浙教版八年級(jí)上第2招全等三角形中的截長(zhǎng)補(bǔ)短法01典例剖析02分類訓(xùn)練目

錄CONTENTS教你一招

截長(zhǎng)法和補(bǔ)短法在證明線段的和、差、倍、分等問題中

有著廣泛的應(yīng)用.具體的做法是在某條線段上截取一條線段

等于某特定線段，或?qū)⒛硹l線段延長(zhǎng)，使之與某特定線段相

等，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)來解決數(shù)學(xué)

問題.

閱讀下面文字并證明：數(shù)學(xué)習(xí)題課上李老師出了這樣一道題：如圖①，在△

ABC

中，

AD

平分∠

BAC

，∠

B

＝2∠

C

.

求證：

AB

＋

BD

＝

AC

.

李老師給出了如下簡(jiǎn)要分析：要證

AB

＋

BD

＝

AC

，就

是要證線段的和差問題，所以有兩個(gè)方法：方法一：“截長(zhǎng)法”如圖②，在

AC

上截取

AE

＝

AB

，

連結(jié)

DE

.

方法二：“補(bǔ)短法”如圖③，延長(zhǎng)

AB

至點(diǎn)

F

，使

BF

＝

BD

.

“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”是我們今后證明線段或角的“和差倍

分”問題常用的方法.

截長(zhǎng)補(bǔ)短類輔助線，核心思想為數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)

化思想，此類題的關(guān)鍵是要找到最長(zhǎng)邊和最短邊，然后確定

截取輔助線的方式.證明：方法一：在

AC

上截取

AE

＝

AB

，連結(jié)

DE

，如

圖②.∵

AD

平分∠

BAC

，∴∠

BAD

＝∠

DAC

.

∴∠

AED

＝2∠

C

.

∵∠

AED

＝∠

C

＋∠

EDC

，∴∠

EDC

＝∠

C

，∴

DE

＝

CE

，∴

AB

＋

BD

＝

AE

＋

CE

＝

AC

.

方法二：如圖③，延長(zhǎng)

AB

至點(diǎn)

F

，使

BF

＝

BD

，∴∠

F

＝∠

BDF

，∴∠

ABD

＝∠

F

＋∠

BDF

＝2∠

F

.

旋轉(zhuǎn)型全等三角形中的截長(zhǎng)補(bǔ)短1.

如圖，在四邊形

ABCD

中，∠

ABC

＋∠

ADC

＝180°，

AB

＝

AD

.

若點(diǎn)

E

在

CB

的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)

F

在

CD

的延長(zhǎng)

線上，且滿足

EF

＝

BE

＋

FD

，請(qǐng)寫出∠

EAF

與∠

DAB

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.1234

∵∠

ABC

＋∠

ADC

＝180°，∠

ABC

＋∠

ABE

＝

180°，∴∠

ADC

＝∠

ABE

.

又∵

AD

＝

AB

，

DG

＝

BE

，∴△

ADG

≌△

ABE

(

SAS

)，1234∴

AG

＝

AE

，∠

DAG

＝∠

BAE

.

∵

EF

＝

BE

＋

FD

＝

DG

＋

FD

＝

GF

，

AF

＝

AF

，∴△

AEF

≌△

AGF

(

SSS

)，∴∠

FAE

＝∠

FAG

.

∵∠

FAE

＋∠

FAG

＋∠

GAE

＝360°，∴2∠

FAE

＋(∠

GAB

＋∠

BAE

)＝360°，

12342.

[新考法

分類討論法]如圖①，把兩個(gè)全等的直角三角形的

斜邊重合，組成一個(gè)四邊形

ACBD

，以

D

為頂點(diǎn)作∠

MDN

，交邊

AC

，

BC

于

M

，

N

，已知∠

CAD

＝∠

CBD

＝90°.(1)當(dāng)∠

ACD

＋∠

MDN

＝90°時(shí)，

AM

，

MN

，

BN

三條

線段之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的證明過程.1234【解】

AM

＋

BN

＝

MN

.

證明如下：∵△

ACD

≌△

BCD

，∴∠

ADC

＝∠

BDC

，

AD

＝

BD

.

如圖①，延長(zhǎng)

CB

到點(diǎn)

E

，使

BE

＝

AM

，

連結(jié)

DE

.

∵∠

A

＝∠

CBD

＝90°，∴∠

A

＝∠

EBD

＝90°.1234

1234

1234(2)如圖②，在(1)的條件下，若將

M

，

N

移到

CA

，

BC

的

延長(zhǎng)線上，完成圖②，其余條件不變，則

AM

，

MN

，

BN

之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論.1234【解】完成圖②如圖，

BN

－

AM

＝

MN

.

證明如下：∵△

ACD

≌△

BCD

，∴∠

ADC

＝∠

BDC

，

AD

＝

BD

.

如圖②，在

BC

上截取

BE

＝

AM

，連結(jié)

DE

.

∵∠

B

＝∠

CAD

＝90°，∴∠

B

＝∠

DAM

＝90°.1234

1234

1234

一般類型全等三角形中的截長(zhǎng)補(bǔ)短3.

[2024·寧波月考]如圖，在△

ABC

中，∠

B

＝60°，

AD

，

CE

分別是∠

BAC

，∠

BCA

的平分線，

AD

，

CE

相交于

點(diǎn)

F

.

試判斷線段

AE

，

CD

與

AC

之間的數(shù)量關(guān)系并說明

理由.1234

1234

1234

12344.

[新視角猜想驗(yàn)證題]數(shù)學(xué)課上，小白遇到這樣一個(gè)問題：如圖①，在等腰直角三角形

ABC

中，∠

BAC

＝90°，

AB

＝

AC

，

AD

＝

AE

，求證：∠

ABE

＝∠

ACD

.

1234小白通過研究發(fā)現(xiàn)，∠

AFB

與∠

HFC

有某種數(shù)量關(guān)系；小白還通過研究發(fā)現(xiàn)，將三條線段中的兩條放到同一

條直線上，即“截長(zhǎng)補(bǔ)短”，再通過進(jìn)一步推理，可

以得出結(jié)論.閱讀上面材料，請(qǐng)回答下面問題：在此問題的基礎(chǔ)上，老師補(bǔ)充：過點(diǎn)

A

作

AF

⊥

BE

于點(diǎn)

G

交

BC

于點(diǎn)

F

，過點(diǎn)

F

作

FP

⊥

CD

交

BE

于點(diǎn)

P

，交

CD

于點(diǎn)

H

，試探究線段

BP

，

FP

，

AF

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.1234(1)求證：∠

ABE

＝∠

ACD

；

1234(2)猜想∠

AFB

與∠

HFC

的數(shù)量關(guān)系，并證明；【解】猜想∠

AFB

＝∠

HFC

.

證明如下：設(shè)∠

ABE

＝∠

ACD

＝

x

.∴∠

FBG

＝∠

FCH

＝45°－

x

.∵

AF

⊥

BE

，∴∠

BGF

＝90°，∴∠

AFB

＝90°－(45°－

x

)＝45°＋

x

.∵

FP

⊥

CD

，∴∠

HFC

＝90°－(45°－

x

)＝45°＋

x

，∴∠

HFC

＝∠

AFB

.

1234(3)探究線段

BP

，

FP

，

AF

之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

1234∵∠

BFA

＝∠

MFC

＝∠

NFC

，

FC

＝

FC

，∠

ACB

＝

∠

BCM

＝45°，∴△

NFC

≌△

MFC

(

ASA

)，∴