任選一人，估計該乘客在牛街站下車的概率；(2)在試運營期間，從在積水潭站上車的所有乘客中隨機選取三人，設其中在牛街站下車的人數(shù)為，求隨機變量的分布列以及數(shù)學期望；(3)為了研究各站客流量的相關情況，用表示所有在積水潭站上下車的乘客的上?下車情況，“”表示上車，“”表示下車.相應地，用，分別表示在牛街，草橋站上?下車情況，直接寫出方差，，大小關系.變式題11提升39．2022年冬奧會在北京舉行，冬奧會吉祥物“冰墩墩”自亮相以來就好評不斷，出現(xiàn)了“一墩難求”的現(xiàn)象.主辦方現(xiàn)委托某公司推出一款以“冰墩墩”為原型的紀念品在專賣店進行售賣.已知這款紀念品的生產成本為80元/件，為了確定其銷售價格，調查了對這款紀念品有購買意向的消費者（以下把對該紀念品有購買意向的消費者簡稱為消費者）的心理價位，并將收集的100名消費者的心理價位整理如下：心理價位（元/件）90100110120人數(shù)10205020假設當且僅當這款紀念品的銷售價格小于或等于某位消費者的心理價位時，該消費者就會購買該紀念品.公司為了滿足更多消費者的需求，規(guī)定每位消費者最多只能購買一件該紀念品.設這款紀念品的銷售價格為x（單位：元/件），，且每位消費者是否購買該紀念品相互獨立.用樣本的頻率分布估計總體的分布，頻率視為概率.(1)若，試估計消費者購買該紀念品的概率；(2)在（1）的前提下，某時段有4名消費者進店，X為這一時段該紀念品的購買人數(shù)，試求X的分布列和數(shù)學期望；(3)假設共有M名消費者，設該公司售賣這款紀念品所得總利潤為Y（單位：元），當該紀念品的銷售價格x定為多少時，Y的數(shù)學期望達到最大值？變式題12提升40．小明所在學習小組開展社會調查，記錄了某快餐連鎖店每天騎手的人均業(yè)務量．現(xiàn)隨機抽取100天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為，，，，，，七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)隨機選取一天，估計這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務量不少于65單的概率；(2)將上圖中的頻率作為相應的概率，從該連鎖店的騎手中任意選3人，記其中業(yè)務量不少于65單的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．(3)如果該連鎖店的騎手每送1單可以提成3元，試估計一名騎手每天的收入．并說明理由．2022年新高考北京數(shù)學高考真題變式題16-1原題161．在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．變式題1基礎2．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求B；(2)若，△ABC的面積為，求△ABC的周長.變式題2基礎3．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)若，的面積為，求的周長．變式題3基礎4．在中，角的對邊分別為，.(1)求角；(2)若，面積，求△的周長.變式題4基礎5．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的值；(2)若2a+b=6，且的面積為，求的周長.變式題5鞏固6．已知的內角、、的對邊分別為、、，且.(1)求角的大?。?2)若，且，求的周長.變式題6鞏固7．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量，，且(1)求A；(2)若，的面積為，求的周長．變式題7鞏固8．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.(1)求B；(2)若，面積為，求周長.變式題8鞏固9．在中，內角、、的對邊分別為、、，且.(1)求角的大?。?2)若，且的面積為，求的周長.變式題9提升10．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，．(1)求A；(2)若點D在BC邊上，AD平分BAC，且，求的周長．變式題10提升11．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求角A的大小；(2)若AD為的平分線，且，，求的周長.變式題11提升12．在中，角A，，的對邊分別是，，，且向量和向量互相垂直．(1)求角的大?。?2)若外接圓的半徑是1，面積是，求的周長．變式題12提升13．在中，(1)求角A的大小(2)若BC邊上的中線，且，求的周長原題1714．如圖，在三棱柱中，側面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點．(1)求證：平面；(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．變式題1基礎15．如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為的正方形，.再從條件①：、條件②：、條件③：平面平面、中選擇兩個能解決下面問題的條件作為已知，并作答.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.變式題2基礎16．如圖，四棱錐中，平面，四邊形是矩形，點，分別是，的中點，若，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.變式題3基礎17．如圖，在四棱錐中，，，平面ABCD，，M為PC的中點.(1)求證：平面PAD；(2)設點N在平面PAD內，且平面PBD，求直線BN與平面ABCD所成角的正弦值.變式題4鞏固18．在①平面平面，②，③平面這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中并作答.如圖，在四棱錐中，底面是梯形，點在上，，，，，且______.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.變式題5鞏固19．如圖，在四棱錐中，平面，，，，為中點，___.(1)求證：四邊形是直角梯形；(2)并求直線與平面所成角的正弦值.從①；②平面這兩個條件中選一個，補充在上面問題中，并完成解答.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.變式題6鞏固20．如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為4的菱形，，點為棱上動點（不與，重合），平面與棱交于點.(1)求證：；(2)若，從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個條件作為已知，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：平面平面；條件②：；條件③：.變式題7鞏固21．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，丄平面，且，，點是的中點.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.變式題8鞏固22．如圖，在直三棱柱中，D，E分別是棱AB，的中點，，．(1)求證：平面；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得各條件相融．并求直線與平面所成的角的正弦值．條件①：；條件②：；條件③：到平面的距離為1．變式題9鞏固23．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點，分別為棱，的中點．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．變式題10提升24．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面，為的中點.（1）證明:平面;（2）在①，②這兩個條件中任一個，補充在下面的橫線上，并作答.若________，求與平面所成的角.注:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.變式題11提升25．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，E為PB的中點，______．從①；②平面PAD這兩個條件中選一個，補充在上面問題的橫線中，并完成解答．注：如果選擇多個條件分別解答按第一個解答計分．(1)求證：四邊形ABCD是直角梯形．(2)求直線AE與平面PCD所成角的正弦值．(3)在棱PB上是否存在一點F，使得平面PCD？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．變式題12提升26．如圖，在四棱錐中，已知底面為直角梯形，，，，平面平面，，.(1)從下列條件①?條件②中再選擇一個作為已知條件，求證：平面PAB；條件①：E，F(xiàn)分別為棱PD，BC的中點；條件②：E，F(xiàn)分別為棱PC，AD的中點.(2)若點M在棱PD（含端點）上運動，當為何值時，直線CM與平面PAD所成角的正弦值為.變式題13提升27．已知底面為菱形的四棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，平面平面ABCD，E，F(xiàn)分別是棱PC，AB上的點.(1)從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另一個成立；①F是AB的中點；②E是PC的中點；③平面PFD.(2)若.求PB與平面PDC所成角的正弦值.原題1828．在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優(yōu)秀獎．為預測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總人數(shù)，估計X的數(shù)學期望E（X）；(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）變式題1基礎29．某地區(qū)為了實現(xiàn)產業(yè)的轉型發(fā)展，利用當?shù)芈糜钨Y源豐富多樣的特點，決定大力發(fā)展旅游產業(yè)，一方面對現(xiàn)有旅游資源進行升級改造，另一方面不斷提高旅游服務水平．為此該地區(qū)旅游部門，對所推出的報團游和自助游項目進行了深入調查，如表是該部門從去年某月到該地區(qū)旅游的游客中，隨機抽取的100位游客的滿意度調查表．滿意度老年人中年人青年人報團游自助游報團游自助游報團游自助游滿意121184156一般2164412不滿意116232（1）由表中的數(shù)據(jù)分析，老年人、中年人和青年人這三種人群中，哪一類人群更傾向于選擇報團游？（2）為了提高服務水平，該旅游部門要從上述樣本里滿意度為“不滿意”的游客中，隨機抽取3人征集整改建議，記表示這3人中老年人的人數(shù)，求的分布列和期望；（3）若你朋友要到該地區(qū)旅游，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你會建議他選擇哪種旅游項目？變式題2基礎30．某快遞公司收取快遞費用的標準是：重量不超過的包裹收費元；重量超過的包裹，除收費元之外，超過的部分，每超出(不足，按計算)需再收元.該公司將最近承攬的件包裹的重量統(tǒng)計如表：包裹重量（單位：）包裹件數(shù)公司對近天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如表：包裹件數(shù)范圍包裹件數(shù)（近似處理）天數(shù)以上數(shù)據(jù)已做近似處理，并將頻率視為概率.（）計算該公司未來天攬件數(shù)在之間的概率；（）①估計該公司對每件包裹收取的快遞費的平均值；②公司將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的用作其他費用.目前前臺有工作人員人，每人每天攬件不會超過件，且日工資為元.公司正在考慮是否將前臺工作人員裁減人，試計算裁員前后公司每日利潤的數(shù)學期望，并判斷裁員是否對提高公司利潤更有利?變式題3基礎31．近期，某中學全體學生參加了“全國節(jié)約用水大賽”活動．現(xiàn)從參加該活動的學生中隨機抽取了男、女各25名學生，將他們的成績（單位：分）記錄如下：成績男生（人數(shù)）25891女生（人數(shù)）ab1032（1）在抽取的50名學生中，從大賽成績在80分以上的人中隨機取出2人，求恰好男、女生各1名，且所在分數(shù)段不同的概率；（2）從該校參加活動的男學生中隨機抽取3人，設這3人中大賽成績在80分以上的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；（3）試確定a、b為何值時，使得抽取的女生大賽成績方差最?。ㄖ粚懗鼋Y論，不需要說明理由）變式題4基礎32．《中華人民共和國老年人權益保障法》規(guī)定，老年人的年齡起點標準是60周歲．為解決老年人打車難問題，許多公司均推出老年人一鍵叫車服務．某公司為調查老年人對打車軟件的使用情況，在某地區(qū)隨機抽取了100位老年人，調查結果整理如下：年齡/歲80歲以上使用過打車軟件人數(shù)41201151未使用過打車軟件人數(shù)13963(1)從該地區(qū)的老年人中隨機抽取1位，試估計該老年人的年齡在且未使用過打車軟件的概率；(2)從參與調查的年齡在且使用過打車軟件的老年人中，隨機抽取2人進一步了解情況，用X表示這2人中年齡在的人數(shù)，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望；(3)為鼓勵老年人使用打車軟件，該公司擬對使用打車軟件的老年人贈送1張10元的代金券，若該地區(qū)有5000位老年人，用樣本估計總體，試估計該公司至少應準備多少張代金券．變式題5鞏固33．自由購是通過自助結算方式購物的一種形式.某大型超市為調查顧客使用自由購的情況，隨機抽取了100人，統(tǒng)計結果整理如下：20以下70以上使用人數(shù)312176420未使用人數(shù)003143630（Ⅰ）現(xiàn)隨機抽取1名顧客，試估計該顧客年齡在且未使用自由購的概率；（Ⅱ）從被抽取的年齡在使用自由購的顧客中，隨機抽取3人進一步了解情況，用表示這3人中年齡在的人數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望；（Ⅲ）為鼓勵顧客使用自由購，該超市擬對使用自由購的顧客贈送1個環(huán)保購物袋.若某日該超市預計有5000人購物，試估計該超市當天至少應準備多少個環(huán)保購物袋.變式題6鞏固34．某企業(yè)為了解職工款APP和款APP的用戶量情況，對本單位職工進行簡單隨機抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男職工女職工使用不使用使用不使用款APP72人48人40人80人款APP60人60人84人36人假設所有職工對兩款APP是否使用相互獨立.（1）分別估計該企業(yè)男職工使用款APP的概率?該企業(yè)女職工使用款APP的概率；（2）從該企業(yè)男，女職工中各隨機抽取1人，記這2人中使用款APP的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；（3）據(jù)電商行業(yè)發(fā)布的市場分析報告顯示，款APP的用戶中男性占%?女性占%；款APP的用戶中男性占%?女性占%.試分析該企業(yè)職工使用款APP的男?女用戶占比情況和使用款APP的男?女用戶占比情況哪一個與市場分析報告中的男?女用戶占比情況更相符.變式題7鞏固35．某調研機構就該市工薪階層對“樓市限購令”的態(tài)度進行調查，抽調了5000名市民，他們月收入人數(shù)分布表和對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表：月收入(單位：百元)調查人數(shù)500100015001000500500贊成人數(shù)40080012004149987（1）若從抽調的5000名市民中隨機選取一名市民，求該市民贊成“樓市限購令”的概率；（2）依據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，若從該市工薪階層隨機選取兩人進行調查，記贊成“樓市限購令”的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望；（3）若從抽調的收入在(百元)的市民中隨機抽取兩名，記贊成“樓市限購令”的人數(shù)為，期望記作；若從抽調的收入在(百元)的市民中隨機抽取兩名，記贊成“樓市限購令”的人數(shù)為，期望記作，比較與的大小關系.(直接寫出結論即可)變式題8鞏固36．北京市某區(qū)針對高三年級的一次測試做調研分析，隨機抽取同時選考物理?化學的學生330名，下表是物理?化學成績等級和人數(shù)的數(shù)據(jù)分布情況：物理成績等級化學成績等級人數(shù)（名）11053255701531210(1)從該區(qū)高三年級同時選考物理?化學的學生中隨機抽取1人，已知該生的物理成績等級為，估計該生的化學成績等級為的概率；(2)從該區(qū)高三年級同時選考物理?化學的學生中隨機抽取2人，以表示這2人中物理?化學成績等級均為的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望（以上表中物理?化學成績等級均為的頻率作為每名學生物理?化學成績等級均為的概率）；(3)記抽取的330名學生在這次考試中數(shù)學成績（滿分150分）的方差為，排名前的成績方差為，排名后的成績方差為，則不可能同時大于和，這種判斷是否正確.（直接寫出結論）.變式題9提升37．人類常見的遺傳病類型主要分為單基因遺傳病、多基因遺傳病和染色體異常遺傳病三大類，高度近視（600度以上）、紅綠色盲都是較常見的單基因遺傳?。硨W校課后實踐活動對學生這兩種遺傳病情況進行統(tǒng)計，分別從男、女同學中各隨機抽取100人進行調查，對患病情況統(tǒng)計如下，其中“√”表示是，“×”表示否．人數(shù)男生高度近視紅綠色盲3√×√2√√×1√√√1××√2×√×(1)分別估計該校男生紅綠色盲的發(fā)病率和該校女生紅綠色盲的發(fā)病率；(2)為做家庭訪問，從已調查出患紅綠色盲的同學中任選兩人，記這兩人中男同學人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；(3)假設該校男生人數(shù)為1500，女生人數(shù)為2500，試估計該校學生高度近視發(fā)病率與該校學生紅綠色盲發(fā)病率的大小關系，并說明理由．（注：）變式題10提升38．2021年是北京城市軌道交通新線開通的“大年”，開通線路的條?段數(shù)為歷年最多.12月31日首班車起，地鐵19號線一期開通試運營.地鐵19號線一期全長約22公里，共設10座車站，此次開通牡丹園?積水潭?牛街?草橋?新發(fā)地?新宮共6座車站.在試運營期間，地鐵公司隨機選取了乘坐19號線一期的名乘客，記錄了他們的乘車情況，得到下表（單位：人）：下車站上車站牡丹園積水潭牛街草橋新發(fā)地新宮合計牡丹園///5642724積水潭12///20137860牛街57///38124草橋1399///1638新發(fā)地410162///335新宮25543///19合計363656262125200(1)在試運營期間，從在積水潭站上車的乘客中任選一人，估計該乘客在牛街站下車的概率；(2)在試運營期間，從在積水潭站上車的所有乘客中隨機選取三人，設其中在牛街站下車的人數(shù)為，求隨機變量的分布列以及數(shù)學期望；(3)為了研究各站客流量的相關情況，用表示所有在積水潭站上下車的乘客的上?下車情況，“”表示上車，“”表示下車.相應地，用，分別表示在牛街，草橋站上?下車情況，直接寫出方差，，大小關系.變式題11提升39．2022年冬奧會在北京舉行，冬奧會吉祥物“冰墩墩”自亮相以來就好評不斷，出現(xiàn)了“一墩難求”的現(xiàn)象.主辦方現(xiàn)委托某公司推出一款以“冰墩墩”為原型的紀念品在專賣店進行售賣.已知這款紀念品的生產成本為80元/件，為了確定其銷售價格，調查了對這款紀念品有購買意向的消費者（以下把對該紀念品有購買意向的消費者簡稱為消費者）的心理價位，并將收集的100名消費者的心理價位整理如下：心理價位（元/件）90100110120人數(shù)10205020假設當且僅當這款紀念品的銷售價格小于或等于某位消費者的心理價位時，該消費者就會購買該紀念品.公司為了滿足更多消費者的需求，規(guī)定每位消費者最多只能購買一件該紀念品.設這款紀念品的銷售價格為x（單位：元/件），，且每位消費者是否購買該紀念品相互獨立.用樣本的頻率分布估計總體的分布，頻率視為概率.(1)若，試估計消費者購買該紀念品的概率；(2)在（1）的前提下，某時段有4名消費者進店，X為這一時段該紀念品的購買人數(shù)，試求X的分布列和數(shù)學期望；(3)假設共有M名消費者，設該公司售賣這款紀念品所得總利潤為Y（單位：元），當該紀念品的銷售價格x定為多少時，Y的數(shù)學期望達到最大值？變式題12提升40．小明所在學習小組開展社會調查，記錄了某快餐連鎖店每天騎手的人均業(yè)務量．現(xiàn)隨機抽取100天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為，，，，，，七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)隨機選取一天，估計這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務量不少于65單的概率；(2)將上圖中的頻率作為相應的概率，從該連鎖店的騎手中任意選3人，記其中業(yè)務量不少于65單的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．(3)如果該連鎖店的騎手每送1單可以提成3元，試估計一名騎手每天的收入．并說明理由．參考答案：1．(1)(2)【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡可得的值，結合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長.（1）解：因為，則，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長為.2．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)正弦定理以及兩角和的正弦公式即可求出，進而求出；（2）根據(jù)余弦定理可得到，再根據(jù)三角形面積公式得到，即可求出，進而求出的周長.（1）解：由及正弦定理得，∴，∵，∴，∵，∴.（2）解：由（1）及已知得，∴，由余弦定理知，∴，∴，∴△ABC的周長為.3．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理得到，從而求出；（2）利用面積公式求出，進而用余弦定理求出，求出周長.（1）由正弦定理得：，即，因為，所以因為，所以，故，因為，所以（2）由面積公式得：，解得：，由余弦定理得：將，代入，求得：，故的周長為4．(1)；(2)【分析】（1）由正弦定理邊角互化化簡計算；（2）由面積公式結合余弦定理代入求解，即可得周長.（1）在中，∵，∴由正弦定理可得．又∵，，∴．整理得．∵，∴，．∴．（2）∵，∴，即，亦即．又由余弦定理知，∴．∴．∴．∴的周長為．5．(1)(2)6或【分析】（1）利用正弦定理結合，代換整理得，再結合倍角公式整理；（2）根據(jù)面積公式代入整理得，結合題意可得或，分情況討論處理．（1）∵，則∵∴，即∵，則∴（2）∵△ABC的面積為，則∴根據(jù)題意得，則或若，則△ABC為等邊三角形，的周長為6；若，則，即，的周長為∴的周長為6或6．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結合余弦定理可求得的值，結合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值，進而可求得的周長.（1）解：由，利用正弦定理可得，化為，所以，，，.（2）解：，且，所以，，由余弦定理可得，所以，，解得，因此，周長為.7．(1)；(2).【分析】（1）由題意，再由正弦定理化簡得，可得A；（2）由余弦定理得，再由三角形面積公式得，即可求，進而得出的周長．（1）由，則，由正弦定理得：，在中，故，即，因為，所以；（2）由余弦定理得，即，可得，又，得，則，即，所以的周長為8．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理和兩角和公式即可得到結果（2）根據(jù)三角形面積公式以及余弦定理即可得到結果（1）因為，由正弦定理：，得，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，即.（2）由題意知，∴由余弦定理得，又∵，，∴∴，故，所以的周長.9．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結合兩角和的正弦公式化簡可得出的值，結合角的取值范圍可求得結果；（2）利用三角形的面積公式結合已知條件可求得、的值，再利用余弦定理可求得的值，即可得出的周長.（1）解：因為，由正弦定理.又，，所以，所以.（2）解：因為，所以，又，所以，，由余弦定理可得，所以.所以的周長為.10．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換求出角即可；（2）利用角平分線分三角形面積等于兩個小三角形面積之和得出等式，再用余弦定理聯(lián)立求解周長即可.（1）由正弦定理得，在中，，化簡為，又，，又；（2）依題意得，即，由余弦定理得，，解得的周長為.11．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理將邊化為角，結合三角恒等式的化簡可得，進而可得結果；（2）通過三角形面積公式可得，，結合余弦定理求出即可得出周長.（1）∵，由正弦定理可得，即，化簡得，又∵在中，，∴，即，∴，結合，可知.（2）∵AD為的平分線，，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴，∴的周長為.12．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，并結合余弦定理運算求解；（2）根據(jù)正弦定理可得，在結合面積公式和余弦定理運算處理，注意的使用．（1）因為，互相垂直，所以，則．由余弦定理得．因為，所以．（2）∵，則因為，所以．即，則，因此，即．故的周長．13．(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理可求角的大小；（2）由面積公式可得，再在和中，由余弦定理可得，最后用完全平方公式可求的值，即可求得三角形的周長.（1）由已知，由正弦定理得：，由余弦定理得：，在中，因為，所以；（2）由，得①，由（1）知，即②，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，因為，所以③，由①②③，得，所以，所以的周長.14．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）取的中點為，連接，可證平面平面，從而可證平面.（2）選①②均可證明平面，從而可建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量可求線面角的正弦值.（1）取的中點為，連接，由三棱柱可得四邊形為平行四邊形，而，則，而平面，平面，故平面，而，則，同理可得平面，而平面，故平面平面，而平面，故平面，（2）因為側面為正方形，故，而平面，平面平面，平面平面，故平面，因為，故平面，因為平面，故，若選①，則，而，，故平面，而平面，故，所以，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標系，則，故，設平面的法向量為，則，從而，取，則，設直線與平面所成的角為，則.若選②，因為，故平面，而平面，故，而，故，而，，故，所以，故，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標系，則，故，設平面的法向量為，則，從而，取，則，設直線與平面所成的角為，則.15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)所選的條件，應用勾股定理易得，再由線面垂直的判定、面面垂直的性質證結論即可.（2）構建為原點建立空間直角坐標系，由已知確定相關點坐標，再求直線的方向向量、面的法向量，進而應用空間向量夾角的坐標表示求直線與平面所成角的正弦值.（1）選①②：由，，，易知：，又，，面，則面；選①③：由，，，易知：.又面面，面面，面，∴平面（2）由（1）知：，，又四邊形是正方形，則，如圖，以為原點建立空間直角坐標系，則，，，，，∴，，設面的一個法向量為，則，即令，則，，即，設直線與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點，可證得四邊形為平行四邊形，得，由線面平行的判定即可得到結論；（2）以為坐標原點可建立空間直角坐標系，根據(jù)線面角的向量求法可求得結果.（1）取中點，連接，分別為中點，，；四邊形為矩形，為中點，，；且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2）以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，設平面的法向量，則，令，解得：，，；，即直線與平面所成角的正弦值為.17．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取PD的中點E，連接EM，AE，易證ABME是平行四邊形，則，根據(jù)線面平行的判定即可證結論.（2）（法一）利用線面垂直的性質及判定可得面ABME，作交AE于點N，易證面PBD，則，根據(jù)相似比求出N的位置，由線面角的定義求線面角的大小；（法二）構建空間直角坐標系，設，根據(jù)平面PBD求出參數(shù)，進而求、面的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示求直線BN與平面ABCD所成角的正弦值.（1）取PD的中點E，連接EM，AE，則且，而，，則，又，所以，，從而四邊形ABME是平行四邊形，故.因為平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.（2）當N為AE的中點時，面PBD，理由如下：（法一）面ABCD，面ABCD，，又，，平面PAD，所以面PAD，而面PAD，則，又，E是PD的中點，即，而，面ABME，所以面ABME，在面ABME中作交AE于點N，所以，又，面PBD，所以面PBD，易知：，而，，，即，而，N為AE的中點時，面PBD.作于G，則面，是BN與平面ABCD所成角，因為，，，則.即直線BN與平面AD所成角的正弦值為.（法二）易得AP，AB，AD兩兩垂直，故以A為原點，直線AB為x軸，直線AD為y軸，直線AP為z軸，建立空間直角坐標系，則B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1).設，則，，.因為平面PBD，故，可得.，又平面的法向量為，設BN與平面ABCD所成角為，則.即直線BN與平面ABCD所成角的正弦值為.18．選條件①（1）證明見解析；（2）；選條件②（1）證明見解析；（2）；選條件③（1）證明見解析；（2）.【分析】若選①：（1）根據(jù)面面垂直的性質定理，可證明平面，建立空間直角坐標系結合向量法證明和線面垂直的判定定理，可證平面，根據(jù)面面垂直判定定理，即可證明平面平面；（2）由（1）可得平面的一個法向量為，再利用向量法結合線面所成角正弦公式即可求解直線與平面所成角的正弦值.若選②：根據(jù)線面垂直的判定定理，可證明平面；建立空間直角坐標系結合向量法證明和線面垂直的判定定理，可證平面，根據(jù)面面垂直判定定理，即可證明平面平面；（2）由（1）可得平面的一個法向量為，再利用向量法結合線面所成角正弦公式即可求解直線與平面所成角的正弦值.若選③：根據(jù)線面垂直的性質定理，可得，又，根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明平面，建立空間直角坐標系結合向量法證明和線面垂直的判定定理，可證平面，根據(jù)面面垂直判定定理，即可證明平面平面；（2）由（1）可得平面的一個法向量為，再利用向量法結合線面所成角正弦公式即可求解直線與平面所成角的正弦值.【詳解】方案一：選條件①.（1）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面.又，∴，，兩兩垂直.以A為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，∴，，.∵，，∴，.又，∴平面.又平面，∴平面平面.（2）由（1）可得平面的一個法向量為，又，設直線與平面所成角為，則.方案二：選條件②.（1）∵底面為梯形，，∴兩腰，必相交.又，，，平面，∴平面.又，∴，，兩兩垂直.以A為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，∴，，.∵，，∴，.又，∴平面.又平面，∴平面平面.（2）由（1）可得平面的一個法向量為，又，設直線與平面所成角為，則.方案三：選條件③.（1）∵平面，平面，∴.又，，平面，，∴平面.又，∴，，兩兩垂直.以A為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，∴，，.∵，，∴，.又，∴平面.又平面，∴平面平面（2）由（1）可得平面的一個法向量為，又，設直線與平面所成角為，則.(1)詳見解析(2)詳見解析【分析】選擇①.(1)由平面可得，由勾股定理可得.再由線面垂直的判定可得平面，從而得到進而得到.即四邊形是直角梯形.(2)以為坐標系原點建立空間直角坐標系.求出平面的法向量與的坐標，再由兩向量所成角的余弦值可得直線與平面所成的角的正弦值.選擇②。(1)由平面可得，由勾股定理可得.再由線面垂直的判定可得平面，從而得到，再由平面,得，即得四邊形是直角梯形.(2)同(1)（1）選擇①.(1)證明：如圖所示因為平面，所以，又因為，所以又因為，，即又因為所以平面，所以又因為，所以又因為所以四邊形是直角梯形.選擇②.因為平面，所以，又因為，所以又因為，，即又因為所以平面，所以又因為平面，平面，平面∩平面所以，又因為所以四邊形是直角梯形（2）選擇①.(2)過作的垂線交于點，由題意易知，，故以為坐標系原點，以、、為、、軸建立空間直角坐標系，如圖所示，由題意知，，，，因為為的中點，由中點坐標公式知，所以，，設平面的法向量為，則有，即，令，得設直線與平面所成的角為，所以所以直線與平面所成角的正弦值為選擇②.解法同①20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由棱柱的性質可得，即可得到平面，再根據(jù)線面平行的性質證明即可；（2）選條件①②，連接，取中點，連接，，即可得到，根據(jù)面面垂直的性質得到平面，即可得到，再由，即可建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出線面角的正弦值；選條件②③，連接，取中點，連接，，依題意可得，再由勾股定理逆定理得到，即可得到平面，接下來同①②；選條件①③，取中點，連接，，即可得到，由面面垂直的性質得到平面，從而得到，再由勾股定理逆定理得到接下來同①②；（1）證明：在三棱柱中，，又平面，平面，所以平面，又因為平面平面，所以.（2）解：選條件①②.連接，取中點，連接，.在菱形中，，所以為等邊三角形.又因為為中點，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，且，所以平面，平面，所以.又因為，所以.以為原點，以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則，，，，.所以，.設平面的一個法向量為，則，所以令，則，，故.又因為，設直線與平面所成角為，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.選條件②③.連接，取中點，連接，.在菱形中，，所以為等邊三角形.又為中點，故，且.又因為，.所以，所以.又因為，所以平面.以下同選①②.選條件①③取中點，連接，.在中，因為，所以，且，.又因為平面平面，平面平面，所以平面.因為平面，所以.在中，.又因為，，所以，所以.以下同選①②.21．(1)證明見解析(2)【分析】(1)連接BD交AC于F點，連接EF，根據(jù)中位線的性質可得，利用線面平行的判定定理即可證明；(2)建立如圖空間直角坐標系，求出各點的坐標，易知為為平面PAB的一個法向量，利用空間向量的坐標表示求出和，結合空間向量的數(shù)量積的定義即可得出結果.（1）連接BD交AC于F點，連接EF，在中，∵EF是中位線，∴．又∵平面AEC，平面AEC，∴平面AEC．（2）由題意知，AC，AB，AP兩兩互相垂直，如圖，以A為坐標原點，射線AC，AB，AP分別為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標系A-xyz．則，，，∴，易知平面PAB的一個法向量為，設直線CE與平面PAB所成角為，則．∴直線CE與平面PAB所成角的正弦值為．22．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線定理及平行四邊形的性質，結合線面平行的判定定理即可求解；（2）選擇①，根據(jù)直棱柱的定義及線面垂直的性質定理和判定定理，建立空間直角坐標系，得出相關點的坐標，分別求出平面的法向量，再利用向量的夾角公式，進而可以求出線面角的正弦值.選擇②，根據(jù)直棱柱的定義及線面垂直的性質定理和判定定理，建立空間直角坐標系，得出相關點的坐標，分別求出平面的法向量，再利用向量的夾角公式，進而可以求出線面角的正弦值.選擇③，根據(jù)直棱柱的定義及直線到平面的距離的定義，再利用線面垂直的性質定理和判定定理，建立空間直角坐標系，得出相關點的坐標，分別求出平面的法向量，再利用向量的夾角公式，進而可以求出線面角的正弦值.（1）取的中點為，連接.分別是，的中點,.D是的中點，直三棱柱，.，.四邊形為平行四邊形.又平面，平面，所以平面.（2）選擇條件①：；直三棱柱，平面，平面，，，平面，所以平面.而平面.又，.以為原點，分別以所在方向為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設為平面的一個法向量，則，即，令，則，，設直線DE與平面所成的角為，則.所以直線DE與平面所成的角的正弦值為.選擇條件②：；取的中點為，連接.直三棱柱，分別是，的中點,平面，平面，，，平面，所以平面.而平面..分別是，的中點,，.以為原點，分別以所在方向為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設為平面的一個法向量，則，即，令，則，，設直線DE與平面所成的角為，則.所以直線DE與平面所成的角的正弦值為.選擇條件③：到平面的距離為1．過點作,垂足為，直三棱柱，平面，平面，，，平面，所以平面.平面.所以由（1）知平面；因為到平面的距離為1，所以.又，所以又因為是的中點,,所以是的中點,.又，.以為原點，分別以所在方向為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設為平面的一個法向量，則，即，令，則，，設直線DE與平面所成的角為，則.所以直線DE與平面所成的角的正弦值為.23．(1)證明見解析(2)【分析】（1）以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,利用向量法證明線面平行；（2）利用向量法求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明:以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,則,,設平面的一個法向量為,則,令,則,則平面的一個法向量為,平面（2）由（1）得,設直線與平面所成角為.直線與平面所成角的正弦值為.24．（1）證明見解析；（2）【分析】（1）連接，交于，連接，根據(jù)可證；（2）以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立如圖空間直角坐標系，求得平面的法向量，利用向量關系可求.【詳解】（1）連接，交于，連接，底面是菱形，為中點，為中點，，平面，平面，平面；（2）選①：以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立如圖空間直角坐標系，底面是菱形，，，，則，設平面的法向量為，則，取可得，設與平面所成的角為，則，所以與平面所成的角為；選②：以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立如圖空間直角坐標系，取中點，連接，底面是菱形，，，平面，為的中點，，平面，，，，則，設平面的法向量為，則，取可得，設與平面所成的角為，則，所以與平面所成的角為；25．(1)證明見解析(2)(3)存在，【分析】選擇①：（1）由平面，可得，再由線面垂直的判定可得平面，則，進一步得到，由此能證明四邊形是直角梯形．（2）過作的垂線，交于點，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量與的坐標，再由兩向量所成角的余弦值可得直線與平面所成角的正弦值．（3）設，利用，可求出．選擇②：（1）由平面，可得，再由線面垂直的判定可得平面，則，再由平面，得，由此能證明四邊形是直角梯形．（2）過作的垂線，交于點，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量與的坐標，再由兩向量所成角的余弦值可得直線與平面所成角的正弦值．（3）設，利用，可求出．（1）解：選擇①：證明：平面，平面，，，因為，，，，，，平面，平面，平面，，，，四邊形是直角梯形．選擇②：證明：平面，平面，，，，，，，，，平面，平面，平面，，，四邊形是直角梯形．（2）解：過作的垂線交于點，平面，，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，0，，，2，，，2，，，0，，，，，為的中點，，，，，，，，2，，，2，，設平面的法向量為，，，則，令，得，1，，設直線與平面所成角為，則，．直線與平面所成角的正弦值為．（3）解：設，則，，，，，，，，平面，，，解得．故存在點F，且．26．(1)證明見解析(2)【分析】（1）若選條件①，取AD的中點為G，連接EG，GF，則∥，∥，從而由面面平行的判定定理和性質定理可得結論，若選條件②，取BC的中點為G，連接EG，GF，則∥，∥，從而由面面平行的判定定理和性質定理可得結論，（2）取AB中點為O，連接PO，CO，以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標系如圖，利用空間向量求解即可（1）若選條件①，取AD的中點為G，連接EG，GF，則，，因為平面，平面，平面，平面，所以∥平面，∥平面，因為，所以平面∥平面，又因為平面，所以∥平面PAB.若選條件②，取BC的中點為G，連接EG，GF，則∥，∥，因為平面，平面，平面，平面，因為，所以平面∥平面PAB，又因為平面EFG，所以∥平面PAB.（2）取AB中點為O，連接PO，CO，因為，所以，又因為平面PAB，平面平面ABCD，平面平面所以平面ABCD，又因為，，，所以，又因為，，為AB中點，所以，，又因為，所以四邊形OADC為矩形，所以，故以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標系如圖，則，，，，所以，又因為M在PD上，所以存在，使，所以，又因為，所以，所以，又因為，，設平面PAD的法向量，則，所以，取，則.所以.設直線CM與平面PAD所成角為，則，故，所以或，又因為，所以，即.27．(1)答案見解析(2)【分析】（1）選①F是AB的中點，②E是PC的中點為已知條件，證明③平面PFD；取的中點，連接，可得四邊形是平行四邊形，，由線面平行的判定定理可得平面PFD；選②E是PC的中點，③平面PFD為已知條件證明①F是AB的中點；取的中點，連接，可得，再由線面平行的性質定理可得，所以四邊形是平行四邊形，，由可得答案；選①F是AB的中點，③平面PFD為已知條件，證明②E是PC的中點；取的中點，連接，得四邊形是平行四邊形，，由面面平行的判定定理可得平面平面，再由面面平行的性質定理可得答案.（2）取的中點，連接，可得，由平面平面ABCD，可得平面，以為原點，分別以所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，由線面角的向量求法可得答案.（1）選①F是AB的中點，②E是PC的中點為已知條件，證明③平面PFD，取的中點，連接，所以，，，所以四邊形是平行四邊形，，因為平面，平面，所以平面PFD.選②E是PC的中點，③平面PFD為已知條件，證明①F是AB的中點，取的中點，連接，所以，因為，所以，即平面平面，因為平面PFD，所以，所以四邊形是平行四邊形，，因為，所以即F是AB的中點.選①F是AB的中點，③平面PFD為已知條件，證明②E是PC的中點，取的中點，連接，所以，四邊形是平行四邊形，，因為平面，平面，所以平面PFD，因為平面PFD，，所以平面平面，平面，所以平面，平面平面，所以，因為是的中點，所以E是PC的中點.（2）取的中點，連接，因為底面為菱形，，所以，是邊長為2的等邊三角形，所以，因為平面平面ABCD，平面平面，所以平面，以為原點，分別以所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標系，所以，，，，，，，設平面的法向量為，所以，即，令，則，所以，設PB與平面PDC所成角的為，所以.所以PB與平面PDC所成角的正弦值為.28．(1)0.4(2)(3)丙【分析】(1)

由頻率估計概率即可(2)

求解得X的分布列，即可計算出X的數(shù)學期望.(3)

計算出各自獲得最高成績的概率，再根據(jù)其各自的最高成績可判斷丙奪冠的概率估計值最大.（1）由頻率估計概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，故答案為0.4（2）設甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴（3）丙奪冠概率估計值最大.因為鉛球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對丙越有利.29．（1）老年人更傾向于選擇報團游；（2）分布列見解析，；（3）建議他選擇報團游．【分析】（1）分別計算三種人群的頻率，進行比較即可；（2）根據(jù)題意，列出的可能取值，分別求概率，寫出分布列；（3）計算兩種旅游方式的滿意度，得到結論.【詳解】解：（1）由表中數(shù)據(jù)可得老年人、中年人和青年人選擇報團游的頻率分別為，，，因為，所以老年人更傾向于選擇報團游；（2）由題意可得，的可能取值為0，1，2，所以，，，所以的分布列為：012所以；（3）由上表可知，報團游的滿意率為，自助游的滿意率為，因為，故建議他選擇報團游．【點睛】（1）在實際問題中，通常用頻率估計概率；、（2）求離散型隨機變量的分布列，應按以下三個步驟進行：①明確離散型隨機變量的所有可能取值以及取每個值所表示的意義；②利用概率的有關知識求出隨機變量每個取值的概率；③按規(guī)范形式寫出分布列并用分布列的性質進行檢驗.30．（1）；（2）①元；②裁員前期望值為1000元，裁員后期望值為元，不利.【分析】（1）由頻率估計概率即可；（2）①利用平均數(shù)公式直接求解即可；②根據(jù)題意及（）（），攬件數(shù)每增加，可使前臺工資和公司利潤增加（元），然后分別求出裁員前后公司每日利潤的數(shù)學期望比較即可【詳解】（）樣本包裹件數(shù)在之間的天數(shù)為，頻率，顯然未來天中，包裹件數(shù)在之間的概率為（）（）樣本中快遞費用及包裹件數(shù)如下表：包裹重量（單位：）快遞費（單位：元）包裹件數(shù)故樣本中每件快遞收取的費用的平均值為（元），故該公司對每件快遞收取的費用的平均值可估計為元（）根據(jù)題意及（）（），攬件數(shù)每增加，可使前臺工資和公司利潤增加（元），將題目中的天數(shù)轉化為頻率，得包裹件數(shù)范圍包裹件數(shù)近似天數(shù)頻率若不裁員，則每天可攬件的上限為件，公司每日攬件數(shù)情況如下：包裹件數(shù)近似實際攬件數(shù)頻率故公司平均每日利潤的期望值為（元）；若裁員人，則每天可攬件的上限為件，公司每日攬件數(shù)情況如下：包裹件數(shù)近似實際攬件數(shù)頻率故公司平均每日利潤的期望值為（元）因，故公司將前臺工作人員裁員人對提高公司利潤不利.31．（1）；（2）分布列見解析；期望為；（3）．【分析】（1）由表中的數(shù)據(jù)可知成績在80分以上的有15人，其中男生10人，女生5人，先求出從15人抽2人的方法數(shù)，再求出這2人恰好男、女生各1名，且分數(shù)段不同的方法數(shù)，然后利用古典概型的概率公式求解即可；（2）先求出從25名男生中抽取1人成績在80分以上的頻率，從而可得從全校男生抽取1人成績在80分以上的概率，由題意可得可取，且，然后利用二項分布的概率公式可求出分布列，進而可求出數(shù)學期望；（3）通過方差的意義分析即可【詳解】解：（1）設“從大賽成績在以上的人中隨機取出2人，恰好男、女生各1名，且所在分數(shù)段不同”為事件A，由表格可得：隨機抽取的50名學生中，成績在80分以上的男生人數(shù)是10人，女生5人，共15人，即從15名學生中隨機抽取2人，所以樣本空間；如果這2人恰好男、女生各1名，且分數(shù)段不同，即．所以事件A包含21個樣本點，因此．（2）由數(shù)據(jù)可知，從抽取的25名男學生中隨機抽取1人，該學生大賽成績在80分以上的概率為．即從該校參加活動的男學生中隨機抽取1人，該學生大賽成績在80分以上的概率為，因此從該校參加活動的男學生中隨機抽取3人，這3人中大賽成績在以上的人數(shù)可取，且．，，，．所以隨機變量的分布列0123數(shù)學期望或者，所以．（3）（由題意可得，由于方差是衡量一組數(shù)據(jù)的離散程度，當數(shù)據(jù)越集中，方差越小，所以時，數(shù)據(jù)更集中，方差最?。?2．(1)(2)分布列見解析，(3)3900張【分析】（1）求出調查的100位老年人中年齡在且未使用過打車軟件的人數(shù)，再利用頻率估計概率，即可估計該老年人的年齡在且未使用過打車軟件的概率；（2）求出X的所有可能取值，并分別求出X取每個值時對應的概率，即可寫出X的分布列，然后利用定義或超幾何分布的期望公式得其數(shù)學期望；（3）先求出隨機抽取的100位老年人中使用過打車軟件的人數(shù)，即可估計該公司至少應準備代金券的數(shù)量．（1）在隨機抽取的100位老年人中，年齡在且未使用過打車軟件的人數(shù)為，所以隨機抽取的這1位老年人的年齡在且未使用過打車軟件的概率．（2）由題可知，X的所有可能取值為0，1，2，且，，．所以X的分布列為X012P故X的數(shù)學期望．（3）在隨機抽取的100位老年人中，使用過打車軟件的共有（人），所以估計該公司至少應準備張代金券．33．；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）2200【解析】（Ⅰ）隨機抽取的100名顧客中，年齡在[30，50）且未使用自由購的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；（Ⅱ）所有的可能取值為1,2,3，求出相應的概率值，即可得到分布列與期望；（Ⅲ）隨機抽取的100名顧客中，使用自由購的有44人，計算可得所求值．【詳解】（Ⅰ）在隨機