PAGE26-黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)其次次模擬考試試題文（含解析）考試說明：本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.1.答題前，考生先將向己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清晰.2.選擇題必需運(yùn)用2B鉛筆填涂，非選擇題必需運(yùn)用0.5毫米黑色字跡的字筆書寫，字體工整，字跡清晰.3.請(qǐng)依據(jù)題號(hào)依次在各題日的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效.4.保持卡面清潔，不得折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)運(yùn)用涂改液、刮紙刀.第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】先出集合A，B，再求出集合A的補(bǔ)集，然后求【詳解】解：由得，所以集合，所以，由，得，所以集合所以,故選：B【點(diǎn)睛】此題考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.2.若復(fù)數(shù)滿意，其中是虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求得，然后利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解．【詳解】解：因?yàn)?，，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算和復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題.3.已知直線：，：，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)直線與直線的垂直，列方程，求出，再推斷充分性和必要性即可.【詳解】解：若，則，解得或，即或，所以“”是“或”的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線一般式中直線與直線垂直的系數(shù)關(guān)系，考查充分性和必要性的推斷，是基礎(chǔ)題.4.若a，b，c為實(shí)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用賦值法干脆推斷即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，選項(xiàng)A無意義，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，明顯選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，明顯選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】此題考查不等式性質(zhì)的運(yùn)用，考查了解除法的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.5.拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與拋物線交于點(diǎn)A（異于原點(diǎn)），則點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離為（）A.12 B.14 C.18 D.24【答案】B【解析】【分析】將拋物線方程與直線方程聯(lián)立成方程組，求出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，再利用拋物線的定義可求出點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離.【詳解】解：由題意可知點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，由得（舍去）或所以點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離為故選：B【點(diǎn)睛】此題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.6.為了得到的圖象，可以將的圖象（）A.向右平移個(gè)單位 B.向左平移個(gè)單位C.向右平移個(gè)單位 D.向左平移個(gè)單位【答案】D【解析】【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式、函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【詳解】為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位.故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式、函數(shù)的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．7.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則取最小值時(shí)，的值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，列式求得首項(xiàng)與公差，從而得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由求得的范圍，即可推斷出取最小值時(shí)的值.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由于，，則，解得：，．由，得，，數(shù)列自第5項(xiàng)起大于0，則取最小值時(shí)，的值為4.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列取最小值對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)，涉及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8.函數(shù)，則不等式的解集是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，求得，依據(jù)定義法推斷出函數(shù)為奇函數(shù)，進(jìn)而可求出時(shí)的單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)得出在上單調(diào)遞增，再依據(jù)單調(diào)性且結(jié)合條件，最終解對(duì)數(shù)不等式，即可求出解集.【詳解】解：因?yàn)?，可知的定義域?yàn)?，所以，則為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可知在上單調(diào)遞增，由，可得，解得：，即不等式的解集為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)不等式的解集，考查依據(jù)定義法推斷函數(shù)的奇偶性和通過函數(shù)單調(diào)性解不等式，以及函數(shù)的基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解實(shí)力.9.已知，是雙曲線的左右焦點(diǎn)，以為圓心、a為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于A，B兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】求出雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離，求出，利用已知條件開出不等式，轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】由已知可知焦點(diǎn)到漸近線的距離為，所以，因?yàn)椋?，可得，即，可得，所以，即，又因?yàn)樗?，所以，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線的簡(jiǎn)潔性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題.10.2024年新型冠狀病毒肺炎擴(kuò)散全國(guó)，作為主要戰(zhàn)場(chǎng)的武漢，僅用了十余天就建成了“小湯山”模式的火神山醫(yī)院和雷神山醫(yī)院，再次體現(xiàn)了中國(guó)速度.隨著疫情發(fā)展，某地也須要參照“小湯山”模式建設(shè)臨時(shí)醫(yī)院，其占地是出一個(gè)正方形和四個(gè)以正方形的邊為底邊、腰長(zhǎng)為400m的等腰三角形組成的圖形（如圖所示），為使占地面積最大，則等腰三角形的底角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)正弦定理可先求出4個(gè)三角形的面積，再由三角形面積公式可求出正方形的邊長(zhǎng)，從而得到面積，最終得到答案.【詳解】解：設(shè)頂角為，由三角形的面積公式可得4個(gè)等腰三角形的面積和為，由余弦定理可得正方形邊長(zhǎng)為，故正方形面積為，所以所求占地面積為，所以當(dāng)，即時(shí)，占地面積最大，此時(shí)底角為，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了三角形面積公式的應(yīng)用和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.11.在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，將菱形沿對(duì)角線折起，使得平面平面，則所得三棱錐的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意畫出圖形，由于與均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，，則，依據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得出平面，再確定為三棱錐的外接球的球心，結(jié)合已知求出三棱錐外接球的半徑，最終依據(jù)球的表面積公式求出外接球的表面積.【詳解】解：在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，如圖，由已知可得，與均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，，則，，平面平面，交線為，而平面，則平面，分別取與的外心，，過，分別作兩面的垂線，相交于，則為三棱錐的外接球的球心，由與均為等邊三角形且邊長(zhǎng)為2，可得，，，即三棱錐外接球的半徑：，三棱錐的外接球的表面積為：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，涉及等邊三角形和菱形的性質(zhì)以及面面垂直的性質(zhì)，考查空間想象實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力，是中檔題.12.若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)得到其圖象特征，依據(jù)函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程，有兩根，且或求解.【詳解】令，即，令，則，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，如圖所示：因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則方程，有兩根，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，令，則，即，解得.綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的圖象，還考查了轉(zhuǎn)化化歸，數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于難題.2024年哈爾濱市第三中學(xué)校其次次高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷（文史類）第II卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，滿意，，，則________.【答案】1【解析】【分析】對(duì)兩邊平方化簡(jiǎn)可求出的值.【詳解】解：由得，，因?yàn)椋?，所以，解?，故答案為：1【點(diǎn)睛】此題考查平面對(duì)量的數(shù)量積運(yùn)算及向量的模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14.已知函數(shù)，若直線是曲線的一條對(duì)稱軸，則________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)協(xié)助角公式化簡(jiǎn)得，依據(jù)對(duì)稱性的性質(zhì)可得，，從而，，結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角公式得，即可求解.【詳解】解：，，由于直線是曲線的一條對(duì)稱軸，則，，，，，，，，，.故答案為：.點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的對(duì)稱性，考查利用協(xié)助角公式、誘導(dǎo)公式和二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，考查分析和運(yùn)算實(shí)力.15.《史記·卷六十五·孫子吳起列傳第五》中記載了“田忌賽馬”的故事.齊王有上等，中等，下等馬各一匹；田忌也有上等，中等，下等馬各一匹.田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)規(guī)定每場(chǎng)競(jìng)賽從雙方的馬匹中隨機(jī)各選取一匹進(jìn)行比試，若有優(yōu)勢(shì)的馬肯定獲勝，且每場(chǎng)競(jìng)賽相互獨(dú)立，則實(shí)行三局兩勝制齊王獲勝的概率為________.【答案】【解析】【分析】列出全部狀況，統(tǒng)計(jì)滿意條件的狀況得到齊王每次成功的概率，再依據(jù)獨(dú)立事務(wù)計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)齊王的上中下等馬為，田忌的上中下等馬為，則共有9種狀況，其中齊王獲勝的有6種狀況，故，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力.16.已知圓：，：，動(dòng)圓C與圓，都相切，則動(dòng)圓C的圓心軌跡E的方程為________________；斜率為的直線l與曲線E僅有三個(gè)公共點(diǎn)，依次為P，Q，R，則的值為________.【答案】(1).，(2).【解析】【分析】依據(jù)動(dòng)圓與圓，的位置關(guān)系，分狀況探討可知?jiǎng)訄AC的圓心軌跡為橢圓，然后計(jì)算即可，然后假設(shè)直線方程，依據(jù)直線于曲線E的位置關(guān)系以及弦長(zhǎng)公式，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)動(dòng)圓的半徑為由題可知：當(dāng)動(dòng)圓C與圓外切，與圓內(nèi)切時(shí)則所以可知?jiǎng)訄A圓心軌跡為橢圓所以，故所以動(dòng)圓C的圓心軌跡E的方程為當(dāng)動(dòng)圓C與圓內(nèi)切，與圓內(nèi)切時(shí)則所以可知?jiǎng)訄A圓心軌跡為橢圓所以，故所以動(dòng)圓C的圓心軌跡E的方程為所以動(dòng)圓C的圓心軌跡E的方程為，設(shè)直線l方程為，由直線l與曲線E僅有三個(gè)公共點(diǎn)則直線l與相切于點(diǎn)Q，與相交于點(diǎn)P,R所以則則則，把代入可得故答案為：，；【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，以及弦長(zhǎng)公式，考驗(yàn)分析問題實(shí)力以及計(jì)算實(shí)力，屬中檔題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.哈爾濱市第三中學(xué)校響應(yīng)教化部門疫情期間“停課不停絡(luò)授課，為檢驗(yàn)課的效果，高三絡(luò)模擬考試.全學(xué)年共1500人，現(xiàn)從中抽取了100人的數(shù)學(xué)成果，繪制成頻率分布直方圖（如下圖所示）.已知這100人中分?jǐn)?shù)段的人數(shù)比分?jǐn)?shù)段的人數(shù)多6人.（1）依據(jù)頻率分布直方圖，求a，b的值，并估計(jì)抽取的100名同學(xué)數(shù)學(xué)成果的中位數(shù)；（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在，的兩組同學(xué)中隨機(jī)抽取6名同學(xué)，從這6名同學(xué)中再任選2名同絡(luò)課堂學(xué)習(xí)優(yōu)秀代表”發(fā)言，求這2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)不在同一組內(nèi)的概率.【答案】（1），；中位數(shù)為；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖的面積和為1，這100人中分?jǐn)?shù)段的人數(shù)比分?jǐn)?shù)段的人數(shù)多6人列式求解a，b的值，再依據(jù)中位數(shù)左右兩邊的面積均為計(jì)算即可.（2）在分?jǐn)?shù)為的同學(xué)中抽取4人，分別用，，，表示，在分?jǐn)?shù)為的同學(xué)中抽取2人，分別用，表示，再利用枚舉法求解即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖的面積和為1，則，得，又由100人中分?jǐn)?shù)段的人數(shù)比分?jǐn)?shù)段的人數(shù)多6人則，解得，中位數(shù)中位數(shù)為（2）設(shè)“抽取的2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)不在同一組內(nèi)”為事務(wù)A，由題意知，在分?jǐn)?shù)為的同學(xué)中抽取4人，分別用，，，表示，在分?jǐn)?shù)為的同學(xué)中抽取2人，分別用，表示，從這6名同學(xué)中抽取2人全部可能出現(xiàn)的結(jié)果有：，，，，，，，，，，，，，，，共15種抽取的2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)不在同一組內(nèi)的結(jié)果有：，，，，，，，，共8種所以抽取的2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)不在同一組內(nèi)的概率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖求參數(shù)與中位數(shù)的方法、枚舉法解決古典概型的問題，屬于基礎(chǔ)題.18.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1），（）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出，再依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得；設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，依據(jù)時(shí)，可求得；（2）依據(jù)錯(cuò)位相減法可求得結(jié)果.【詳解】（1）∵，即，又∵，解得，所以，∵的前n項(xiàng)和∴時(shí)，時(shí)，∴（）；（2），，，所以，.【點(diǎn)睛】本題考查了等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，屬于基礎(chǔ)題.19.三棱柱中，平面平面，，，，點(diǎn)F為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段上的動(dòng)點(diǎn).（1）求證：；（2）若點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)C到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由題意，易證，由面面垂直可得平面，得到，由勾股定理可證，然后線面垂直的判定定理可證面，由此即可結(jié)果．（2）采納等體積法，利用，即可證明結(jié)果．【詳解】證明：（1）因?yàn)?，F(xiàn)為中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，而平面，故，又因?yàn)?，所以，又∵在三棱柱中，，∴，又，故平面，又平面，所以?），在三棱柱中，取中點(diǎn)M，連，，則，且，又，且，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形所以，由（1）知平面，所以平面，，，，所以，，，所以，，所以，設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為h，則∴，即點(diǎn)C到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的推斷定理，和面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查利用等體積法求點(diǎn)到面的距離，考查空間想象實(shí)力、邏輯推理實(shí)力以及計(jì)算實(shí)力，是中檔題．20.已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為，，四邊形的面積為，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為.（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上異于A，B的一點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，探究：平行四邊形的面積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）四邊形的面積為定值3.【解析】【分析】（1）由已知設(shè)直線的方程為，再利用已知條件列方程組，求出即可得到橢圓的方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，，，聯(lián)立，可得，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出弦長(zhǎng)AB，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解三角形的面積，可推出結(jié)論.【詳解】（1）直線的方程為，由題意可得，解得，∴橢圓C的方程為（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，，，聯(lián)立，可得，則，，，，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∵點(diǎn)P在橢圓上，∴，整理得，原點(diǎn)O到直線的距離，，綜上，四邊形的面積為定值3【點(diǎn)睛】此題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算實(shí)力，屬于難題.21.已知函數(shù)，.（1）為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)、，求證：.【答案】（1）在上為單調(diào)遞增；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）首先可以求出以及，再然后依據(jù)以及得出，即可得出結(jié)果，（2）本題首先可設(shè)，然后求出并令，求出，再然后通過恒成立得出在上為增函數(shù)，求出的單調(diào)性和極值，最終通過在區(qū)間以及內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)即可證得.【詳解】（1），因?yàn)椋?，所以，所以，在上為單調(diào)遞增，（2）設(shè)，則，令，則，因?yàn)?，，所以恒成立，故函?shù)即在上為增函數(shù)且1小于0大于遞減微小值遞增則，因?yàn)?，所以在區(qū)間以及內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，即為，，故，即.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)導(dǎo)函數(shù)推斷函數(shù)單調(diào)性以及二分法推斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，考查計(jì)算實(shí)力，是難題.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線（為參數(shù)），直線（為參數(shù)，），直線與曲線相切于點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程及點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）曲線的直角坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線交于在，兩點(diǎn)，記的面積為，的面積為，求的值.【答案】（1）；