角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理湘教版·八年級數(shù)學(xué)下冊第1章直角三角形復(fù)習(xí)導(dǎo)入角平分線的概念

OBCA12

角平分線是以一個角的頂點為端點的一條射線，它把這個角分成兩個相等的角.尺規(guī)做角的平分線NMC觀察領(lǐng)悟作法，探索思考證明方法：畫法：1.以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交OA于M，交OB于N．2.分別以M，N為圓心．大于

MN的長為半徑作弧．兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于C．3.作射線OC．射線OC即為所求．動動手:將手中的三角形紙片按如下順序操作，并標(biāo)好對應(yīng)字母:①將∠AOB對折，記折痕為OC；②以O(shè)A(OB)為直角邊剪一個直角三角形；③展開，觀察分析；探究新知AOBAOC（B）ADOPCEBAOC（B）P交流探究問題一：第一條折橫分得的兩個角的大小有什么關(guān)系？問題二：PD和PE與OA和OB有什么位置關(guān)系?它們的長度有什么關(guān)系？問題三：你能用自己的語言總結(jié)角平分線上點的特點嗎?問題四：你能證明你的結(jié)論嗎？探究新知AOBAOC（B）ADOPCEBAOC（B）P一般情況下.我們要證明幾何命題時，可以按照以下步驟進行.即:1.明確命題中的條件和結(jié)論；2.根據(jù)題設(shè)，畫出圖形.并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證；3.經(jīng)過分析，寫出證明過程.探究新知AOBAOC（B）ADOPCEBAOC（B）P探究新知將∠AOB沿OC對折，我發(fā)現(xiàn)PD與PE重合，即PD與PE相等.你能證明嗎？如圖1-26，在∠AOB的平分線OC.上任取一點P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D，E，試問PD與PE相等嗎?ADOPCEB圖1-26由此得到角平分線性質(zhì)定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.探究新知如圖1-26，在∠AOB的平分線OC.上任取一點P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D，E，試問PD與PE相等嗎?證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∵∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP，∴△PDO≌△PEO.∴PD=PE.ADOPCEB圖1-26探究新知如圖1-26，在∠AOB的平分線OC.上任取一點P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D，E，試問PD與PE相等嗎?ADOPCEB圖1-26由此得到角平分線性質(zhì)定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.符號語言：∵

OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB.∴PD=PE.探究新知角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上嗎?如圖1-27，點P在∠AOB的內(nèi)部，作PD⊥OA，PE⊥OB.垂足分別為點D，E.若PD=PE，那么點P在∠AOB的平分線上嗎?證明：如圖1-27，過點O,P作射線OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP，PD=PE,∴Rt△PDO≌Rt△PEO.∴∠AOC=∠BOC.∴OC是∠AOB的平分線，即點P在∠AOB的平分線OC上.ADOPCEB由此得到角平分線性質(zhì)定理的逆定理：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.圖1-27探究新知角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上嗎?如圖1-27，點P在∠AOB的內(nèi)部，作PD⊥OA，PE⊥OB.垂足分別為點D，E.若PD=PE，那么點P在∠AOB的平分線上嗎?ADOPCEB圖1-27由此得到角平分線性質(zhì)定理的逆定理：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.符號語言：∵

PD⊥OA，PE⊥OB，

PD＝PE．∴OP平分∠AOB．圖形名稱圖形語言文字語言符號語言關(guān)鍵詞角平分線性質(zhì)定理逆定理PC∵OP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于E∴PD=PE角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.一平分，兩個垂直，得一個相等.PC∴OP平分∠AOB∵PD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.兩個垂直，一個平分，得一個相等.歸納小結(jié)例1如圖1-28，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.(1)求證:點B在∠ADC的平分線上;(2)求證:BD平分∠ABC.探究新知證明：（1）在△ABC中，∵∠l=∠2，∴BA=BC.又BA⊥AD，BC⊥CD，∴點B在∠ADC的平分線上.（2）在Rt△BAD和Rt△中，∵BA=BC，BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BCD.∴∠ABD=∠CBD.∴BD平分∠ABC.【教材P23】鞏固練習(xí)1.如圖，在直線MN上求作一點P，使點P到∠AOB兩邊的距離相等.EFCP解：鞏固練習(xí)2.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，

DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，

BD=CD.求證:AB=AC.證明：∵AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF.又BD=CD，∴Rt△BED≌Rt△CFD.∴∠B=∠C.∴AB=AC(等角對等邊).鞏固練習(xí)1.如圖，一個工廠在A區(qū)，它到公路、鐵路的距離相等，并且離公路和鐵路的交叉處O點為500m，在圖上標(biāo)出它的位置(比例尺為1∶20000).解：500÷20000=0.025m,0.025m=2.5cm圖上距離為2.5cm.EFCP點P即為所求．鞏固練習(xí)2.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8m，DC=AD，BD平分∠ABC，求D到AB的距離.解：課堂小結(jié)角平分線性質(zhì)定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.角平分線性質(zhì)定理的逆定理：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.課堂小結(jié)角平分線角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.定理逆定理直角三角形性質(zhì)判定直角三角形兩個銳角互余.有兩個