第六章《計數(shù)原理》章末復習提升與檢測知識體系能力整合一、兩個計數(shù)原理1．分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理是本章內(nèi)容的學習基礎(chǔ)，在進行計數(shù)過程中，常因分類不明導致增(漏)解，因此在解題中既要保證類與類的互斥性，又要關(guān)注總數(shù)的完備性．2．掌握兩個計數(shù)原理，提升邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)．【例1】（1）設(shè)4名學生報名參加同一時間安排的3項課外活動的方案有a種，這4名學生在運動會上共同爭奪100米、跳遠、鉛球3項比賽的冠軍的可能結(jié)果有b種，則(a，b)為()A．(34，34) B．(43，34)C．(34，43) D．(Aeq\o\al(3,4)，Aeq\o\al(3,4))【答案】C【解析】首先每名學生報名有3種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知4名學生共有34種選擇，每項冠軍有4種可能結(jié)果，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知3項冠軍共有43種可能結(jié)果．(2)“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22,121,3443,94249等．顯然2位“回文數(shù)”有9個：11,22,33，…，99；3位“回文數(shù)”有90個：101,111,121，…，191,202，…，999；則①4位“回文數(shù)”有________個；②2n＋1(n∈N*)位“回文數(shù)”有________個．【答案】①90②9×10n．【解析】①4位“回文數(shù)”的特點為中間兩位相同，千位和個位數(shù)字相同但不能為零，第一步，選千位和個位數(shù)字，共有9種選法；第二步，選中間兩位數(shù)字，有10種選法，故4位“回文數(shù)”有9×10＝90(個)．②第一步，選左邊第一個數(shù)字，有9種選法；第二步，分別選左邊第2,3,4，…，n，n＋1個數(shù)字，共有10×10×10×…×10＝10n(種)選法，故2n＋1(n∈N*)位“回文數(shù)”有9×10n個．【通性通法】應用兩個計數(shù)原理計數(shù)的四個步驟(1)明確完成的這件事是什么．(2)思考如何完成這件事．(3)判斷它屬于分類還是分步，是先分類后分步，還是先分步后分類．(4)選擇計數(shù)原理進行計算．【跟蹤訓練】1.用紅、黃、藍、綠、橙五種不同顏色給如圖所示的5塊區(qū)域A，B，C，D，E涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，相鄰區(qū)域使用不同顏色，則共有涂色方法()A．120種 B．720種C．840種 D．960種【答案】D【解析】A有5種顏色可選，B有4種顏色可選，D有3種顏色可選，C，E均有4種顏色可選，故共有涂色方法5×4×3×4×4＝960(種)．2.《九章算術(shù)》、《數(shù)書九章》、《周髀算經(jīng)》是中國古代數(shù)學著作，甲、乙、丙三名同學計劃每人從中選擇一種來閱讀，若三人選擇的書不全相同，則不同的選法有種．【答案】【解析】若三人選書沒有要求，則有種，若三人選擇的書完全相同，則有種，所以三人選擇的書不全相同，不同的選法有種.二、排列與組合的綜合應用1．排列、組合是兩類特殊的計數(shù)求解方式，在計數(shù)原理求解中起著舉足輕重的作用，解決排列與組合的綜合問題要遵守先選后排，特殊元素(特殊位置)優(yōu)先的原則．2．明確排列和組合的運算，重點提升數(shù)學建模及數(shù)學運算的素養(yǎng)．【例2】（1）（2023?新高考Ⅰ）某學校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．【答案】64．【解析】若選2門，則只能各選1門，有種，如選3門，則分體育類選修課選2，藝術(shù)類選修課選1，或體育類選修課選1，藝術(shù)類選修課選2，則有，綜上共有種不同的方案．故答案為：64．（2）（2023?甲卷（理））有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則兩天中恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為A．120 B．60 C．40 D．30【答案】【解析】先從5人中選1人連續(xù)兩天參加服務(wù)，共有種選法，然后從剩下4人中選1人參加星期六服務(wù)，剩下3人中選取1人參加星期日服務(wù)，共有種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得共有種選法．故選：．【通性通法】解決排列、組合綜合問題要注意以下幾點(1)首先要分清該問題是排列問題還是組合問題．(2)對于含有多個限制條件的復雜問題，應認真分析每個限制條件，再考慮是分類還是分步，分類時要不重不漏，分步時要步步相接．(3)對于含有“至多”“至少”的問題，常采用間接法，此時要考慮全面，排除干凈．【跟蹤訓練】1.（2023?新高考Ⅱ）某學校為了了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結(jié)果共有A．種 B．種 C．種 D．種【答案】【解析】初中部和高中部分別有400和200名學生，人數(shù)比例為，則需要從初中部抽取40人，高中部取20人即可，則有種．故選：．2.（2023?乙卷（理））甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有A．30種 B．60種 C．120種 D．240種【答案】【解析】根據(jù)題意可得滿足題意的選法種數(shù)為：．三、二項式定理及其應用1．二項式定理有比較廣泛的應用，可用于代數(shù)式的化簡、變形、證明整除、近似計算、證明不等式等，其原理可以用于二項式相應展開式項的系數(shù)求解．2．二項式定理所體現(xiàn)的是一種數(shù)學運算素養(yǎng)．角度1二項展開式的“賦值問題”【例3】（1）（2022?北京）若，則A．40 B．41 C． D．【答案】【解析】法一：，可得，，，，故答案為：41．法二：，令，可得，再令，可得，兩式相加處以2可得，，故選：．【通性通法】在二項展開式中應用“賦值法”的一般步驟(1)觀察：先觀察二項展開式左右兩邊式子的結(jié)構(gòu)特征．(2)賦值：結(jié)合待求和上述特征，對變量x賦值，常見的賦值有x＝－1，x＝0，x＝1等等，具體視情況而定．(3)解方程：賦值后結(jié)合待求建立方程(組)，求解便可．【跟蹤訓練】（2022?浙江）已知多項式，則．【答案】8，．【解析】，；令，則，令，則，．角度2二項展開式的特定項問題【例4】（1）（2022?新高考Ⅰ）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】．【解析】的通項公式為，當時，，當時，，的展開式中的系數(shù)為．故答案為：．（2）（2023?天津）在的展開式中，項的系數(shù)為．【答案】60．【解析】二項式的展開式的通項為，令得，，項的系數(shù)為．【通性通法】二項式特定項的求解策略(1)確定二項式中的有關(guān)元素：一般是根據(jù)已知條件，列出等式，從而可解得所要求的二項式中的有關(guān)元素．(2)確定二項展開式中的常數(shù)項：先寫出其通項，令未知數(shù)的指數(shù)為零，從而確定項數(shù)，然后代入通項，即可確定常數(shù)項．(3)求二項展開式中條件項的系數(shù)：先寫出其通項，再由條件確定項數(shù)，然后代入通項求出此項的系數(shù)．(4)確定二項展開式中的系數(shù)最大或最小項：求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是【跟蹤訓練】1.（2023?北京）的展開式中，的系數(shù)是A． B．40 C． D．80【答案】【解析】由二項式定理可知展開式的第項，，1，，令，可得．即含的項為第3項，，故的系數(shù)為80．故選：．2.（2022?天津）的展開式中的常數(shù)項為．【答案】15．【解析】的展開式的通項是要求展開式中的常數(shù)項只要使得，即常數(shù)項是，章末檢測(時間：120分鐘，滿分：150分)一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．（2024·晉城第一中學校高二月考）（

）A．74 B．98 C．124 D．148【答案】C【解析】．故選C．2．某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名，從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，要求這2名學生來自不同年級，則不同的選擇方法共有（

）A．4種 B．6種 C．8種 D．12種【答案】A【解析】由4名學生來自高一、高二各2名，則隨機選2名學生來自不同年級的選擇有種，故選A3．設(shè)直線的方程是，從1，2，3，4這四個數(shù)中每次取兩個不同的數(shù)作為A、B的值，則所得不同的直線的條數(shù)是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【解析】∵從1，2，3，4這四個數(shù)中每次取兩個不同的數(shù)作為A、B的值有種結(jié)果，在這些直線中有重復的直線，當和時，結(jié)果相同；當和時，結(jié)果相同，∴所得不同直線的條數(shù)是，故選C．4．的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B．10 C． D．40【答案】C【解析】展開式的通項為，，所以的系數(shù)為，故選C5．近期浙江大學、復旦大學、南京大學三所學校發(fā)布了2024年冬令營招生簡章，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學報名，每位同學只能選一所大學，每所大學至少有一名同學報名，且甲同學不報南京大學，則不同的報名方法共有（

）A．16種 B．20種 C．24種 D．28種【答案】C【解析】由甲不報考南京大學，可分為兩類：第1類：甲單獨報名一個學校，則有種不同的報考方法；第2類，甲和其中一名同學報名一個學校，則有種不同的報考方法，由分類計數(shù)原理，可得共有12+12=24種不同的報考方法，故選C6．2023年5月21日，中國羽毛球隊在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團體錦標賽決賽中以總比分戰(zhàn)勝韓國隊，實現(xiàn)蘇迪曼杯三連冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現(xiàn)場合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（

）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種【答案】C【解析】當丙站在左端時，甲、丙必須相鄰，其余人全排列，有種站法；當丙不站在左端時，從丁、戊兩人選一人站左邊，再將甲、丙捆綁，與余下的兩人全排，有種站法，所以一共有種不同的站法．故選C7．中國傳統(tǒng)木構(gòu)建筑的窗欞是框架結(jié)構(gòu)設(shè)計，它是傳統(tǒng)建筑中最重要的構(gòu)成要素之一，也是建筑的審美中心.如圖中矩形是某窗欞的一部分，圖中與矩形邊平行的橫線與豎線構(gòu)成矩形（

）個

A．24 B．27 C．36 D．60【答案】C【解析】在矩形中的條橫線任選條，有種方法，條豎線任選條，有種方法，這時一定會圍成一個封閉圖形，即為所求矩形，共有種方法，故選C8．若的展開式中不含項，則實數(shù)m的值為（

）A． B． C．0 D．1【答案】D【解析】，二項式展開式的通項為：，令時，；令時，，所以的展開式中的系數(shù)為，因為的展開式中不含項，所以，解得：，故選D.二、多項選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得6分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)9．現(xiàn)有不同的黃球5個，黑球6個，藍球4個，則下列說法正確的是（

）A．從中任選1個球，有15種不同的選法B．若每種顏色選出1個球，有120種不同的選法C．若要選出不同顏色的2個球，有31種不同的選法D．若要不放回地選出任意的2個球，有240種不同的選法【答案】AB【解析】對于A，從中任選1個球，共有種不同的選法，故A正確；對于B，每種顏色選出1個球，可分步從每種顏色分別選擇，共有種不同的選法，故B正確；對于C，若要選出不同顏色的2個球，首先按顏色分三類“黃，黑”，“黃，藍”，“黑，藍”，再進行各類分步選擇，共有種不同的選法，故C錯誤；對于D，若要不放回地選出任意的2個球，直接分步計算，共有種不同的選法，故D錯誤，故選AB．10．已知二項式的展開式中各項的系數(shù)和為64，則下列說法正確的是（

）A．B．展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為32C．展開式中的常數(shù)項為540D．展開式中二項式系數(shù)最大的項是第四項【答案】ABD【解析】令，得，得，故A正確；展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為，故B正確，由上得二項式為，常數(shù)項為，故C錯誤；最大的二項式系數(shù)為，即第四項的二項式系數(shù)最大，故D正確；故選ABD．11．某班準備舉行一場小型班會，班會有3個歌唱節(jié)目和2個語言類節(jié)目，現(xiàn)要排出一個節(jié)目單，則下列說法正確的是（

）A．若3個歌唱節(jié)目排在一起，則有6種不同的排法B．若歌唱節(jié)目與語言類節(jié)目相間排列，則有12種不同的排法C．若2個語言類節(jié)目不排在一起，則有72種不同的排法D．若前2個節(jié)目中必須要有語言類節(jié)目，則有84種不同的排法【答案】BCD【解析】A選項，若3個歌唱節(jié)目排在一起，則有種情況，將3個歌唱節(jié)目看為一個整體，和2個語言類節(jié)目進行排列，則有種情況，綜上，共有種情況，A錯誤；B選項，歌唱節(jié)目與語言類節(jié)目相間排列，則歌唱類節(jié)目在兩端和最中間，語言類放在歌唱類節(jié)目的之間，則有種情況，B正確；C選項，若2個語言類節(jié)目不排在一起，則采用插空法，先安排歌唱類節(jié)目，有種情況，再將語言類節(jié)目插入到3個節(jié)目形成的4個空格中，有種，綜上，共有種情況，C正確；D選項，前2個節(jié)目都是語言類節(jié)目，此時后3個為歌唱類節(jié)目，有種情況，前2個節(jié)目中有1個是語言類，有1個是歌唱類，則有種情況，剩余的3個節(jié)目進行全排列，則有種情況，則共有種情況，綜上，有種不同的排法，D正確.故選BCD三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在題中橫線上)12．若，則.【答案】6【解析】因為，，所以.由，得（舍去）或.13．早在11世紀中葉，我國宋代數(shù)學家賈憲在其著作《釋鎖算數(shù)》中就給出了二、三、四、五、六次冪的二項式系數(shù)表．已知的展開式中的系數(shù)為，則實數(shù)；展開式中各項系數(shù)之和為．（用數(shù)字作答）【答案】21【解析】由題可知，，則，故．令，展開式中各項系數(shù)之和為．14．甲、乙、丙、丁、戊五名同學參加某種技術(shù)競賽，得出了第一名到第五名的五個名次，甲、乙去詢問成績，組織者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍．”對乙說：“你當然不會是最差的．”從組織者的回答分析，這五個人的名次排列的不同情況共有種．【答案】54【解析】根據(jù)題意知，甲、乙都沒有得到冠軍，且乙不是最后一名，分2種情況討論：①甲是最后一名，則乙可以是第二名、第三名或第四名，即乙有3種名次排列情況，剩下的三人有A＝6（種）名次排列情況，此時有3×6＝18（種）名次排列情況；②甲不是最后一名，則甲、乙需要排在第二、三、四名，有A＝6（種）名次排列情況，剩下的三人有A＝6（種）名次排列情況，此時有6×6＝36（種）名次排列情況．綜上可知，一共有36＋18＝54（種）不同的名次排列情況．四、解答題(本大題共5小題，共77分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．（本小題滿分13分）8人圍圓桌開會，其中正、副組長各1人，記錄員1人．(1)若正、副組長相鄰而坐，有多少種坐法？(2)若記錄員坐于正、副組長之間（三者相鄰），有多少種坐法？【解析】（1）若正、副組長相鄰而坐，可將此人看作人，即人圍一圓桌，有種，由于正、副組長人可交換，有種，∴共有種，（2）若記錄員坐于正、副組長之間（三者相鄰），可將人看作人，即人圍一圓桌，有種，∵正、副組長人可交換，有種，∴共有種．16．（本小題滿分15分）某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生5名，外科醫(yī)生4名，現(xiàn)要派4名醫(yī)生參加賑災醫(yī)療隊，（1）一共有多少種選法？（2）其中某內(nèi)科醫(yī)生甲必須參加，某外科醫(yī)生乙因故不能參加，有幾種選法？（3）內(nèi)科醫(yī)生和外科醫(yī)生都要有人參加，有幾種選法？【解析】（1）從名醫(yī)生中選出4名醫(yī)生參加賑災醫(yī)療隊共有：種選法；（2）因為內(nèi)科醫(yī)生甲必須參加，而外科醫(yī)生乙因故不能參加，所以只須從剩下的7名醫(yī)生中選出3名醫(yī)生即可，即種選法；（3）間接法，從9名醫(yī)生中選出4名有種方法，而選到的醫(yī)生全部是內(nèi)科醫(yī)生的有種，選到的醫(yī)生全部是外科醫(yī)生的有種，所以內(nèi)科醫(yī)生和外科醫(yī)生都要有人參加共有種選法.17．（本小題滿分15分）已知集合.(1)從中取出個不同的元素組成三位數(shù)，則可以組成多少個？(2)從集合中取出個元素，從集合中取出個元素，可以組成多少個無重復數(shù)字且比大的正整數(shù)？【解析】（1）由，得，所以，所以，所以，從中取出個不同的元素組成三位數(shù)，可以組成個三位數(shù).（2）由（1）得，而，若從集合中取元素，則不能作千位上的數(shù)字，有個滿足題意的正整數(shù)；若不從集